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高中数学第三章不等式复习教案 新人教B版必修5



第三章 不等式整体设计
教学分析 本章知识网络

本章复习建议 本章为高中 5 个必修中的最后一章, 我们在这一章中重点探究了三种不等式模型, 即一 元二次不等式、 二元一次不等式(组)及均值不等式, 在了解了这三种不等式的实际背景的前 提下, 重点探究了不等式的应用, 那么如何复习好不等式这一章的内容呢?总纲是复习不等 式要结合函数思想,数形结合思

想,等价变换思想,以及分类讨论思想,类比思想,换元思 想等. 1.充分认识不等式的地位与作用.不等式是中学数学的重要内容,是求解数学问题的 主要工具,它贯穿于整个高中数学的始终,诸如集合问题、方程(组)的解的讨论、函数性质 的确定、三角、数列、立体几何中的最值问题等内容,无一不与不等式有着密切联系,它所 涉及内容的深度与广度是其他章节无法相比的.因此,不等式是永不衰退的高考热点,必须 加强对不等式的综合复习与所学全章知识的整合. 2.加深对不等式性质的理解.不等式的基本性质在证明不等式和解不等式中有着广泛 的应用,它又是高等数学的基础知识之一,因此,它是高考试题的热点,有时通过客观题直 接考查不等式的某个性质, 有时在解答题中的证明不等式或解不等式中, 间接地考查不等式 的性质, 高考试题也直接或间接考查均值不等式及其他重要不等式的应用, 不等式的性质更 是求函数定义域、值域、求参数的取值范围等内容的重要手段.在解不等式中往往与函数概 念,特别是二次函数、指数函数、对数函数等密切联系,因此在复习中对不等式性质的条件 与结论要彻底弄清.解题时由于忽略某些条件而造成的错误屡见不鲜,如 a>b,c≠0?ac >bc(忘了 c>0), a>b? ? + ?? ? ac>bd(忘了 a、b、c、d∈R )等等. ? c>d?

3.加强等价变换在解不等式中的运用.解不等式是通过等价变形转化为简单不等式,
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从而得到解集.一定要注意变形是同解变形,即每一步变换必须既充分又必要.含参数的不 等式或超越不等式必须进行讨论. 在讨论时常要用到逻辑划分的思想进行分类, 然后对划分 的每一类分别进行求解,再综合得出答案.在确定划分标准时应本着“互斥、无漏、最简” 的原则, 有的问题还可能进行二次分类. 另外一定要区分是“分类问题”的解集还是“分段 问题”的解集. 4.注重在证明不等式中推理论证能力的提高.不等式的证明非常活跃,它可以和很多 内容结合,是高中数学的一个难点,又是历届高考中的热点问题.证明时不仅要用到不等式 的性质, 还要用到不等式证明的技能、 技巧, 其中, 均值不等式是证明不等式的主要依据. 证 明不等式的方法有很多,比如常用的有比较法(归 0、归 1)、分析法、综合法等. 5.解不等式是高考中的常见题型,尤其是含参数的指、对数不等式解法及绝对值不等 式.一是绝对值不等式因与数、式、方程、集合、函数、数列等发生联系,在高考中频繁出 现.这类题目思考性强,灵活新颖,对分析能力要求较高,解题的基本思路是等价转换,基 本方法是化归化简.二是加强“三个二次结合”的深刻理解.一元二次方程、一元二次不等 式及二次函数简称“三个二次”,它们互相联系,互相渗透,使这个“知识块”的内容异常 丰富,是历年高考命题的重点.求解时,常用到的基本知识有二次方程的实根分布、韦达定 理、 二次函数图象及函数性质等. 很多学生往往因为这个知识块的薄弱而阻碍了数学能力的 提高. 6.不等式的应用是本章的重点.不等式的应用主要表现在三个方面:一是研究函数的 性质,如求函数定义域、值域、最大值、最小值、函数单调性等;二是方程与不等式解的讨 论;三是用线性规划或均值不等式解决实际问题.对于第一个方面,要求学生运算准确.第 二个方面, 我们知道方程和不等式在一定条件下可以互相转化, 函数与不等式在一定条件下 也可以相互转化. 这种对立统一的观点是我们进一步提高分析问题和解决问题的基础, 使我 们了解研究对象在运动过程中哪些是保持不变的规律和性质, 哪些是变化的规律和性质. 第 三个方面, 可以说在数学各章节中都存在着大量的数学模型, 只要我们揭示这些模型的本质 规律,就一定能培养出学生的创新能力,真正做到以不变应万变. 本章复习分为两课时完成, 第一课时侧重三种不等式模型的复习, 第二课时侧重线性规 划的复习. 三维目标 1.通过本章的综合复习,理解并掌握不等式的性质,理解不等关系、感受在日常生活 中存在着大量的不等关系、 了解不等式(组)的实际背景, 能用不等式的基本性质比较代数式
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的大小; 掌握用二元一次不等式表示平面区域的方法, 会用线性规划解决实际生活中的常见 a+b 问题;理解并掌握均值不等式 ≥ ab(a>0,b>0)的应用方法与技巧. 2 2.通过对一元二次不等式解法的复习,设计求解的程序框图,深刻理解三个二次之间 的关系.以二次函数为中心,运用二次函数的图象、性质把其余两个联系起来,构成知识系 统的网络结构;通过线性规划的最优解,培养学生的观察、联想、画图能力,渗透数形结合 等多种数学思想,提高学生建模能力和分析问题、解决问题的能力. 3.通过对全章内容的复习,培养学生严谨的思维习惯,主动积极的学习品质,通过富 有挑战性问题的解决, 激发学生的探究精神和严肃认真的科学态度; 同时感受数学的应用性, 体会数学的奥妙, 感受数学的美丽生动, 从而激发学生的学习兴趣并树立辩证的科学世界观. 重点难点 教学重点:1.进一步掌握三种不等式模型〔一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均 值不等式〕的概念、方法及应用. 2.深化平面区域和线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行域、最优解等概念的 理解,加深对线性规划解决实际问题的认识. 3.掌握构建均值不等式解决函数的最值问题,利用均值不等式解决实际问题. 教学难点:三个二次的灵活运用;用线性规划解决实际问题的建模问题;均值不等式解 函数最值的正确运用. 课时安排 2 课时

教学过程 第 1 课时 导入新课 思路 1.(直接导入)通过我们的共同努力,我们学到了有关不等式更多的知识与方法, 提高了我们解决实际问题的能力, 认识了数学的魅力; 通过上节的课后作业——阅读本章小 结,你是怎样对本章的知识方法进行整合的?由此展开新课. 思路 2.(问题导入)先让学生结合本章小结,回忆我们是怎样探究本章知识的?经历了 怎样的探究活动?你能尝试着自己画出本章的知识网络结构图吗?根据学生回答和所画的 知识网络结构图,自然地引入新课.

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推进新课 新知探究 提出问题 ?1?本章共研究了几种不等式模型?不等式有哪些性质? ?2?怎样求解一元二次不等式的解集?怎样画一元二次不等式的程序框图? a+b ?3?均值不等式 ≥ ab的应用条件是什么?主要用它来解决哪些问题? 2 ?4?“三个二次”是指哪三个?它们之间具有怎样的关系? 活动:教师让学生充分回忆思考,并结合以上问题用多媒体课件与学生一起探究.本章 共研究了三种不等式模型,它们分别是一元二次不等式、二元一次不等式(组)、均值不等式 a+b ≥ ab(a>0,b>0). 2 由实数的基本性质, 我们推出了常用的不等式的 4 条性质 5 个推论, 教师可结合多媒体 a+b 课件给出这些性质.在这些基本性质的基础上,我们接着探究了均值不等式 ≥ ab(a> 2 0,b>0)的代数及几何意义,以及均值不等式在求最值、证明不等式方面的应用.在温故知 新的基础上, 我们又探究了一元二次不等式的解法和明确了“三个二次”之间的关系, 并用 一个程序框图把求解一元二次不等式的过程表示了出来,为前面学过的算法找到了用武之 地.对一元二次不等式的求解集问题,老师可借助多媒体给出以下表格让学生填写,加深对 “三个二次”关系的理解. Δ =b -4ac 二次函数 y=ax +bx+c (a>0)的图象 ax +bx+c=0 的根 ax +bx+c>0 的解 集 ax +bx+c<0 的解 集 由于本章是高中必修内容的最后一章,通过对以上内容的归纳整合,我们对不等式有 了全面系统的认识,也因此对高中必修内容有了整体的理解.
2 2 2 2 2

Δ >0

Δ =0

Δ <0

-b± Δ x1,2= 2a

b x1=x2=- 2a

??

4

应用示例 例 1 已知集合 A={x|x +2x-8<0},B={x||
2

x + 2| > 3} , C = {x|x - 2mx + m - 1

2

2

<0,m∈R}.若(1)A∩C=?,(2)A∩B ? C,分别求出 m 的取值范围. 活动:本例可让学生自己探究解决,或可让两名学生到黑板板演,教师针对出现的问题 作点评. 解:(1)∵A={x|-4<x<2},B={x|x>1 或 x<-5},C={x|m-1<x<m+1}, 欲使 A∩C=?,只需 m-1≥2 或 m+1≤-4.∴m≥3 或 m≤-5.
?m-1≤1, ? (2)欲使 A∩B ? C, ∵A∩B={x|1<x<2}, 只需? ? ?m+1≥2, ?m≤2, ? 即? ? ?m≥1,

即 1≤m≤2.

点评:本例体现了一元二次不等式与集合的交汇.

变式训练 设集合 A={x|(x-1) <3x+7,x∈R},则集合 A∩Z 中有__________个元素. 答案:6 解析:由(x-1) <3x+7 可得-1<x<6,结合题意可得 A=(-1,6).
2 2

例 2 若正数 x、y 满足 6x+5y=36,求 xy 的最大值. 活动:均值不等式的功能就是“和积互化”.通过此例,教师引导学生回忆如何用均值 不等式求最值.本例中把积化为和而和恰好为定值,应联想均值不等式. 6x+5y 解:∵x、y 为正数,则 6x、5y 也是正数,∴ ≥ 6x·5y= 30xy, 2 当且仅当 6x=5y 时,取“=”.∵6x+5y=36,则 30xy≤ 54 大值为 . 5 点评:本例旨在说明均值不等式的应用.事实上,∵6x+5y=36,∴y= 36-6x .代入 5 36 54 ,即 xy≤ .∴xy 的最 2 5

1 6 2 36 xy, 得 xy=x· (36-6x)=- x + x(x>0), 利用二次函数的图象和性质也很容易解出来, 5 5 5 教师可在活动前向学生说明.学生用均值不等式解完此题后,结合学生的板书,对出现的漏 洞或错误进行一一点拨.

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变式训练 2 3 已知 + =2(x>0,y>0),则 xy 的最小值是__________. x y 2 3 解法一:由 x>0,y>0,得 2= + ≥2 x y 2 3 · . x y

2 3 ∴xy≥6,当且仅当 = =1,即 x=2,y=3 时,xy 取得最小值为 6. x y 2 3 π 2 3 2 2 解法二:令 =2cos θ , =2sin θ ,θ ∈(0, ),∴x= ,y= . 2 2 x y 2 2cos θ 2sin θ 6 6 ∴x·y= = . 2 2 2 4sin θ cos θ sin 2θ π 2 ∵sin 2θ ≤1,当且仅当 θ = 时等号成立,这时 x=2,y=3.∴xy 的最小值是 6. 4 2 3 3x 3x 解法三:由 + =2,得 y= .∴xy= (x>1). x y 2x-2 2?x-1? 3x 3?t+1? 3 1 3 令 x-1=t,t>0,x=t+1.∴ = = (t+ +2)≥ (2 2?x-1? 2t 2 t 2 2)=6.
2 2 2

1 t· + t

当且仅当 t=1 时等号成立,即 x-1=1,x=2.∴xy 有最小值 6. 答案:6

ax 例 3 不等式 <1 的解集为{x|x<1 或 x>2},求 a. x-1 活动:本例不是一元二次不等式,但可转化为一元二次不等式的形式来思考.训练学生 的等价转化能力. ax ?a-1?x+1 解法一:将 <1 化为 <0,即[(a-1)x+1](x-1)<0. x-1 x-1 由已知,解集为{x|x<1 或 x>2}可知 a-1<0,∴[(1-a)x-1](x-1)>0. 1 1 1 ∴(1-a)x-1<0,x> .于是有 =2.解得 a= . 1-a 1-a 2 解法二:原不等式转化为[(a-1)x+1](x-1)<0,即(a-1)x +(2-a)x-1<0. 依题意,方程(1-a)x +(a-2)x+1=0 的两根为 1 和 2, 1 ? ?1-a=2, ∴? a-2 ? ?a-1=3,
2 2

1 解得 a= . 2

点评:本例是一道经典题目,学生完成后,可让他们互相交流一下解法,体会等价转化
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的意义.

变式训练 x-a 若关于 x 的不等式 >0 的解集为(-∞, -1)∪(4, +∞), 则实数 a=__________. x+1 答案:4

例 4 为了保护环境,造福人类,某县环保部门拟建一座底面积为 200 m2 的长方体二级 净水处理池(如图),池深度一定,池的外壁建造单价为每平方米 400 元,中间一条隔墙建造 单价为每平方米 100 元,池底建造单价为每平方米 60 元.一般情形下,净水处理池的长设 计为多少米时,可使总造价最低?

活动:教师引导学生观察题目的条件,可以先建立目标函数,再求解.可让学生独立探 究,必要时教师给予适当的点拨. 200 解:设净水池长为 x m,则宽为 m,高为 h m,则总造价 x 200 200 225 f(x)=400(2x+2· )·h+100· ·h+60×200=800h(x+ )+12 000(x>0), x x x 225 当且仅当 x= (x>0), 即 x=15 时上述不等式取到等号. 故当净水池的长设计为 15 m x 时总造价最低. 点评:对应用问题的处理,关键是把实际问题转化成数学问题,列好函数关系式是求最 值的基本保证.用均值不等式创设不等量关系,也是经常采用的方式方法,让学生以后在解 决有关最值问题时注意这条解题思路的灵活应用. 知能训练 1.已知集合 A={x||2x+1|>3},B={x|x +x-6≤0},则 A∩B 等于( A.[-3,-2)∪(1,2] C.(-3,-2]∪[1,2)
2 2

)

B.(-3,-2]∪(1,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,2]

2.已知 a∈R,二次函数 f(x)=ax -2x-2a,设不等式 f(x)>0 的解集为 A,又知集合 B={x|1<x<3},若 A∩B≠?,求 a 的取值范围. 3 2 2 3.已知关于 x 的不等式 x>ax + 的解集是{x|2<x< m},求不等式 ax -(5a+1)x 2
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+ma>0 的解集. 4.解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0. 5.已知 a、b、c、d∈R,求证:ac+bd≤ ?a +b ??c +d ?. 答案: 1.A 解析:易得 A={x|x>1 或 x<-2},B={x|-3≤x≤2}.则 A∩B={x|1<x≤2 或-3≤x<-2}. 2.解:由 f(x)为二次函数,知 a≠0.令 f(x)=0, 1 解得其两根为 x1= - a 1 1 2+ 2,x2= + a a 1 2+ 2.由此可知 x1<0,x2>0. a
2 2 2 2

(1)当 a>0 时,A={x|x<x1}∪{x|x>x2}. 1 A∩B≠?的充要条件是 x2<3,即 + a (2)当 a<0 时,A={x|x1<x<x2}. 1 A∩B≠?的充要条件是 x2>1,即 + a 1 2+ 2>1,解得 a<-2. a 1 6 2+ 2<3,解得 a> . a 7

6 综上,使 A∩B≠?成立的 a 的取值范围为(-∞,-2)∪( ,+∞). 7 3 3 2 2 2 3. 解: x>ax + ?ax -x+ <0,2<x< m?(x-2)(x- m)<0?x -(2+ m)x+2 m 2 2 a 1 1 2 <0.对照不等号方向及 x 的系数可知 a>0 且 = = ,解得 a= ,m=36. 1 2+ m 2 m 8 1 2 1 1 2 2 ∴ax -(5a+1)x+ma>0? x -(5× +1)x+36× >0?x -13x+36>0?(x-4)(x 8 8 8 -9)>0?x<4 或 x>9. 点评:条件中的不等式含参数 a,而其解集中又含有参数 m,似乎有较大难度.策略之 一,求出原不等式的解集,与{x|2<x< m}比较;策略之二,抓住解集,即写出解集为{x|2 <x< m}的一元二次不等式,再与原不等式比较,若只求原不等式的解集,需讨论. 4.解:(1)当 a=0 时,原不等式化为 x-2<0,解集为{x|x<2}. 2 2 (2)当 a<0 时,原不等式化为(x-2)(x- )<0,这时两根的大小顺序为 2> ,所以解 a a 2 集为{x| <x<2}. a 2 (3)当 a>0 时,原不等式化为(x-2)(x- )>0,①当 0<a<1 时,两根的大小顺序为 a 2 2 2< ,所以原不等式的解集为{x|x> 或 x<2}; a a 3 2

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2 ②当 a=1 时,2= ,所以原不等式的解集为{x|x≠2 且 x∈R}; a 2 2 ③当 a>1 时,两根的大小顺序为 2> ,解集为{x|x>2 或 x< }. a a 2 综上所述,不等式的解集为 a=0 时,{x|x<2},a=1 时,{x|x≠2},a<0 时,{x| < a x<2}, 2 2 0<a<1 时,{x|x> 或 x<2},a>1 时,{x|x>2 或 x< }. a a 点评:本例应对字母 a 分类讨论,分类的原则是不重、不漏.解完后教师引导学生思考 本例的解法并注意书写的规范性. 5.证明:∵(a +b )(c +d )=a c +b c +a d +b d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

=(a c +2abcd+b d )+(b c -2abcd+a d )=(ac+bd) +(bc-ad) ≥(ac+bd) , ∴ ?a +b ??c +d ?≥|ac+bd|≥ac+bd. 点评:能否联想到均值不等式 ab≤ (a +b )(c +d )的变形问题. 课堂小节 1.由学生回顾本节课我们复习了哪些知识、方法?解决了哪些问题?通过本节复习, 你有哪些收获? 2.通过本节复习,深化了“三个二次”之间的关系,加深了不等式基本性质的理解, 进一步熟悉了数形结合、方程等数学思想方法;熟悉了简单不等式的证明思路,沟通了各知 识点之间的关系.从更高的角度理解了相等和不等的关系,体会了数学来源于生活的道理, 也认识到了数学的系统美、严谨美与简洁美. 作业 本章巩固与提高 A 组 3、4、7、8、9;B 组 6、7、8、9. 设计感想 1.本课时设计体现了复习课的特点,从更高的角度对本章知识方法进行整合.复习不 是简单的重复或阅读课本, 把“发展为本”作为教学设计的中心, 使各层次的学生在各个方 面都有所提高,达到“温故而知新”的目的. 2.本课时设计重视了学生的探究活动,让学生在教师的引导下自主探究,避免了学生 只当观众、听众.设计中体现把复习的机会还给学生,充分让学生在知识整合的基础上,再 发展、再创造.
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2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

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a+b 或其变形形式上来?关键是探究根号里面的 2

3.本课时设计体现了复习中前后知识的联系.注重了复习应涉及哪些内容?重难点是 什么?与其前沿知识和后继知识有哪些联系?在复习过程中应该注意什么等.针对这些情 况,教师应该做到心中有数,这样,在复习过程中,才能够做到步步到位,使学生在复习中 不至于盲目无从. (设计者:郑吉星) 第 2 课时 导入新课 思路 1.(复习导入)上节课我们重点复习了不等式的基本性质,一元二次不等式的解法 及均值不等式的应用. 本节将重点对平面区域和线性规划问题做一归纳整合, 由此展开复习. 思路 2.(直接引入)我们曾对平面区域,线性规划问题进行了探究,解决了我们日常生 活中有关资源的分配,人力、物力的合理利用等最优问题.本节课我们将对这些内容做进一 步的回顾与提高,进一步提高线性规划这一数学工具的应用. 推进新课 新知探究 提出问题 ?1?在直角坐标系中,怎样用二元一次不等式?组?的解集表示平面上的区域? ?2?确定二元一次不等式表示的区域的方法是什么? ?3?利用线性规划可解决哪些实际问题?渗透了哪些数学思想方法? ?4?解线性规划实际问题的方法步骤是什么? 活动:教师引导学生回忆并思考以上问题.我们知道二元一次方程 ax+by+c=0 表示 平面坐标系中的一条直线.这条直线把直角坐标系内的点分成了三部分:在直线 ax+by+c =0 上或两侧.在直线上的点的坐标满足 ax+by+c=0,两侧点的坐标则满足 ax+by+c> 0 或 ax+by+c<0.这样,二元一次不等式 ax+by+c>0 在平面直角坐标系中表示直线 ax +by+c=0 某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线; 若画不等式 ax+by+c≥0 表示的平面区域时,此区域包括边界直线,则把边界直线画成实 线. 由于对在直线 ax+by+c=0 同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入 ax+by+ c,所得的实数的符号都相同,故只需在这条直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),以 a0x+ b0y+c 的正负情况便可判断 ax+by+c>0 表示这一直线哪一侧的平面区域, 特殊地, 当 c≠0 时,常把原点作为此特殊点.

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(此时,教师用投影仪给出下面的图形归纳) 用二元一次不等式表示平面区域可分为如下四种情形:

平面区域

Ax+By+C≥0 二元一次 (A>0,B>0, 不等式 C<0) 说 明 虚线

Ax+By+C≤0 (A>0,B>0, C<0)

Ax+By+C≥0 (A>0,B<0, C<0)

Ax+By+C≤0 (A>0,B<0, C<0)

对于二元一次不等式不带等号时,其表示的平面区域,应把边界直线画成

本节课内容渗透了多种数学思想, 是向学生进行数学思想方法教学的好教材, 也是培养 学生观察、作图等能力的好教材.通过本节课的复习,让学生进一步了解到线性规划是利用 数学为工具,来研究一定的人、财、物等资源在一定条件下,如何精打细算巧安排,用最少 的资源,取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一 个分支,并能解决科学研究、工程设计、经济管理等许多方面的实际问题.这部分内容体现 了数学的工具性、应用性,同时也渗透了化归、数形结合的数学思想,为学生今后解决实际 问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解, 无论此类题目是以 什么实际问题提出,其求解的格式与步骤是不变的: (1)阅读题意,寻找线性约束条件,线性目标函数; (2) 由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域 ( 即画出不等式组所表示的公共区 域); (3)在可行域内求目标函数的最优解(设 t=0,画出直线 l0,观察、分析,平移直线 l0, 从而找到最优解); (4)由实际问题的实际意义作答. 讨论结果:(1)~(4)略.

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应用示例 x+y-6≥0, ? ?x-y≥0, 例 1 画出不等式组? y≤3, ? ?x<5

表示的平面区域.

活动:为了让全体学生都能准确地画出平面区域,教师可请两名学生上黑板板演,然后 对出现的问题作点评. 解:不等式 x+y-6≥0 表示在直线 x+y-6=0 上及右上方的点的集合,x-y≥0 表示 在直线 x-y=0 上及右下方的点的集合,y≤3 表示在直线 y=3 上及其下方的点的集合,x x+y-6≥0, ? ?x-y≥0, <5 表示直线 x=5 左方的点的集合,所以不等式组? y≤3, ? ?x<5 如图所示.

表示的平面区域

点评:画平面区域是学生易错的地方,也是用线性规划解决实际问题的关键步骤,一定 让学生准确掌握.

变式训练 x≥1, ? ? 已知实数 x,y 满足?y≤2x-1, ? ?x+y≤m, m 等于( A.7 答案:B 解析:画出 x,y 满足的可行域,可得直线 y=2x-1 与直线 x+y=m 的交点使目标函数
?y=2x-1, ? z=x-y 取得最小值. 故由? ? ?x+y=m,

如果目标函数 z=x-y 的最小值为-1,则实数

) B.5 C.4 D.3

m+1 2m-1 m+1 解得 x= , y= .代入 x-y=-1, 得 3 3 3
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2m-1 - =-1,解得 m=5. 3

例 2 某机械厂的车工分Ⅰ、Ⅱ两个等级,各级车工每人每天加工能力、成品合格率及日 工资数如下表所示:

级别 Ⅰ Ⅱ

加工能力(个/人天) 240 160

成品合格率(%) 97 95.5

工资(元/天) 5.6 3.6

工厂要求每天至少加工配件 2 400 个,车工每出一个废品,工厂要损失 2 元,现有Ⅰ级 车工 8 人,Ⅱ级车工 12 人,且工厂要求至少安排 6 名Ⅱ级车工,试问如何安排工作,使工 厂每天支出的费用最少. 活动: 学生对求解简单线性规划实际应用问题的步骤已经是很熟悉, 让学生独立解决问 题,有助于学生解题能力的锻炼与培养.本例的关键是列出约束条件和目标函数,再就是画 平面区域. 解:根据题意列出线性约束条件和目标函数.设需Ⅰ、Ⅱ级车工分别为 x、y 人. 线性约束条件: 97%·240x+95.5%·160y≥2 400, ? ? ?0≤x≤8, ? ?6≤y≤12, 29.1x+19.1y≥300, ? ? 化简即为?0≤x≤8, ? ?6≤y≤12.

目标函数为 z=[(1-97%)·240x+(1-95.5%)·160y]×2+5.6x+3.6y, 化简即为 z=20x+18y.根据题意知即求目标函数 z 的最小值. 画出约束条件的可行域,如图,根据图知,点 A(6,6.3)应为既满足题意,又使目标函 数最小.然而 A 点非整数点.故在点 A 上侧作平行直线经过可行域内的整点,且与原点距离 最近,可知(6,7)为满足题意的整数解.

13

此时 zmin=20×6+18×7=246(元),即每天安排Ⅰ级车工 6 人,Ⅱ级车工 7 人时,工 厂每天支出费用最少. 答:每天安排Ⅰ级车工 6 人,Ⅱ级车工 7 人,工厂每天支出费用最少. 点评:通过本例的求解我们可以看出,处理简单的线性规划的实际问题,关键之处在于 从题意中建立目标函数和相应的约束条件,实际上就是建立数学模型.这样解题时,将所有 的约束条件罗列出来,弄清目标函数与约束条件的区别,得到目标函数的最优解. 例 3A、B 两个产地分别生产同一规格产品 12 千吨、8 千吨,而 D、E、F 三地分别需要 8 千吨、6 千吨、6 千吨,每千吨的运费如下表所示:

(万元) 从A 从B

到D 4 5

到E 5 2

到F 6 4

怎样确定调运方案,使总的运费最少? 点评:本例表中的数据较多.可设从 A 运到 D 为 x,从 A 运到 E 为 y,则从 A 运到 F 就 可用 x、y 表示,即 12-x-y,则 B 运到 D、E、F 分别为 8-x,6-y,x+y-6.目标函数为 f=-3x+y+100. 解:设从 A 运到 D 为 x,从 A 运到 E 为 y,则从 A 运到 F 为 12-x-y,B 运到 D、E、F 分别为 8-x,6-y,x+y-6.

14

?y≥0, ?12-x-y≥0, 约束条件为? 8-x≥0, ?6-y≥0, ?x+y-6≥0.
x≥0, 最省.

目标函数为 f=-3x+y+100.

可行域为如图所示的阴影部分(包括边界).易知,当 x=8,y=0 时,f 最小,即运费

故当从 A 运到 D8 千吨、从 A 运到 F4 千吨、从 B 运到 E6 千吨、从 B 运到 F2 千吨时,总 的运费最少. 点评: 通过本例的训练, 让学生学会对多个数据的处理, 进一步明确线性规划的应用性.

变式训练

行驶中的汽车在刹车时,由于惯性作用,要继续向前滑行一段距离才能停下来,这段距 离叫做刹车距离. 在某种路面上, 某种型号汽车的刹车距离 y(m)与汽车的车速 x(km/h)满足 nx x 下列关系: y= + (n 为常数, n∈N). 做两次刹车试验, 有数据如图, 其中 5<y1<7,13 100 400 <y2<15.
2

(1)求出 n 的值; (2)要求刹车距离不超过 18.4 m,则行驶的最大速度应为多少? nx x 2 7 49 解:(1)将 x1=40,x2=70 分别代入 y= + ,有 y1= n+4,y2= n+ . 100 400 5 10 4
15
2

2 5< n+4<7, ? ? 5 依题意,有? 7 49 13< n+ <15 ? ? 10 4
2

(n∈N).解得 n=3.

3x x (2)y= + ≤18.4,解得 x≤80,即最大行驶速度为 80 km/h. 100 400 知能训练 y≥0, ? ? 1.实数 x,y 满足不等式组?x-y≥0, ? ?2x-y-2≥0, y-1 则ω= 的取值范围是( x+1

)

1 A.[-1, ] 3 1 C.[- ,+∞) 2

1 1 B.[- , ] 2 3 1 D.[- ,1) 2

x≥0, ? ?y≥0, 2.如图所示,在约束条件? y+x≤s, ? ?y+2x≤4 的最大值的变化范围是( )

下,当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y

A.[7,8]

B.[7,15]

C.[6,8]

D.[6,15]

3. 购买 8 角和 2 元的邮票若干张, 并要求每种邮票至少要两张, 如果小明带有 10 元钱, 问有多少种买法? 答案:

1. D 解析:设点 D(x,y)在图中阴影部分内,如图.ω = y-1 ,即动点(x,y)与定点 A(- x+1
16

?y=0, ? 1,1)连线的斜率.当动点为 B 点时,ω 取得最小值,由? ? ?2x-y-2=0,

得 B 点坐标为

1 (1,0).∴ω =- .当动点在 x-y=0 上,且 x→+∞时,ω 趋向于最大值,即经过 A 点, 2 1 斜率为 ω 的直线与 x-y=0 平行.∴ω ∈[- ,1). 2 x≥0, ? ?y≥0, 解析:由题意知要求在约束条件? y+x≤s, ? ?y+2x≤4

2.A

下,目标函数 z=3x+2y 的

取值范围,作出如图所示目标函数取最大值时的可行域. 3 z 由 z=3x+2y 得 y=- x+ , 2 2 ∴当 x+y=3 时, 在 B 点处 z 取最大值; 随着 x+y=3 的上移, z 的最大值也随着增大. 当 平移经过 C 点时,z 的最大值达到最大,且 B(1,2),C(0,4).

∴当 3≤s≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是[7,8]. 8x+20y≤100, ? ?x≥2, 3.解:设 8 角邮票可买 x 张,2 元邮票可买 y 张,根据题意有? y≥2, ? ?x、y∈N. 不等式表示的平面区域如图所示,而在该区域内,x、y 都是不小于 2 的整数,这样的 点的个数为 11,所以小明有 11 种购买方法,分别是(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3), (4,2),(4,3),(5,2),(5,3),(6,2),(7,2).

课堂小节

17

1.由学生回顾本节课复习了哪些内容?通过对这些内容的复习,你有什么新的发现? 2.本节课重点复习了平面区域和线性规划问题,明确了用线性规划的方法解决的两种 重要问题.线性规划实质上是数形结合的一种体现,即将最值问题直观、简便地寻找出来, 是一种较为简捷地求最值的方法. 进一步熟悉了利用线性规划解决问题的步骤. 还结合一道 线性规划题目,探究了利用新视角解决问题的方法,打破了思维定式,今后要注意这方面的 思维训练,以培养学生思维的灵活性. 作业 1.本章巩固与提高 A 组 14、15;B 组 14、15. 2.本章自测与评估. 设计感想 1.本课时设计注重了教师的灵活操作.在复习时,采取提问、讨论、练习等方式,引 导学生再现知识点、知识的形成过程及内在联系.用表格、图示、文字的方法串成线、连成 片,建立起合理的认知结构,便于学生记忆,而不是简单的重复. 2.本课时设计关注了学生的层次,关注了学习要求上的分层.让学习较差层次的学生 多回答一些概念识记性提问,要求学会做一些基础题目.让学习中等层次的学生,多回答一 些需认真思索的提问,会做一些难度适中的综合练习.让学习较好层次的学生,多回答一些 智力运用性的提问,会运用知识解决一些难度较大的综合性题目. 3.本课时设计注意了数学思想方法的教学.学生的能力最终体现在数学思想方法的应 用上.在讲授数学知识的同时,更加注重数学思想方法的渗透和培养,把数学思维方法和数 学知识、技能融为一体,不断提高学生的思维能力、解题能力及联系实际的能力.

(设计者:郑吉星)

备课资料 一、备用例题 1 【例 1】 已知 0<x< ,求函数 y=x(1-3x)的最大值. 3 活动一:原函数式可化为 y=-3x +x,利用二次函数求某一区间的最值. 解法一:(利用二次函数法可获得求解)(解略)
2

18

1 活动二:挖掘隐含条件,∵3x+1-3x=1 为定值,且 0<x< ,则 1-3x>0;可用均 3 值不等式. 1 1 1 3x+1-3x 2 1 解法二: ∵0<x< , ∴1-3x>0.∴y=x(1-3x)= ·3x(1-3x)≤ ( )= , 3 3 3 2 12 1 1 当且仅当 3x=1-3x,即 x= 时, ymax= . 6 12 5 【例 2】求 y=sinx+ 的最小值,x∈(0,π ). sinx 5 错解:∵x∈(0,π ),∴sinx>0.∴y=sinx+ ≥2 5.∴ymin=2 5. sinx 错因:y=2 5的充要条件是 sinx= 5 2 ,即 sin x=5,这是不存在的. sinx 5 1 4 4 =sinx+ + ≥2+ , sinx sinx sinx sinx

正解:∵x∈(0,π ),∴sinx>0.又 y=sinx+

1 4 当且仅当 sinx= ,即 sinx=1 时,取“=”.而此时 也有最小值 4, sinx sinx ∴当 sinx=1 时,ymin=6. 1 1 【例 3】已知正数 x、y 满足 2x+y=1,求 + 的最小值. x y 错解:∵1=2x+y≥2 2xy,∴ xy≤ 1 1 ∴ + ≥2 x y 1 2 2 ,即 1 ≥2 2. xy

1 1 1 ≥2·2 2=4 2,即 + 的最小值为 4 2. xy x y

错因: 过程中两次运用了均值不等式中取“=”过渡, 而这两次取“=”的条件是不同 的,故结果错. 1 1 1 1 2x y y 正解一:∵2x+y=1,∴ + =(2x+y)( + )=2+ + +1≥3+2 2,当且仅当 = x y x y y x x 2x ,即 y= 2x 时,取“=”. y 1 x= ? ? 2+ 2, ??? 2 y= ? ? 2+ 2,

?y= 2x 而? ?2x+y=1

即此时 ymin=3+2 2.

1 1 2x+y 2x+y y 2x 正解二:∵ + = + =3+ + (以下同解一). x y x y x y 小结:用均值不等式求最值时,要注意检验最值存在的充要条件,特别地,如果多次运 用均值不等式求最值,则要考虑多次“≥”(或者“≤”)中取“=”成立的诸条件是否相 容.
19

【例 4】 已知正数 x、y 满足 xy=x+y+3,试求 xy、x+y 的范围. 解法一:由 x>0,y>0,则 xy=x+y+3 ? xy-3=x+y≥2 xy,即( xy) -2 xy+
2

3≥0. 解得 xy≤-1(舍去)或 xy≥3,当且仅当 x=y 且 xy=x+y+3,即 x=y=3 时取 “=”,故 xy 的取值范围是[9,+∞). 又 x + y + 3 =xy≤( x+y 2 2 ) ? (x + y) - 4(x +y) -12≥0 ? x +y≤- 2( 舍去 )或 x + 2

y≥6,当且仅当 x=y 且 xy=x+y+3,即 x=y=3 时取“=”,故 x+y 的取值范围是 [6, +∞). x+3 解法二:由 x>0,y>0,xy=x+y+3? ? (x-1)y=x+3,知 x≠1,则 y= . x-1 由 y>0? ? xy = x· 5≥2 x+3 >0? ? x>1,则 x-1
2 2

x+3 x +3x ?x-1? +5?x-1?+4 4 = = = (x - 1) + + x-1 x-1 x- 1 x-1

4 4 ?x-1?· +5=9,当且仅当 x-1= (x>0),即 x=3,并求得 y=3 时取 x-1 x-1

“=”,故 xy 的取值范围是[9,+∞). x+3 x-1+4 4 4 x+y=x+ =x+ =x+ +1=(x-1)+ +2 x-1 x-1 x-1 x-1 ≥2 4 ?x-1?· +2=6. x-1

4 当且仅当 x-1= (x>0),即 x=3,并求得 y=3 时取“=”,故 x+y 的取值范围 x-1 是[6,+∞). 点评:解法一具有普遍性,而且简洁实用,易于掌握,解法二要求掌握构造的技巧. 总之,利用均值不等式求最值的方法多样,而且变化多端,要掌握常见的变形技巧,掌 握常见题型的求解方法,加强训练、多多体会,才能达到举一反三的目的. 【例 5】用一块钢锭浇铸一个厚度均匀, 且表面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如 图),设容器高为 h 米,盖子边长为 a 米,

(1)求 a 关于 h 的解析式; (2)设容器的容积为 V 立方米, 则当 h 为何值时, V 最大?求出 V 的最大值(求解本题时,

20

不计容器厚度). 解:(1)设 h′是正四棱锥的斜高,由题设可得 1 ? ?a +4·2h′a=2, ? 1 ?h +4a =h′ , ?
2 2 2 2

消去 h′,解得 a=

1 h +1
2

(a>0).

1 2 h (2)由 V= a h= (h>0), 2 3 3?h +1? 得 V= 1 ,而 h+ ≥2 1 h 3?h+ ? h 1 1 h· =2. h

1 1 所以 V≤ ,当且仅当 h= ,即 h=1 时取等号; 6 h 1 故当 h=1 米时,V 有最大值,V 的最大值为 立方米. 6 二、不等式的证明方法探究 1.配方法 把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方, 然后利用一个实数的平方 是非负的这个特殊的性质来证明某些式子是大于或等于零的. 2.判别式法 通过对所证不等式的观察、分析,构造出二次方程,然后利用二次方程的判别式,从而 使不等式得证. 3.比较法 A 为了证明 A>B,可转化为证明 A-B>0,或者当 B>0 时转化为证明 >1. B 4.放缩法 为了证明 A<B,可设法证明 A<C,且 C<B.有时也可考虑证明加强命题. 5.数学归纳法 常用来证明与正整数有关的命题. 6.构造法 构造适当的图形,使要证的命题比较直观地反映出来. 7.辅助函数法 函数是数学中的一个重要内容,它与不等式有密切的联系. 通过构造辅助函数, 然后利用函数的有关性质去证明该不等式. 通常我们可以利用以下
21

一些函数的性质: (1)函数 y=ax +bx+c,若 a>0,则 y≥0?Δ ≤0;(2)三角函数的有界性;(3)函数的 单调性;(4)函数的凸性;(5)函数的导数. 8.换元法 通过添设辅助元素,使原来不等式变成与新的变量有关的不等式. 应用换元法,可把字母多化成字母少,可把紊乱的不等式化成简单的、条理清晰的不等 式. 常用的换元方法有三角换元和均值换元. (1)三角换元
?x=rcosα , ? 2 2 2 x + y = r (r > 0) ? ? ?y=rsinα ? ?x=rcosα , ? 2 2 2 (0≤α < 2π ) ; x + y ≤a ? ? ?y=rsinα ?
2

? ?x=rsecα , 2 2 2 (0≤α <2π ,r≤|a|);x -y =r (r>0) ? ? ?y=rtanα ?

(0≤α <2π ).

(2)均值换元 a x= -ε ? ? 2 ? a ? ?y=2+ε , x ; + y + z =

x



y



a

?

x= +α , 3 ? ? a a ? ?y= +β ,?α +β +γ =0?. 3 a ? ?z=3+γ a 另外,在证明的过程中还经常使用整体换元,即用一个变量代替一个整式. 9.逐步调整法 在证明不等式的过程中, 对某一个函数式的某些变元进行调整(变大或变小), 观察其值 的变化,从中发现函数式的最值.

22



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