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【精品一轮 特效提高】2014高考总复习(理数)-题库:9.6 抛物线



9.6 抛物线
一、选择题 1.抛物线 x2=(2a-1)y 的准线方程是 y=1,则实数 a=( 5 A. 2 B. 3 2 C.- 1 2 ) D.- 3 2

1 ?1 ? 解析 根据分析把抛物线方程化为 x2=-2? -a?y,则焦参数 p= -a, 2 ?2 ? 1 1 -a -a 2 p 2 3 故抛物线的准线方程是 y= = ,则 =1

,解得 a=- . 2 2 2 2 答案 D 2.若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点在圆 x2+y2+2x-3=0 上,则 p=( 1 A. 2 C.2 D.3 B.1 )

解析 ∵抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为( ,0)在圆 x2+y2+2x-3=0 上,∴ +p 2 4 -3=0,解得 p=2 或 p=-6(舍去). 答案 C 3.已知抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2+y2-6x-7=0 相切,则 p 的值为 ( 1 A. 2 ). B.1 C.2 D.4

p

p2

解析 抛物线 y2=2px(p>0)的准线为 x=- ,圆 x2+y2-6x-7=0,即(x-3)2 2 +y2=16,则圆心为(3,0),半径为 4;又因抛物线 y2=2px(p>0)的准线与圆 x2

p

+y -6x-7=0 相切,所以 3+ =4,解得 p=2. 2 答案 C 4. 已知直线 l 过抛物线 C 的焦点 , 且与 C 的对称轴垂 直, l 与 C 交于 A,B 两点, |AB|=12,P 为 C 的准线上一点,则△ABP 的面积为( A.18 B.24 C.36 ). D.48

2

p

解析 如图,设抛物线方程为

y2=2px(p>0). p

[来源:Z。xx。k.Com]

∵当 x= 时,|y|=p, 2 ∴p= |AB| 12 = =6. 2 2

又 P 到 AB 的距离始终为 p, 1 ∴S△ABP= ×12×6=36. 2 答案 C 5. 过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点,点 O 是原点,若

AF ? 3 ,则 ?AOB 的面积为(
A.
2 2

) C.
3 2 2

B. 2

D. 2 2

答案 C

[来源:Z_xx_k.Com]

6.将两个顶点在抛物线 y2=2px(p>0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角 形个数记为 n,则( A.n=0 C.n=2 解析 结合图象可知,过焦点斜率为 ). B.n=1 D.n≥3 3 3 和- 的直线与抛物线各有两个交点, 3 3

所以能够构成两组正三角形. 本题也可以利用代数的方法求解, 但显得有些麻烦. 答案 C 7.已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与 P 到该 抛物线准线的距离之和的最小值为( A. 17 2 B.3 ) C. 5 D. 9 2

[来源:Zxxk.Com]

?1 ? 解析 依题设 P 在抛物线准线的投影为 P′,抛物线的焦点为 F,则 F? ,0?.依 ?2 ? 抛物线的定义知 P 到该抛物线准线的距离为|PP′|=|PF|,则点 P 到点 A(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和 d=|PF|+|PA|≥|AF|= 17 . 2 答案 A 二、填空题 8.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,点 A(0,2).若线段 FA 的中点 B 在抛物线 上,则 B 到该抛物线准线的距离为________. ?p ? ?p ? 解析 设抛物线的焦点 F? ,0?,由 B 为线段 FA 的中点,所以 B? ,1?,代入抛 ?2 ? ?4 ? ?1?2 ? ? +22= ?2?

p p 3p 3 2 物线方程得 p= 2,则 B 到该抛物线准线的距离为 + = = . 4 2 4 4

答案

3 2 4

9.已知动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆的圆心的轨迹方程为 ________. 解析 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与其到直线 x=-1 的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为 y2=4x. 答案 y2=4x 10.已知抛物线 y2=4x 的焦点为 F,准线与 x 轴的交点为 M,N 为抛物线上的一 点,且满足|NF|= 3 |MN| ,则∠NMF=________. 2 3 MN,∠NMF=∠MNP. 2

解析 过 N 作准线的垂线,垂足是 P,则有 PN=NF,∴PN= 3 , 2

又 cos∠MNP=

∴∠MNP= π 6

π π ,即∠NMF= . 6 6

答案

11.设圆 C 位于抛物线 y2=2x 与直线 x=3 所围成的封闭区域(包含边界)内,则 圆 C 的半径能取到的最大值为________. 解析 依题意, 结合图形的对称性可知, 要使满足题目约束条件的圆的半径最大, 圆心位于 x 轴上时才有可能,可设圆心坐标是(a,0)(0<a<3),则由条件知圆的

?? x-a? 方 程是(x-a) +y =(3-a) .由? 2 ?y =2x
2 2 2

2

+y2=?

3-a?

2

消去 y 得 x2+2(1

-a)x+6a-9=0,结合图形分析可知,当 Δ =[2(1-a)]2-4(6a-9)=0 且 0 <a<3,即 a=4- 6时,相应的圆满足题目约束条件,因此所求圆的最大半径 是 3-a= 6-1. 答案 6-1

12. 过 抛 物 线 y 2 ? 2 x 的 焦 点 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A, B 两 点 , 若
AB ? 25 , AF ? BF , 则 AF = 12



答案

5 6

三、解答题 13.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C 的顶点在原点,经过点 A(2,2),其焦点

F 在 x 轴上.
(1)求抛物线 C 的标准方程; (2)设直线 l 是抛物线的准线,求证:以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 解析 (1)设抛物线 y2=2px(p> 0),将点(2,2)代入得 p=1. ∴y2=2x 为所求抛物线的方程. 1 (2)证明:设 lAB 的方程为:x=ty+ ,代入 y2=2x 得:y2-2ty-1=0,设 AB 的 2

1+2t2 中点为 M(x0,y0),则 y0=t,x0= . 2

[来源:学科网 ZXXK]

1 1+2t2 1 ∴点 M 到准线 l 的距离 d=x0+ = + =1+t2.又 AB=2x0+p=1+2t2+1 2 2 2 1 =2+2t2,∴d= AB,故以 AB 为直径的圆与准线 l 相切. 2 14. 抛物线的顶点在原点, 以 x 轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为 135°的直线, 被抛物线所截得的弦长为 8,试求该抛物线的方程. 解析 依题意,设抛物线方程为 y2=2px(p>0), 1 则直线方程为 y=-x+ p. 2 设直线交抛物线于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点, 过 A、B 分别作准线的垂线,垂足分别为 C、D, 则由抛物线定义得
[来源:学科网 ZXXK]

|AB|=|AF|+|F B|=|AC|+|BD| =x1+ +x2+ , 2 2 即 x1+x2+p=8.① 又 A(x1,y1)、 B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,

p

p

?y=-x+1 p, 2 由? ?y =2px,
2 2

消去 y,

得 x -3px+ =0,所以 x1+x2=3p. 4 将其代 入①得 p=2,所以所求抛物线方程为 y2=4x. 当抛物线方程设为 y2=-2px(p>0)时,

p2

同理可求得抛物线方程为 y2=-4x. 综上,所求抛物线方程为 y2= 4x 或 y2=-4x. 【点评】 ? 是 y2=-2px? 1? 根据问题的条件,抛物线方程可能是 y2=2px?

p>0? ,也可能

p>0? ,任何一种情况都不要漏掉.?

2? 要由定“性”和“量”两个方面来确定抛物线的方程.定“性”, 即确定开口 方向,便于设抛物线的方程.定“量”,即求所设方程中的参数 p. 15.设抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F,Q 是抛物线上除顶点外的任意一点,直线 → QO 交准线于 P 点, 过 Q 且平行于抛物线对称轴的直线交准线于 R 点, 求证: PF·→ RF =0.
2

p ?p ? 证明 y2=2px(p>0)的焦点 F? ,0?准线为 x=- . 2 ?2 ?
? p ? 设 Q(x0,y0)(x0≠0),则 R?- ,y0?, ? 2 ? 直线 OQ 的方程为 y= x,此直线交准线 x=- 于 P 点, x0 2

y0

p

py0? ? p 易求得 P?- ,- ?.∴y2 0=2px0, 2x0? ? 2 py0? py0 ? ∴→ PF·→ RF=?p, ?·(p,-y0)=p2- =p2-p2=0. 2x0? 2x0 ?
2

16.如图所示,抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点,点 P(1,2),A(x1,

y1),B(x2,y2)均在抛物线上.

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程; (2)当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求 y1+y2 的值及直线 AB 的斜率. 解析 (1)由已知条件,可设抛物线的方程为 y2=2px(p>0). ∵点 P(1,2)在抛物线上,∴22=2p×1,解得 p=2. 故所求抛物线的方程是 y2=4x,准线方程是 x=-1. (2)设直线 PA 的斜率为 kPA,直线 PB 的斜率为 kPB, 则 kPA=

y1-2 y2-2 (x1≠1),kPB= (x ≠1), x1-1 x2-1 2

∵PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,∴kPA=-kPB. 由 A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上,得

y2 1=4x1,① y2 2=4x2,② y1-2 y2-2 ∴ =- ,∴y1+2=-(y2+2). 1 2 1 2 y1-1 y2-1 4 4
∴y1+y2=-4.
2 由①-②得,y2 1-y2=4(x1-x2),

∴kAB=

y1-y2 4 = =-1(x1≠x2). x1-x2 y1+y2



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