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椭圆的定义与标准方程(第一课时)课件



高中数学选修 2-1
第二章 圆锥曲线与方程

2.2.1

椭圆及其标准方程
(第一课时)

“嫦娥二号”于2010年10月1日18时59分57秒在西昌卫星发射中心发射升空

?自然界处处存在着椭圆,我们如

何用自己的双手画出椭圆呢?<

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先 回 忆 如 何 画 圆

?实验

?如何定义椭圆?

圆的定义: 平面上到定点的距离等于定长
的点的集合叫圆.

椭圆的定义: 平面上到两个定点F1, F2的距离之
和为固定值(大于| F1F2 |)的点的轨迹叫作椭圆.

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

1. 改变两图钉之间的距离,使其与 绳长相等,画出的图形还是椭圆吗?

2.绳长能小于两图钉之间的距离吗?

二、椭圆的定义
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于 平面内 常数( 大于|F1F2 | )的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点, 两焦点的距离叫做椭圆的焦距.
F1

M
F2

注意:
?[1]平面内----这是大前提 ?[2]动点 M 与两个定点F1和F2的距离的和是常数 ?[3]常数要大于焦距

?提出了问题就要试着解决问题. 怎么推导椭圆的标准方程呢?

? 求动点轨迹方程的一般步骤:

坐标法

回忆圆标 准方程推 导步骤

1、建立适当的坐标系,用有序实数对 (x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; 2、写出适合条件 P(M) ; 3、用坐标表示条件P(M),列出方程 ; 4、化方程为最简形式。

? 探讨建立平面直角坐标系的方案
y y y F1
O O O

y

y F2
M xx x
O

M

O 2 F

x F1

x

方案一

方案二

原则:尽可能使方程的形式简单、运算简单; (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的 直线作为坐标轴.) (对称、“简
洁”)

y

设P (x, y)是椭圆上任意一点,
椭圆的焦距|F1F2|=2c(c>0),

P(x , y)
x F1 0 F2

则F1、F2的坐标分别是(?c,0)、(c,0) .

P与F1和F2的距离的和为固定值2a(2a>2c)
由椭圆的定义得,限制条件: | PF | ? | PF2 |? 2a 1 由于 得方程
| PF1 |? ( x ? c) 2 ? y 2 , | PF2 |? ( x ? c) 2 ? y 2

( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?)

移项,再平方

( x ? c ) 2 ? y 2 ? 4a 2 ? 4a ( x ? c ) 2 ? y 2 ? ( x ? c ) 2 ? y 2 a 2 ? cx ? a
两边再平方,得

( x ? c) 2 ? y 2

a 4 ? 2a 2cx ? c 2 x 2 ? a 2 x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2 y 2
整理得 (a 2 ? c 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (a 2 ? c 2 )

由椭圆定义可知 2a ? 2c, 即a ? c, 所以

a 2 ? c 2 ? 0, 设 a 2 ? c 2 ? b 2 (b ? 0), b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2
两边除以 a b 得
2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

2

2

椭圆的标 准方程

刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程, 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢?
由椭圆的定义得,限制条件: | PF | ? | PF2 |? 2a 1 由于
得方程
| PF1 |? x 2 ? ( y ? c) 2 , | PF2 |? x 2 ? ( y ? c) 2

x 2 ? ( y ? c ) 2 ? x 2 ? ( y ? c ) 2 ? 2a

(问题:下面怎样化简?) ( x ? c) 2 ? y 2 ? 2a 焦点在x轴   x ? c) 2 ? y 2 ? (

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 a b

?椭圆的标准方程的特点:
Y
M M F1 (-c,0)
2 2

Y F2(0 , c)

O

O
F2 (c,0) X
2

X
F1(0,-c)

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

y x ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b

2

(1)椭圆标准方程的形式:左边是两个分式的平方和,右边是1 (2)椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 (3)由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。

(4)椭圆的标准方程中,x2与y2的分母哪一个大,则焦点在

哪一个轴上。

?再认识!
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2 P

不 同 点




F1
O

F2

x

O

x

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

例3.求下列椭圆的焦点坐标,以及椭圆上
每一点到两焦点距离的和。
x2 (1) ? y 2 ? 1 4 x2 y2 (2) ? ?1 4 5 x2 y2 ? 2 ?1 2 a b
(3)4 x 2 ? 3 y 2 ? 4

解:椭圆方程具有形式 因此 c ?
a 2 ? b2 ? 4 ?1 ? 3

其中

a ? 2, b ? 1

两焦点坐标为

(? 3,0), ( 3,0)

椭圆上每一点到两焦点的距离之和为

2a ? 4

概念辨析

判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上, 并指明a2、b2,写出焦点坐标.
x2 y2 1)  + = 1答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0) 25 16

x2 y2 2)  + = 1 答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5) 144 169 x2 y2 3)  2 + 2 = 1 答:在y 轴上(0,-1)和(0,1) m m +1

典例讲评

例1

写出适合下列条件的椭圆的标准 方程. (1)a = 4 , b = 1, 焦点在x轴上.

(2)a = 4 , c = 15 ,焦点在y轴上. (3)a + b = 10 , c = 2 5 .

典例讲评

例2

已知椭圆两个焦点的坐标分别

是(-2,0),(2,0),并且经过
5 3 ,求它的标准方程. 点 ( ,? ) 2 2

三、椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程的推导

建 系 设 点

写 出 点 集

列 出 方 程

化 简 方 程

检 验

想 一 想 ?

如何求曲线 的方程呢?

形成结论

求椭圆方程的方法和步骤:
①根据题意,设出标准方程;
(根据焦点的位置设出标准方程)

②根据条件确定a,b的值; ③写出椭圆的方程.

小结:
一种方法: 求椭圆标准方程的方法 二类方程:

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0? 2 2 a b a b

三个意识: 求美意识, 求简意识,前瞻意识

课堂小结

(1)椭圆的定义: (2)标准方程的两种形式:

x y ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b
(3)求椭圆方程.

2

2

y x ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 2 a b

2

2

标准方程

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 a b
y P

x2 y2 + 2 = 1 ? a > b > 0? 2 b a y
F2

不 同 点




F1
O

P
x

F2

x

O

F1

焦点坐标 相 同 点 定 义

F1 ? -c , 0 ?,F2 ? c , 0 ?

F1 ? 0?,?- c ?,F2 ? 0?,?c ?

平面内到两个定点F1,F2的距离的和等 于常数(大于F1F2)的点的轨迹
a 2 = b2 + c2

a、b、c 的关系
焦点位置的判断

分母哪个大,焦点就在哪个轴上

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