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江西省赣州市赣县中学北校区2014-2015学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析



江西省赣州市赣县中学北校区 2014-2015 学年高一上学期 12 月月 考数学试卷
一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的. ) 1. (5 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=() A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5}

2. (5 分)设 f(x)=

,h(x)=

,则 f(h(e) )等于()

A.1

B. 0
α

C . ﹣1

D.e ,则 f(x)的单调递减区

3. (5 分)已知幂函数 f(x)=x (α 为常数)的图象过 间是() A.(﹣∞,0] 0) , (0,+∞)

B.(﹣∞,+∞)

C.(﹣∞,0)∪(0,+∞)

D. (﹣∞,

4. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是() A.y= B.y= C.y=lne
x

D.y=

5. (5 分)函数 f(x)=x+lgx﹣3 的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) 6. (5 分) A. B. 的值是() C.

D.(3,+∞)

D.

7. (5 分)下列函数中,周期为 π,且在 A. B. C.

上为减函数的是() D.

8. (5 分)设 a=log3π,b=log2 A.a>b>c B.a>c>b

,则() C.b>a>c D.b>c>a

9. (5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于() A. B. 3 C. 6 D.9

个单位长度后,所

10. (5 分)函数 于() A.2

的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等

B. 4

C. 6

D.8

二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. ) 11. (5 分)已知 a>0 且 a≠1,函数在 y=loga(2x﹣3)+ 的图象恒过定点 P 的坐标是. 12. (5 分)已知扇形的周长是 4cm,面积是 1cm ,则扇形的圆心角的弧度数是. 13. (5 分)已知 tanα= ,则 cosα=.
2

14. (5 分)设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则

=.

15. (5 分)f(x)是定义在上的偶函数,且在上是增函数,若 θ∈( (cosθ) (填大小关系) .



) ,则 f(sinθ)f

三、解答题(共 75 分) 2 x 16. (12 分)函数 f(x)=lg(x ﹣2x﹣3)的定义域为集合 A,函数 g(x)=2 ﹣a(x≤2)的 值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 17. (12 分)已知角 α 顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在函数 y=﹣3x(x≤0)的 图象上. (Ⅰ)求 sinα、cosα 和 tanα 的值;

(Ⅱ)求

的值.

18. (12 分)已知函数 f(x)=a?2 +b?3 ,其中常数 a,b 满足 a?b≠0 (1)若 a?b>0,判断函数 f(x)的单调性;

x

x

(2)若 a?b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. 19. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ,x∈R(其中 象与 x 轴的交点中, 相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 ,求 f(x)的值域. , 且图象上一个最低点为 )的图 .

20. (13 分) 经市场调查, 某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量 (件) 与价格 (元) 均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80﹣2t(件) ,价格近似满足于

(元) .

(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x +mx﹣4 在区间上的两个端点处取得最大值和最小值. (1)求实数 m 的所有取值组成的集合 A; (2)试写出 f(x)在区间上的最大值 g(m) ; (3)设 h(x)=﹣ x+7,令 F(m)= ,其中 B=?RA,若关于 m 的方
2

程 F(m)=a 恰有两个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围.

江西省赣州市赣县中学北校区 2014-2015 学年高一上学期 12 月月考数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项符是合题目要求的. ) 1. (5 分)设全集 U={x∈N+|x<6},集合 A={1,3},B={3,5},则?U(A∪B)=() A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 由全集 U={x∈N+|x<6},可得 U={1,2,3,4,5},然后根据集合混合运算的法则即 可求解.

解答: 解:∵A={1,3},B={3,5}, ∴A∪B={1,3,5}, ∵U={x∈N+|x<6}={1,2,3,4,5}, ∴?U(A∪B)={2,4}, 故选 C. 点评: 本题考查了集合的基本运算,属于基础知识,注意细心运算.

2. (5 分)设 f(x)=

,h(x)=

,则 f(h(e) )等于()

A.1

B. 0

C . ﹣1

D.e

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数的性质求解.

解答: 解:∵f(x)=

,h(x)=



∴h(e)=0, f(h(e) )=f(0)=0. 故选:B. 点评: 本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质的合理运用.
α

3. (5 分)已知幂函数 f(x)=x (α 为常数)的图象过 间是() A.(﹣∞,0] 0) , (0,+∞)

,则 f(x)的单调递减区

B.(﹣∞,+∞)

C.(﹣∞,0)∪(0,+∞)

D. (﹣∞,

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域;幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用已知条件先求出 α,再利用所求的函数解析式即可得出其单调区间. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=x (α 为常数)的图象过 ∴ ,解得 α=﹣1,
α



∴幂函数 f(x)= . ∴f(x)的单调递减区间是(﹣∞,0) , (0,+∞) . 故选 D. 点评: 正确理解函数的单调性是解题的关键.特别注意把单调区间不能写成(﹣∞,0)∪ (0,+∞) .

4. (5 分)下列函数中,与函数 y=x 相同的函数是() A.y= B.y= C.y=lne
x

D.y=

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据两个函数的定义域相同,对应关系也相同,这两个函数是同一函数,进行判断 即可. 解答: 解:对于 A,y= 对于 B,y=
x

=x(x≠0) ,与 y=x(x∈R)的定义域不同,不是同一函数;

=|x|,与 y=x(x∈R)的对应关系不同,不是同一函数;

对于 C,y=lne =x(x∈R) ,与 y=x(x∈R)的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数; 对于 D,y= =x(x>0) ,与 y=x(x∈R)的定义域不同,不是同一函数.

故选:C. 点评: 本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题,解题时应判断它们的定义域是否 相同,对应关系是否也相同,是基础题. 5. (5 分)函数 f(x)=x+lgx﹣3 的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,+∞)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意易知函数 f(x)=x+lgx﹣3 在定义域上是增函数,再由函数零点的判定定理求 解. 解答: 解:易知函数 f(x)=x+lgx﹣3 在定义域上是增函数, f(1)=1+0﹣3<0, f(2)=2+lg2﹣3<0, f(3)=3+lg3﹣3>0; 故函数 f(x)=x+lgx﹣3 的零点所在的区间为(2,3) ; 故选 C. 点评: 本题考查了函数的零点的判断,属于基础题.

6. (5 分) A. B.

的值是() C. D.

考点: 诱导公式的作用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式三个因式中的角度变形后,利用诱导公式化简,计算即可得到结果.

解答: 解:原式=sin(π+ tan )=﹣ ×(﹣

)?cos(π﹣ )=﹣

)?tan(﹣π﹣ .

)=﹣sin

?(﹣cos

)?(﹣

)×(﹣

故选 A 点评: 此题考查了诱导公式的作用,熟练掌握诱导公式是解本题的关键.

7. (5 分)下列函数中,周期为 π,且在 A. B. C.

上为减函数的是() D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;正弦函数的单调性;余弦函数的单调性. 专题: 分析法. 分析: 先根据周期排除 C,D,再由 x 的范围求出 2x+ 可判断 A 和 B,从而得到答案. 解答: 解:C、D 中函数周期为 2π,所以错误 当 函数 而函数 时, 为减函数 为增函数, , 的范围,再由正余弦函数的单调性

故选 A. 点评: 本题主要考查三角函数的基本性质﹣﹣周期性、单调性.属基础题.三角函数的基 础知识的熟练掌握是解题的关键. 8. (5 分)设 a=log3π,b=log2 A.a>b>c B.a>c>b ,则() C.b>a>c D.b>c>a

考点: 对数值大小的比较. x 分析: 利用对数函数 y=loga 的单调性进行求解. 当 a>1 时函数为增函数当 0<a<1 时函数 为减函数, 如果底 a 不相同时可利用 1 做为中介值. 解答: 解:∵ ∵ ,故选 A

点评: 本题考查的是对数函数的单调性,这里需要注意的是当底不相同时可用 1 做为中介 值.

9. (5 分)设函数 f(x)=cosωx(ω>0) ,将 y=f(x)的图象向右平移 得的图象与原图象重合,则 ω 的最小值等于() A. B. 3 C. 6 D.9

个单位长度后,所

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的求值. 分析: 函数图象平移 期,容易得到结果. 解答: 解:f(x)的周期 T= ,函数图象平移 个单位长度后,所得的图象与原图象重 个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周

合,说明函数平移整数个周期,所以

,k∈Z.令 k=1,可得 ω=6.

故选 C. 点评: 本题是基础题,考查三角函数的图象的平移,三角函数的周期定义的理解,考查技 术能力,常考题型. 10. (5 分)函数 于() A.2 的图象与函数 y=2sinπx(﹣2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等

B. 4

C. 6

D.8

考点: 函数的零点;数列的求和. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 作出函数的图象,利用对称性,即可得出结论. 解答: 解:如图所示,两个图象在点(1,0)对称,然后﹣2 到 4 一共有 4 个交点,对称的 两交点横坐标和为 1 的 2 倍,4 个点就是两对对称点,所以和为 4. 故选 B.

点评: 本题考查函数的零点,考查数形结合的数学思想,考查学生分析解决问题的能力, 属于中档题. 二.填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上. )

11. (5 分) 已知 a>0 且 a≠1, 函数在 y=loga (2x﹣3) +

的图象恒过定点 P 的坐标是 (2,

) .

考点: 二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 定点即为:点的坐标与 a 的取值无关,由对数函数的性质可知,只要令 2x﹣3=1 即 可. 解答: 解:根据题意:令 2x﹣3=1, ∴x=2,此时 y= , ∴定点坐标是(2, ) . 故答案为: (2, ) 点评: 本题主要考查对数函数的图象和性质,在研究和应用时一定要注意一些细节,如图 象的分布,关键线,关键点等. 12. (5 分)已知扇形的周长是 4cm,面积是 1cm ,则扇形的圆心角的弧度数是 2. 考点: 弧度制的应用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据题意设出扇形的弧长与半径,通过扇形的周长与面积,即可求出扇形的弧长与 半径,进而根据公式 α= ,求出扇形圆心角的弧度数. 解答: 解:设扇形的弧长为:l,半径为 r,所以 2r+l=4, S 面积= lr=1 所以解得:r=1,l=2 所以扇形的圆心角的弧度数是 α= =2 故答案为:2. 点评: 本题考查弧度制下,扇形的面积及弧长公式的运用,注意与角度制下的公式的区别 与联系.
2

13. (5 分)已知 tanα=

,则 cosα=﹣ .

考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由 tanα 的值及 α 的范围,利用同角三角函数间的基本关系求出 cosα 的值即可. 解答: 解:∵tanα= ∴cosα=﹣ ,α∈(π, =﹣ . ) ,

故答案为:﹣ 点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

14. (5 分) 设f (x) 是周期为 2 的奇函数, 当 0≤x≤1 时, f (x) =2x (1﹣x) , 则

=



考点: 函数的周期性;函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由题意得 =f(﹣ )=﹣f( ) ,代入已知条件进行运算.

解答: 解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , ∴ =f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1﹣ )=﹣ ,

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值. 15. (5 分)f(x)是定义在上的偶函数,且在上是增函数,若 θ∈( f(cosθ) (填大小关系) . 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性和单调性之间的关系,进行判断即可. 解答: 解:∵f(x)是定义在上的偶函数,且在上是增函数, ∴函数 f(x)在上单调递减, 若 θ∈( , ) ,



) ,则 f(sinθ)<

则 1>sinθ)>cosθ>0, ∴f(sinθ)<f(cosθ) , 故答案为:< 点评: 本题主要考查函数值的大小比较,根据函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关 键. 三、解答题(共 75 分) 2 x 16. (12 分)函数 f(x)=lg(x ﹣2x﹣3)的定义域为集合 A,函数 g(x)=2 ﹣a(x≤2)的 值域为集合 B. (Ⅰ)求集合 A,B; (Ⅱ)若集合 A,B 满足 A∩B=B,求实数 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (I)对数的真数>0 求解函数 f(x)=lg(x ﹣2x﹣3)的定义域得到集合 A,再根据 指数函数的值域求解 B 即可; (II)由题意 A,B 满足 A∩B=B 得 B 是 A 的子集,建立关于 a 的不等关系,可解出实数 a 的 取值范围.

解答: 解: (Ⅰ)A={x|x ﹣2x﹣3>0} ={x|(x﹣3) (x+1)>0}={x|x<﹣1,或 x>3},..…..…(3 分) B={y|y=2 ﹣a,x≤2}={y|﹣a<y≤4﹣a}. …..…..(7 分) (Ⅱ)∵A∩B=B,∴B?A,..…. (9 分) ∴4﹣a<﹣1 或﹣a≥3,…(11 分) ∴a≤﹣3 或 a>5,即 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3]∪(5,+∞) .…. (13 分) 点评: 本题考查集合的求法,对数函数的定义域、值域的求解是解题的关键,考查计算能 力. 17. (12 分)已知角 α 顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在函数 y=﹣3x(x≤0)的 图象上. (Ⅰ)求 sinα、cosα 和 tanα 的值;
x

2

(Ⅱ)求

的值.

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由角 α 顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在函数 y=﹣3x(x≤0)的 图象上,利用任意角的三角函数定义即可求出 sinα、cosα 和 tanα 的值; (Ⅱ)原式利用诱导公式化简,约分后将 tanα 的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ)∵角 α 顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在函数 y=﹣3x(x≤0) 的图象上, ∴sinα= = ,cosα= =﹣ ,tanα= =﹣3;

(Ⅱ)原式=

=﹣tanα=3.

点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 18. (12 分)已知函数 f(x)=a?2 +b?3 ,其中常数 a,b 满足 a?b≠0 (1)若 a?b>0,判断函数 f(x)的单调性; (2)若 a?b<0,求 f(x+1)>f(x)时的 x 的取值范围. 考点: 指数函数单调性的应用;指数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: (1)先把 a?b>0 分为 a>0,b>0 与 a<0,b<0 两种情况;然后根据指数函数的单 调性即可作出判断. (2)把 a?b<0 分为 a>0,b<0 与 a<0,b>0 两种情况;然后由 f(x+1)>f(x)化简得 a?2 >﹣2b?3 ,再根据 a 的正负性得 单调性求出 x 的取值范围.
x x x x







;最后由指数函数的

解答: 解: (1)①若 a>0,b>0,则 y=a?2 与 y=b?3 均为增函数,所以 f(x)=a?2 +b?3 在 R 上为增函数;
x x x x

x

x

x

x

②若 a<0,b<0,则 y=a?2 与 y=b?3 均为减函数,所以 f(x)=a?2 +b?3 在 R 上为减函数. (2)①若 a>0,b<0, x+1 x+1 x x 由 f(x+1)>f(x)得 a?2 +b?3 >a?2 +b?3 , 化简得 a?2 >﹣2b?3 ,即 解得 x< ②若 a<0,b>0, 由 f(x+1)>f(x)可得 解得 x> . < , ;
x x





点评: 本题主要考查指数函数的单调性及分类讨论的方法. 19. (12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ,x∈R(其中 象与 x 轴的交点中, 相邻两个交点之间的距离为 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 ,求 f(x)的值域. , 且图象上一个最低点为

)的图 .

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;正弦函数的定义域和值域. 专题: 计算题. 分析: (1)根据最低点 M 可求得 A;由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离可求得 ω;进而 把点 M 代入 f(x)即可求得 φ,把 A,ω,φ 代入 f(x)即可得到函数的解析式. (2)根据 x 的范围进而可确定当 和最小值.确定函数的值域. 解答: 解: (1)由最低点为 由 x 轴上相邻的两个交点之间的距离为 即 T=π, 由点 故 在图象上的 ∴ 得 = 得 A=2. , 的范围,根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值

又 (2)∵ 当 即 = ,即

,∴ ,∴ 时,f(x)取得最大值 2;当

时,f(x)取得最小值﹣1,

故 f(x)的值域为 点评: 本题主要考查本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式的问题及正弦 函数的单调性问题.属基础题. 20. (13 分) 经市场调查, 某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的销售量 (件) 与价格 (元) 均为时间 t(天)的函数,且销售量近似满足 g(t)=80﹣2t(件) ,价格近似满足于

(元) .

(Ⅰ)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (Ⅱ)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 考点: 函数最值的应用. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由已知,由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的 函数表达式; (Ⅱ)由(Ⅰ)分段求出函数的最大值与最小值,从而可得该种商品的日销售额 y 的最大值与 最小值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知,由价格乘以销售量可得:

(Ⅱ)由(Ⅰ)知①当 0≤t≤10 时 y=﹣t +10t+1200=﹣(t﹣5) +1225 函数图象开口向下,对称轴为 t=5,该函数在 t∈递增,在 t∈(5,10]递减 ∴ymax=1225(当 t=5 时取得) ,ymin=1200(当 t=0 或 10 时取得) 2 2 ②当 10<t≤20 时 y=t ﹣90t+2000=(t﹣45) ﹣25 图象开口向上,对称轴为 t=45,该函数在 t∈(10,20]递减,t=10 时,y=1200,ymin=600(当 t=20 时取得)

2

2

由①②知 ymax=1225(当 t=5 时取得) ,ymin=600(当 t=20 时取得) 点评: 本题考查函数模型的构建,考查函数的最值,考查分类讨论的数学思想,解题的关 键是确定函数的解析式. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x +mx﹣4 在区间上的两个端点处取得最大值和最小值. (1)求实数 m 的所有取值组成的集合 A; (2)试写出 f(x)在区间上的最大值 g(m) ; (3)设 h(x)=﹣ x+7,令 F(m)= ,其中 B=?RA,若关于 m 的方
2

程 F(m)=a 恰有两个不相等的实数根,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;补集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)问题等价于函数在区间上是单调函数,由二次函数可得﹣ ≥1,或﹣ ≤﹣2,解 得不等式即可; (2)分类讨论结合单调性可得:当 m≥4 时 g(m)=f(1)=m﹣3,当 m≤﹣2 时 g(m)=f(﹣ 2)=﹣2m.

(3)由题意可知 F(m)=

,问题等价于 y=F(m)的图象与

y=a 的图象有两个不同的交点,数形结合易得答案. 解答: 解: (1)∵f(x)=x +mx﹣4 在区间上的两个端点处取得最大值和最小值, ∴函数在区间上是单调函数, 又∵函数 f(x)的图象为开口向上的抛物线,对称轴为 x=﹣ ∴必有﹣ ≥1,或﹣ ≤﹣2,解得 m≥4 或 m≤﹣2, ∴实数 m 的所有取值组成的集合 A={m|m≥4 或 m≤﹣2}; (2)当 m≥4 时,﹣ ≤﹣2,函数 f(x)在区间上单调递增, ∴函数 f(x)的最大值 g(m)=f(1)=m﹣3; 当 m≤﹣2 时,﹣ ≥1,函数 f(x)在区间上单调递减, ∴函数 f(x)的最大值 g(m)=f(﹣2)=﹣2m.
2

(3)由题意可知 F(m)=



关于 m 的方程 F(m)=a 恰有两个不相等的实数根等价于 y=F(m)的图象与 y=a 的图象有两 个不同的交点, 作图可知实数 a 的取值范围为:a> 或 1<a<4

点评: 本题考查二次函数区间的最值,涉及数形结合求函数的交点,属中档题.



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