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2016-2017唐山市高三摸底考试文科数学答案


唐山市 2016—2017 学年度高三年级摸底考试

文科数学参考答案
一、选择题: A 卷: BDCBA B 卷: BACBD 二、填空题: (13)2 2 CACDB CB CADDA CB (14) 3 5 (15) 2 (16)7

三、解答题: (17)解: (Ⅰ)设公差为 d,依题意有

10?9 ? ?10a + 2 d=110, ? 15?14 ? ?15a + 2 d=240.
1 1

解得,a1=d=2. 所以,an=2n. 2n+2 n+1 2n n 1 1 (Ⅱ)bn= + -2= + -2= - , 2n n n n+1 2n+2 n+1 1 1 1 1 1 1 1 n Tn=1- + - + - +…+ - = . 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 (18)解: (Ⅰ)连接 AC, ∵PA⊥底面 ABCD,∴∠PCA 即为直线 PC 与平面 ABCD 所成的角. PA 2 ∴tan∠PCA= = ,PA=2 2,得 AC=4. AC 2 ∵PA⊥底面 ABCD, BC?平面 ABCD, ∴PA⊥BC, 又∵BC⊥PB,PB∩PA=P, ∴BC⊥平面 PAB,又 AB?平面 PAB, ∴BC⊥AB. ∵△BCD 为等边三角形,AB=AD, ∴∠ACB=30° ,又 Rt△ACB 中,AC=4. ∴AB=ACsin 30° =2. C …6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,PB=PD=BD=BC=CD=2 3, ∴S△PBD=S△BCD. 设点 E 到平面 PBD 的距离为 h, ∵E 为 PC 中点, ∴点 C 到平面 PBD 的距离为 2h.
高三文科数学答案 第1页 E

…6 分

…12 分

P

B A

D

1 1 由 VC-PBD=VP-BCD 得 S△PBD·2h= S△BCD·PA, 3 3 解得 h= 2. …12 分 (19)解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知,数学成绩在[70,90),[90,110),[110,130), [130,150]内的频率分别为 0.1,0.4,0.3,0.2. ∴成绩在[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]内的人数之比为 1∶4∶3∶2, ∴采用分层抽样的方式抽取一个容量为 10 的样本,成绩在[70,90),[90,110), [110,130),[130,150]内所抽取的人数分别为 1,4,3,2. …5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,从[110,130),[130,150]两组抽取人数分别为 3 人和 2 人, 记从[110,130)中抽取的 3 人分别为 A1,A2,A3,从[130,150]中抽取的 2 人分别为 B1,B2.从这 5 个人中任取 2 人,有 {A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},共计 10 种等可能的结果, 其中恰有 1 人成绩在[110,130)包含{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2}, {A3,B1},{A3,B2},共计 6 种等可能的结果, 6 3 ∴抽取的 2 人中恰有 1 人成绩在[110,130)的概率 P= = . 10 5 …12 分 (20)解: b2 b2 b (Ⅰ)由题意可得 P(-c, ),所以 kOP=- ,kAB=- . a ac a b2 b 由 AB∥OP,所以- =- ,解得 b=c,a= 2c, ac a 由|AF|=a+c= 2+1 得 b=c=1,a= 2, x2 故椭圆 E 的方程为 +y2=1. 2

…4 分

(Ⅱ)依题意可设直线 CD:y=x+m(- 2<m<1) ,C(x1,y1),D(x2,y2). 将直线 CD 的方程代入椭圆 E 得 3x2+4mx+2m2-2=0, 2m2-2 4m x1+x2=- ,x1x2= , 3 3 |CD|= 2|x1-x2|= 4 3 3-m2.
2

…7 分 | 2+m|=1+
2 2

A( 2,0)到直线 CD 的距离 d1= B(0,1)到直线 CD 的距离 d2= 2

2

2

m;

2

|m-1|=

2



2

2

m.

1 2 2 所以四边形 ACBD 面积 S= ·|CD|·(d1+d2)= 1+ · 3-m2, 2 3 2

(

)

高三文科数学答案

第2页

2 3+ 6 所以当 m=0 时,S 取得最大值 . 3 (21)解: 1 1 x-1 (Ⅰ)f ?(x)= - 2= 2 , (x>0) x x x 所以 f (x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故 f (x)的最小值为 f (1)=1. (Ⅱ)若方程 f (x)=a 有两个根 x1,x2(0<x1<x2) , x2-x1 1 1 x2 则 ln x1+ =ln x2+ ,即 =ln >0. x1 x2 x1x2 x1 x2-x1 x2 要证 x1+x2>2,需证(x1+x2)· >2ln , x1x2 x1 x2 x1 x2 即证 - >2ln , x1 x2 x1 x2 x2 x1 x2 1 设 =t(t>1) ,则 - >2ln 等价于 t- >2ln t. x1 x1 x2 x1 t 1 1 2 12 令 g (t)=t- -2ln t,则 g?(t)=1+ 2 - = 1- >0, t t t t

…12 分

…4 分

(

)

所以 g (t)在(1,+∞)上单调递增,g (t)>g (1)=0, 1 即 t- >2ln t,故 x1+x2>2. t (22)解: (Ⅰ)因为△ABC 与△ABD 都是以 AB 为斜边的直角三角形, 所以 A,B,C,D 四点都在以 AB 为直径的圆上. 因为 BD 平分∠ABC,且 OD∥BC, 所以∠OBD=∠CBD=∠ODB,OB=OD. 又∠OAD+∠OBD=90°,∠ODA+∠ODB=90°, 所以∠OAD=∠ODA,OA=OD. 所以 OA=OB,O 是 AB 的中点,O 为圆心. (Ⅱ)由 BC=2CF=6,得 BF=3 5, AD BC 由 Rt△ADF∽Rt△BCF 得 = =2. DF CF 设 AD=2DF=2x,则 AF= 5x, BD BC 由 BD 平分∠ABC 得 = =2, DA CF 3 5+x 所以 =2,解得 x= 5,即 AD=2 5. 2x 连 CD,由(Ⅰ) ,CD=AD=2 5.
高三文科数学答案 第3页

…12 分

…5 分

…10 分

(23)解: (Ⅰ)由 A( 3,1)、B(- 3,1)得 C(- 3,-1)、D( 3,-1);
?x=2cos θ, 曲线 C2 的参数方程为? (θ 为参数) . ?y=sin θ

…5 分

(Ⅱ)设 M(2cos θ, sin θ),则 |MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2 =(2cos θ- 3)2+(sin θ-1)2+(2cos θ+ 3)2+(sin θ-1)2 +(2cos θ+ 3)2+(sin θ+1)2+(2cos θ- 3)2+(sin θ+1)2 =16cos2θ+4sin2θ+16=12cos2θ+20, 则所求的取值范围是[20,32]. (24)解: (Ⅰ)f (x)=|x+1|+|x-1|≥|(x+1)-(x-1)|=2, 当且仅当(x+1)(x-1)≤0 时取等号. 故 f (x)的最小值为 2,此时 x 的取值范围是[-1,1]. (Ⅱ)x≤0 时,f (x)≥2x 显然成立,所以此时 m∈R; x>0 时,由 f (x)=x+1+|mx-1|≥2x 得|mx-1|≥x-1. 1 由 y=|mx-1|及 y=x-1 的图象可得|m|≥1 且 ≤1, m 解得 m≥1,或 m≤-1. 综上所述,m 的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).

…10 分

…5 分

…10 分

高三文科数学答案

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