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2015年上海高考数学(理科)填空选择真题解析



FunshineMaths 峰行数学 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 上海数学试卷(理工农医类)
一. 填空题(本大题共有 14 题,每题 4 分,满分 56 分) 1. 设全集 U ? R ,若集合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {x | 2 ? x ? 3} ,则 A ? CU B ? 【解析】 CU B ? {x | x ? 2 或 x ? 3} ,∴ A ? CU B ? {1, 4} 【答案】 {1, 4} 2. 若复数 z 满足 3 z ? z ? 1 ? i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? 【解析】设 z ? a ? bi ,∴ 4a ? 2bi ? 1 ? i ,即 a ? 【答案】 ; ;

1 1 1 1 , b ? ,∴ z ? ? i 4 2 4 2

1 1 ? i 4 2
? 2 3 c1 ? ?x ? 3 ,则 c1 ? c2 ? ? ,解为 ? ? 0 1 c2 ? ?y ? 5


3. 若线性方程组的增广矩阵为 ?

【解析】 2 x ? 3 y ? c1 ,即 c1 ? 21 ; y ? c2 ,即 c2 ? 5 ,∴ c1 ? c2 ? 16 【答案】 16 4. 若正三棱柱的所有棱长均为 a ,且其体积为16 3 ,则 a ? 【解析】 V ? S ? h ? 【答案】 4 5. 抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1,则 p ? 【解析】原点到焦点的距离最小,即焦点为 (1, 0) ,∴ p ? 2 【答案】 2 6. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2? ,则其母线与轴的夹角的大小为 【解析】设底面半径为 r ,高为 h ,母线为 r 2 ? h 2 ,∴ 【答案】 ; ; ;

3 2 a ? a ? 16 3 ,解得 a ? 4 4

? r r 2 ? h2 ? 2? ,解得 r ? 3h r ?h

? 3


7. 方程 log 2 (9 x?1 ? 5) ? log 2 (3x ?1 ? 2) ? 2 的解为

【解析】 log 2 (9 x ?1 ? 5) ? log 2 (3x ?1 ? 2) ? 2 ? log 2 (4 ? 3x?1 ? 8) ,即 9 x ?1 ? 5 ? 4 ? 3x?1 ? 8 , 设 3 ? t ,化简得 t ? 12t ? 27 ? 0 ,即 t ? 3 或 t ? 9 ,解得 x ? 1 (舍)或 x ? 2 【答案】 x ? 2 资料整理
x 2

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8. 在报名的 3 名男教师和 6 名女教师中,选取 5 人参加义务献血,要求男、女教师都有, 则不同的选取方式的种数为 ; (结果用数值表示)

5 【解析】 总的情况种数 C9 ? 126 ,因为不可能只有男教师,而只有女教师的情况种数为 5 5 5 C6 ? 6 ,∴男、女教师都有的情况种数为 C9 ? C6 ? 120

【答案】 120 9. 已知点 P 和 Q 的横坐标相同, P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍, P 和 Q 的轨迹分别为 双曲线 C1 和 C2 ,若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则 C2 的渐近线方程为 【解析】根据题意, C1 的渐近线斜率为 C2 的渐近线方程斜率的 2 倍 【答案】 y ? ? 10. 设 f 为
?1



3 x 2
x ?1 , x ? [0, 2] 的反函数,则 y ? f ( x ) ? f ( x) 的最大值 2

( x) 为 f ( x ) ? 2 x ? 2 ?


x 1 , x ? [0, 2] 为连续增函数,值域为 [ , 2] ,∴其反函数也是增函 2 4 1 1 数,定义域为 [ , 2] ,∴即 y ? f ( x ) ? f ?1 ( x) 单调递增,定义域为 [ , 2] , x ? 2 时最大 4 4
【解析】 f ( x ) ? 2 x ? 2 ? 【答案】4 11. 在 (1 ? x ?

1 x
2015

)10 的展开式中, x 2 项的系数为
r 10 ? r

; (结果用数值表示)

【解析】 把 1 ? x 看作整体,展开式通项为 C10 (1 ? x )

1 x
2015 r

,再写出 (1 ? x )

10 ? r

的通项

r? r? r r? r ?? 2015 r C10 即整体通项为 C10C10 ?r x , ∴ r ? ? 2015r ? 2 ,r ? ? 10 ? r ,r ? ? N 且 r ? N , ?r x , r r r 综上, r 只能为 0,此时 r ? ? 2 ,∴ C10 C10 ?r x ? ?? 2015 r 2 2 ? C10 x

【答案】45 12. 赌博有陷阱,某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1 、 2 、 3 、 4 、 5 的卡片中随机 摸取一张,将卡片上的数字作为其赌金(单位: 元) ; 随后放回该卡片, 再随机摸取两张, 将这两张卡片上数字之差的绝对值的 1.4 倍作为其奖金(单位:元) ;若随机变量 ?1 和 ? 2 分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 E?1 ? E? 2 ? 【解析】 E?1 ? 【答案】0.2 13. 已知函数 f ( x) ? sin x ,若存在 x1 , x2 ,…, xm 满足 0 ? x1 ? x2 ? ... ? xm ? 6? ,且 元;

1 1 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5) ? 3 , E? 2 ? 2 [1.4 ? (1? 4 ? 2 ? 3 ? 3 ? 2 ? 4)] ? 2.8 5 C5

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| f ( x1 ) ? f ( x2 ) | ? | f ( x2 ) ? f ( x3 ) | ?...? | f ( xm?1 ) ? f ( xm ) | ? 12 (m ? 2, m ? N* ) , 则

m 的 最小值为



【解析】根据题意, | f ( xm ?1 ) ? f ( xm ) | ? 2 ,如图所示,最少需要 8 个数

【答案】8 14. 在锐角三角形 ABC 中, tan A ?

1 , D 为边 BC 上的点,△ ABD 与△ ACD 的面积分 2 ???? ???? 别为 2 和 4,过 D 作 DE ? AB 于 E , DF ? AC 于 F ,则 DE ? DF ? ;

【解析】取特殊情况 AB ? AC ,根据题意 DC ? 2 DB , 设 DB ? a ,则 DC ? 2a ,∵ tan A ? 可表示高 h ? 即

1 A ,∴ tan ? 5 ? 2 2 2

3( 5 ? 2)a 4 ,∵△ ABC 面积为 6,∴ h ? 2 a

4 3( 5 ? 2)a 8 2 ? ,解得 a ? ( 5 ? 2) , DE ? a sin B a 2 3 ???? ???? A 16 DF ? 2a sin B ,∴ DE ? DF ? 2a 2 sin 2 B ? cos ?EDF ? 2a 2 cos 2 ? (? cos A) ? ? 2 15 16 【答案】 ? 15
二. 选择题(本大题共有 4 题,每题 5 分,满分 20 分) 15. 设 z1 、 z2 ? C ,则“ z1 、 z2 中至少有一个数是虚数”是“ z1 ? z2 是虚数”的( A. 充分非必要条件 C. 充要条件 B. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 )

【解析】 “ z1 ? z2 是虚数”说明至少有一个是虚数,∵如果都不是虚数,那么 z1 ? z2 不可能 为虚数,这是必要性;若 z1 ? 2 ? i , z2 ? 1 ? i ,而 z1 ? z2 ? 1 为实数,推不出“ z1 ? z2 是 虚数” ,∴是必要非充分条件 【答案】B 16. 已知点 A 的坐标为 (4 3,1) , 将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转 标为( )

? 至 OB , 则点 B 的纵坐 3

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A.

3 3 2

B.

5 3 2

C.

11 2

D.

13 2

4 3 1 ? , cos ? ? , B 点纵坐标可表示为 7sin(? ? ) , 7 7 3 ? 1 3 13 ∴ 7sin(? ? ) ? 7sin ? ? ? 7 cos ? ? ? 3 2 2 2
【解析】设 ?AOx ? ? ,∴ sin ? ? 【答案】D 17. 记方程①: x 2 ? a1 x ? 1 ? 0 ;方程②: x 2 ? a2 x ? 1 ? 0 ;方程③: x 2 ? a3 x ? 1 ? 0 ;其 中 a1 、 a2 、 a3 是正实数,当 a1 、 a2 、 a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无 实数根的是( ) B. 方程①有实根,且②无实根 D. 方程①无实根,且②无实根

A. 方程①有实根,且②有实根 C. 方程①无实根,且②有实根

【解析】A 选项,方程①有实根说明 a12 ? 4 ,方程②有实根说明 a2 2 ? 4 ,并不能推出是递 增还是递减,也就无法得出 a3 ? 4 ;B 选项, a1 ? 4 , a2 ? 4 ,说明递减,则 a3 ? 4 , 可推出方程③无实数根;C、D 选项同理分析,均不对; 【答案】D 18. 设 Pn ( xn , yn ) 是直线 2 x ? y ? 限 lim
n ??
2 2 2 2

n (n ? N* ) 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 在第一象限的交点,则极 n ?1

yn ? 1 ?( xn ? 1

) B. ?

A. ?1

1 2

C. 1

D. 2

【解析】当 n ? ? 时,直线方程趋近于 2 x ? y ? 1 ,与圆 x 2 ? y 2 ? 2 在第一象限的交点逐 渐靠近 (1,1) ,而

yn ? 1 可看作点 Pn ( xn , yn ) 与点 (1,1) 连线的斜率,这两个点是越来越靠近 xn ? 1

的,它的斜率会逐渐接近圆 x 2 ? y 2 ? 2 在点 (1,1) 处的切线的斜率,斜率为 ?1 【答案】A

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