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高中数学第三章不等式复习教案 新人教B版必修5



第三章 不等式整体设计
教学分析 本章知识网络

本章复习建议 本章为高中 5 个必修中的最后一章, 我们在这一章中重点探究了三种不等式模型, 即一 元二次不等式、 二元一次不等式(组)及均值不等式, 在了解了这三种不等式的实际背景的前 提下, 重点探究了不等式的应用, 那么如何复习好不等式这一章的内容呢?总纲是复习不等 式要结合函数思想,数形结合思

想,等价变换思想,以及分类讨论思想,类比思想,换元思 想等. 1.充分认识不等式的地位与作用.不等式是中学数学的重要内容,是求解数学问题的 主要工具,它贯穿于整个高中数学的始终,诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质 的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容,无一不与不等式有着密切联系,它所 涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的.因此,不等式是永不衰退的高考热点,必须 加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合. 2.加深对不等式性质的理解.不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛 的应用,它又是高等数学的基础知识之一,因此,它是高考试题的热点,有时通过客观题直 接考查不等式的某个性质, 有时在解答题中的证明不等式或解不等式中, 间接地考查不等式 的性质, 高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用, 不等式的性质更 是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段.在解不等式中往往与函数概 念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系,因此在复习中对不等式性质的条件 与结论要彻底弄清.解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜,如 a>b,c≠0?ac >bc(忘了 c>0), a>b? ? + ?? ? ac>bd(忘了 a、b、c、d∈R )等等. ? c>d?

3.加强等价变换在解不等式中的运用.解不等式是通过等价变形转化为简单不等式,
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从而得到解集.一定要注意变形是同解变形,即每一步变换必须既充分又必要.含参数的不 等式或超越不等式必须进行讨论. 在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类, 然后对划分 的每一类分别进行求解,再综合得出答案.在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简” 的原则, 有的问题还可能进行二次分类. 另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段 问题”的解集. 4.注重在证明不等式中推理论证能力的提高.不等式的证明非常活跃,它可以和很多 内容结合,是高中数学的一个难点,又是历届高考中的热点问题.证明时不仅要用到不等式 的性质, 还要用到不等式证明的技能、 技巧, 其中, 均值不等式是证明不等式的主要依据. 证 明不等式的方法有很多,比如常用的有比较法(归 0、归 1)、分析法、综合法等. 5.解不等式是高考中的常见题型,尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等 式.一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系,在高考中频繁出 现.这类题目思考性强,灵活新颖,对分析能力要求较高,解题的基本思路是等价转换,基 本方法是化归化简.二是加强“三个二次结合”的深刻理解.一元二次方程、一元二次不等 式及二次函数简称“三个二次”,它们互相联系,互相渗透,使这个“知识块”的内容异常 丰富,是历年高考命题的重点.求解时,常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定 理、 二次函数图象及函数性质等. 很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的 提高. 6.不等式的应用是本章的重点.不等式的应用主要表现在三个方面:一是研究函数的 性质,如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等;二是方程与不等式解的讨 论;三是用线性规划或均值不等式解决实际问题.对于第一个方面,要求学生运算准确.第 二个方面, 我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化, 函数与不等式在一定条件下 也可以相互转化. 这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础, 使我 们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质, 哪些是变化的规律和性质. 第 三个方面, 可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型, 只要我们揭示这些模型的本质 规律,就一定能培养出学生的创新能力,真正做到以不变应万变. 本章复习分为两课时完成, 第一课时侧重三种不等式模型的复习, 第二课时侧重线性规 划的复习. 三维目标 1.通过本章的综合复习,理解并掌握不等式的性质,理解不等关系、感受在日常生活 中存在着大量的不等关系、 了解不等式(组)的实际背景, 能用不等式的基本性质比较代数式
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的大小; 掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法, 会用线性规划解决实际生活中的常见 a+b 问题;理解并掌握均值不等式 ≥ ab(a>0,b>0)的应用方法与技巧. 2 2.通过对一元二次不等式解法的复习,设计求解的程序框图,深刻理解三个二次之间 的关系.以二次函数为中心,运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来,构成知识系 统的网络结构;通过线性规划的最优解,培养学生的观察、联想、画图能力,渗透数形结合 等多种数学思想,提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力. 3.通过对全章内容的复习,培养学生严谨的思维习惯,主动积极的学习品质,通过富 有挑战性问题的解决, 激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度; 同时感受数学的应用性, 体会数学的奥妙, 感受数学的美丽生动, 从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观. 重点难点 教学重点:1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均 值不等式〕的概念、方法及应用. 2.深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的 理解,加深对线性规划解决实际问题的认识. 3.掌握构建均值不等式解决函数的最值问题,利用均值不等式解决实际问题. 教学难点:三个二次的灵活运用;用线性规划解决实际问题的建模问题;均值不等式解 函数最值的正确运用. 课时安排 2 课时

教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(直接导入)通过我们的共同努力,我们学到了有关不等式更多的知识与方法, 提高了我们解决实际问题的能力, 认识了数学的魅力; 通过上节的课后作业——阅读本章小 结,你是怎样对本章的知识方法进行整合的?由此展开新课. 思路 2.(问题导入)先让学生结合本章小结,回忆我们是怎样探究本章知识的?经历了 怎样的探究活动?你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗?根据学生回答和所画的 知识网络结构图,自然地引入新课.

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推进新课 新知探究 提出问题 ?1?本章共研究了几种不等式模型?不等式有哪些性质? ?2?怎样求解一元二次不等式的解集?怎样画一元二次不等式的程序框图? a+b ?3?均值不等式 ≥ ab的应用条件是什么?主要用它来解决哪些问题? 2 ?4?“三个二次”是指哪三个?它们之间具有怎样的关系? 活动:教师让学生充分回忆思考,并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究.本章 共研究了三种不等式模型,它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式 a+b ≥ ab(a>0,b>0). 2 由实数的基本性质, 我们推出了常用的不等式的 4 条性质 5 个推论, 教师可结合多媒体 a+b 课件给出这些性质.在这些基本性质的基础上,我们接着探究了均值不等式 ≥ ab(a> 2 0,b>0)的代数及几何意义,以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用.在温故知 新的基础上, 我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系, 并用 一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来,为前面学过的算法找到了用武之 地.对一元二次不等式的求解集问题,老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写,加深对 “三个二次”关系的理解. Δ =b -4ac 二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象 ax +bx+c=0 的根 ax +bx+c>0 的解 集 ax +bx+c<0 的解 集 由于本章是高中必修内容的最后一章,通过对以上内容的归纳整合,我们对不等式有 了全面系统的认识,也因此对高中必修内容有了整体的理解.
2 2 2 2 2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

-b± Δ x1,2= 2a

b x1=x2=- 2a

??

4

应用示例 例 1 已知集合 A={x|x +2x-8<0},B={x||
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x + 2| > 3} , C = {x|x - 2mx + m - 1

2

2

<0,m∈R}.若(1)A∩C=?,(2)A∩B ? C,分别求出 m 的取值范围. 活动:本例可让学生自己探究解决,或可让两名学生到黑板板演,教师针对出现的问题 作点评. 解:(1)∵A={x|-4<x<2},B={x|x>1 或 x<-5},C={x|m-1<x<m+1}, 欲使 A∩C=?,只需 m-1≥2 或 m+1≤-4.∴m≥3 或 m≤-5.
?m-1≤1, ? (2)欲使 A∩B ? C, ∵A∩B={x|1<x<2}, 只需? ? ?m+1≥2, ?m≤2, ? 即? ? ?m≥1,

即 1≤m≤2.

点评:本例体现了一元二次不等式与集合的交汇.

变式训练 设集合 A={x|(x-1) <3x+7,x∈R},则集合 A∩Z 中有__________个元素. 答案:6 解析:由(x-1) <3x+7 可得-1<x<6,结合题意可得 A=(-1,6).
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例 2 若正数 x、y 满足 6x+5y=36,求 xy 的最大值. 活动:均值不等式的功能就是“和积互化”.通过此例,教师引导学生回忆如何用均值 不等式求最值.本例中把积化为和而和恰好为定值,应联想均值不等式. 6x+5y 解:∵x、y 为正数,则 6x、5y 也是正数,∴ ≥ 6x·5y= 30xy, 2 当且仅当 6x=5y 时,取“=”.∵6x+5y=36,则 30xy≤ 54 大值为 . 5 点评:本例旨在说明均值不等式的应用.事实上,∵6x+5y=36,∴y= 36-6x .代入 5 36 54 ,即 xy≤ .∴xy 的最 2 5

1 6 2 36 xy, 得 xy=x· (36-6x)=- x + x(x>0), 利用二次函数的图象和性质也很容易解出来, 5 5 5 教师可在活动前向学生说明.学生用均值不等式解完此题后,结合学生的板书,对出现的漏 洞或错误进行一一点拨.

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变式训练 2 3 已知 + =2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是__________. x y 2 3 解法一:由 x>0,y>0,得 2= + ≥2 x y 2 3 · . x y

2 3 ∴xy≥6,当且仅当 = =1,即 x=2,y=3 时,xy 取得最小值为 6. x y 2 3 π 2 3 2 2 解法二:令 =2cos θ , =2sin θ ,θ ∈(0, ),∴x= ,y= . 2 2 x y 2 2cos θ 2sin θ 6 6 ∴x·y= = . 2 2 2 4sin θ cos θ sin 2θ π 2 ∵sin 2θ ≤1,当且仅当 θ = 时等号成立,这时 x=2,y=3.∴xy 的最小值是 6. 4 2 3 3x 3x 解法三:由 + =2,得 y= .∴xy= (x>1). x y 2x-2 2?x-1? 3x 3?t+1? 3 1 3 令 x-1=t,t>0,x=t+1.∴ = = (t+ +2)≥ (2 2?x-1? 2t 2 t 2 2)=6.
2 2 2

1 t· + t

当且仅当 t=1 时等号成立,即 x-1=1,x=2.∴xy 有最小值 6. 答案:6

ax 例 3 不等式 <1 的解集为{x|x<1 或 x>2},求 a. x-1 活动:本例不是一元二次不等式,但可转化为一元二次不等式的形式来思考.训练学生 的等价转化能力. ax ?a-1?x+1 解法一:将 <1 化为 <0,即[(a-1)x+1](x-1)<0. x-1 x-1 由已知,解集为{x|x<1 或 x>2}可知 a-1<0,∴[(1-a)x-1](x-1)>0. 1 1 1 ∴(1-a)x-1<0,x> .于是有 =2.解得 a= . 1-a 1-a 2 解法二:原不等式转化为[(a-1)x+1](x-1)<0,即(a-1)x +(2-a)x-1<0. 依题意,方程(1-a)x +(a-2)x+1=0 的两根为 1 和 2, 1 ? ?1-a=2, ∴? a-2 ? ?a-1=3,
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1 解得 a= . 2

点评:本例是一道经典题目,学生完成后,可让他们互相交流一下解法,体会等价转化
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的意义.

变式训练 x-a 若关于 x 的不等式 >0 的解集为(-∞, -1)∪(4, +∞), 则实数 a=__________. x+1 答案:4

例 4 为了保护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为 200 m2 的长方体二级 净水处理池(如图),池深度一定,池的外壁建造单价为每平方米 400 元,中间一条隔墙建造 单价为每平方米 100 元,池底建造单价为每平方米 60 元.一般情形下,净水处理池的长设 计为多少米时,可使总造价最低?

活动:教师引导学生观察题目的条件,可以先建立目标函数,再求解.可让学生独立探 究,必要时教师给予适当的点拨. 200 解:设净水池长为 x m,则宽为 m,高为 h m,则总造价 x 200 200 225 f(x)=400(2x+2· )·h+100· ·h+60×200=800h(x+ )+12 000(x>0), x x x 225 当且仅当 x= (x>0), 即 x=15 时上述不等式取到等号. 故当净水池的长设计为 15 m x 时总造价最低. 点评:对应用问题的处理,关键是把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求最 值的基本保证.用均值不等式创设不等量关系,也是经常采用的方式方法,让学生以后在解 决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用. 知能训练 1.已知集合 A={x||2x+1|>3},B={x|x +x-6≤0},则 A∩B 等于( A.[-3,-2)∪(1,2] C.(-3,-2]∪[1,2)
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)

B.(-3,-2]∪(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,2]

2.已知 a∈R,二次函数 f(x)=ax -2x-2a,设不等式 f(x)>0 的解集为 A,又知集合 B={x|1<x<3},若 A∩B≠?,求 a 的取值范围. 3 2 2 3.已知关于 x 的不等式 x>ax + 的解集是{x|2<x< m},求不等式 ax -(5a+1)x 2
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+ma>0 的解集. 4.解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0. 5.已知 a、b、c、d∈R,求证:ac+bd≤ ?a +b ??c +d ?. 答案: 1.A 解析:易得 A={x|x>1 或 x<-2},B={x|-3≤x≤2}.则 A∩B={x|1<x≤2 或-3≤x<-2}. 2.解:由 f(x)为二次函数,知 a≠0.令 f(x)=0, 1 解得其两根为 x1= - a 1 1 2+ 2,x2= + a a 1 2+ 2.由此可知 x1<0,x2>0. a
2 2 2 2

(1)当 a>0 时,A={x|x<x1}∪{x|x>x2}. 1 A∩B≠?的充要条件是 x2<3,即 + a (2)当 a<0 时,A={x|x1<x<x2}. 1 A∩B≠?的充要条件是 x2>1,即 + a 1 2+ 2>1,解得 a<-2. a 1 6 2+ 2<3,解得 a> . a 7

6 综上,使 A∩B≠?成立的 a 的取值范围为(-∞,-2)∪( ,+∞). 7 3 3 2 2 2 3. 解: x>ax + ?ax -x+ <0,2<x< m?(x-2)(x- m)<0?x -(2+ m)x+2 m 2 2 a 1 1 2 <0.对照不等号方向及 x 的系数可知 a>0 且 = = ,解得 a= ,m=36. 1 2+ m 2 m 8 1 2 1 1 2 2 ∴ax -(5a+1)x+ma>0? x -(5× +1)x+36× >0?x -13x+36>0?(x-4)(x 8 8 8 -9)>0?x<4 或 x>9. 点评:条件中的不等式含参数 a,而其解集中又含有参数 m,似乎有较大难度.策略之 一,求出原不等式的解集,与{x|2<x< m}比较;策略之二,抓住解集,即写出解集为{x|2 <x< m}的一元二次不等式,再与原不等式比较,若只求原不等式的解集,需讨论. 4.解:(1)当 a=0 时,原不等式化为 x-2<0,解集为{x|x<2}. 2 2 (2)当 a<0 时,原不等式化为(x-2)(x- )<0,这时两根的大小顺序为 2> ,所以解 a a 2 集为{x| <x<2}. a 2 (3)当 a>0 时,原不等式化为(x-2)(x- )>0,①当 0<a<1 时,两根的大小顺序为 a 2 2 2< ,所以原不等式的解集为{x|x> 或 x<2}; a a 3 2

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2 ②当 a=1 时,2= ,所以原不等式的解集为{x|x≠2 且 x∈R}; a 2 2 ③当 a>1 时,两根的大小顺序为 2> ,解集为{x|x>2 或 x< }. a a 2 综上所述,不等式的解集为 a=0 时,{x|x<2},a=1 时,{x|x≠2},a<0 时,{x| < a x<2}, 2 2 0<a<1 时,{x|x> 或 x<2},a>1 时,{x|x>2 或 x< }. a a 点评:本例应对字母 a 分类讨论,分类的原则是不重、不漏.解完后教师引导学生思考 本例的解法并注意书写的规范性. 5.证明:∵(a +b )(c +d )=a c +b c +a d +b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=(a c +2abcd+b d )+(b c -2abcd+a d )=(ac+bd) +(bc-ad) ≥(ac+bd) , ∴ ?a +b ??c +d ?≥|ac+bd|≥ac+bd. 点评:能否联想到均值不等式 ab≤ (a +b )(c +d )的变形问题. 课堂小节 1.由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法?解决了哪些问题?通过本节复习, 你有哪些收获? 2.通过本节复习,深化了“三个二次”之间的关系,加深了不等式基本性质的理解, 进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法;熟悉了简单不等式的证明思路,沟通了各知 识点之间的关系.从更高的角度理解了相等和不等的关系,体会了数学来源于生活的道理, 也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美. 作业 本章巩固与提高 A 组 3、4、7、8