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一道课本题的研究价值、解法探讨与问题拓展



4 2  

数 学通报 

2 0 1 0年  第 4 9卷  第 3期 



道课本题 的研究价值 、 解法探讨 与问题拓展 
姜 兴 荣 
( 江 苏 省 大 丰 高 级 中学 2 2 4 1 0 0 )  

1 题 目与 研 究 的 价 值  1

. 1  题目   已 知 圆 C:   +y   一2 x +4 y 一4 —0 ,  

所以 - z 1 z 2 +( z l +6 ) (  2 +6 ) 一0 ,  
所以 2 x 1  2 +6 ( z l + 2 ) +b   一0  
b  

(*)  

是 否存在 斜率 为 1的直 线 z , 使以z 被 圆 C截 得 的 
弦 AB为直 径 的 圆 过 原 点 ?若 存 在 , 求 出直线 z   的方程 ; 若 不存 在 , 说 明理 由( 苏 教 版高 中课 程 标 

2 消去 Y 由 1 z z 十   。 一  十   4 — 消 去  得 得 关于z   +4 4   4 —0 0 x  y- - 
由 


的二次 方程 : 2   +2 ( 6 +1 )  + b 。 +4 6 —4 —0 ,  
f  l +z 2 一 一( 6 +1 )  

准实验 教科 书数学 必修 2第 1 1 6页第 2 7 题) .  
1 . 2 研 究 的价值 :( 1 ) 从类 型上 看 这是 一道 典 型  的探索 性 问题 , 该 种 题 型 在课 本 例 习题 中并 不 多  见, 对一 名高一 初 学 者来 说 是 一 次难 得 的学 习探  索 性 问题 解法 的机 会 ; ( 2 ) 从 涉及 的知 识 看 , 本 题  涉 及到 直线 的方 程 、 圆的方 程 、 直 线与 圆的位 置关 

则 1  一   ( 6 z + 4 6 — 4 ) 代 人 ‘ *   式 得 :  
2× b — 2 +  4 b - 4
— —



6 ( 6 +1 )+ 6  一 0 .  

解 方程得 : 6 —1或 一4 , 代 入 A一4 ( 一b   一6 b  
+9 ) 均 满足 △ >0 ,  

系等知识 , 具有 一 定 的综 合 性 , 认 真研 究 它 , 有 助 
于增 强知 识间 的联 系 、 促 进 知识 结 构 的 优化 ; ( 3 )   从研 究 的对 象看 , 有 静 态 的 圆 c, 有 动态 的直 线 z   及动态 的 以弦 AB 为 直 径 的 圆 及 它 们 的相 互 关  系, 认 真研究 它 , 能使 学 生从 中学会处 理动 态 问题  常见思 维策 略 , 感 悟 动 与静 的辩 证关 系 ; ( 4 ) 从解  决 问题 的方法 看 , 可从 方程 的角 度展 开常规 思考 ,  
也 可从 图形 的方 向巧妙 的切 入 , 以此 来 锻 炼 学 生  多 角度探 讨 问题 的 能 力 ; ( 5 ) 从 开 发 利 用 的 方 面 

所以, 存在 满 足条件 的直线 z , 其 方程 为 
—  

+ 1或  — 一4 .  

点评  ( 1 ) 采用 了“ 设 而不求 ” 的手 法 , 即设 出 
了两 交点 的坐标 A( L z   , y   ) 、 B(  。 , Y   ) , 通 过 横坐  标 z   , . z  将所 有 题 设条 件 坐 标 化 , 以此 沟 通各 条  件之 间的关 系 , 进 而从 中找 到 了解 决 问题 的方 法 ,   这种思 想方法 是解 析几 何 中处 理此 类 问题 的通 性  通法 ; ( 2 ) 用 到 了一 元二 次方程 的根 与系数 的关 系 

看, 这是一 道绝佳 的“ 原 型题 ” , 有着 极大 的拓展 延  伸空 间 , 认 真研究 它 , 有 助于 培养学 生思 维的深 刻  性、 灵 活性 等 良好 品质.  
2 解 法 探 讨 

即韦达 定理 , 而韦达 定理 的 内容在 现行初 、 高 中数  学新 教材 中已被 “ 淡化” 处理 , 不 要 求 学 生重 点 掌  握, 所以, 这种解 法对 不熟悉 韦 达定理 的学 生而 言 
是有 一定 困难 的 , 作为简明、 易学 、 实 用 的韦 达定 

配套 的教 学参考 书及 各种 教辅资料 几乎 都是 
用 下述 方法求 解 的.   解 法一 假 设 存 在 满 足 条 件 的直 线 z : Y — 
+b , 记 A(  1 , Y 1 ) 、 B(  2 , Y 2 ) .  

理在新 课程 中被 “ 冷落 ” , 不 能不说 是件憾 事 , 建议  实际 教学 中将其作 为 一元二 次方 程知识 的延 伸部 
分补充 一下 ; ( 3 ) 该 题 不 是 非 用 韦达 定 理 不可 , 如  果 我们 变换 一 下思 考 的 角 度 或探 索 的 方 向 , 不 难  得 到另外 一些 解法 , 下 面我们 择其 两种 , 供 大家 参 
考.  

因 为 以 AB 为 直 径 的 圆 过 原 点 ,   所以O Aj - 0 B, 故 是   ? 走 ∞一 一1 ,  
所 以 
- 』I 】  

解 法二
?丝 一 一 1即  1  2 +y 1 y 2 —0  
- 』  2  

利 用平 几知 识求 解.  

假设存 在满 足条 件 的直线 z :  = = =  +6 ,   由平 面 几何 圆 的知 识 知 : 弦 AB 的垂 直 平 分 

因为 Y 1 一z l +b , Y 2 一 2 +b,  

2 O 1 0年  第 4 9卷  第 3期 
线 过 圆 心 C( 1 , 一2 ) ,  

数 学通 报 
以下 同上.  

4 3  

由 AB 垂 直 平 分 线 的 方 程 与 直 线 AB 的 方 程  

点评  ( 1 ) 善 于利 用 平几 知识 来分 析 、 探 求 直 
线 与 圆 的位 置关 系 问题 , 不 仅 容 易 找 到解 决 问题 

联 立 方 程 组   {   + 2 一 一 1 . ( z 一 1 ) , 解 得 弦   A B 的   的思 路 , 而且 解题 过程 也 往往 比较 简捷 .  
中 点 坐 标 D ( 一 b 丁 + l , b T - 1 ) , 如 图 1  
/ 

( 2 ) 利用 圆 系方程 解 决直 线与 圆 、 圆与 圆 位置  关 系 问题 是 一种 非 常 实用 的方 法 , 尽 管教 材 中没  有“ 明文 ” 提及它, 但 作 为 一 种 重 要 的 解题 方 法 在  学 习 中进 行 总结 、 提炼 和 应用 确有 其必 要性 , 况且  用 它 求解 , 有 时可 避开 一 些繁 杂 的推算 环节 , 何 乐 
而不 为 1   3   延 伸 拓 展 

= = =  

一  

3 . 1 “ 题 目” 中以弦 AB为 直径 的 圆过 原 点 , 当然 
= = =  

也能 过其 它 点 , 问 题 是 所 过 的 点 能 否是 平 面 上 的  任 意 点 ?如 果 不 能 , 应 满 足 什 么 条 件 ? 因 弦 AB  
在 圆 C 的 内部 , 故 以 弦 AB 为 直 径 的 圆 的 活 动 范 

圈 1  

因 为 以 弦 AB 为 直 径 的 圆 D 过 原 点 ,  

围是 有 区域 限制 的 , 所 以, 以弦 AB 为 直径 的 圆经 

所 以 圆



的 半 径

D A — DO = = =  

过 的点应 局 限 于 某 一 范 围 内 , 不 是 平 面 内 的任 意 
点. 设 以弦 AB为直 径 的 圆过点 M ( x 。 , Y 。 ) , 将“ 解  法 探 讨” 中的“ 解 法三 ” 中的原 点 坐标 换 成 点 M 的  坐标 M ( - z 。 , Y 。 ) 得:  

√ (  )   + (  ) 。 一 √  ,  
在 Rt △C D A 中, DA   +C D。 = = = C A。 ,  

+ (   +   )   + ( 一 2 一   ) 。  
解得 : 6 —1或 一4 ,   所以, 存 在 满足 条件 的直线 z , 其 方程 为 
一- z +1 或  — z 一4 .  

l 会 一2 —1 ~鲁+6 ∞6 一   一3  
厶 

l z   +  一 2 3 : 0 +4 y o 一4 + ( _ z 0 一 o +6 ) 一0  

6 。 +( z o —Y o +3 ) b +( z ; +  : +z 0 +Y o 一4 ) = = = 0  
(* * )  

注  C D 的长 也 可 以用 点 C 到 直线 z的距 离 
公式 求 , 即C D一  
√2  

又( 2 一 )  + (  一 4 ) 。 一4 ( 锨一4 ) > 0即 


.  

3— 3  

<6 < 一 3+ 3  

,  

解法三

利 用 圆系 方程 求解 .  

因此 , 以 弦 AB 为 直 径 的 圆 能 过 的 点 M ( z 。 ,  

假设 存 在满 足条 件 的直 线 z :  —z+6 .   设 过 A、 B两 点 的圆 的方程 为 (   + 。 一2 z + 
4  一 4 )+ A( z— 十 6 )一 0,  

Y 。 ) 应 满 足条 件 : 关 于 b的 方 程 (* *) 在 区 问 

( 一3 —3 √ 2 , 一3 +3 √ 2 ) 内有解 .  
思考 若将“ 题 目” 中 的条 件 “ 以 弦 AB 为直  径 的 圆过原 点” 改为 “ 以弦 AB 为直 径 的 圆 内含点 
M( z 。 , Y 。 ) ” , 结论 又将 如何 ?   3 . 2  “ 题 目” 中 的 圆 C是 静 态 的 、 直线 Z 是 动 态 

整 理得 :  。 +. y   一( 2 一 ) z一 ( A 一4 )  + 6  一 4  
— 0   (* )  

则 以 弦

AB

为 直 径 的 圆 的 圆 心 

的, 我们 可 以将 问题变 成 直线 是静 态 的 、 圆是 动态 

D (   一 害 ,   一 2 ) , 代 入 直 线 A B 即 z 的 方 程 得 :  
鲁一 2 — 1 一 鲁+ 6 ,  
因为 圆 D 过 原点 , 所以  6 —4 —0 ,  
由 ① ② 解 得 :I  



的形 式 研究 .   如 已知 直 线 z : z— Y一4—0 , 是 否 存 在 以点 
C ( 1 , 一2 ) 为 圆心 的 圆 , 使 得 以 圆 C截 直 线 z 所 得  的弦 AB 为直径 的圆过 点 M ( 一1 , 1 ) ?若存 在 , 求 

①  
② 

= -

l  



I  一 4  


1 l   一 一 



代 人 方 程 (*)  

出 圆 c的方程 ; 若 不存 在 , 说 明理 由.  
解析 本 题 可用 上述 “ 解 法探 讨” 中的三 种方  法求 解. 下 面 以“ 解法 三” 为例 给 出解题 过 程 , 另两 

检 验知 , 均 符合题 意 .  

4 4  

数 学通 报  

2 0 1 0年  第 4 9卷  第 3期 

种请 读者 自己完成.   假设存 在 满足 条件 的 圆 C: 3 2 。 +y   一2 x +4 y  
设 以 弦 AB 为 直 径 的 圆 的 方 程 为 D : (  。 +. y 。  


计 成 直 线 与 抛 物 线 Y= = = a x 。 +b x+ c相 交 形 成 的 

弦、 或 两个 圆相交 形成 的弦 、 或其 它 曲线 相交 形 成  的弦 等情形 研究 .   如 已知 直线 :  —z +6与抛 物线 Y—z 。 ~2 x  

2 z+ 4  + 研 ) + ( x- -  一 4 ) 一 0,  

+1 相 交 于 A、 B两点 , 是 否存在 实数 b 的值 , 使得 
以线 段 AB 为 一 条 弦 且 半 径 是 , / 7 3 的 圆 的 圆 心 在 

因 为 圆 心D ( 1 一 ≥ , 害 一 2 ) 在 直 线 A B 即 z  
上 ,  

直线  : Y一 一2 x + 1上 ?若 存 在 , 求 出 b的值 ;   若不 存在 , 请说 明理 由.  

所 以 (   一 丢 j ~ ( 鲁 一 z ) 一 4 — 0 , 故   一 一   .  
又 因为 圆 D 过点 M ( 一1 , 1 ) , 所以8 +  一6 A  
所 以 m一 一 1 4 .  

解析

因 圆心在 直线 m 上 , 故可 设 圆心 坐标 

为 C ( n , 1 —2 a ) .  

设 弦 AB 中点 为 D , 则 由平 几 知 识 知 : 直 线 

所以, 存 在 满 足 条 件 的 圆 C: . 7 2 。 +  一 2  + 4 y  

D c 垂 直 平 分 弦 A B , 进 而 有 C D 。 + (  )   一 R 。 一  
1 3 .  

3 . 3 将“ 题 目” 中以弦 AB 为 直径 的 圆过 某 定 点  ( 原 点或 其 它 定 点 ) 改 成 以 AB 为 直 径 的 圆与 直 

设 A( x 1 , Y 1 ) 、 B( x 2 ,  2 ) ,  

由   』   —   + 6   2  + 1   X 2 ~ ~  3 x + +  1 — 一 6 6: : 0 0    
—  





线、 圆等其 它 图形位 置关 系来 研究 .   如 已知 圆 C: z   +  。 一2 x +4 y -4 —0 , 是 否存 
在斜 率为 1的直线 z , 使以z 被 圆 C截 得 的 弦 AB  

矿  1 一 —2 —   , 矿 z 2 一 T — 3 + — —  ̄   一 4 b ( I   6 D > / > 一 } —   ) I , ’  
所 以 点 D 坐 标 :   。 一   专   一 号 ,  
D —  D 十6 一詈 +6 ,  
姜 +  一( 1 —2 a )  
所 以 CDJ _ AB=  ̄ k c D一 一 1 = > 三 —_- —一
一  

为直径 的 圆与直 线 m : . 2 7 +y 一 2相 切 ?若 存 在 ,  
求 出圆 D 的方 程 ; 若 不存在 , 说 明理 由.   解 析  因过 弦 AB 的 圆与 直 线  相 切 难 以   化成 z   , z  的关 系式 , 故 本 题 不 宜用 “ 解法探讨”  

中的“ 解法 一” 来求解. 下 面 我们 用 “ 解 法二 ” 的 方  法 给出解题 过程 , “ 解 法 三” 的求解 过 程 请读 者 自  
行完 成.   同“ 解 法探讨 ” 中“ 解 法二 ” 得 :圆 D 的 圆 心 D 
= == 一

 

1   n= = = 一 b 一 2,  

AB= = = 、 , / (  1 一  2 )   +(  1   ly 2 )  
一  

( 一   ,   ) , 半径D A一  

一  

  ~  f I —f — l 0 + — 8 b ,  

√ 3 。 一 (   ) 。 一  ̄ / — 9 - 6 b 匣 - b 2 ,  
因为 圆 D 与直 线 m 相 切 , 所 以 圆 心 D 到 直 

C D—  a -( 1 —2 a ) +6 l —I   3 n +6 —1  
  J 3 ( 一易 一2 ) +6 —1 {   J   7 +2 6   J  

线  距离 d—DA,  
b +  1. b -1

所 以 

√ 2  





f 9 - 6 b - b 2   ,  

所 以 c D 。 十 (  )   一  
一1 3  6 一一1或 一7 ( 舍) .  

+  

解得 b =O或 一 6 .  

所 以, 存在 满足条 件 的实数 6 一一1 .   注  ( 1 ) 本 题 也 可用 韦达 定 理 求 弦 AB 中点  D 的坐标 和弦长 AB; ( 2 ) 本 题 不 能用 圆 系方 程求  应 首选 垂径定 理作 为探 求解法 的 ( 下转 第 4 7页)  

所 以, 存 在 满 足 条 件 的 圆 D, 其 方 程 为 

( z + 丢 ) 。 +(   + 丢 )   一导或( z 一 号 ) 。 +   解( 为什 么 ? ) ( 3 ) 题 设 中若 出 现 圆 的弦 的条 件 , 则  (   十 丢 )   一 号 .  
3 . 4 将“ 题 目” 中 直线 与 圆 相 交形 成 的弦 AB 设 

2 0 ] 0年

第 4 9卷

第 3期 

数 学通报 

4 7  

图形和 加强 变式 训 练 , 通过 情 景 的变换 , 达 到强 化  模 式 的 目的. 通 过 指 导 学 生 对 解 题 过 程 进 行 分 析  提炼 , 洞察 题 目的类 型 或模 式 , 提炼 题 目的深层 结  构, 促 进抽 象概 括 能力 的提 高 . 抽象 是把 问题 的本  质 特征 和非 本 质 特 征 区分 开 来 , 并 抽 取 出本 质 特  征 而舍 弃非 本 质 特 征 ; 概 括 是 把 某 类 个 别 问题 中  抽 取 出来 的本 质属 性 , 推广 到 该类 的一 切 问题 中 ,   从 而形 成关 于 这 类 问题 的普 遍 性 认 识 . 模 式 只有  通 过概 括 , 才 能 上层 次 , 概括的层次越高 , 迁 移 的  半 径就 越 大.   ( 3 ) 在复 习课 教学 中 , 帮助 学生 对课 本 学 习 内 

转化 的观点来 解 决 其 他 问题 , 在 模式 形 成 并 巩 固  后, 要逐 渐地 淡化 模 式意 识 , 使 学 生 能 自觉 地运 用 
数学 的思想 方法 , 统 摄地 解决 问题 .  
( 5 ) 注重 元认 知 对模 式识 别 的调节 作用 . 学 生 

在模 式识 别 方 面 表 现 出 不 能 辨认 、 混 淆 或 错 用 模  式, 与学 生缺 乏 有 意识 地 区别 、 辨认 、 连 接 模 式 的  能力 有关 . 而元 认 知 恰 恰 是 帮 助 主 体 澄 清 、 区分 、  
固化 模 式 的必 要 手 段. 所 以在 启 发 学 生进 行 模 式  辨认 、 连接 的过 程 中 , 要 注重 利用 元认 知知 识 的导 

引作 用 , 使学 生 能主 动地 理解 问题 , 在 不 断的 分析  综 合过 程 中 , 提 示 问题 的 特 征 , 辨 认 问 题 的模 式 ,   并 主动 地搜 索 问 题 解 决 策 略 , 与 主 体 已有 的 问题 
解决 经 验 、 策略 、 方 法 等相 连 接 , 达 到解 决 问题 的 
目的 .  

容进行 总 结归 类 . 比如 : 在每一单元学习之后 , 对 
例题 、 作业 进行 一些 总 结 , 弄清 一共 有 几个 主要 类  型, 每 一类 型各 有 几种解 决 的方 法 . 这种 模 式积 累 
途 径 的本 质是 , 形成 知识网络, 优化认知结构 , 知  识 在 这个 积 累 的过 程 中 , 会 形 成 越 来 越 清 晰 的 思 

参 考 文 献 

维路径 图 , 而 这个 思 维路 径 图 又会 在 模 式 积 累 中  越 来越 牢 固 、 越 来 越畅 通.   ( 4 ) 加 强数 学 思 想 方法 对 培 养 模 式 识 别 能 力  的统摄 作 用. 布鲁 纳指 出 , 数学 思想 方法 是 通 向迁  移 的“ 光 明大道 ” . 由于 数学 思 想方 法 的存在 , 才 使 

1 涂荣豹. 数学教学认识论[ M] . 南 京 师 范 大 学 出版 社 , 2 0 0 3 , 1 2  
2 曹才翰 , 章建跃. 中学 数 学 教 学 概 论 [ M] . 北 京 师 范 大 学 出 版 
社 , 2 0 0 8  

3 梁好翠. 论 数 学 应 用 问 题 解 决 的认 知 过 程 模 式 E J ] . 钦 州 学 院 
学报 , 2 0 0 8 , 6  

4 罗增儒. 数 学 解 题 中的 “ 模式识别” [ J ] . 中学数学教学参 考( 初 
中 ), 2 0 0 6, 1 0、 1 1  

数 学 知识 不再 是孤 立 的单 点 , 或 离散 的片 断 , 使 得  解 决数 学 问题 的方 法不 再是 刻 板 的套路 和个 别 的 


5 苗天志 , 苗天慧. 数 学 问 题 解 决 的心 理 分 析 [ 门. 上 饶 师 范 学 院 
学报 , 2 0 0 6 , 3  

招一 式 , 因此 , 数 学 思想 方法 在数 学认 知 结 构 中 

6 夏子厚 , 尹玉枝. 数学问题解决认知模式的理论探讨 [ , ] . 教 学 
与管理 , 2 0 0 7 , 3  

起 着 固定 的作 用. 另一 方 面 , 数 学思 想方 法 是数 学 

概念、 理论 的相 互 联 系和价 值 所在 , 是贯 穿 于数 学 
的, 具 有一 定包 摄性 和 概括 性 的观念 . 在 模 式 训 练 

7 芮玉贵. 数 学 解 题 学 习 的理 论 研 究 [ D] . 南 京 师 范 大 学 硕 士 论 
文, 2 0 0 1  

时, 要 使学 生 掌握 其 中 的思 想 方 法 , 并 能用变化 、  

( 上接 第 4 4页) 切入点 ; ( 4 ) 在 直 线 上 取 点 或 其 它 
曲线上 取点 , 可借 助 于 它 的方 程 只 用 一 个 字 母 参 
数 表示 所取 点 的坐 标 ; ( 5 ) 解 直 线与 曲线 相 交 的 问 

和专 业 素养 , 更 是一 个数 学 教师 帮助 学生摆 脱 “ 题  海 战术 ” 之苦, 实施 高效 教学 活 动的最 佳途 径 和必  由之路 .  

题 要注 意代 入 △检验 .  
有 兴趣 的读 者 可对 本文 中的这 道课 本题 作 更 
深 人 的研究 .  

以上所 述 , 是 笔 者对 一 则课 本 习题 解 法 与 拓 
展 的几 点拙 见 , 意在 就如 何用 好教 材 中 的例 习题 ,  

如何 充 分发 挥 课 本 的资 源 性 作 用 , 教 师 如 何 依 托 
教 材搞 好教 学 设 计 、 积 极 开 展 有 效 教 学 活 动 等 诸 
方面, 求 教 于 同行 , 以期 抛砖 引 玉.  

重 视 和 加 强 对 课 本 中例 题 、 习题 的 拓 展 、 引  伸、 变式 研 究 , 注 重 对 隐 含 于 其 中思 想 方 法 的 归 
纳、 整理 和 提炼 , 是 一个 数学 教 师应 有 的教学 态 度 



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