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【精品资料】第二十八教时 正弦函数、余弦函数的性质之二 周期性 教案



亿库教育网 http://www.eku.cc 第二十八教时 正弦函数、余弦函数的性质之二 周期性 教材:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 目的:要求学生能理解周期函数,周期函数的周期和最小正周期的定义;掌握正、余弦函数的周期和最小正周 期,并能求出正、余弦函数的最小正周期。 过程:一、复习:y=sinx y=cosx (x?R)的图象 二、提出课题:正弦函数、余弦函数的性质之二——周期性 1. (观察图象) 1?正弦函数、余弦函数的图象是有规律不断重复出现的; 2?规律是:每隔 2?重复出现一次(或者说每隔 2k?,k?Z 重复出现) 3?这个规律由诱导公式 sin(2k?+x)=sinx, cos(2k?+x)=cosx 也可以说明 结论:象这样一种函数叫做周期函数。 2.周期函数定义:对于函数 f (x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有: f (x+T)=f (x)那么函数 f (x)就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 注意:1?周期函数 x?定义域 M,则必有 x+T?M, 且若 T>0 则定义域无上界;T<0 则定义域无下界; 2?“每一个值”只要有一个反例,则 f (x)就不为周期函数(如 f (x0+t)?f (x0)) 3?T 往往是多值的(如 y=sinx 2?,4?,?,-2?,-4?,?都是周期)周期 T 中最小的正数叫做 f (x) 的最小正周期(有些周期函数没有最小正周期) y=sinx, y=cosx 的最小正周期为 2? (一般称为周期) 三、y=sinω x, y=cosω x 的最小正周期的确定 例一 求下列三角函数的周期:1? y=sin(x+ 解:1? 令 z= x+ ? 而 sin(2?+z)=sinz 3 ? ? ]=f (x+ ) 3 3 ? ) 3 2? y=cos2x 3? y=3sin( x ? + ) 2 5 即:f (2?+z)=f (z) f [(x+2)?+ ∴周期 T=2? 2?令 z=2x ∴f (x)=cos2x=cosz=cos(z+2?)=cos(2x+2?)=cos[2(x+?)] 即:f (x+?)=f (x) ∴T=? 3?令 z= x ? x ? + 则:f (x)=3sinz=3sin(z+2?)=3sin( + +2?) 2 5 2 5 =3sin( 小结:形如 y=Asin(ω x+φ ) x ? 4? ? ? )=f (x+4?) 2 5 ∴T=4? 2? (A,ω ,φ 为常数,A?0, x?R) 周期 T= ? y=Acos(ω x+φ )也可同法求之 例二 P54 例 3 例三 求下列函数的周期: 1?y=sin(2x+ 2? y=|sinx| 解:1? y1=sin(2x+ y2=2cos(3x- ? ? )+2cos(3x- ) 4 6 2 3? y=2 3 sinxcosx+2cos x-1 ? ) 最小正周期 T1=? 4 ? 2? ) 最小正周期 T2= 6 3 亿库教育网 http://www.eku.cc 亿库教育网 http://www.eku.cc ∴T 为 T1 ,T2 的最小公倍数 2? ∴T=2? 2? T=? 作图 y 1 ? -? o 注意小结这两种类型的解题规律 ?? 2? 3? x 3? y= 3 sin2x+cos2x 1 ∴T=? 四、小结:周期函数的定义,周期,最小正周期 五、作业:P56 练习 5、6 P


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