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北师大版高中数学必修一课时作业(九) 2.2.3



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课时提升作业(九)
映 射

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.(2014·济源高一检测)已知集合 A={a,b},集合 B={0,1},下列对应不是

A 到 B 的映射的是( )

【解析】选 C.A,B,D 均满足映射的定义,C 不满足,A 中元素 a 在 B 中有两个元素 与之对应,且 A 中元素 b 在 B 中无元素与之对应. 2.(2014·延安高一检测)设集合 A={2,4,6,8,10},B={1,9,25,49,81,100},下面 的对应关系 f 能构成 A 到 B 的映射的是( A.f:x→(x-1)2 C.f:x→-2x-1 )

B.f:x→(2x-3)2 D.f:x→(2x-1)2

【解析】 选 A.观察集合 A 与 B 中的元素,可知集合 A 中元素减 1 后的平方对应集 合 B 中的元素.故选项 A 构成从 A 到 B 的映射. 【变式训练】(2014·安庆高一检测)设集合 A={x|1≤x≤2},B={y|1≤y≤4},则 下述对应关系 f 中,不能构成 A 到 B 的映射的是( )

A.f:x→y=x2 C.f:x→y=-x+4

B.f:x→y=3x-2 D.f:x→y=4-x2

【解析】选 D.对于选项 A,当 1≤x≤2 时,y=x2∈[1,4],符合题意;对于选项 B,当 1≤x≤2 时,y=3x-2∈[1,4],符合题意;对于选项 C,当 1≤x≤2 时,y=-x+4∈[2,3] ? [1,4],符合题意;对于选项 D,当 1≤x≤2 时,y=4-x2∈[0,3],不合题意. 3.(2014·南昌高一检测)设集合 A={a,b,c},集合 B=R,以下对应关系中,一定能 建立集合 A 到集合 B 的映射的是( A.对集合 A 中的数开平方 C.对集合 A 中的数取算术平方根 ) B.对集合 A 中的数取倒数 D.对集合 A 中的数立方

【解析】选 D.当 a<0 时,对 a 开平方或取算术平方根均无意义,则 A,C 项错;当 a=0 时,对 a 取倒数无意义,则 B 项错;由于任何实数都有立方,并且其立方仅有一 个,所以对集合 A 中的数立方能建立映射. 4.(2014·丰城高一检测)已知 a,b 为实数,集合 M= 把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x,则 a+b 等于( A.-1 B.0 C.1 D.±1 ,N={a,0},f:x→x 表示 )

【解析】选 C.由已知可得 M=N,故 解得 所以 a+b=1.

5.对全集 U,如果存在两个非空集合 A,B,满足 A∩B=?,A∪B=U,则集合 A,B 就称为 集合 U 的一个分割,若 U={小于等于 10 的正奇数},把集合 U 分割成 A,B,使得 B 中的元素大于 A 中的元素,并在集合 A 到集合 B 之间建立映射 f,则可建立的映射 f 的个数是( )

A.4

B.22

C.25

D.45

【解题指南】本题关键是找到 A, B 分割的所有可能,然后借助公式求出每种分 割中映射的个数. 【解析】选 B.所有的分割为①{1},{3,5,7,9},②{1,3},{5,7,9}, ③{1,3,5},{7,9},④{1,3,5,7},{9},其中分割①可建立 4 个映射,分割②可建立 32=9 个映射,分割③可建立 23=8 个映射,分割④只能建立 1 个映射,故共可以建立 映射 4+9+8+1=22 个. 6.(2014 · 安 阳 高 一 检 测 )A={a,b,c},B={1,2}, 从 A 到 B 建 立 映 射 , 使 f(a)+f(b)+f(c)=4,则满足条件的映射个数是( A.2 B.3 C.5 D.7 )

【解题指南】结合 f(a)+f(b)+f(c)=4,利用列举法求解. 【解析】选 B.如表所示. f(a) f(b) f(c) f(a)+f(b)+f(c) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 3 4 4 5 6 5 5 4

【误区警示】本题易因列举不全而导致漏解.

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.(2014·昆明高一检测)设 f:A→B 是集合 A 到集合 B 的映射,其中 A={正实 数},B=R,f:x→x2-2x-1,则 A 中元素 1+ 中元素-1 在 A 中的对应元素为 【解析】当 x=1+ 所以 1+ 时,x2-2x-1=(1+ 在 B 中的对应元素为 . )2-2×(1+ )-1=0, ,B

在 B 中的对应元素是 0.

当 x2-2x-1=-1 时,x=0 或 x=2. 因为 0?A,所以-1 在 A 中的对应元素是 2. 答案:0 2 8.设 A 到 B 的映射 f1:x→2x+1,B 到 C 的映射 f2:y→y2-1,则 A 到 C 的映射 f3 是 .

【解析】x→2x+1,(2x+1)2-1=4x2+4x, 即 z→4z2+4z. 答案:z→4z2+4z 9.(2014·武汉高一检测)设 M=N=R,f:x→-x2+2x 是从 M 到 N 的映射,若对于 N 中 元素 p,在 M 中恰有一个原像,则 p 的值为 .

【解析】由题意知,关于 x 的方程-x2+2x=p 有两相等实根,所以Δ=4-4p=0,所以 p=1. 答案: 1 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.设 A=R,B=R,f:x→ 是 A→B 的映射.

(1)设 a∈A,则 1+a 在 B 中对应的元素是什么?

(2)若 t∈A,且 t-1 在 f 下对应 B 中的元素是 6,则 t 应是多少?t 在映射 f 下对应 B 中的元素是什么? 【解析】(1)因为 a∈A,A=R,所以 1+a∈A, 所以 1+a 在 f:x→ 下对应的元素为 .

(2)由 t∈A,A=R 知 t-1∈A, 所以 t-1 在 f:x→ 令 =6 得 t= . 下对应的元素为 .

易知 t=

在 f 下对应 B 中的元素为

=7.

11.已知集合 A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},且 a∈N,k∈N,x∈A,y∈B,映射 f: A→B,使 B 中元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应,求 a 及 k 的值. 【解析】因为 B 中元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应, 所以 A 中元素 1 的像是 4;2 的像是 7;3 的像是 10, 即 a4=10 或 a2+3a=10. 因为 a∈N, 所以仅有 a2+3a=10,得 a=2,a=-5(舍). 则有 k 的像是 a4. 所以 3k+1=24,得 k=5. 【举一反三】本题中“映射 f:A→B,使 B 中元素 y=3x+1 和 A 中元素 x 对应”改 为 “有对应关系 f: x→y=px+q 是从集合 A 到集合 B 的一个映射,且 f(1)=4,f(2)=7” , 其他条件不变,试求 p,q 的值及对应关系.

【解析】由 f(1)=4,f(2)=7,列方程组: ? 故对应关系为 f:x→y=3x+1.

(30 分钟 50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2014·临沂高一检测)在映射 f:A→B 中,A=B={(x,y)|x,y∈R},且 f:(x,y) →(x-y,x+y),则与 A 中的元素(-1,2)对应的 B 中的元素为( A.(-3,1) C.(-1,-3) B.(1,3) D.(3,1) )

【解析】选 A.由所给的 x=-1,y=2 可知 x-y=-3,x+y=1. 2.(2014·安阳高一检测)设 A={x|0≤x≤2},B={y|1≤y≤2},下列能表示从集合 A 到集合 B 的映射的是( )

【解题指南】判断能否成为从集合 A 到集合 B 的映射的图像,只要紧扣映射的定

义即可. 【解析】 选 D.对于 A,当 x=0 时,y=0?{y|1≤y≤2},不是从 A 到 B 的映射;对于 B, 当 x=2 时,y=0?{y|1≤y≤2},也不是从 A 到 B 的映射;对于 C,当 x=0 时,y=1 且 y=2, 即集合 A 中的一个元素 0 与集合 B 中的两个元素 1 和 2 相对应,所以也不是从 A 到 B 的映射;对于 D,集合 A 中的任何一个元素在集合 B 中都有唯一的元素和它对 应,所以是从 A 到 B 的映射. 【举一反三】设 A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤2},下列各图中能表示集合 A 到集 合 B 的映射的是( )

【解析】选 D.对于 A,集合 A 中的元素 0 无像,对于 B,集合 A 中的元素 2 无像, 对于 C,集合 A 中的一个元素会对应集合 B 中的两个元素,只有 D 符合映射的定义. 【误区警示】本题易因审图不清而错选 A 或 B. 3.设 f:x→ax-1 为从集合 A 到 B 的映射,若 f(2)=3,则 f(3)为( A.5 B.3 C.2 D.4 )

【解析】选 A.因为 f(2)=3,所以 2a-1=3,所以 a=2. 所以 f:x→2x-1,

所以 f(3)=2×3-1=5. 4.(2014· 桂林高一检测)已知映射 f: A→B,其中 A=B=R,对应关系 f: x→y=x2-2x+2. 若对实数 k∈B,在集合 A 中不存在原像,则 k 的取值范围是( A.k≤1 B.k<1 C.k≥1 D.k>1 )

【解析】选 B.实数 k 的取值范围是函数 y=x2-2x+2 的值域[1,+≦)的补集,所以 k<1. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.已知映射 f:A→B,即对任意 a∈A,f:a→|a|.其中集合 A={-3,-2,-1,2,3,4}, 集合 B 中的元素都是 A 中元素在 f 下的对应元素,则集合 B 中元素的个数 是 .

【解析】|-3|=3,|-2|=2, |-1|=1,|4|=4,且集合元素具有互异性, 故 B 中共有 4 个元素. 答案:4 6.(2014·西安高一检测)已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B 是从 A 到 B 的映射,x→(x+1,x2+1),则 A 中元素 在 A 中的对应元素为 . 在 B 中的对应元素为 ,B 中元素

【解题指南】对 A 中元素,求像只需将原像代入对应关系即可,对于 B 中元素求 原像,可先设出它的原像,然后利用对应关系列出方程组求解. 【解析】将 x= 设 B 中元素 代入对应关系,可求出其在 B 中的对应元素( 在 A 中的原像为 x, +1,3).

由 所以

得 x= . 在 B 中的对应元素为( +1,3) +1,3), 在 A 中的对应元素为 .

答案:(

三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.(2014·重庆高一检测)已知 A={1,2,3,4},B={5,6},取适当的对应关系. (1)以集合 A 为定义域、B 为值域(注意:值域为 B,而不是 B 的子集,即 B 中元素 都有原像)的函数有多少个? (2)在所有以集合 A 为定义域、B 为值域的函数中,满足条件 f(1)≤f(2)≤f(3) ≤f(4)的函数有多少个? 【解析】(1)根据映射与函数的定义,集合 A 中的元素均可与 B 中的两个元素对 应,故从 A 到 B 可建立 24=16 个函数,但在 1,2,3,4 都对应 5 或都对应 6 这两种情 况下,值域不是 B,应予以排除,所以以集合 A 为定义域、 B 为值域的函数有 14 个. (2)在上述 14 个函数中,满足条件 f(1)≤f(2)≤f(3)≤f(4)的函数具体为(一一列举): f(1)=5,f(2)=f(3)=f(4)=6; f(1)=f(2)=5,f(3)=f(4)=6; f(1)=f(2)=f(3)=5,f(4)=6. 所以满足条件的函数共有 3 个. 8.已知集合 A={x|-2≤x≤2},B={x|-1≤x≤1}.对应关系 f:x→y=ax.若在 f 的 作用下能够建立从 A 到 B 的映射 f:A→B,求实数 a 的取值范围.

【解析】①当 a≥0 时,集合 A 中元素的像满足 -2a≤ax≤2a. 若能够建立从 A 到 B 的映射, 则[-2a,2a]? [-1,1], 即 所以 0≤a≤ .

②当 a<0 时,集合 A 中元素的像满足 2a≤ax≤-2a, 若能建立从 A 到 B 的映射, 则[2a,-2a]? [-1,1], 即 所以- ≤a<0,

综合①②可知- ≤a≤ .

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