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江西省赣州市赣县中学北校区2014-2015学年高二上学期1月月考数学试卷(理科) Word版含解析



江西省赣州市赣县中学北校区 2014-2015 学年高二上学期 1 月月 考数学试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)设向量 =(2,x﹣1) , =(x+1,4) ,则“x=3”是“ ∥ ”的() A.充分不必要条件 C. 充要条件 B. 必要不充分

条件 D.既不充分也不必要条件

2. (5 分)下列四种说法中,错误的个数是() ①A={0,1}的子集有 3 个; 2 2 ②“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的必要不充分条件; ④命题“?x∈R,均有 x ﹣3x﹣2≥0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣3x﹣2≤0” A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 3. (5 分)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场 比赛得分的中位数之和是()
2 2

A.64 4. (5 分)在区间 A.

B.63

C.62 上随机取一个 x,sinx 的值介于

D.61 与 之间的概率为() D.

B.

C.

5. (5 分)已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角 形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于()

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)已知直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+14=0 行,则它们之间的距离是() A. B. C. 8 D.2

7. (5 分)已知双曲线 my ﹣x =1(m∈R)与椭圆 线方程为() A.y=± x B.y=±
2

2

2

+x =1 有相同的焦点,则该双曲线的渐近

2

x
2

C.y=± x
2

D.y=±3x
2

8. (5 分)已知圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 与圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的 最大值为() A. B. C. D.2

9. (5 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F2 为圆心,OF2(O

为椭圆中心)为半径作圆 F2,若它与椭圆的一个交点为 M,且 MF1 恰好为圆 F2 的一条切线, 则椭圆的离心率为() A. ﹣1 B.2﹣ C. D.

10. (5 分) 如图, 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, 点 M 在棱 AB 上, 且 PB, 点 AM= , P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 则动点 P 的轨迹是()

A.圆

B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将各小题的结果写在横线上) 11. (5 分)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 ,则该正方体 的表面积为. 12. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 a=5,则输出的结果是.

13. (5 分)设抛物线 x =12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,若点 P 恰为线段 AB 的中点,则|AF|+|BF|=.

2

14. (5 分)已知 P 是双曲线 则|PF2|的值为.

=1 上一点,F1,F2 是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,

15. (5 分)以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| |﹣| |=K,则动点 P 的轨迹为双曲线; = ( + ) ,则动点 P 的

②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 轨迹为圆; ③0<θ< ,则双曲线 C1: =1 与 C2:

=1

的离心率相同;

④已知两定点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)和一动点 P,若|PF1|?|PF2|=a (a≠0) ,则点 P 的轨迹 关于原点对称; 其中真命题的序号为(写出所有真命题的序号)

2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (5 分)命题 p:“方程 + =1 表示双曲线”(k∈R) ;命题 q:y=log2(kx +kx+1)定
2

义域为 R,若命题 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 k 的取值范围. 17. (12 分)某校 50 名学生参加 2013 年全国数学联赛初赛,成绩全部介于 90 分到 140 分之 间. 将成绩结果按如下方式分成五组: 第一组[90, 100) , 第二组[100, 110) , 第五组[130, 140]. 按 上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示. (1)若成绩大于或等于 100 分且小于 120 分认为是良好的,求该校参赛学生在这次数学联赛 中成绩良好的人数; (2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩,求这两个成绩差的绝对值大于 30 分的概率.

18.平面内动点 P(x,y)到定点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 l. (1)求动点 P 的轨迹 ABCD 的方程; (2)已知点 A(3,2) ,求|PA|+|PF|的最小值及此时 P 点的坐标. 19.如图,将边长为 2,有一个锐角为 60°的菱形 ABCD,沿着较短的对角线 BD 对折,使得 AC= ,O 为 BD 的中点. (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD (Ⅱ)求三棱锥 A﹣BCD 的体积; (Ⅲ)求二面角 A﹣BC﹣D 的余弦值.

20.已知圆 A:x +y ﹣2x﹣2y﹣2=0. (1)若直线 l:ax+by﹣4=0 平分圆 A 的周长,求原点 O 到直线 l 的距离的最大值; (2) 若圆 B 平分圆 A 的周长, 圆心 B 在直线 y=2x 上, 求符合条件且半径最小的圆 B 的方程.

2

2

21.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(2,

) .

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 kAC?kBD=﹣ ,

(i) 求

?

的最值.

(ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

江西省赣州市赣县中学北校区 2014-2015 学年高二上学期 1 月月考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)设向量 =(2,x﹣1) , =(x+1,4) ,则“x=3”是“ ∥ ”的()

A.充分不必要条件 C. 充要条件

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由向量共线可得 x 的值,再由集合的包含关系可得答案. 解答: 解:当 时,有 2×4﹣(x﹣1) (x+1)=0,解得 x=±3;

因为集合{3}是集合{3,﹣3}的真子集, 故“x=3”是“ ”的充分不必要条件.

故选 A 点评: 本题考查充要条件的判断,涉及平面向量共线的坐标表示,属基础题. 2. (5 分)下列四种说法中,错误的个数是() ①A={0,1}的子集有 3 个; ②“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为真; ③“命题 p∨q 为真”是“命题 p∧q 为真”的必要不充分条件; 2 2 ④命题“?x∈R,均有 x ﹣3x﹣2≥0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣3x﹣2≤0” A.0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 计算题. 分析: ①根据非空集合子集个数的计算公式进行判断; ②先写出其逆命题,然后再判断是否正确; ③已知命题 p∧q 为真,则 p 和 q 都得为真,利用这点进行判断; ④根据命题否定的规则进行判断,注意任意的否定为存在; 解答: 解:①A={0,1}的子集个数为:2 =4,故①错误; 2 2 2 2 ②“若 am <bm ,则 a<b”的逆命题为:若 a<b,则 am <bm ,若 m=0,则 a=b,故②错误; ③∵命题 p∩q 为真,则 p 和 q 都得为真,p∪q 为真,则 p 和 q 至少有一个为真,∴命题 p∩q 为真?命题 p∪q 为真,反之则不能,故③正确; 2 2 ④命题“?x∈R,均有 x ﹣3x﹣2≥0”的否定是:“?x∈R,使得 x ﹣3x﹣2<0”,故④错误; 故选 D. 点评: 此题主要考查集合子集个数的计算公式和逆命题、否命题的定义,是一道基础题, n 若一个集合的元素个数为 n,则其子集的个数为 2 ; 3. (5 分)如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场 比赛得分的中位数之和是()
2 2 2

A.64

B.63

C.62

D.61

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 利用茎叶图的性质和中位数定义求解. 解答: 解:由茎叶图知: 甲在这几场比赛得分的中位数为 28 分, 乙在这几场比赛得分的中位数为 33 分, ∴甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 61. 故选:D. 点评: 本题考查两组数据的中位数之和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意茎叶 图的合理运用.

4. (5 分)在区间 A. B.

上随机取一个 x,sinx 的值介于 C.

与 之间的概率为() D.

考点: 几何概型. 分析: 解出关于三角函数的不等式,使得 sinx 的值介于 到 之间,在所给的范围中,

求出符合条件的角的范围,根据几何概型公式用角度之比求解概率. 解答: 解:∵ 当 x∈[﹣ x∈(﹣ ∴在区间 , , <sinx ]时, ) 上随机取一个数 x, ,

sinx 的值介于



之间的概率 P=

= ,

故选 A. 点评: 本题是一个几何概型,古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,在解题过程中 不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到. 5. (5 分)已知某个三棱锥的三视图如图所示,其中正视图是等边三角形,侧视图是直角三角 形,俯视图是等腰直角三角形,则此三棱锥的体积等于()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥,底面是斜边上的高是 1 的直角 三角形,则两条直角边是 ,斜边是 2 与底面垂直的侧面是一个边长为 2 的正三角形,求出 面积. 解答: 解:由三视图知几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥, 底面是斜边上的高是 1 的直角三角形, 则两条直角边是 , 斜边是 2, ∴底面的面积是 =1,

与底面垂直的侧面是一个边长为 2 的正三角形, ∴三棱锥的高是 , ∴三棱锥的体积是 故选 B. 点评: 本题考查由三视图还原几何体,本题解题的关键是求出几何体中各个部分的长度, 特别注意本题所给的长度 1,这是底面三角形斜边的高度. 6. (5 分)已知直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+14=0 行,则它们之间的距离是() A. B. C. 8 D.2

考点: 两条平行直线间的距离;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 计算题. 分析: 根据两平行直线的斜率相等,在纵轴上的截距不相等,求出 m,利用两平行直线间 的距离公式求出两平行直线间的距离. 解答: 解:∵直线 3x+4y﹣3=0 与直线 6x+my+14=0 平行,∴ = ≠ 故直线 6x+my+14=0 即 3x+4y+7=0,故两平行直线间的距离为 ,∴m=8, =2,

故选 D. 点评: 本题考查两直线平行的性质,两平行直线间的距离公式的应用.

7. (5 分)已知双曲线 my ﹣x =1(m∈R)与椭圆 线方程为() A.y=± x B.y=± x

2

2

+x =1 有相同的焦点,则该双曲线的渐近

2

C.y=± x

D.y=±3x

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定椭圆、双曲线的焦点坐标,求出 m 的值,即可求出双曲线的渐近线方程. 解答: 解:椭圆
2 2

+x =1 的焦点坐标为(0,±2) . ) ,

2

双曲线 my ﹣x =1(m∈R)的焦点坐标为(0,±

∵双曲线 my ﹣x =1(m∈R)与椭圆 ∴ =2,∴m= ,

2

2

+x =1 有相同的焦点,

2

∴双曲线的渐近线方程为 y=± x. 故选:A. 点评: 本题考查椭圆、双曲线的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 8. (5 分)已知圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 与圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 相外切,则 ab 的 最大值为() A. B. C. D.2
2 2 2 2

考点: 圆与圆的位置关系及其判定. 专题: 直线与圆. 分析: 根据圆与圆之间的位置关系,两圆外切则圆心距等于半径之和,得到 a+b=3.利用基 本不等式即可求出 ab 的最大值. 解答: 解:由已知, 2 2 圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 的圆心为 C1(a,﹣2) ,半径 r1=2. 2 2 圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 的圆心为 C2(﹣b,﹣2) ,半径 r2=1. 2 2 2 2 ∵圆 C1: (x﹣a) +(y+2) =4 与圆 C2: (x+b) +(y+2) =1 相外切, ∴|C1C2|=r1+r2. 即 a+b=3. 由基本不等式,得

ab≤

= .

故选:C. 点评: 本题考查圆与圆之间的位置关系,基本不等式等知识,属于中档题.

9. (5 分)设椭圆

+

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以 F2 为圆心,OF2(O

为椭圆中心)为半径作圆 F2,若它与椭圆的一个交点为 M,且 MF1 恰好为圆 F2 的一条切线, 则椭圆的离心率为() A. ﹣1 B.2﹣ C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 利用圆的切线的性质可得 F1M⊥F2M.再利用直角三角形的边角关系可得: |F1M|= c.利用椭圆的定义可得:c+ c=2a,即可解出. 解答: 解:∵以 F2 为圆心,OF2(O 为椭圆中心)为半径作圆 F2,若它与椭圆的一个交点 为 M,且 MF1 恰好为圆 F2 的一条切线, ∴F1M⊥F2M. ∵ ∴|F1M|= c. ∴c+ c=2a, ∴ . ,

∴椭圆的离心率为 ﹣1. 故选:A. 点评: 本题考查了圆的切线的性质、直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质,考查 了推理能力与计算能力,属于中档题.

10. (5 分) 如图, 正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1, 点 M 在棱 AB 上, 且 PB, 点 AM= , P 是平面 ABCD 上的动点,且动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1, 则动点 P 的轨迹是()

A.圆

B.抛物线

C.双曲线

D.椭圆

考点: 专题: 分析: 解答:

轨迹方程. 圆锥曲线的定义、性质与方程;空间位置关系与距离. 建立空间右手系,得到 M 的坐标,设出 P 的坐标,由题意列式求得 P 的轨迹. 解:建立如图所示的坐标系,

M(1, ,0) ,设 P(x,y,0) , 由动点 P 到直线 A1D1 的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1,得 ,整理得: .

∴动点 P 的轨迹是抛物线. 故选:B. 点评: 本题考查了轨迹方程的求法,关键是掌握利用空间直角坐标系求解空间中曲线的轨 迹方程,是中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,将各小题的结果写在横线上) 11. (5 分)一个正方体的各顶点均在同一球的球面上,若该球的体积为 ,则该正方体 的表面积为 24. 考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;球的体积和表面积. 专题: 计算题;综合题. 分析: 由题意球的直径等于正方体的体对角线的长,求出球的半径,再求正方体的棱长, 然后求正方体的表面积. 解答: 解:设球的半径为 R,由
2





所以 a=2,表面积为 6a =24. 故答案为:24 点评: 本题考查球的内接体,球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题. 12. (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入的 a=5,则输出的结果是 62.

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=2 +2 +2 +…+2 的值,当输入的 a=5 时,确定跳出循环的 n 值, 利用等比数列的前 n 项和公式求得输出 S 的值. 1 2 3 n 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=2 +2 +2 +…+2 的值, 当输入的 a=5 时,跳出循环的 n 值为 5, ∴输出 S=2 +2 +…+2 =
1 2 5 1 2 3 n

=2 ﹣2=62.

6

故答案为:62. 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是关键. 13. (5 分)设抛物线 x =12y 的焦点为 F,经过点 P(2,1)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,若点 P 恰为线段 AB 的中点,则|AF|+|BF|=8. 考点: 抛物线的定义. 专题: 计算题. 分析: 过点 A,B,P 分别作抛物线准线 y=﹣3 的垂线,垂足为 C,D,Q,据抛物线定义, 得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|,答案可得. 解答: 解:过点 A,B,P 分别作抛物线准线 y=﹣3 的垂线, 垂足为 C,D,Q,据抛物线定义, 得|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|PQ|=8. 故答案为 8 点评: 本题主要考查了抛物线的定义.属基础题.
2

14. (5 分)已知 P 是双曲线 则|PF2|的值为 33.

=1 上一点,F1,F2 是双曲线的两个焦点,若|PF1|=17,

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 2 2 分析: 利用双曲线的标准方程及 c =a +b 即可得到 a,b,c.再利用等腰即可得出.

解答: 解:由双曲线方程

知,a=8,b=6,则 c=

=10.

∵P 是双曲线上一点, ∴||PF1|﹣|PF2||=2a=16, 又|PF1|=17, ∴|PF2|=1 或|PF2|=33. 又|PF2|≥c﹣a=2, ∴|PF2|=33. 故答案为 33 点评: 熟练掌握双曲线的标准方程及其性质是解题的关键. 15. (5 分)以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数,| |﹣| |=K,则动点 P 的轨迹为双曲线; = ( + ) ,则动点 P 的

②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 轨迹为圆; ③0<θ< ,则双曲线 C1: =1 与 C2:

=1

的离心率相同; ④已知两定点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)和一动点 P,若|PF1|?|PF2|=a (a≠0) ,则点 P 的轨迹 关于原点对称; 其中真命题的序号为②③④(写出所有真命题的序号) 考点: 轨迹方程. 专题: 综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: ①利用双曲线的定义,即可得出结论;②由题意,OP⊥AB,可得动点 P 的轨迹为 以 OP 为直径的圆;③求出离心率,即可判断;④化简整理,即可分析其正误. 解答: 解:平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数 k(k<|F1F2|)的点的轨 迹叫做双曲线, ①中当 0<k<|AB|时是双曲线的一支, 当 k=|AB|时, 表示射线, ∴①不正确; ②由题意,OP⊥AB,∴动点 P 的轨迹为以 OP 为直径的圆,正确; ③0<θ< ,则双曲线 C1: ,正确; ? =a (a≠0)上任意一
2 2

=1 与 C2:

=1

的离心率相同,都为

④设 P(x,y)为曲线|PF1|?|PF2|=

点, 则 P(x,y)关于原点(0,0)的对称点为 P′(﹣x,﹣y) ,

∵ =a (a≠0) , 即 P′(﹣x,﹣y)也在曲线 ∴点 P 的轨迹曲线
2

?

=

?

? ?
2

=a (a≠0)上, =a (a≠0)关于原点对称,即④正确;

2

综上所述,正确的是②③④. 故答案为:②③④. 点评: 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查圆锥曲线的概念及应用,考查转化思想 与运算能力,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (5 分)命题 p:“方程 + =1 表示双曲线”(k∈R) ;命题 q:y=log2(kx +kx+1)定
2

义域为 R,若命题 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,求实数 k 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 计算题;简易逻辑. 分析: 先对命题 p,q 化简,再由命题 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题知命题 p,q 一个为真, 一个为假.从而解出实数 k 的取值范围. 解答: 解:p:由(k﹣3) (k+3)<0 得:﹣3<k<3; q:令 t=kx +kx+1,由 t>0 对 x∈R 恒成立. (1)当 k=0 时,1>0,∴k=0 符合题意. (2)当 k≠0 时,
2 2



由△ =k ﹣4×k×1<0 得 k(k﹣4)<0,解得:0<k<4; 综上得:q:0≤k<4. 因为 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,所以命题 p,q 一个为真,一个为假. ∴ 或 ;

∴﹣3<k<0 或 3≤k<4. 点评: 本题考查了命题的化简及复合命题真假性的判断,注意分类讨论的标准. 17. (12 分)某校 50 名学生参加 2013 年全国数学联赛初赛,成绩全部介于 90 分到 140 分之 间. 将成绩结果按如下方式分成五组: 第一组[90, 100) , 第二组[100, 110) , 第五组[130, 140]. 按 上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示. (1)若成绩大于或等于 100 分且小于 120 分认为是良好的,求该校参赛学生在这次数学联赛 中成绩良好的人数; (2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩,求这两个成绩差的绝对值大于 30 分的概率.

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率分布直方图,根据频率、频数与样本容量的关系,求出成绩在[100,120) 内的人数即可; (2)由频率分布直方图,求出各分数段对应的人数,利用列举法求出基本事件数,计算概率 即可. 解答: 解: (1)由频率分布直方图知,成绩在[100,120)内的人数为: 50×0.16+50×0.38=27(人) , ∴该班成绩良好的人数为 27 人; (5 分) (2)由频率分布直方图知,成绩在[90,100)的人数为 50×0.06=3 人,设为 x、y; 成绩在[130,140]的人数为 50×0.08=4 人,设为 A、B、C、D; 若 m,n∈[90,100)时,有 xy,xz,yz 3 种情况; 若 m,n∈[130,140]时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD 6 种情况; 若 m,n 分别在[90,100)和[130,140]内时, 有 xA,xB,xC,xD,yA,yB,yC,yD,zA,zB,zC,zD 12 种情况; ∴基本事件总数为 21 种,事件“|m﹣n|>30”所包含的基本事件个数有 12 种; ∴概率为 P(|m﹣n|>30)= . (12 分)

点评: 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了用列举法求古典概型的概率问题, 是综合题目. 18.平面内动点 P(x,y)到定点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 l. (1)求动点 P 的轨迹 ABCD 的方程; (2)已知点 A(3,2) ,求|PA|+|PF|的最小值及此时 P 点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由题意,动点 P(x,y)到定点 F(1,0)的距等于它到 x=﹣1 的距离,当动 点不在直线上时, 由抛物线的定义知 P 的轨迹为抛物线, 动点在直线上时, 其轨迹为 y=0 (x≤0) , 求出即可, . 2 (2)设点 P 在准线上的射影为 D,记抛物线 y =2x 的焦点为 F(1,0) ,准线 l 是 x=﹣1,由 抛物线的定义可得|PF|=|PD|,当 D,P,M 三点共线时 PA+PD 最小,即可得出.

解答: 解: (1)由题意,动点 P(x,y)到定点 F(1,0)的距等于它到 x=﹣1 的距离, 当动点不在直线上时,由抛物线的定义知 P 的轨迹为抛物线,设抛物线方程为:y =2px(p> 0) . 则 p=2, 2 ∴所求的轨迹方程为 y =4x. 当动点在直线上时,其轨迹为 y=0(x≤0) . (2)设点 P 在准线上的射影为 D,记抛物线 y =2x 的焦点为 F(1,0) ,准线 l 是 x=﹣1, 由抛物线的定义可得:|PF|=|PD|, 因此 PA+PF=PA+PD≥AD=4,即当 D,P,M 三点共线时 PA+PD 最小, 此时 P(1,2) . 点评: 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中 档题. 19.如图,将边长为 2,有一个锐角为 60°的菱形 ABCD,沿着较短的对角线 BD 对折,使得 AC= ,O 为 BD 的中点. (Ⅰ)求证:AO⊥平面 BCD (Ⅱ)求三棱锥 A﹣BCD 的体积; (Ⅲ)求二面角 A﹣BC﹣D 的余弦值.
2 2

考点: 与二面角有关的立体几何综合题;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间角. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 AO⊥OC,AO⊥BD,由此能证明 AO⊥平面 BCD. (Ⅱ)三棱锥 A﹣BCD 的体积 VA﹣BCD= .

(Ⅲ)过 O 作 OE⊥BC 于 E,连 AE,则 AE⊥BC,所以∠AEO 是二面角 A﹣BC﹣D 的平面 角,由此能求出二面角 A﹣BC﹣D 的余弦值. 解答: (Ⅰ)证明:在菱形 ABCD 中,∠A=60°,AB=BD=2,O 为 BD 的中点, ∴AO= =OC,OB=1, 2 2 2 对折后,AC= ,∴AC =AO +OC ,∴AO⊥OC,又 AO⊥BD, ∴AO⊥平面 BCD. (Ⅱ)解:∵△BCD 是边长为 2 的等边三角形, ∴ AO= = = ,

,又 AO⊥平面 BCD,

∴三棱锥 A﹣BCD 的体积 VA﹣BCD=

=

=1.

(Ⅲ)解:过 O 作 OE⊥BC 于 E,连 AE,则 AE⊥BC, ∴∠AEO 是二面角 A﹣BC﹣D 的平面角, 由题意知 AO=2OE,AE= OE, ∴cos∠AEO= = , .

∴二面角 A﹣BC﹣D 的余弦值为

点评: 本题考查直线与平面垂直的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查二面角的余弦值 的求法,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 20.已知圆 A:x +y ﹣2x﹣2y﹣2=0. (1)若直线 l:ax+by﹣4=0 平分圆 A 的周长,求原点 O 到直线 l 的距离的最大值; (2) 若圆 B 平分圆 A 的周长, 圆心 B 在直线 y=2x 上, 求符合条件且半径最小的圆 B 的方程. 考点: 直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆. 分析: (1)若直线 l:ax+by﹣4=0 平分圆 A 的周长,则 l 经过圆心,即 a+b﹣4=0,此时原 点 O 到直线 l 的距离 d= .故当 a=2 时,d 取最大值.
2 2

(2)由题意知圆 B 与圆 A 的相交弦为圆 A 的一条直径,设圆 B 的圆心为 B(a,2a) ,半径 为 R.由垂径定理可得当 a= 时,R 取得最小值,此时圆 B 符合条件. 解答: 解: (1)圆 A 的方程即(x﹣1) +(y﹣1) =4,其圆心为 A(1,1) ,半径为 r=2. 由题意知直线 l 经过圆心 A(1,1) , 所以 a+b﹣4=0,得 b=4﹣a. 原点 O 到直线 l 的距离 d=
2 2 2 2 2 2 2


2

因为 a +b =a +(4﹣a) =2(a﹣2) +8, 2 2 所以当 a=2 时,a +b 取得最小值 8. 故 d 的最大值为 = .

(2)由题意知圆 B 与圆 A 的相交弦为圆 A 的一条直径,它经过圆心 A. 设圆 B 的圆心为 B(a,2a) ,半径为 R.如图所示,在圆 B 中, 由垂径定理并结合图形可得:R =2 +|AB| =4+(a﹣1) +(2a﹣1) =5(a﹣ ) + 所以当 a= 时,R 取得最小值
2 2 2 2 2 2 2




2 2

故符合条件且半径最小的圆 B 的方程为(x﹣ ) +(y﹣ ) =



点评: 本题考查的知识点是直线与圆的位置关系,圆的标准方程,点到直线的距离公式, 难度中档.

21.已知椭圆

+

=1(a>b>0)的离心率为

,且过点(2,

) .

(1)求椭圆的标准方程; (2)四边形 ABCD 的顶点在椭圆上,且对角线 AC、BD 过原点 O,若 kAC?kBD=﹣ ,

(i) 求

?

的最值.

(ii) 求证:四边形 ABCD 的面积为定值.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;平面向量数量积的运算;椭圆的标准 方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: (1)把点 由 a =b +c , 2 2 2 联立即可得到 a 、b 、c ;
2 2 2

代入椭圆的方程,得到

,由离心率

,再

(2) (i)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,设 kAC=k,由 kAC?kBD=﹣

=﹣ ,可得



把直线 AC、BD 的方程分别与椭圆的方程联立解得点 A,B,的坐标,再利用数量积即可得到 关于 k 的表达式,利用基本不等式的性质即可得出最值; (ii)由椭圆的对称性可知 S 四边形 ABCD=4×S△ AOB=2|OA||OB|sin∠AOB,得到 =4 ,代入计算即可证明.

解答: 解: (1)由题意可得

,解得



∴椭圆的标准方程为



(2) (i)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,不妨设 x1>0,x2>0. 设 kAC=k,∵kAC?kBD=﹣ =﹣ ,∴ .

可得直线 AC、BD 的方程分别为 y=kx,



联立





解得







=x1x2+y1y2=

=

=2,当且仅当

时取等号.

可知:当 x1>0,x2>0 时,有最大值 2. 当 x1<0,x2<0.有最小值﹣2. ii)由椭圆的对称性可知 S 四边形 ABCD=4×S△ AOB=2|OA||OB|sin∠AOB. ∴ =4 =4 =4

=4

=

=128,

∴四边形 ABCD 的面积= 为定值. 点评: 熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程得 到一元二次方程的根与系数的关系、数量积、基本不等式的性质、三角形的面积计算公式等是 解题的关键.



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