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数学修5配套课件:3.4.3 基本不等式的实际应用(数学备课大师网 为您整理) (30)



章末整合提升

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专题一:正弦、余弦定理的应用
1.正弦定理主要有两个方面的应用:(1)已知三角形的任 意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的 第三个角,由正弦定理可以计算出三角形的另两边;(2)已知三 角形的任意两边和其中一边的对角,应用正弦定理,可以计算 出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边 和角.
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2.余弦定理主要有两方面的应用:(1)已知三角形的两边 和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边,进而求出其他两角; (2)已知三角形的三边,利用余弦定理求出一个角,进而求出其 他两角.

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【例 1】 在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a, A+B C b,c,a=2 3,tan 2 +tan 2 =4,2sinBcosC=sinA,求 A,B 及 b,c. A+B C 解:由 tan 2 +tan 2 =4, ?π C? A+B C ? ? sin 2- 2 cos 2 A+B sin 2 ? ? ∵tan 2 = = ?π = C, ? C A+B cos?2- 2 ? sin 2 cos 2 ? ? C C cos 2 sin 2 1 ∴ C + C=4.∴ C C=4. sin 2 cos 2 sin 2 cos 2
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1 π 5π ∴sinC=2.又 C∈(0,π),∴C=6或 C= 6 . 由 2sinBcosC=sinA,得 2sinBcosC=sin(B+C), 即 sin(B-C)=0. π 2π ∴B=C,B=C=6,A=π-(B+C)= 3 . a b c 由正弦定理sinA=sinB=sinC,得 sinB b=c=a· sinA=2 1 2 3× =2. 3 2
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【互动与探究】 1.若△ABC 的三个内角满足 sinA∶sinB∶sinC=5∶11∶ 13,则△ABC( C )

A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形

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2.(2013 年浙江)在锐角三角形 ABC 中,内角 A,B,C 的
对边分别为 a,b,c,且 2asinB= 3 b.

(1)求角 A 的大小;
(2)若 a=6,b+c=8,求△ABC 的面积.

解:(1)由已知得到:2sinAsinB= 3sinB, 且
? π? B∈?0,2?,∴sinB≠0. ? ?

? π? 3 π ? ? ∴sinA= 2 ,且 A∈ 0,2 .∴A=3. ? ?
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1 (2)由(1)知 cosA=2,由已知得到: 1 36 = b + c - 2bc× 2 ? (b + c)2 - 3bc = 36 ? 64 - 3bc = 36 ?
2 2

28 bc= 3 , 1 28 3 7 3 ∴S△ABC=2× 3 × 2 = 3 .

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专题二:正弦、余弦定理、三角函数与向量的 综合应用

【例 2】 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, →· → =BA →· → =k(k∈R). 若AB AC BC (1)判断△ABC 的形状; (2)若 c= 2,求 k 的值.
→· → =cbcosA,BA →· → =cacosB, 解:(1)∵AB AC BC →· → =BA →· →, 又AB AC BC ∴bccosA=accosB. ∴sinBcosA=sinAcosB.
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即 sinAcosB-sinBcosA=0, ∴sin(A-B)=0. ∵-π<A-B<π, ∴A=B. ∴△ABC 为等腰三角形. (2)由(1)知:a=b;
2 2 2 2 b + c - a c →· → =bccosA=bc· ∴AB AC 2bc = 2 .

∵c= 2,∴k=1.
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【互动与探究】
15 → → 3.已知△ABC 中,AB=a,AC=b,a· b<0,S△ABC= 4 ,|a|

=3,|b|=5,则∠BAC=( C )
A.30° C.150° B.-150° D.30°或 150°

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4.△ABC的面积是 30,内角 A,B,C 所对边长分别为 a, 12 b,c,cosA=13. →· → 的值; (1)求AB AC

(2)若 c-b=1,求 a 的值. ?12? 12 5 2 解:由 cosA=13,得 sinA= 1-?13? =13. ? ? 1 又2bcsinA=30,∴bc=156. 12 → → (1)AB· AC=bccosA=156×13=144. (2)a2=b2+c2-2bccosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)
? 12? =1+2×15×?1-13?=25.∴a=5. ? ?
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专题三:解三角形的实际应用 正弦定理、余弦定理在实际生产生活中有着非常广泛的 应用.常见题有距离问题、高度问题、角度问题以及求平面图 形的面积问题等.解决这类问题时,首先要认真分析题意,找 出各量之间的关系,根据题意画出示意图,将要求的问题抽象 为三角形模型,然后利用正弦、余弦定理求解,最后将结果还 原为实际问题.

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【例 3】 如图 1-1,A,B,C,D都在同一个与水平面垂 直的平面内,B,D 为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面

A 处测得 B点和 D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得 B 点和 D 点的仰角均为 60°,AC=0.1 km.试探究图中 B,D 间 距离与另外哪两点间距离相等,然后求 B,D 的距离(计算结果
精确到 0.01 km, 2≈1.414, 6≈2.449).

图 1-1
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解:在△ACD中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC= 30°, 所以 CD=AC=0.1 km. 又∠BCD=180°-60°-60°=60°, 故 CB 是△CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA.

AB AC 在△ABC 中, = , sin∠BCA sin∠ABC ACsin60° 3 即 AB= sin15° = 3 因此,BD= 2+ 6 , 20

2+ 6 ≈0.33(km). 20
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故 B,D 的距离约为 0.33 km.

【互动与探究】 5.如图 1-2,位于 A 处的信息中心获悉:在其正东方向相 距 40 海里的 B 处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心 立即把消息告知在其南偏西 30°、相距 20 海里的 C 处的乙船, 现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往 B 处救援,求cosθ的值.

图 1-2
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解:在△ABC 中,AB=40,AC=20,∠BAC=120° . 由余弦定理知: BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos120° =2800, 所以 BC=20 7. 21 AB 由正弦定理,得 sin∠ACB=BCsin∠BAC= 7 . 7 由∠BAC=120° 知:∠ACB 为锐角,故 cos∠ACB= 7 . 又 θ=∠ACB+30° ,则 cosθ=cos(∠ACB+30° ) 21 =cos∠ACB×cos30° -sin∠ACB×sin30° = 14 .
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2

6.如图 1-3,△ACD 是等边三角形,△ABC 是等腰直角三
角形,∠ACB=90°,BD 交 AC 于点 E,AB=2. (1)求 cos∠CBE 的值;

(2)求 AE 的长.

图 1-3
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解:(1)∵∠BCD=90° +60° =150° ,CB=AC=CD, ∴∠CBE=15° . 6+ 2 ∴cos∠CBE=cos(45° -30° )= 4 . (2)在△ABE 中,AB=2,故由正弦定理,得 2 AE = . sin?45° -15° ? sin?90° +15° ? 1 2×2 2sin30° 故 AE= cos15° = = 6- 2. 6+ 2 4
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