9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015届高考数学大一轮复习 课时训练33 数列的综合应用 理 苏教版



课时跟踪检测(三十三) 数列的综合应用
(分Ⅰ、Ⅱ卷,共 2 页) 第Ⅰ卷:夯基保分卷 1.(2014· 南京质检)设等差数列{an}的公差 d≠0,a1=4d,若 ak 是 a1 与 a2k 的等比中项, 则 k 的值为________. 2.(2014· 无锡统考)设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S3,S9,S6 成等差数列,且 a2+ a5=2am,则

m=________. 3.(2014· 盐城模拟)将正偶数排列如下表,其中第 i 行第 j 个数表示为 aij(i,j∈N*),例 如 a13=18,若 aij=2 014,则 i+j________. 2 4 8 14 16 ? 4.三个互不相等的实数成等差数列,适当交换这三个数的位置后,变成一个等比数列, 则此等比数列的公比是________. 5.植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米. 开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边. 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往 返所走的路程总和最小,这个最小值为________米. 6.?创新题?设数列{an}中,若 an+1=an+an+2(n∈N*),则称数列{an}为“凸数列”,已知 数列{bn}为“凸数列”,且 b1=1,b2=-2,则数列{bn}的前 2 013 项和为________. 7.(2014· 常州期末)已知数列{an}是等差数列,a1+a2+a3=15,数列{bn}是等比数列, b1b2b3=27. (1)若 a1=b2,a4=b3,求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)若 a1+b1,a2+b2,a3+b3 均为正整数且成等比数列,求 a3 的最大值. 10 18 6 12 20

8.(2014· 扬州模拟)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn. (1)若数列{an}是等比数列,满足 2a1+a3=3a2,a3+2 是 a2,a4 的等差中项,求数列{an} 的通项公式; (2)是否存在等差数列{an},使对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n+1)?若存在,请求出所 有满足条件的等差数列;若不存在,请说明理由.

第Ⅱ卷:提能增分卷 1.(2014· 徐州摸底)设 fk(n)=c0+c1n+c2n2+?+cknk(k∈N),其中 c0,c1,c2,?,ck 为非零常数,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项和为 Sn,对于任意的正整数 n,an+Sn=fk(n). (1)若 k=0,求证:数列{an}是等比数列; (2)试确定所有的自然数 k,使得数列{an}能成等差数列.

2.(2014· 苏州质检)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 an+Sn=An2+Bn+1(A≠0). 3 9 (1)若 a1= ,a2= ,求证数列{an-n}是等比数列,并求数列{an}的通项公式; 2 4 B -1 (2)已知数列{an}是等差数列,求 的值. A

3.(2014· 无锡模拟)已知数列{an}中,a1=2,n∈N*,an>0,数列{an}的前 n 项和为 Sn, 2 且满足 an+1= . Sn+1+Sn-2 (1)求{Sn}的通项公式. (2)设{bk}是数列{Sn}中按从小到大顺序组成的整数数列. ①求 b3; ②若存在 N(N∈N*),当 n≤N 时,使得在数列{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的取值范围.

4.(2014· 南通一调)已知数列{an}是等比数列,且 an>0. (1)若 a2-a1=8,a3=m. ①当 m=48 时,求数列{an}的通项公式;

②若数列{an}是唯一的,求 m 的值; (2)若 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8,k∈N*,求 a2k+1+a2k+2+?+a3k 的 最小值.

答 第Ⅰ卷:夯基保分卷



1.解析:由条件知 an=a1+(n-1)d=4d+(n-1)d=(n+3)d,即 an=(n+3)d(n∈N*).又 a2 a2k,所以(k+3)2d2=4d· (2k+3)d,且 d≠0,所以(k+3)2=4(2k+3),即 k2-2k-3=0, k =a1· 解得 k=3 或 k=-1(舍去). 答案:3 a1?1-q9? a1?1-q3? 2. 解析: 设等比数列{an}的公比为 q, 显然 q≠1.由 2S9=S3+S6 得 2· = 1-q 1-q a1?1-q6? - + ,所以 2q9=q3+q6,即 1+q3=2q6.因为 a2+a5=2am,所以 a1q+a1q4=2a1qm 1, 1-q 即 1+q3=2qm 2,所以 m-2=6,所以 m=8.


答案:8 3.解析:正偶数数列{2n},则 aij=2 014 为正偶数数列的第 1 007 项,设 aij 在第 i 行, i?i-1? i?i+1? i?i-1? i?i+1? 前 i-1 行共有 个正偶数,前 i 行共有 个正偶数,于是有 <1 007≤ , 2 2 2 2 i∈N*,得 i=45,前 i-1 行有 990 个数,则 aij=2 014 是第 45 行第 17 个数,即 j=17,所 以 i+j=62. 答案:62 4.解析:设这三个数分别为 a-d,a,a+d(d≠0),由于 d≠0,所以 a-d,a,a+d 或 a+d,a,a-d 不可能成等比数列.若 a-d,a+d,a 或 a,a+d,a-d 成等比数列,则 (a+d)2=a(a-d),即 d=-3a,此时 q= a-3a a 1 =- 或 q= =-2;若 a,a-d,a+d 2 a a-3a

a-3a 或 a+d,a-d,a 成等比数列,则(a-d)2=a(a+d),即 d=3a,此时,q= =-2 或 q a = a 1 1 =- .故 q=-2 或- . 2 2 a-3a 1 答案:-2 或- 2 5.解析:当放在最左侧坑时,路程和为 2×(0+10+20+?+190);当放在左侧第 2 个 坑时,路程和为 2×(10+0+10+20+?+180)(减少了 360 米);当放在左侧第 3 个坑时,

路程和为 2×(20+10+0+10+20+?+170)(减少了 680 米);依次进行,显然当放在中间 的第 10、11 个坑时,路程和最小,为 2×(90+80+?+0+10+20+?+100)=2 000 米. 答案:2 000 6.解析:由“凸数列”的定义,可知,b1=1,b2=-2,b3=-3,b4=-1,b5=2, b6=3,b7=1,b8=-2,?,故数列{bn}是周期为 6 的周期数列,又 b1+b2+b3+b4+b5+ b6=0,故数列{bn}的前 2 013 项和 S2 013=b1+b2+b3=1-2-3=-4. 答案:-4 7.解:因为{an}是等差数列, 所以 a1+a3=2a2. 又因为 a1+a2+a3=15,所以 a2=5. 因为{bn}是等比数列,所以 b1b3=b2 2. 又因为 b1b2b3=27,所以 b2=3. (1)由题设,a1=b2=3,从而等差数列{an}的公差等于 2, 故数列{an}的通项公式为 an=2n+1. 进而 a4=9,b3=a4=9,等比数列{bn}的公比等于 3,故数列{bn}的通项公式为 bn=3n
1


. 3 (2)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q,则 a1=5-d,b1= ,a3=5 q

+d,b3=3q. 因为 a1+b1,a2+b2,a3+b3 成等比数列, 所以(a1+b1)· (a3+b3)=(a2+b2)2=64. 设 a1+b1=m,a3+b3=n,m,n∈N*, 则 mn=64, 3 ? ?5-d+q=m, ? ? ?5+d+3q=n. 整理得 d2+(m-n)d+5(m+n)-80=0. 因为 a3=5+d,所以要使 a3 最大,只需 d 最大,所以上面方程必有解,从而 d= -?m-n?+ ?m-n?2-20?m+n?+320 (舍去较小者), 2 n-m+ ?m+n-10?2-36 所以 d= . 2 要使 d 最大,只需 n-m 及(m+n-10)2 取最大值. 因为 m,n∈N*,mn=64,所以当且仅当 n=64,m=1 时,n-m 及(m+n-10)2 取最大 值.

63+7 61 73+7 61 从而 d≤ ,所以 a3≤ . 2 2 73+7 61 即 a3 的最大值为 . 2 8.解:(1)设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,
?2a1+a3=3a2, ? 依题意有? ? ?a2+a4=2?a3+2?,
2 ? ?a1?2+q ?=3a1q, ? 即 3 2 ?a1?q+q ?=2a1q +4. ?

① ②

由①得 q2-3q+2=0,解得 q=1 或 q=2. 当 q=1 时,不合题意,舍去; 当 q=2 时,代入②得 a1=2, 所以 an=2· 2n 1=2n.


(2)假设存在满足条件的数列{an},设此数列的公差为 d. n?n-1? ? 法一:[a1+(n-1)d]?a1n+ d =2n2(n+1), 2 ? ? 3 d2 2? ? 2 3 即 n2+? ?2a1d-d ?n+?a1-2a1d+ 2

? ?3 1 ? d a d-d =2, 2 ?=2n +2n 对任意 n∈N 恒成立,则?2 1 ? a d+ d =0, ?a -3 2 2
2 2 * 1 2 2 1 1 2

d2 =2, 2

?d=2, ?d=-2, ? ? 解得? 或? ?a1=2 ? ? ?a1=-2.

此时 an=2n 或 an=-2n. 故存在等差数列{an},使对任意 n∈N*, 都有 an· Sn=2n2(n+1),其中 an=2n 或 an=-2n. 法二:令 n=1,a2 2, 1=4 得 a1=±
2 令 n=2 得 a2 +a1a2-24=0,

①当 a1=2 时,a2=4 或 a2=-6, 若 a2=4,则 d=2,an=2n,Sn=n(n+1),对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n+1); 若 a2=-6,则 d=-8,a3=-14,S3=-18,不满足 a3· S3=2×32×(3+1),舍去. ②当 a1=-2 时,a2=-4 或 a2=6, 若 a2=-4,则 d=-2,an=-2n,

Sn=-n(n+1),对任意 n∈N*, 都有 an· Sn=2n2(n+1); 若 a2=6,则 d=8,a3=14,S3=18,不满足 a3· S3=2×32×(3+1),舍去. 综上所述,存在等差数列{an},使对任意 n∈N*,都有 an· Sn=2n2(n+1),其中 an=2n 或 an=-2n. 第Ⅱ卷:提能增分卷 1.解:(1)证明:若 k=0,f0(n)=c0, 即 an+Sn=f0(n)=c0. 当 n=1 时,a1+S1=c0,即 c0=2a1=2, 当 n≥2 时,an+Sn=2, an-1+Sn-1=2, ①-②得 2an-an-1=0, 1 即 an= an-1(n∈N*,n≥2). 2 若 an=0,则 an-1=0,?,a1=0,与已知矛盾,所以 an≠0. 1 故数列{an}是首项为 1,公比为 的等比数列. 2 (2)若 k=0,由(1)知,不符题意,舍去; 若 k=1,因为 f1(n)=c1n+c0, 当 n=1 时,c1+c0=2a1=2, 当 n≥2 时,an+Sn=c1n+c0, an-1+Sn-1=c1(n-1)+c0, ③-④得 2an-an-1=c1(n∈N*,n≥2). 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列,必须有 an=c1-d(常数) 而 a1=1,故{an}只能是常数数列,通项公式为 an=1(n∈N*). 故当 k=1 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an=1(n∈N*), 此时 f1(n)=n+1; 若 k=2,设 f2(n)=c2n2+c1n+c0, 当 n≥2 时,an+Sn=c2n2+c1n+c0, an-1+Sn-1=c2(n-1)2+c1(n-1)+c0, ⑤-⑥得 2an-an-1=2c2n+c1-c2(n∈N*,n≥2), 要使数列{an}是公差为 d(d 为常数)的等差数列, 必须有 an=2c2n+c1-c2-d, 且 d=2c2, 考虑到 a1=1,所以 an=1+(n-1)· 2c2=2c2n-2c2+1(n∈N*) 故当 k=2 时,数列{an}能成等差数列,其通项公式为 an=2c2n-2c2+1(n∈N*), 此时 f2(n)=c2n2+(c2+1)n+1-2c2; ⑤ ⑥ ③ ④ ① ②

当 k≥3 时,an+Sn=fk(n)=cknk+?+c2n2+c1n+c0(ck≠0),n 的最高次的次数 k≥3,但 如果数列{an}能成等差数列,则 an+Sn 的表达式中 n 的最高次的次数至多为 2,矛盾. 综上,当且仅当 k=1 或 k=2 时,数列{an}能成等差数列. 2.解:(1)证明:分别令 n=1,2,
?2a1=A+B+1, ? 代入条件得? ? ?2a2+a1=4A+2B+1.

?A=2, 3 9 又 a = ,a = ,解得? 2 4 3 ?B=2.
1 2

1

1 3 所以 an+Sn= n2+ n+1, 2 2 1 3 则 an+1+Sn+1= (n+1)2+ (n+1)+1. 2 2 ②-①得 2an+1-an=n+2. 1 则 an+1-(n+1)= (an-n). 2 1 因为 a1-1= ≠0, 2 1 1 所以数列{an-n}是首项为 ,公比为 的等比数列. 2 2 1 1 所以 an-n= n,则 an=n+ n. 2 2 (2)因为数列{an}是等差数列, 所以设 an=dn+c, n?d+c+dn+c? 则 Sn= 2 d? d = n2+? ?c+2?n. 2 3d? d 所以 an+Sn= n2+? ?c+ 2 ?n+c. 2 d 3d 所以 A= ,B=c+ ,c=1. 2 2 B-1 所以 =3. A 3.解:(1)因为 an+1=Sn+1-Sn, 所以(Sn+1-Sn)(Sn+1+Sn-2)=2,
2 即 S2 n+1-Sn-2(Sn+1-Sn)=2,

① ②

所以(Sn+1-1)2-(Sn-1)2=2,

且(S1-1)2=1, 所以{(Sn-1)2}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以 Sn=1+ 2n-1. (2)①当 n=1 时,S1=1+1=2=b1; 当 n=5 时,S5=1+3=4=b2; 当 n=13 时,S13=1+5=6=b3. ②因为 2n-1 是奇数,Sn=1+ 2n-1为有理数, 则 2n-1=2k-1,所以 n=2k2-2k+1. 当 k=20 时,n=761; 当 k=21 时,n=841. 所以存在 N∈[761,840](N∈N*),当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项. 4.解:设公比为 q,则由题意,得 q>0. (1)①由 a2-a1=8,a3=m=48,
? ?a1q-a1=8, 得? 2 ?a1q =48, ?

?a1=16-8 3, ?a1=16+8 3, 解得? 或? ?q=3+ 3, ?q=3- 3.
所以数列{an}的通项公式为 an=(16-8 3)(3+ 3)n
-1

或 an=(16+8 3)(3- 3)n 1.


? ?a1q-a1=8, ②要使满足条件的数列{an}是唯一的, 即关于 a1 与 q 的方程组? 2 有唯一正 ?a1q =m ?

数解. 所以方程 8q2-mq+m=0 有唯一解. 则 Δ=m2-32m=0,解得 m=32 或 m=0. 因为 a3=m>0,所以 m=32,此时 q=2. 经检验,当 m=32 时,数列{an}唯一,其通项公式为 an=2n 2.


(2)由 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8, 得 a1(qk-1)(qk 1+qk 2+?+1)=8,
- -

且 q>1. 则 a2k+1+a2k+2+?+a3k=a1q2k(qk 1+qk 2+?+1)=
- -

1 8q2k =8qk-1+ qk-1+2?≥32. k ? q -1

1 k 当且仅当 qk-1= k ,即 q= 2,等号成立. q -1 所以 a2k+1+a2k+2+?+a3k 的最小值为 32.



更多相关文章:
山东省济宁市2015届高考数学轮复习 第二讲 数列求和...
山东省济宁市2015届高考数学轮复习 第二讲 数列求和及数列的综合应用讲练 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。第二讲 数列求和及数列的综合应 用 一、...
2015届高三理科数学第二轮复习计划(讨论稿)
2015届高三理科数学第二轮复习计划(讨论稿)_高三数学...课时练; 定理、公式、方法、技巧、题型,注重讲练...定理及其一般应用,但知识较为零散,综合应用存在较大...
2015届高考数学(文、)新一轮复习考点详细分类题库:考...
2015届高考数学(文、)新一轮复习考点详细分类题库:考点25 数列求和及综合应用(含详解,13高考题)]_高中教育_教育专区。2015届高考数学(文、)新一轮复习考点...
【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习第五章数列计...
【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练33数列的综合应用文北师大版(新)_数学_高中教育_教育专区。计时双基练三十三 数列的综合应用 2 A ...
2015届高考数学()二轮专题配套练习:专题四 第2讲 数...
2015届高考数学()二轮专题配套练习:专题四 第2讲 数列求和及综合应用_数学_高中教育_教育专区。第2讲考情解读 数列求和及综合应用 高考对本节知识主要以解答题...
...2015届高考数学轮复习 专题训练四 第2讲 数列求和...
【步步高】(广东专用)2015届高考数学轮复习 专题训练四 第2讲 数列求和及综合应用 _高考_高中教育_教育专区。第2讲考情解读 数列求和及综合应用 高考对本节...
【名师手册,讲,悟,练】(人教,)2015届高三轮复习新...
【名师手册,讲,悟,练】(人教,)2015届高三轮复习新方向:数列的综合应用(最新题,12页word)_数学_高中教育_教育专区。数列的综合应用 一、基础知识要记牢 数...
...B版文科数学轮复习课时作业(33)数列的综合应用A)
2013届高三人教B版文科数学轮复习课时作业(33)数列的综合应用A)_高中教育_教育专区。2013届高三人教B版文科数学轮复习课时作业(33)数列的综合应用A)课时...
...(广东专用)2015届高考数学轮复习 专题训练四 第3...
(广东专用)2015届高考数学轮复习 专题训练四 第3讲 推理与证明 _高考_...3? 33 所以假设不成立,那么数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 思维升华...
...课时提能训练:5.6数列的综合应用(苏教版·数学文)高...
2013版高中全程复习方略课时提能训练:5.6数列的综合应用(苏教版·数学文)高中教学资源库10001430_工作计划_计划/解决方案_实用文档。温馨提示: 此套题为 Word 版,...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图