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高二数学理科每周一练4,12.3.24



高二理科每周一练 4
一.填空题: 1. 设 i 是虚数单位,复数 2.已知向量 n ? (0, ? 2,
?
? ? ai

??i ?? 2 ) , m ? (0, 0,1)

为纯虚数,则实数 a 为 则它们的夹角余弦值等于
? b ? ( 0 , 1 , 则这两个平面的二面角为 1)

3.已知两个平面的法向量分别为: a ? (0,1, 0 )

?

4.(2008 佛山二模理)对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式:
2 ? 1? 3
2

; 3 ? 1 ? 3 ? 5 ; 4 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ; 2 ? 3 ? 5 ; 3 ? 7 ? 9 ? 11 ;
2 2 3 3

3 3 4 ? 1 3 ? 1 5 ? 1 7 ? 1 9 根据上述分解规律, 5 ? ___________________, m ( m ? N ) 的 则 若

3

*

分解中最小的数是 2 1 ,则 m 的值为_________. 5.图(1)(2)(3)(4)分别包含 1 个、 、 、 、 5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉 祥物“福娃迎迎”,按同样的方式构造图形,设 第 n 个图形包含 f ( n ) 个“福娃迎迎”,则 f (5) ? ; f ( n ) ? f ( n ? 1) ? . (用数字或 n 表示)

6.(2008 中山一模)观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有_______个小正方 形,第 n 个图中有__________个小正方形.

7.(2008 湛江二模)设
S3, S9 , S6

Sn

是等比数列

? a n ? 的前 n 项和, 对于等比数列 ? a n ? ,有命题 p : 若
Sm , Sn , Sl

成等差数列,则

a 2 , a8 , a5

成等差数列成立;对于命题 q :若

成等差数列,

则_______________成等差数列.请将命题 q 补充完整,使它也是真命题.(答案不唯一) 8.(2009 江苏)在平面上,若两个正三角形的边长的比为 1:2,则它们的面积比为 1:4,类 似地,在空间内,若两个正四面体的棱长的比为 1:2,则它们的体积比为 。 9.(2009 浙江文)设等差数列
{a n }

的前 n 项和为

Sn

,则

S4



S8 ? S 4



S12 ? S 8



S16 ? S12



T1 6

等差数列.类比以上结论有:设等比数列 等比数列.

{b n }

的前 n 项积为

Tn

,则

T4





T1 2



10.(2008 深圳一模)在 R t ? A B C 中,两直角边分别为 a 、 b ,设 h 为斜边上的高,则
1 h
2

?

1 a
2

?

1 b ,由此类比:三棱锥 S ? A B C 中的三条侧棱 S A 、 S B 、 SC 两两垂直,且长度
2

分别为 a 、 b 、 c ,设棱锥底面 A B C 上的高为 h ,则



11.(2008 珠海一模)边长为 a 的等边三角形内任一点到三边距离之和为定值,这个定值等 于 ;将这个结论推广到空间是:棱长为 a 的正四面体内任一点到各面距离之和等 于 .
??? ? ??? ? ???? ? S ?OBC ? O A ? S ?OAC ? O B ? S ?OAB ? O C ? 0 O 在 ? A B C 内, 12.若点 则有结论 , 把命题类比

推广到空间,若点 O 在四面体 A B C D 内,则有结论:_____________________________. 13. (2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规 律,第 n 行( n ? 3 )从左向右的第 3 个数为 2 4 1 3 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ??????

14. (2006 广东)在德国不莱梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商场橱窗里用同样的乒乓球堆 成若干准“正三棱锥”形的展品,其中第一堆只有一层,就一个乒乓球;第 2、3、4、?堆 最底层(第一层)分别按图 4 所示方式固定摆放.从第一层开始,每层的小球自然垒放在下 一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f ( n ) 表示第 n 堆的乒乓球总数,则
f (3) ?

; f (n) ?

(答案用 n 表示).

二.解答题: 15.求值(1) 复数
i ?i ?i
2 3 4

1? i

(2)复数 z ?

3?i (1 ? 3i )
2

,求 z

(3)若 ( x ? i ) i ? y ? 2 i , x , y ? R ,求复数 x ? yi

16.已知复数 z 1 满足 ( z1 ? 2 )(1 ? i ) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z 2 的虚部为 2,且 z 1 ? z 2 是 实数,求 z 2 .

17.如右下图, 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知 AB= 4, AD =3, AA1= 2.E、F 分别是 线段 AB、BC 上的点,且 EB= FB=1. D1 (1)求二面角 C-DE-C1 的正切值; C1 (2)求直线 EC1 与 FD1 所成的余弦值. A1 B1 D A
第 15 题图

C E B F

18.如图 1 所示,在 Rt ? ABC 中, AC ? 6 , BC ? 3 , ? ABC ? 90 ? , CD 为 ? ACB 的平 分线,点 E 在线段 AC 上, CE ? 4 .如图 2 所示,将 ? BCD 沿 CD 折起,使得平面 BCD ? 平面 ACD ,连结 AB ,设点 F 是 AB 的中点. (1)求证: DE ? 平面 BCD ; (2)若 EF // 平面 BDG ,其中 G 为直线 AC 与平面 BDG 的交点,求三棱锥 B ? DEG 的 体积.

19.如图,平面 ABDE ? 平面 ABC , ? ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 ,四边形
BD // AE , BD ? BA , BD ? ABDE 是直角梯形, 1 2 AE ? 2 , O , M , N 分别为 CE , AB , EM

的中点。 (1) 求证: OD // 平面 ABC ; (2) 求证: ON ? 平面 ABDE ; (3) 求直线 CD 与平面 ODM 所成角的正弦值。

答案: 1, 2 2.
3 3

3. 45 或 135

0

0

4. 21 ? 23 ? 25 ? 27 ? 29 ,. 5

5. 41 , 4 n ? 4

6.

? n ? 1 ?? n ? 2 ?
2

7. a m ? k , a n ? k , a l ? k ,

8.

1:8

9.

T 8 T 12 , T 4 T8

10.

1 h
2

?

1 a
2

?

1 b
2

?

1 c
2

11.

3 2

a,

6 3

a

12, V O ? BCD ? OA ? V O ? ACD ? OB ? V O ? BAD ? OC ? V O ? ABC ? OD ? 0
n ? n ? 1 ?? n ? 2 ? 6

13. 15. ?1 ?

n

2

?n?6 2

14.. 10 ,

1? i 2

?2 ?

1 2

? 3 ?2 ? i

16. 4 ? 2 i 17. ?1 ? 18.
2 2 , , ?2 ? 21 14

19. ?3 ?

30 10



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