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江西省赣州市赣县中学北校区2014-2015学年高二上学期9月月考数学试卷(理科) Word版含解析



江西省赣州市赣县中学北校区 2014-2015 学年高二上学期 9 月月 考数学试卷(理科)
一、选择题 1. (3 分) A. C. ( ﹣ ﹣ ) + + + +…+ =() B. (1﹣ D. (1﹣ ) )

2. (3 分)过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是() A.x+y=5 B. x﹣y=5 C. x+y=5 或

x﹣4y=0 D.x﹣y=5 或 x+4y=0 3. (3 分)不等式 x >x 的解集是() A.(﹣∞,0) B.(0,1)
2

C.(1,+∞)

D.(﹣∞, 0) ∪ (1, +∞)

4. (3 分)若如图所示的程序框图输出的 S 是 30,则在判断框中 M 表示的“条件”应该是()

A.n≥3

B.n≥4
a b

C . n≥5

D.n≥6 的最小值为() D.

5. (3 分)设 a>0,b>0.若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.4 B. 2 C. 1

6. (3 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是三内角 A、B、C 的对边,A=75°,C=45°,b=2,则 此三角形的最小边长为() A. B. C. D.

7. (3 分)在下列命题中,不是公理的是() A.平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 8. (3 分)设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C. 若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α

9. (3 分)若两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,已知 A.7 B. C. D.

,则

=()

10. (3 分)在某市创建全国文明城市工作验收时,国家文明委有关部门对某校 2014-2015 学 年高二年级 6 名学生进行了问卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这 6 名学 生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组 成一个样本,则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为() A. B. C. D.

二、填空题 11. (3 分)为了解学生数学答卷情况,某市教育部门在 2015 届高三某次测试后抽取了 n 名同 学的第Ⅱ卷进行调查,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图) ,已知从左到右 第三小组(即[70,80)内)的频数是 50,则 n=.

12. (3 分)经过点 A(3,0) ,且与直线 2x+y﹣5=0 垂直的直线是. 13. (3 分)已知 x 与 y 之间的一组数据如表,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回 归方程为 =bx+0.35,那么 b 的值为 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

14. (3 分)某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 3:4:7,现 在用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 15 件,那么样本容量 n 为. 15. (3 分)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到 校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率 为(用数字作答) .

三、解答题 16.若 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) . ①求 BC 边上的高所在直线的方程; ②求 BC 边上的中线所在的直线方程. 17.已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球 6 个,其中红球 2 个、黑球 3 个、白球 1 个. (I)从中任取 1 个球,求取得红球或黑球的概率; (II)列出一次任取 2 个球的所有基本事件. (III)从中取 2 个球,求至少有一个红球的概率. 18.已知一个几何体的三视图如图所示. (Ⅰ)求此几何体的表面积; (Ⅱ)在如图的正视图中,如果点 A 为所在线段中点,点 B 为顶点,求在几何体侧面上从点 A 到点 B 的最短路径的长.

19.已知向量 =(sinA,sinB) , =(cosB,cosA) , 三边 a、b、c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA、sinC、sinB 成等差数列,且

=sin2C,且 A、B、C 分别为△ ABC

=18,求 c 边的长.

20.在等差数列{an}中,a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)令

,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

21.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F=2FB. (1)求证:EF⊥A1C1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值.

江西省赣州市赣县中学北校区 2014-2015 学年高二上学期 9 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题 1. (3 分) A. C. ( ﹣ ﹣ ) + + + +…+ =() B. (1﹣ D. (1﹣ ) )

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用裂项相消法可求得数列的和. 解答: 解:∵ ∴ + + + = +…+ )+( )+( )+…+( ﹣ )+( )+( ﹣ ,

= [(1﹣ )+( )]

= (1+ ﹣ = ( ﹣ ﹣



) ) ,

故答案选 C. 点评: 本题考查数列求和,对数列{ = . },其中{an}为等差数列,且公差 d≠0,则

2. (3 分)过点 A(4,1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是() A.x+y=5 B. x﹣y=5 C. x+y=5 或 x﹣4y=0 D.x﹣y=5 或 x+4y=0 考点: 直线的截距式方程. 专题: 计算题;分类讨论. 分析: 当直线过原点时,斜率为 ,由点斜式求得直线的方程,当直线不过原点时,设直线 的方程是:x+y=a,把点 A(4,1)代入方程求得 a 值. 解答: 解:当直线过原点时,斜率为 ,由点斜式求得直线的方程是 y= x.

当直线不过原点时,设直线的方程是:x+y=a,把点 A(4,1)代入方程得 a=5, 直线的方程是 x+y=5. 综上,所求直线的方程为 y= x 或 x+y=5.

故选 C. 点评: 本题考查用点斜式、截距式求直线方程的方法,体现了分类讨论的数学思想. 3. (3 分)不等式 x >x 的解集是() A.(﹣∞,0) B.(0,1)
2

C.(1,+∞)

D.(﹣∞, 0) ∪ (1, +∞)

考点: 一元二次不等式的解法. 分析: 对不等式先进行移项,然后再提取公因式,从而求解. 2 解答: 解:∵不等式 x >x, 2 ∴x ﹣x>0, ∴x(x﹣1)>0, 解得 x>1 或 x<0, 故选 D. 点评: 此题比较简单,主要考查一元二次不等式的解法:移项、合并同类项、系数化为 1.

4. (3 分)若如图所示的程序框图输出的 S 是 30,则在判断框中 M 表示的“条件”应该是()

A.n≥3

B.n≥4

C . n≥5

D.n≥6

考点: 循环结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据程序的流程,依次计算程序运行的结果,直到 S=30 时,判断 n 的值,从而确定 条件内容. 解答: 解:由程序框图知:第一次运行 n=1,S=2; 2 第二次运行 n=2,S=2+2 =6; 2 3 第三次运行 n=3,S=2+2 +2 =14; 2 3 4 第四次运行 n=4,S=2+2 +2 +2 =30, ∵输出 S=30,∴条件应是 n≥4, 故选:B. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,由框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.
a b

5. (3 分)设 a>0,b>0.若 3 是 3 与 3 的等比中项,则 A.4 B. 2 C. 1

的最小值为() D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用等比中项即可得出 a 与 b 的关系, 再利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. a b 2 a b a+b 解答: 解:∵3 是 3 与 3 的等比中项,∴3 =3 ?3 =3 ,∴a+b=2. a>0,b>0. ∴ = = =2.当且仅当 a=b=1 时取

等号. 故选 B. 点评: 熟练掌握等比中项、“乘 1 法”和基本不等式的性质是解题的关键. 6. (3 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是三内角 A、B、C 的对边,A=75°,C=45°,b=2,则 此三角形的最小边长为()

A.

B.

C.

D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 由三角形内角和定理算出 B=60°,从而得到角 C 是最小角,边 c 是最小边.再由正弦 定理 的式子,结合题中数据解出 c= ,即可得到此三角形的最小边长.

解答: 解:∵△ABC 中,A=75°,C=45°, ∴B=180°﹣(A+C)=60°,得角 C 是最小角,边 c 是最小边 由正弦定理 即三角形的最小边长为 故选:C ,得 ,解之得 c=

点评: 本题给出三角形两个角及第三个角的对边,求三角形中最小的边长,着重考查了三 角形内角和定理、大角对大边和正弦定理等知识,属于基础题. 7. (3 分)在下列命题中,不是公理的是() A.平行于同一个平面的两个平面平行 B. 过不在同一直线上的三个点,有且只有一个平面 C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上所有点都在此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 规律型. 分析: 根据公理的定义解答即可.经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他 判断加以证明的命题和原理就是公理. 解答: 解:B,C,D 经过人类长期反复的实践检验是真实的,不需要由其他判断加以证明 的命题和原理故是公理; 而 A 平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理. 故选 A. 点评: 本题考查了公理的意义,比较简单. 8. (3 分)设有直线 m、n 和平面 α、β,下列四个命题中,正确的是() A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B. 若 m?α,n?α,m∥β,n∥β,则 α∥β C. 若 α⊥β,m?α,则 m⊥β D.若 α⊥β,m⊥β,m?α,则 m∥α

考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 由面面平行的判定定理和线面平行的定理判断 A、B、D;由面面垂直的性质定理判 断 C. 解答: 解:A 不对,由面面平行的判定定理知,m 与 n 可能相交,也可能是异面直线;B 不 对,由面面平行的判定定理知少相交条件; C 不对,由面面垂直的性质定理知,m 必须垂直交线; 故选:D. 点评: 本题考查了线面的位置关系,主要用了面面垂直和平行的定理进行验证,属于基础 题.

9. (3 分)若两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,已知 A.7 B. C. D.

,则

=()

考点: 等差数列的性质. 分析: 由已知,根据等差数列的性质,把 转化为 求解.

解答: 解:



故选:D. 点评: 本题主要考查等差数列的性质,如果两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别是 Sn 和 Tn,仿照本题解析的方法一定有关系式 .

10. (3 分)在某市创建全国文明城市工作验收时,国家文明委有关部门对某校 2014-2015 学 年高二年级 6 名学生进行了问卷调查,6 人得分情况如下:5,6,7,8,9,10.把这 6 名学 生的得分看成一个总体.如果用简单随机抽样方法从这 6 名学生中抽取 2 名,他们的得分组 成一个样本,则该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的六个人的分数,代入求平均数的公式,求出平均数,实验发生包含的事 件是从 6 个总体中抽取 2 个个体,列举出所有的结果数,共有 15 种结果, 满足条件的事件列举出共有 7 种结果,根据古典概型概率公式得到结果.

解答: 解:总体平均数为

=7.5.

设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从总体中抽取 2 个个体全部可能的基本结果有: (5,6) , (5,7) , (5,8) , (5,9) , (5,10) , (6,7) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) , (7,10) , (8,9) , (8,10) , (9,10) ,共 15 个基本结果. 事件 A 包含的基本结果有: (5,9) , (5,10) , (6,8) , (6,9) , (6,10) , (7,8) , (7,9) ,共有 7 个基本结果; ∴所求的概率为 点评: 本题考查统计及古典概率的求法,易错点是对基本事件分析不全面.古典概率的求 法是一个重点,但通常不难,要认真掌握. 二、填空题 11. (3 分)为了解学生数学答卷情况,某市教育部门在 2015 届高三某次测试后抽取了 n 名同 学的第Ⅱ卷进行调查,并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图(如图) ,已知从左到右 第三小组(即[70,80)内)的频数是 50,则 n=125.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据频率分布直方图的矩形面积表示频率,求出第三小组的矩形面积,即为第三组 的频率,然后根据样本容量= ,可求出所求.

解答: 解:成绩在[70,80)的频率为:0.04×10=0.4, ∴第三小组的频率为:0.4, 2015 届高三某次测试后抽取了同学的总人数(总数= )为: =125(人)

故答案为:125. 点评: 本题主要考查了频率分布直方图,以及总数、频数、频率之间的关系,同时考查了 识图能力,属于基础题. 12. (3 分)经过点 A(3,0) ,且与直线 2x+y﹣5=0 垂直的直线是 x﹣2y﹣3=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 根据垂直关系设所求直线的方程为 x﹣2y+c=0,把点(3,0)代入直线方程求出 c 的值,即可得到所求直线的方程.

解答: 解:设所求直线的方程为 x﹣2y+c=0,把点(3,0)代入直线方程可得 3+c=0, ∴c=﹣3,故所求直线的方程为:x﹣2y﹣3=0, 故答案为:x﹣2y﹣3=0. 点评: 本题主要考查两直线垂直的性质,两直线垂直斜率之积等于﹣1,用待定系数法求直 线的方程. 13. (3 分)已知 x 与 y 之间的一组数据如表,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回 归方程为 =bx+0.35,那么 b 的值为 0.7 x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计.

分析: 由已知得 =

,由此能求出 b 的值.

解答: 解:由已知得 = = ,

=4.5,

=

= = =0.7.

故答案为:0.7. 点评: 本题考查回归直线方程的应用,解题时要认真审题,是基础题, 14. (3 分)某工厂生产 A、B、C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 3:4:7,现 在用分层抽样的方法抽出容量为 n 的样本,样本中 A 型产品有 15 件,那么样本容量 n 为 70. 考点: 分层抽样方法. 分析: 设出样本容量,根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等得到比例式,解出方 程中的变量 n,即为要求的样本容量. 解答: 解:设出样本容量为 n, ∵由题意知产品的数量之比依次为 3:4:7,





∴n=70, 故答案为:70. 点评: 抽样选用哪一种抽样形式,要根据题目所给的总体情况来决定,若总体个数较少, 可采用抽签法,若总体个数较多且个体各部分差异不大,可采用系统抽样,若总体的个体差异 较大,可采用分层抽样. 15. (3 分)某校早上 8:00 开始上课,假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到 校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5 分钟到校的概率 为 (用数字作答) .

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试验的 全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,则小张比小王至少 早 5 分钟到校事件 A={(x,y)|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,由图根据几何概率模型的规则 求解即可. 解答: 解:设小张到校的时间为 x,小王到校的时间为 y. (x,y)可以看成平面中的点试 验的全部结果所构成的区域为 Ω={(x,y|30≤x≤50,30≤y≤50}是一个矩形区域,对应的面积 S=20×20=400, 则小张比小王至少早 5 分钟到校事件 A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象,则符合题意的区域 为△ ABC,联立 得 C(45,50) ,联立 得 B(30,35) ,则 S△ ABC= ×15×15,

由几何概率模型可知小张比小王至少早 5 分钟到校的概率为 故答案为: .

=



点评: 本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率,求解的关键是掌握两种求概率的方法 的定义及规则,求出对应区域的面积是解决本题的关键.

三、解答题 16.若 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) . ①求 BC 边上的高所在直线的方程; ②求 BC 边上的中线所在的直线方程. 考点: 直线的一般式方程;两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系. 专题: 计算题. 分析: ①由已知中 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) .我们 可以求出直线 BC 的斜率,进而求出高的斜率,进而根据点斜式,求出答案. ②由已知中 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(4,0) ,B(6,7) ,C(0,3) .我们可以求出 直线 BC 的中点的坐标,进而根据二点式,求出答案. 解答: 解:①∵B(6,7) ,C(0,3) . ∴直线 BC 的斜率 kAB= =

故 BC 边上的高所在直线的斜率 k= 设 BC 边上的高所在直线的方程为 y= ∵A(4,0) , 解得 b=6 故 y= x+6 x+b

即 3x+2y﹣12=0 ②∵B(6,7) ,C(0,3) . ∴BC 边上的中点为(3,5) ∵A(4,0) , 则 BC 边上的中线所在的直线方程为 即 5x+y﹣20=0 点评: 本题考查的知识点是直线的点斜式方程,直线的两点式方程,直线的一般式方程, 熟练掌握直线各种形式的适用范围是解答本题的关键. 17.已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球 6 个,其中红球 2 个、黑球 3 个、白球 1 个. (I)从中任取 1 个球,求取得红球或黑球的概率; (II)列出一次任取 2 个球的所有基本事件. (III)从中取 2 个球,求至少有一个红球的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;综合题. 分析: (I)从中任取 1 个球,求取得红球或黑球的概率,需要先算出此事件包含的基本事 件数,以及所有的基本事件数,由公式求出即可; (II)列出一次任取 2 个球的所有基本事件,由于小球只有颜色不同,故将红球编号为红 1, 红 2,黑球编号为黑 1,黑 2,黑 3,依次列举出所有的基本事件即可;

(III)从中取 2 个球,求至少有一个红球的概率,从(II)知总的基本事件数有 15 种,至少 有一个红球的事件包含的基本事件数有 9 种.由公式求出概率即可. 解答: 解: (Ⅰ)从 6 只球中任取 1 球得红球有 2 种取法,得黑球有 3 种取法,得红球或黑 球的共有 2+3=5 种不同取法,任取一球有 6 种取法, 所以任取 1 球得红球或黑球的概率得 ,

(II)将红球编号为红 1,红 2,黑球编号为黑 1,黑 2,黑 3,则一次任取 2 个球的所有基本 事件为: 红1红2 红1黑1 红1黑2 红1黑3 红1白 红 2 白红 2 黑 1 红 2 黑 2 红 2 黑 3 黑 1 黑 2 黑 1 黑 3 黑 1 白黑 2 黑 3 黑 2 白 黑 3 白 (III)由(II)知从 6 只球中任取两球一共有 15 种取法,其中至少有一个红球的取法共有 9 种,所以其中至少有一个红球概率为 .

点评: 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,求解本题关键是正确得出总的 基本事件数以及所研究的事件包含的基本事件数, 本题 2 中用列举法列举所有的基本事件要注 意列举的方式,做到不重不漏,分类列举是一个比较好的列举方式. 18.已知一个几何体的三视图如图所示. (Ⅰ)求此几何体的表面积; (Ⅱ)在如图的正视图中,如果点 A 为所在线段中点,点 B 为顶点,求在几何体侧面上从点 A 到点 B 的最短路径的长.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (I)几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体,由三视图判断圆锥与圆柱的底面半径 与母线长,根据其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和,代入公 式计算; (II)利用圆柱的侧面展开图,求得 EB 的长,再利用勾股定理求 AB 的圆柱面距离. 解答: 解: (Ⅰ)由三视图知:几何体是一个圆锥与一个圆柱的组合体,且圆锥与圆柱的底 面半径为 2,母线长分别为 2 、4, 其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.

S 圆锥侧= ×2π×2×2

=4

π;

S 圆柱侧=2π×2×4=16π; 2 S 圆柱底=π×2 =4π. ∴几何体的表面积 S=20π+4 π; (Ⅱ)沿 A 点与 B 点所在母线剪开圆柱侧面,如图: 则 AB= = =2 , .

∴以从 A 点到 B 点在侧面上的最短路径的长为 2

点评: 本题考查了由三视图求几何体的表面积与体积,考查了圆柱面上两点的最短距离问 题,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键.

19.已知向量 =(sinA,sinB) , =(cosB,cosA) , 三边 a、b、c 所对的角. (1)求角 C 的大小; (2)若 sinA、sinC、sinB 成等差数列,且

=sin2C,且 A、B、C 分别为△ ABC

=18,求 c 边的长.

考点: 等差数列的性质;平面向量数量积的坐标表示、模、夹角. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用两个向量的数量积公式求得 可得 从而求得 C 的值. ,再由已知 ,

(2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列,得 2sinC=sinA+sinB,由条件利用正弦定理、余弦定理 求得 c 边的长. 解答: 解: (1)由于 对于△ ABC,A+B=π﹣C,0<C<π,∴sin(A+B)=sinC,∴ 又∵ ,∴ .…(6 分) ,…(2 分) .…(3 分)

(2)由 sinA,sinC,sinB 成等差数列,得 2sinC=sinA+sinB, 由正弦定理得 2c=a+b.…(8 分)∵ ,即 abcosC=18,ab=36.…(10 分)

由余弦弦定理 c =a +b ﹣2abcosC=(a+b) ﹣3ab,…(11 分) 2 2 2 ∴c =4c ﹣3×36,c =36,∴c=6.…(12 分) 点评: 本题主要考查等差数列的性质,查两个向量的数量积公式、正弦定理、余弦定理的 应用,属于中档题. 20.在等差数列{an}中,a1=2,a1+a2+a3=12. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

2

2

2

2

考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)由 a1+a2+a3=3a2 可求 a2,结合已知及,d=a2﹣a1 可求 d,进而可求通项 an, (2)由 =2n?3 ,考虑利用错位相减求和即可
n

解答: 解: (1)∵a1=2,a1+a2+a3=3a2=12. ∴a2=4,d=a2﹣a1=2 ∴an=2+2(n﹣1)=2n (2)∵ ∴ ∴3Sn=2?3 +4?3 +…+(2n﹣2)?3 +2n?3
2 3 n 2 3 n n+1

=2n?3

n

两式相减可得,﹣2Sn=2(3+3 +3 +…+3 )﹣2n?3 ∴

n+1

﹣2n?3

n+1

=2×

﹣2n?3

n+1

点评: 本题主要考查了等差数列的通项公式的求解及错位相减求和方法的应用,属于数列 知识的简单应用 21.如图,在棱长为 a 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 是棱 D1D 的中点,点 F 在棱 B1B 上,且满足 B1F=2FB. (1)求证:EF⊥A1C1; (2)在棱 C1C 上确定一点 G,使 A,E,G,F 四点共面,并求此时 C1G 的长; (3)求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值.

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)连结 B1D1,BD,由已知条件推导出 A1C1⊥DD1,从而得到 A1C1⊥平面 BB1D1D.由此能证明 EF⊥A1C1. (2)以点 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间 直角坐标系,利用向量法能求出当 C1G= 时,A,E,G,F 四点共面.

(3) 利用已知条件求出平面 AEF 的法向量和平面 ABCD 的一个法向量, 由此能求出平面 AEF 与平面 PQ 所成二面角的余弦值. 解答: (1)证明:连结 B1D1,BD,∵四边形 A1B1C1D1 是正方形,∴B1D1⊥A1C1. 在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中, ∵DD1⊥平面 A1B1C1D1,A1C1?平面 A1B1C1D1,∴A1C1⊥DD1. ∵B1D1∩DD1=D1,B1D1,DD1?平面 BB1D1D,∴A1C1⊥平面 BB1D1D. ∵EF?平面 BB1D1D,∴EF⊥A1C1. (2)解:以点 D 为坐标原点, 以 DA,DC,DD1 所在的直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴, 建立如图的空间直角坐标系, 则 A(a,0,0) ,A1(a,0,a) ,C1(0,a,a) , ∴ , . , ,

设 G(0,a,h) , ∵平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1,平面 ADD1A1∩平面 AEGF=AE, 平面 BCC1B1∩平面 AEGF=FG, ∴存在实数 λ,使得 ∵ ∴ ∴λ=1, ∴当 C1G= .∴C1G= 时,A,E,G,F 四点共面. , . , . . . ,

(3)解:由(1)知 设 =(x,y,z)是平面 AEF 的法向量,



,即

取 z=6,则 x=3,y=﹣2.

所以 =(3,﹣2,6)是平面 AEF 的一个法向量.



是平面 ABCD 的一个法向量,

设平面 AEF 与平面 ABCD 所成的二面角为 θ, 则 cosθ= .

故平面 AEF 与平面 PQ 所成二面角的余弦值为 .

点评: 本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算 等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运 算求解能力



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