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复合函数的定义域详细讲义及练习详细答案



复合函数 一, 复合函数的定义:设 y 是 u 的函数,即 y=f(u),u 是 x 的函数,即 u=g(x),且 g(x) 的值域与 f(u)的定义域的交集非空,那么 y 通过 u 的联系成为 x 的函数,这个函数称 为由 y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数,记作 y=f[g(x)],其中 u 称为中间变量。 二, 对高中复合函数的通解法——综合分析法 1、解复合函数

题的关键之一是写出复合过程 例 1:指出下列函数的复合过程。 (1)y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2 解:(1) y=√2-x2 是由 y=√u,u=2-x2 复合而成的。 (2)y=sin3x 是由 y=sinu,u=3x 复合而成的。 (3)∵y=sin3x=(sinx)-3 ∴y=sin3x 是由 y=u-3,u=sinx 复合而成的。 (4)y=3cos√1+x2 是由 y=3cosu,u=√r,r=1+x2 复合而成的。 2、解复合函数题的关键之二是正确理解复合函数的定义。 看下例题:例2:已知 f(x+3)的定义域为[1、2],求 f(2x-5) 的定义域。 经典误解1:解:f(x+3)是由 y=f(u),u=g(x)=x+3 复合而成的。 F(2x-5)是由 y=f(u2),u2=g(x)=2x-5 复合而成的。 由 g(x),G(x)得:u2=2x-11 即:y=f(u2),u2=2x-11 ∵f(u1)的定义域为[1、2] ∴1≤x﹤2 ∴-9≤2x-11﹤-6 即:y=f(u2)的定义域为[-9、-6] ∴f(2x-5)的定义域为[-9、-6] 经典误解2:解:∵f(x+3)的定义域为[1、2] ∴1≤x+3﹤2 ∴-2≤x﹤-1 ∴-4≤2x﹤-2 ∴-9≤2x-5﹤-7 ∴f(2x-5)的定义域为[-9、-7] (下转 2 页) 注:通过以上两例误解可得,解高中复合函数题会出错主要原因是对复合函数的概 念的理解模棱两可,从定义域中找出“y”通过 u 的联系成为 x 的函数,这个函数称为由 y=f(u),u=g(x)复合而成的复合函数,记作 y=f[g(x)],其中 u 称为“中间变量” 。从以上误 解中找出解题者易将 f(x+3)的定义域理解成(x+3)的取值范围,从而导致错误。而从定 义中可以看出 u 仅仅是中间变量,即 u 既不是自变量也不是因变量。复合函数的定义域是 指 y=f(u),u=g(x)中 u=g(x)中的 x 的取值范围,即:f(x+3)是由 f(u),u=x+3 复合而成的 复合函数,其定义域是 x 的取值范围。 正确解法:解:f(x+3)是由 y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)复合而成的。 f(2x-5)是由 y=f(u2),u2=2x2-5 复合而成的 ∵1≤x1﹤2 ∴4≤u1﹤5 ∴4≤u2﹤5 ∴4≤2x2-5﹤5 ∴2≤x2﹤5
1

∴f(2x-5)的定义域为[2、5] 结论:解高中复合函数题要注意复合函数的分层,即 u 为第一层,x 为第二层,一、 二两层是不可以直接建立关系的,在解题时,一定是同层考虑,不可异层考虑,若异层考 虑则会出现经典误解1与2的情况。 三、高中复合函数的题型(不包括抽象函数) 题型一:单对单,如:已知 f(x)的定义域为[-1,4],求 f(x2)的定义域。 题型二:多对多,如:已知 f(x+3)的定义域为[1、2],求 f(2x-5)的定义域。 (下转 3 页) 题型三:单对多,如:已知 f(x)的定义域为[0、1],求 f(2x-1)的定义域。 题型四:多对单,如:已知 f(2x-1)的定义域为[0、1],求 f(x)的定义域。 注:通解法——综合分析法的关键两步:第一步:写出复合函数的复合过程。 第二步:找出复合函数定义域所真正指代的字母(最为关 键) 下面用综合分析法解四个题型 题型一:单对单:例 3:已知 f(x)的定义域为[-1、4],求 f(x2)的定义域。 第 1 步:写出复合函数的复合过程:f(x2)是由 y=f(u),u=x22 复合而成的。 (由于要同层考虑,且 u 与 x 的取值范围相同,故可这样变形)f(x)是由 y=f(u),u=x1 复 合而成的。 ∵f(x)的定义域为[-1、4] 第 2 步:找出复合函数定义域的真正对应∴-1≤x1﹤4 即-1≤u﹤4 又∵u=x22 ∴-1≤x22﹤4 (x2 是所求 f(x2)的定义域,此点由定义可找出) ∴-2﹤x2﹤2 ∴f(x2)的定义域为(-2,2) 结论:此题中的自变量 x1,x2 通过 u 联系起来,故可求解。 题型三:单对多:例 4:已知 f(x)的定义域为[0,1],求 f(2x-1)的定义域。 第 1 步:写出复合函数的复合过程:f(x)是由 y=f(u),u=x1 复合而成的。 f(2x-1)是由 y=f(u),u=2x2-1 复合而成. 第 2 步:找出复合函数定义域的真正对应:∵0≤x1≤1 ∴0≤u≤1 ∴0≤2x2-1≤1 ∴x2≤1 ∴f(2x-1)的定义域为[,1] 结论:由此题的解答过程可以推出:已知 f(x)的定义域可求出 y=[g(x)]的定义域。 下转 4 页 题型四:多对单:如:例 5:已知 f(2x-1)的定义域为[0、1],求 f(x)的定义域。 第 1 步:写出复合函数的复合过程:f(2x-1)是由 f(u),u=2x1-1 复合而成的。 f(x)是由 f(u),u=x2 复合而成的。 第 2 步:找出复合函数定义域对应的真正值:∵0≤x1≤1 ∴0≤2x1≤2 ∴-1≤2x1-1≤1 ∴-1≤u≤1 ∴-1≤x2≤1 ∴f(x)的定义域为[-1、1] 结论:由此题的解答过程可以推出:已知 y=f[g(x)]的定义域可求出 f(x)的定义域。 小结:通过观察题型一、题型三、题型四的解法可以看出,解题的关键在于通过 u 这
2

个桥梁将 x1 与 x2 联系起来解题。 题型二:多对多:如例 6:已知 f(x+3)的定义域为[1、2],求 f(2x-5)的定义域。 解析:多对多的求解是比较复杂的,但由解题型三与题型四的结论:已知 f(x)的定义 域可求出 y=f[g(x)]的定义域” 已知 y=f[g(x)]的定义域可求出 f(x)的定义域可以推出 f(x) 与 y=f[g(x)]可以互求。若 y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理,已知 y1=f(x+3)的定义域,故这 里 f(x)成为了联系 y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的一个桥梁,其作用与以上解题中 u 所充当的 作用相同。 所以, 在多对多的题型中, 可先利用开始给出的复合函数的定义域先求出 f(x), 再以 f(x)为跳板求出所需求的复合函数的定义域,具体步骤如下: 第一步:写出复合函数的复合过程:f(x+3)是由 y=f(u)u=x+3 复合而成的。 f(2x-5)是由 y2=f(u)u=2x-5 复合而成的。 第二步:求桥梁 f(x)的定义域:∵1≤x≤2 ∴4≤x+3≤5 ∴4≤u≤5 设:函数 y3=(u),u=x 下转 4 页 ∴y3=f(x)的定义域为[4、5] 第三步:通过桥梁 f(x)进而求出 y2=f(2x-5):f(x) 是由 y3=f(u),u=x 复合而成的 ∵4≤x≤5 ∴4≤u≤5 ∴4≤2x-5≤5 ∴ ≤x2≤5 ∴f(2x-5)的定义域为:[5] 小结:实际上,此题也可以 u 为桥梁求出 f(2x-5), 详参照例 2 的解法。 四、将以上解答过程有机转化为高中的标准解答模式。 如:例 7:已知函数 y=f(x)的定义域为[0、1],求函数 y=f(x2+1)的定义域。 解:∵函数 f(x2+1)中的 x2+1 相当于 f(x)中的 x(即 u=x2+1,与 u=x) ∴0≤x2+1≤1 ∴-1≤x2≤0 ∴x=0 ∴定义域为{0} 小结:本题解答的实质是以 u 为桥梁求解。 例 8:已知 y=f(2x-1)的定义域为[0、1],求函数 y=f(x)的定义域。 解:由题意:0≤x≤1(即略去第二步,先找出定义域的真正对象) 。 ∴-1≤2x-1≤1(即求出 u,以 u 为桥梁求出 f(x) 视 2x-1 为一个整体(即 u 与 u 的交换) 则 2x-1 相关于 f(x)中的 x(即 u 与 u 的交换,f(x)由 y=f(u),u=x 复合而成,-1≤u≤ 1, ∴-1≤x≤1) ∴函数 f(x)的定义域为[-1、1] 总结:综合分析法分了3个步骤 ① 写出复合函数的复合过程。 ② 找出复合函数定义域所指的代数。 ③ 找出解题中的桥梁(u 或 f(x)可为桥梁) 浅析复合函数的定义域问题 一、复合函数的构成 设 u ? g ( x) 是 A 到 B 的函数, y ? f (u ) 是 B ' 到 C ' 上的函数,且 B ? B ' ,
3

当 u 取遍 B 中的元素时, y 取遍 C ,那么 y ? f ( g ( x)) 就是 A 到 C 上的函数。此函数称为由 外函数 y ? f ( x) 和内函数 u ? g ( x) 复合而成的复合函数。 说明: ⑴复合函数的定义域,就是复合函数 y ? f ( g ( x)) 中 x 的取值范围。 ⑵ x 称为直接变量, u 称为中间变量, u 的取值范围即为 g ( x) 的值域。 ⑶ f ( g ( x)) 与 g ( f ( x)) 表示不同的复合函数。 例 1.设函数 f ( x) ? 2 x ? 3, g ( x) ? 3x ? 5 ,求 f ( g ( x)), g ( f ( x)) . ⑷若 f ( x) 的定义域为 M ' ,则复合函数 f ( g ( x)) 中, g ( x) ? M . 注意: g ( x) 的值域 M ? M ' . 例 2: ⑴若函数 f ( x) 的定义域是[0,1],求 f (1 ? 2 x) 的定义域; ⑵若 f (2 x ? 1) 的定义域是[-1,1],求函数 f ( x) 的定义域; ⑶已知 f ( x ? 3) 定义域是 ?? 4,5? ,求 f (2 x ? 3) 定义域. 要点 1:解决复合函数问题,一般先将复合函数分解,即它是哪个内函数和哪个外函数复 合而成的. 解答: ⑴ 数. 函数 f (1 ? 2 x) 是由 A 到 B 上的函数 u ? 1 ? 2 x 与 B 到 C 上的函数 y ? f (u ) 复合而成的函

? 函数 f ( x) 的定义域是[0,1],
∴B=[0,1],即函数 u ? 1 ? 2 x 的值域为[0,1]. ∴ 0 ? 1 ? 2x ? 1 , 1 ∴ ? 1 ? ?2 x ? 0 ,即 0 ? x ? , 2 1 ∴函数 f (1 ? 2 x) 的定义域[0, ]. 2 ⑵ 数. 函数 f (2 x ? 1) 是由 A 到 B 上的函数 u ? 2 x ? 1 与 B 到 C 上的函数 y ? f (u ) 复合而成的函

? f (2 x ? 1) 的定义域是[-1,1],
∴A=[-1,1],即-1 ? x ? 1 , ∴ ? 3 ? 2 x ? 1 ? 1 ,即 u ? 2 x ? 1 的值域是[-3,1], ∴ y ? f ( x) 的定义域是[-3,1].
4

要点 2:若已知 合;若已知 ⑶

f ( x) 的定义域为 A ,则 f [ g ( x)] 的定义域就是不等式 g ( x) ? A 的 x 的集

f [ g ( x)] 的定义域为 A ,则 f ( x) 的定义域就是函数 g ( x) ( x ? A) 的值域。

函数 f ( x ? 3) 是由 A 到 B 上的函数 u ? x ? 3 与 B 到 C 上的函数 y ? f (u ) 复合而成的函数.

? f ( x ? 3) 的定义域是[-4,5),

∴A=[-4,5)即 ? 4 ? x ? 5 , ∴ ? 1 ? x ? 3 ? 8 即 u ? x ? 3 的值域 B=[-1,8) 又 f (2 x ? 3) 是由 A' 到 B ' 上的函数 u ' ? 2 x ? 3 与 B 到 C 上的函数 y ? f (u ) 复合而成的函数, 而 B ? B ' ,从而 u ' ? 2 x ? 3 的值域 B' ? [?1,8) ∴ ? 1 ? 2x ? 3 ? 8 ∴ 2 ? 2 x ? 11, ∴1 ? x ?
11 2 11 ) . 2

∴ f (2 x ? 3) 的定义域是[1,

例 3:已知函数 f ( x) 定义域是(a,b),求 F ( x) ? f (3x ? 1) ? f (3x ? 1) 的定义域.
b ?1 ?a ?1 ?x? ? ?a ? 3x ? 1 ? b ? 3 3 解:由题, ? ,? ? , a ? 1 b ? 1 ?a ? 3x ? 1 ? b ? ?x? ? 3 ? 3

?a ?1 b ?1 ? ? 当? 3 3 ,即 b ? a ? b ? 2 时, F ( x) 不表示函数; ? ?a ? b ?a ?1 b ?1 ? ? 当? 3 3 ,即 a ? b ? 2 时, F ( x) 表示函数, ? ?a ? b
其定义域为 ( 说明: ① 已知 f ( x) 的定义域为(a,b),求 f ( g ( x)) 的定义域的方法: 已知
a ?1 b ?1 , ). 3 3

f ( x) 的定义域为 (a,b) ,求 f ( g ( x)) 的定义域。实际上是已知中间变量的 u 的
g ( x) ? b 求得 x 的范围,

取值范围, 即 u ? (a,b) ,g ( x) ? (a,b) 。 通过解不等式 a ? 即为 f ( g ( x)) 的定义域。

5



已知 f ( g ( x)) 的定义域为(a,b),求 f ( x) 的定义域的方法: 若已知 f ( g ( x)) 的定义域为 (a,b) ,求

f ( x) 的定义域。实际上是已知复合函数
x ? b 求得 g ( x) 的范围,

f ( g ( x)) 直接变量 x 的取值范围,即 x ? (a,b) 。先利用 a ?

则 g ( x) 的范围即是

f ( x) 的定义域 , 即使函数 f ( x) 的解析式形式所要求定义域真包含

也应以 g ( x) 的值域做为所求 f ( x) 的定义域, 因为要确保所求外含数 f ( x) g ( x) 的值域, 与已知条件下所要求的外含数是同一函数,否则所求外含数 性。换元法其实质就是求复合函数 f ( g ( x)) 的外函数 等于内函数 g ( x) 的值域,那么

f ( x) 将失去解决问题的有效

f ( x) ,如果外函数 f ( x) 的定义域不

f ( x) 就确定不了 f ( g ( x)) 的最值或值域。

例 4:已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x , ( x ? 1) 求 f ( x) 的值域。 分析:令 u( x) ? x ? 1 , ( x ? 1) ; 则有 g (u) ? u 2 ? u ? 1 , (u ? 0) 复合函数 的值域即 而 g (u) ? u 2 ? u ? 1 ,(u ? 0) f ( x) 是由 u( x) ? x ? 1 与 g (u) ? u 2 ? u ? 1 复合而成,

f ( x) 的值域,但 g (u) ? u 2 ? u ? 1 的本身定义域为 R ,其值域则不等于复合函数

f ( x) 的值域了。
例 5:已知函数 f ( x 2 ? 3) ? lg
x2 ,求函数 x2 ? 6

f ( x) 的解析式,定义域及奇偶性。

分析:因为 f ( x 2 ? 3) ? lg

x2 定义域为{ x | x ? ? 6 或 x ? 6 } x2 ? 6
u?3 ,且 u ? 3 u ?3

令 u ? x 2 ? 3 , u ? 3 ;则 f (u ) ? lg 所以 f ( x) ? lg

x?3 , x ? 3 ,定义域不关于原点对称,故 x?3 9 1 2 1.在等比数列 ?an ? 中,已知 a1 ? ,a n ? ,q ? ,则 n 为 8 3 3
A.2 B.3 C.4 D.5

f ( x) 是非奇非偶函数。
( )

2 .设 ?an ? 是公差为- 2 的等差数列,若 a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 ? 50 ,则 a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 等于 ( A.82 B.-82 C.132 D.-132
6



3.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1 以后各项由公式 a n ? a n ?1 ? 7 A. 4 7 B.- 4 C.

1 (n ? 2) 给出,则 a 4 ? ( n(n ? 1)
D. ?



4 7

4 7


4.已知 ? 9, a1 , a2 ,?1 成等差数列, ? 9, b1 , b2 , b3 ? 1 成等比数列,则 (a2 ? a1 )b2 等于( A.

9 8

B. ?

9 8

C.8

D.-8

5.在 3 和 9 之间插入两个正数,使前三个成等比数列,后三个成等差数列,则这两个数的和是 ( ) A.

45 4

B.

27 4

C.

9 2

D.9 ( D.85 )

6.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a3 ? a17 ? 10 ,则 S19 = A.190 B.95 C.170

7.已知 ?an ? 是等比数列,对 ?n ? N ? , an ? 0 恒成立,且 a1a3 ? 2a2 a5 ? a4 a6 ? 36 , 则 a 2 ? a5 等于 A.36 B. ? 6 C.-6 D.6 ) ( )

8.已知等差数列 ?an ? 中, a3 ? a9 ,公差 d ? 0 ; Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则( A . S5 ? S 6 B . S5 ? S 6 C. S6 ? 0 D . S5 ? S 6

9.已知一个等比数列首项为 1,项数是偶数,其奇数项之和为 85,偶数项之和为 170,则这个数列的 项数为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 10.已知数列 {an } 满足: an ? logn?1 (n ? 2) ,定义使 a1 ? a2 ? a3 ? ......ak 为整数的数k (k ? N * ) 叫做希望 数,则区间[1,2010]内所有希望数的和 M ? A.2026 B.2036 C.2046 ( ) D.2048

11.已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为 a1 、 b1 ,且 a1 +b1 =5 , a1 >b1 ,

a1、b1 ? N+ (n ? N+ ) ,则数列 {abn } 的前 10 项的和等于
A.65 B.75 C.85 D.95





2 12.等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 am?1 ? am?1 ? am ? 0 , S2m?1 ? 38 ,则 m ? (



A.38

B.20

C.10

D.9

.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在横线上. 13.已知数列前 4 项为 4,6,8,10,则其一个通项公式为 _ . a1 ? a 2 ? ______. 14.已知 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则 b2
7

15.已知数列 {an } 的前 n 项的和 S n 满足 log2 (S n ? 1) ? n ,则 an =



16.甲型 h1n1 流感病毒是寄生在宿主的细胞内的,若该细胞开始时 2 个,记为 a0 ? 2 ,它们按以下规 律进行分裂,1 小时后分裂成 4 个并死去 1 个,2 小时后分裂成 6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个,……,记 n 小时后细胞的个数为 an ,则 an =________(用 n 表示) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? ?1 , a5 ? 5 . (1)求 {an } 的通项 an ; (2)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最小值.

18. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列;若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 , bn?1 ? bn ? 2 n .
a

(1)求数列 ?bn ? 的通项公式; (2)求证: bn ? bn?2 ? bn?12 .

参考答案
一、选择题 1 . C ; 解 析 : 等 比 数 列 ?an ? 中 , a1 ?

9 1 2 9 2 1 ,a n ? ,q ? ; ∴ a n ? a1 q n ?1 ? ( ) n ?1 ? , ∴ 8 3 3 8 3 3

2 2 ( ) n ?1 ? ( ) 3 , n ? 1 ? 3, n ? 4 ; 3 3
8

2.B;解析:因为 ?an ? 是公差为-2 的等差数列, ∴ a3 ? a6 ? a9 ? ? ? a99 ? (a1 ? 2d ) ? (a4 ? 2d ) ? (a7 ? 2d ) ? ? ? (a97 ? 2d )

? a1 ? a4 ? a7 ? ? ? a97 ? 33? 2d ? 50 ? 132 ? ?82;
3.A;解析:因为 a n ? a n ?1 ?

1 1 1 1 (n ? 2) ,所以 a 2 ? a1 ? ?1? ? , n(n ? 1) 2(2 ? 1) 1 2

a3 ? a 2 ?

1 1 1 1 1 1 1 1 7 ? 1 ? ? ? ? , a 4 ? a3 ? ?1? ? ? ; 3(3 ? 1) 1 2 2 3 4(4 ? 1) 1 4 4
? 1 ? (?9) 8 ? ; 4 ?1 3

4.D;解析:∵-9,a1,a2,-1 成等差数列,所以 a 2 ? a1 ?

∵ ? 9, b1 , b2 , b3 ? 1 成等比数列,所以 b2 ? ? (?9) ? (?1) ? ?3 ;∴ (a2 ? a1 )b2 ? ?8 ;

9 ? x? ? 45 ? 2 5.A;解析:设中间两数为 x, y ,则 x 2 ? 3 y,2 y ? x ? 9 ;解得 ? ,所以 x ? y ? ; 4 ? y ? 27 ? 4 ?
6.B;解析: S19 ?

19 ? (a1 ? a19 ) 19 ? (a3 ? a17 ) ? ? 95 ; 2 2

7.D;解析: ?n ? N ? , an ? 0 ; a1a3 ? 2a2 a5 ? a4 a6 ? (a2 ? a5 ) 2 ? 36 ,∴ a2 ? a5 ? 6 ; 8.D;解析:∵ d ? 0 , a3 ? a9 ,∴ a3 ? 0, a9 ? 0 ,且 a3 ? a9 ? 0 ,∴ a6 ? 0 , a5 ? 0 , a7 ? 0 ; ∴ S5 ? S 6 ; 170 9.C;解析:设该等比数列的公比为 q,项数为 2n,则有 S偶 ? q ? S奇 ,∴q= =2; 85 又 S2 n ? S偶 ? S奇 ?

a1 (1 ? q 2 n ) ? 85 ? 170 ,∴ 22 n ? 1 ? 255 ,∴2n=8,故这个数列的项数为 8; 1? q

10.A;解析: an ? logn?1 (n ? 2) ,∴由 a1 ? a2 ?

ak 为整数得

log2 3 ? log3 4
m

log( k ?1) (k ? 2) ? log2 (k ? 2) 为整数,设为 m ,则 k ? 2 ? 2 m ,
11

∴ k ? 2 ? 2 ;因为 2

? 2048,
2 3 4 10

∴区 间?1 , 2010? 内所有希望数为 2 ? 2,2 ? 2,2 ? 2,?,2 其和 M ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
2 3 4 10

? 2,

? 2 ? 2026;

11.C;解析:应用等差数列的通项公式得

9

an ? a1 ? n ? 1, bn ? b1 ? n ? 1; ? abn ? a1 ? bn ? 1 ? a1 ? (b1 ? n ? 1) ? 1 ? a1 ? b1 ? n ? 2 ? 5 ? n ? 2 ? n ? 3;
∴数列{ab
n

} 也是等差数列,且前 10 项和为

10(4 ? 13) ? 85 ; 2
2

2 12.C;解析:因为 ?an ? 是等差数列,所以 am?1 ? am?1 ? 2am ,由 am?1 ? am?1 ? am ? 0 ,得:2 a m - a m

=0,所以 a m =2,又 S2m?1 ? 38 ,即 即(2m-1)×2=38,解得 m=10. 二、填空题

(2m ? 1)(a1 ? a 2 m?1 ) =38, 2

13. an ? 2(n ? 1) ;解析:该数列的前 4 项分别可写成:

2 ? (1 ? 1),2 ? (2 ? 1),2 ? (3 ? 1),2 ? (4 ? 1) ,所以数列的通项公式为 an ? 2(n ? 1) ;
14.

5 ;解析:∵1, a1, a2, 4 成等差数列,∴ a1 ? a2 ? 1 ? 4 ? 5 ;∵1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,∴ 2

b22 ? 1? 4 ? 4 ,又 b2 ? 1? q2 ? 0 ,∴ b2 ? 2 ;∴
15. 2
n ?1

5 a1 ? a 2 ? ; b2 2

;解析:由 log2 (S n ? 1) ? n 得 Sn ? 1 ? 2n ,∴ Sn ? 2n ? 1 ,

∴ a1 ? S1 ? 2 ?1 ? 1 , an ? Sn ? Sn?1 ? (2n ?1) ? (2n?1 ?1) ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ; ∴ an = 2
n

n ?1



16.2 ? 1; 解析: 按规律,a1 ? 4 ? 1 ? 3 ,a2 ? 2 ? 3 ? 1 ? 5 ,a3 ? 2 ? 5 ? 1 ? 9 , ……,an?1 ? 2an ?1 ; ∴ an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) , 即 ?an ?1 其首项为 2, 公比为 2, 故 an ?1 ? 2n , ∴ an = 2 ? 1 . ? 是等比数列,
n

(本题也可由 a1 ? 3 ? 2 ? 1 , a2 ? 5 ? 22 ? 1, a3 ? 9 ? 23 ? 1 ,……,猜想出 an = 2 ? 1 . )
n

三、解答题 17.解: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2n ? 5 . (2) S n ? na1 ?

? a1 ? d ? ?1 ,解出 a1 ? ?3 , d ? 2 . ? a1 ? 4d ? 5
????6 分

n(n ? 1) d ? n 2 ? 4n ? (n ? 2)2 ? 4 .所以 n ? 2 时, Sn 取到最小值 ?4 . 2
????12 分

18.解: (1)由已知得 an ? n .从而 bn?1 ? bn ? 2n ,即 bn?1 ? bn ? 2n .(????2 分) ∴ bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ?

? (b2 ? b1 ) ? b1
10

? 2n ?1 ? 2n ?2 ?

? 2 ?1 ?

1 ? 2n ? 2n ? 1 . 1? 2

(????6 分)

(2)因为 bn ? bn?2 ? bn?12 ? (2n ?1) ? (2n?2 ?1) ? (2n?1 ?1)2

? (22n?2 ? 2n?2 ? 2n ? 1) ? (22n?2 ? 2n?2 ?1) ? ?2n ? 0 ,
∴ bn ? bn?2 ? bn?12 . 19.解: (1)由已知得 S n ? (????12 分)

3 3 3 3 an ? ,∴当 n ? 2 时, S n ?1 ? an ?1 ? ; 2 2 2 2 3 3 3 3 ∴ S n ? S n ?1 ? an ? an ?1 ,即 an ? an ? an ?1 ,∴当 n ? 2 时, an ? 3an?1 ; 2 2 2 2
∴数列 {an } 为等比数列,且公比 q ? 3 ; 又当 n ? 1 时, S1 ? ∴ an ? 3n . (????4 分)

3 3 3 3 a1 ? ,即 a1 ? a1 ? ,∴ a1 ? 3 ; 2 2 2 2
(????6 分)

(2)∵ log3 an ? log3 3n ? n ,∴ bn ?

1 1 1 1 ; ? ? ? log3 an ? log3 an?1 n(n ? 1) n n ? 1
(????9 分)

∴ ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 1 1 n ?( ? ) ? 1? ? . n n ?1 n ?1 n ?1
(????12 分)

1.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 , a2 =1,则 a1 = A.

2

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2
2 8

【解析】设公比为 q ,由已知得 a1q ? a1q ? 2 a1q 所以 q ?

?

4 2

? ,即 q

2

? 2 ,又因为等比数列 {an } 的公比为正数,

2 ,故 a1 ?

a2 1 2 ,选 B ? ? q 2 2
11

3.公差不为零的等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn .若 a4 是 a3与a7 的等比中项, S8 ? 32 ,则 S10 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90

2 【解析】由 a4 ? a3a7 得 (a1 ? 3d )2 ? (a1 ? 2d )(a1 ? 6d ) 得 2a1 ? 3d ? 0 ,再由 S8 ? 8a1 ?

56 d ? 32 得 2

2a1 ? 7d ? 8 则 d ? 2, a1 ? ?3 ,所以 S10 ? 10a1 ?

90 d ? 60 ,.故选 C 2
)

4.设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,已知 a2 ? 3 , a6 ? 11 ,则 S7 等于( A.13 【解析】 S7 ? 或由 ? B.35 C.49 D. 63

7(a1 ? a7 ) 7(a2 ? a6 ) 7(3 ? 11) ? ? ? 49. 故选 C. 2 2 2

? a2 ? a1 ? d ? 3 ?a ? 1 ?? 1 , a7 ? 1 ? 6 ? 2 ? 13. ? a6 ? a1 ? 5d ? 11 ? d ? 2

7(a1 ? a7 ) 7(1 ? 13) ? ? 49. 故选 C. 2 2 5.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 =6, a1 =4, 则公差 d 等于
所以 S7 ? A.1 B

5 3

C.- 2

D 3

[解析]∵ S3 ? 6 ?

3 (a1 ? a3 ) 且 a3 ? a1 ? 2d a1 =4 ? d=2 .故选 C 2

6.已知 ?an ? 为等差数列,且 a7 -2 a4 =-1, a3 =0,则公差 d= A.-2 B.-

1 2

C.

1 2

D.2

【解析】a7-2a4=a3+4d-2(a3+d)=2d=-1 ? d=-

1 2

7.(等差数列{ an }的公差不为零,首项 a1 =1, a2 是 a1 和 a5 的等比中项,则数列的前 10 项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

【解析】设公差为 d ,则 (1 ? d ) 2 ? 1 ? (1 ? 4d ) .∵ d ≠0,解得 d =2,∴ S10 =100

然而只就 f ( x) ? lg

x?3 解析式而言,定义域是关于原点对称的,且 f (? x) ? ? f ( x) ,所以 x?3

是奇函数。就本题而言 f (u ) 就是外函数其定义域决定于内函数 u ? x 2 ? 3 , u ? 3 的值域, 而不是外函数 f (u ) 其解析式本身决定的定义域了。 2.求有关复合函数的解析式, 例 6.①已知 f ( x) ? x 2 ? 1, 求 f ( x ? 1) ; ②已知 f ( x ? 1) ? ( x ? 1) 2 ? 1,求 f ( x) .
12

1 ,求 f ( x) ; x 1 1 ②已知 f ( x ? ) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x ? 1) . x x 要点 3:

例 7.①已知 f ( x ? 1) ? x ?

已知 已知

f ( x) 求复合函数 f [ g ( x)] 的解析式,直接把 f ( x) 中的 x 换成 g ( x) 即可。 f [ g ( x)] 求 f ( x) 的常用方法有:配凑法和换元法。 f [ g ( x)] 中把关于变量 x 的表达式先凑成 g ( x) 整体的表达式,再直接 f ( x) 。

配凑法就是在

把 g ( x) 换成 x 而得

换元法就是先设 g ( x) ? t ,从中解出 x (即用 t 表示 x ) ,再把 x (关于 t 的式子)直 接代入

f [ g ( x)] 中消去 x 得到 f (t ) ,最后把 f (t ) 中的 t 直接换成 x 即得 f ( x) ,这种代换

遵循了同一函数的原则。 例 8.①已知 f ( x) 是一次函数,满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ;
1 ②已知 3 f ( x) ? 2 f ( ) ? 4 x ,求 f ( x) . x 要点 4: ⑴ 当已知函数的类型求函数的解析式时,一般用待定系数法。 ⑵ 若已知抽象的函数表达式,则常用解方程组、消参的思想方法

求函数的解析式。已



f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 是未知量外,还出现其他未知量,如 f (? x) 、

1 f ( ) 等,必须根据已知等式再构造出其他等式组成方程组,通过解方程组求出 f ( x) 。 x
二、练习: 1.已知 f (2x ? 1) ? x 2 ? 2x ,求 f (2 2 ? 1) 和 f (2 2 ? 3) . 解:令 2x ? 1 ? 2 2 ? 1 ,设 x ? 2 ,

f (2 2 ? 1) ? ( 2 ) 2 ? 2 2 ? 2 ? 2 2,
令 2 x ? 1 ? 2 2 ? 3 ,设 x ? 2 ? 1 ,

f (2 2 ? 3) ? ( 2 ? 1) 2 ? 2( 2 ? 1) ? 3 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 ? 1.
? x ? 1, x ? 0 2.已知 f ( x) ? x 2 ? 1, g ( x) ? ? ,求 f ( g ( x)) . ?2 ? x, x ? 0
分析: f [ g ( x)] 是用 g ( x) 替换 y

? f ( x) 中的 x 而得到的,问题是用 g ( x) 中的 x ? 1替换
13

呢,还是用 2 ? x 替换呢?所以要按 x 注: g[ f ( x)] 是用

? 0 、 x ? 0 分类;

f ( x) 替换 y ? g ( x) 中的 x 而得到的,问题是用 f ( x) 替换 g ( x) 中的

x ? 1呢,还是替换 2 ? x 呢?所以要看 x 2 ? 1 ? 0 还是 x 2 ? 1 ? 0 ,故按 x 2 ? 1 ? 0 、

x 2 ? 1 ? 0 分类。
Key:

?x 2 ? 2x , x ? 0; ? f [ g ( x)] ? ? 2 ? x?0 ? x ? 4 x ? 3,

?x2 ? 2 , x ? 1 ? 2 注: g[ f ( x)] ? ?3 ? x , ?1 ? x ? 1。 ? x 2 ? 2 , x ? ?1 ?
三、总结: 1.复合函数的构成; 设函数 y

? f (u) ,u ? g ( x) ,则我们称 y ?

f ( g ( x)) 是由外函数 y

? f (u) 和内函数

u ? g ( x) 复合而成的复合函数。其中 x 被称为直接变量,u 被称为中间变量。复合函数中
直接变量 x 的取值范围叫做复合函数的定义域, 中间变量 u 的取值范围, 即是 g ( x) 的值域, 是外函数 y

? f (u) 的定义域。
;求外函数的 g ( x) ? b 解 x )

2.有关复合函数的定义域求法及解析式求法: ⑴定义域求法: 求复合函数的定义域只要解中间变量的不等式(由 a ? 定义域只要求中间变量的值域范围(由 a ?

x ? b 求 g ( x) 的值域) 。已知一个复合函数求

另一个复合函数的定义域,必须先求出外函数的定义域。特别强调,此时求出的外函数的 定义域一定是前一个复合函数的内函数的值域,例 2(3)反映明显。 ⑵解析式求法:待定系数法、配凑法、换元法、解方程组消元法. 四:外函数解析式其本身决定定义域的主要依据有: ⑴ 当 ⑵ 当 ⑶ 当 ⑷ 当

f ( x) 为整式或奇次根式时, x ?R;
; f ( x) 为偶次根式时,被开方数不小于 0(即≥0)

f ( x) 为分式时,分母不为 0;当分母是偶次根式时,被开方数大于 0; f ( x) 为指数式时,对零指数幂或负整数指数幂,底不为
1 中 x ? 0) 。 x2
14

0 (如

f ( x) ? x 0 ,

f ( x) ? x ?2 ?

⑸ 当

f ( x) 是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,它的定义域应是使各部分都有意 ? f ( x) 的定义域是各段上自变量 x 的取值集合的并集。

义的自变量 x 的值组成的集合,即求各部分定义域集合的交集。 ⑹ 分段函数 y

⑺ 由实际问题建立的函数,除了要考虑使解析式有意义外,还要考虑实际意义对自变量 的要求 ⑻ 对于含参数字母的函数,求定义域时一般要对字母的取值情况进行分类讨论,并要注 意函数的定义域为非空集合。 ⑼ 对数函数的真数必须大于零,底数大于零且不等于 1。 ⑽ 三角函数中的切割函数要注意对角变量的限制。

15



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