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课例:平面向量基本定理



中 学数学教 学参考  

锄 Www。 z h o n g s h u c a nco nl 


耳 面向 {基  定 
金从 晓( 浙 江 省三 门 中学 )  

“ 平 面 向量基 本定 理 ” 是 人 教 A 版 普通 高 中课程  标 准实 验教 科 书《 数学 4 》 ( 必修) 第

二章“ 平 面 向量 ”   的核 心 内容 , 平面 向量基 本定 理是 平 面 向量 正交 分解  及坐标 表示 的基 础 , 也 是二 维 向量 运 算 与转 化 的理论  基础 。教 师通常 会 照本 宣 科 , “ 轻松” 地 给 出该 定 理 ,  
而忽视 其 与前一 节知识 的密 切联 系 , 以强化 定 理 的应 

2 教 学 过 程 实 录 
2 . 1 设 置 问题 , 引入 课 题 

教师: 上节 课学 习 了共线 向量 定 理 , a / / b c :  ̄ b 一  
( 口 ≠0 ,  ∈R) , 并 且 得 到 了一 个 推论 : 若 点 P是 直 线  AB  ̄- -, 4, 有  一  +  (  + 一 1 ) 且商 = 


用技 巧来替 代 对定 理 的本 质 理 解 。为 了引 导 学 生 深 
层次地 思考 与理 解平 面 向量 基本 定 理 , 让 学 生 的思 维  火花 一触 即发 , 笔者在 一次 教研 活动 中做 了如 下 的设  计与 实践 。  

请 同学们 先解答 以下几个 问题 。  

问 题 1: 如图 1 , 已 

知平行 四边形 0  C B,  

过 点 C作 AB 的平 行 线 

l 教 学 目标 及 重 点 、 难 点 
1 . 1 教 学 目标  ( 1 ) 复习共 线 向 量定 理 及 推 论 , 了解 共 线 向量 的  表示 方法及 形式 ;  

KL, 对 于直 线 KL 上 任 


意 一 点 Q, 0  能 否 用 
、 

2  

表示 ?   ’  

学生思 考 片 刻, 集

( 2 ) 经历一 组 “ 等高线” 的呈 现 与 探 究 , 形 成 平 面 
向量 基 本 定 理 ;  

体 做肯 定 回答 。   教师 : 联结 O Q 交 AB 于 P, 由相 似 得 0  = 

( 3 ) 理 解平 面 向量基 本 定 理 基 底 的意 义 与 作 用 ,  
学会 选择 基底 ;  

2   , 故可将  表示 为  
+ 一 2。  

+  商 的形式 , 且有 

( 3 ) 深 刻体 会 “ 两 定 理 一推 论 ” 间 的 内在 联 系 , 能 
用定 理求 解相关 问题 。   1 . 2 教 学重点 

问题 2 : 过 HC 的 中 点 作 直 线 AB 的平 行 线 ( 设 
H 为对 角 线 O C、 AB交 点 ) , 这 条 直线 上 的任 意 一 点 

Q   ,   可mmo -  ̄、 碡 怎样表示?( 图略)  

理解 平面 向量基 本定 理及其 蕴涵 的转化 思想 。  
1 . 3 教 学难点  平面 向量基 本定 理 的发现 与形成 过程 。   此, 这充 分表 明 了方 程 的“ 圆” 性, 在教 学 中可 以对 此  稍作 渲染 。再 比如 : 直观性 方 面 。方 程 z   +y 。 一1的 

学生:   一   +   菌,   +   一 导。  
厶 

教师: 这 是否 与地理 中的“ 等 高 线” 类似 ?任 意 作 
教 学 的问题 , 也 涉 及 与相 关 学 科 是 否 相 匹 配 的 问 题 ,  

还 涉及 学生 可否 承受运 算量 的 问题 。  
参考 文献 :  

所有解 的对应点 都在 单位 圆上 , 以形 助 数 能够 得 到方  程z   +  一1的所 有有 理数 解 的表达 形式 , 进 而得 出   具有 勾股 定理背 景 的不定 方 程 z 。 +Y 。 一z  的所 有 整  数解 的表 达形 式 [ 3 ] , 此 内容 可 以通 过 板 报 、 兴 趣 小 组 
活动 来开 展 。  

[ 1 ] 单螬. 普 通 高 中课 程 标 准 实 验 教 科 书 : 数学 2 ( 必修)  

[ M] . 4版. 南京 : 江苏教育出版社 , 2 0 1 2 .  
[ 2 ] 严士健 , 张奠宙 , 王尚志. 普 通 高 中数 学 课 程 标 准 ( 实验)  

解 读[ M] . 南京 : 江 苏 教 育 出 版社 , 2 0 0 4 .   [ 3 ] 张顺燕. 数学 的 源与 流[ M] . 2版 . 北京 : 高 等 教 育 出 版 
社, 2 0 0 8 .  

此外 , 教师 还需考 虑“ 圆与方 程 ” 的教学 是 置 于高  中哪个学 段 。由于这 涉及 学生 的心 理 、 经验 能 否适 应 

W W W. z h o n g s h u e a n . ( * O I l l 越 
直线 AB 的一条 平行 线 与 O A、 0 B分 别 相交 于 D 、 E,  

中 学 数 学 教 学 参 考  

对于直线 D E上任意一点 P   , - o - P   -  ̄ o - - 3 ; 、  ̄ s - o z g怎 
样 的关 系 ?  

詈  +   , 求   的 值 。  
( 停顿 , 大 多数 学 生 有 困难 )  
教师 提示 :   3十  1≠ 1


学生 :  

=惫  

一  

+ o - g, -  + =忌 。  

若 系 数 和 

图3  

教师: 也 就是 说该 平面 内任 一 向量都 可 以表示 为  两个 不 共线 向 量  、   的 线 性 组 合 。反 过 来 , - o 7 i 、  
的线性 组 合对应 的 向量是 否都 在该 平面 上呢 ?  

是 1该多好 啊 !  

学 生 1 : 如 图 4 , 取 A C 的 中 点 E ,  一 _ 詈 _  +  

问题 3 : 请 同学 们分 别 作 出 向量 


+2  

,  

2  

,  

~ 

。  


_ 詈 _  , 所 以 B 、 P 、 E 三 点 共 线 , 且 器: _ 詈 - ,   一  
2   Sz x e B c 1   3 —’ —z S x  ̄ —c— —— 5 —。  
.— —

教师: 这 些 向量都 在上述 平 面 内吗?  
学生: 是的。  

学生 2 : 如图 4 , 延 长 AP 与 

2 . 2 抽 象概 括 。 诠 释定 理 

BC相 交 于 点 D ,  

一 

一 

教师: 若将 所有 的 向量 的 始 点放 在 一 起 , 平 面 内 

的任意 一 点 都 可 以用 两 个 不 共 线 的 向量 表 示 , 反 过 
来, 这两 个 向量 的线性 组合对 应 的 向量都 在 这个 平 面  上 。也 就是平 面 内任何 一 个 向量 都 可 以用 两 个 不 共  线 的 向量 来表 示 。  
平面 向量基本 定理  如 果 e   、 e  是 同一平 面 内 的  两个 不 共 线 向量 , 那 么 对 于 这 一 平 面 内 的任 意 向量 


+ 詈  , 则 _  ̄Y t l 一 1 , m   丢 , 所 以   一 i 1 。  

图 4  

教师 : 运 用平 面 向量基 本定 理 的关 键在 于选 择合  适 的基 底 , 三点共 线 的用 法要好 好 体会 。学 生 2将 点  P以点 A 为 中心转 化到 直 线 B C上 , 不 受 限 于 系数 ,   也 值得 仔细 体会 。  
例 3   如图 5 , 扇 形 AO B 中,  
、  

a , 有 且 只有 一对实 数 l 、   2 , 使得 口 一  1 e   +  2 e 2 。  
我们 把不 共线 的 向量 e 。 、 e 。 叫做 表示 这一 平面 内   所有 向量 的一 组基 底 。  

/ AOB=6 0 。 , O A一 1 , 点 P 在AB上 ,  

学 生思考 与讨 论 :   ( 1 ) 作为 基底 的这 两个 向量是 什 么位置 关 系?  
( 2 ) 表示 平面 上任 一 向量的基 底有 多少 组 ?  

一z   +  o - - g, 求z +   的取值 
范 围。   学 生练 习 , 教 师巡 视 。  
D 

’  

( 3 ) 当基 底确 定后 向量 的表示 是否 唯一 ?  
2 . 3 深入探 索 。 应用 实践  例 1   如图 2 , / x , ABC 中 , O  是 BC 的 中点 , 过 点 。 的直 线 与 

教师 : P与 A 或 B 重合时 ,   +Y取 最 小 值 1 , P   在 何处 时  +. y值 最大 ?   学生 : 过 P点 的切线 与 AB平 行 时 。  
9  

教师 : 很好 , 答案是 1 ≤ z+ ≤  √ 3 。如 果 求 z  
J 

直 线 AB、 AC相 交 于 点 D、 E, 若 
:= =   ,   一   ,

+3  的取值 范 围 , 要 怎么做 ? 留给 同学们 课后 研究 。  
求  + 
I   r L 

图2  

2 . 4 课堂 小结 。 反 思 提 炼 

1  

的值 。  

教师 : 这节课 我们 在共 线 向量 的基 础 上得 到 平面  向量基 本定 理 , 并 围绕 着共 线 向量 这一 主线 做 了一些 

学生 ( 板演 ) : - A - 6一   1(   +   ) 一  

?   ,

+  

巩 固训 练 。 同一 平 面 上 的 任 一 向量 都 可 以 用 两个 基  底 来 表示 , 一般 来 说 同 一个 问题 基 底 只选 定 一 组 , 便 
于将所 有 的点 线 关 系转 化 为基 底 之 间 的运 算 。在转  化 的过程 中 , 有时基底是可以选择的, 也 是 需 要 选 择 

n 

N N  D、 0、 E 三点共 线 , 所 以  m+  一1 , 即  厶  厶 
。 

1 +1 —2

的 。例 如 : 例 1中先选 择 了两 组基 底 , 而 后进 行 化 归 ;  
处理 三角形 问题 时 , 也可 以选择 三 条边 中的 其 中两 条 

教师: 同学们 选择 了两 组基 底来 表示 同一 个 向量 


可 见基 底是 需要 选择 的 。   例 2   如图 3 , 已 知 点 P 在 AABC 内 ,   一  

作 为基 底再 进行 转化 。请 同学们 深 刻理 解 “ 两定 理一  推论” 间 的内在 联系 , 在求 解相 关 问题 中仔 细体 会 。  



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