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2010广东高考数学(文科B卷)试卷及详细解答


答案由广东实验中学龚寸章老师(nhgong@21cn.com)提供

绝密★启用前

试卷类型: 试卷类型:B

2010 年普通高等学校招生全国统一考试 广东卷 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷 广东卷) 数学(文科 文科) 数学 文科
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号 填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在 答题卡右上角“条形码粘贴处” 。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。 不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时。请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、 多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V= 参考公式

1 Sh,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高。 3

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 选择题: 合题目要求的. 合题目要求的. 1.若集合 A={0,1,2,3} ,B={1,2,4} ,则集合 A ∪ B= ( A ) A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {1,2} D. {0} 2.函数, f ( x ) = lg( x ? 1) 的定义域是 ( B ) B.(1, +∞ ) A.(2, +∞ )

C.[1, +∞ )

D.[2, +∞ )

3.若函数 f ( x) = 3x + 3? x 与 g ( x) = 3x ? 3? x 的定义域均为 R ,则 ( D ) A. f ( x ) 与 g ( x ) 均为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x ) 均为奇函数 B. f ( x ) 为奇函数, g ( x ) 为偶函数 D. f ( x ) 为偶函数, g ( x ) 为奇函数

4.已知数列{ an }为等比数列, Sn 是它的前 n 项和, a2·a3 若 =2a1,且 a4 与 2a7 的等差中项为 A.35 B.33 C.31 D.29

5 ,则 S5= ( C ) 4

5.若向量 a =(1,1), b =(2,5), c =(3, x )满足条件(8 a — b )· c =30,则 x = ( C ) A.6 B.5 C.4 D.3 6.若圆心在 x 轴上、半径为 5 的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x + 2 y = 0 相切,则圆 O 的方程是( D ) A. ( x ? 5) + y = 5
2 2

o*m

B. ( x + 5) + y = 5
2 2

C. ( x ? 5) 2 + y 2 = 5

D. ( x + 5) 2 + y 2 = 5

7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ( B ) A.

4 5
3 2

B.

3 5

C.

2 5

D.

1 5

8. x >0”是“ x >0”成立的 (A ) “ A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件

B.必要非充分条件 D.充要条件

w_w*w.k_s_5 u.c* o*m

2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 1 -页 共 8 页

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9.如图 1, V ABC 为正三角形, AA / / BB / / CC , CC' ⊥ 平面ABC且3AA' =
' ' '

3 ' BB = CC' = AB ,则多面 2


ABC ? A' B 'C ' 的正视图(也称主视图)是 ( D )

10.在集合{a,b,c,d}上定义两种运算 ⊕ 和 ? 如下: ( A )

那么 d ? (a ⊕ c ) = A.a B.b

C.c

D.d

填空题: 小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 必做题 ~ 11.某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法, 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查,其中 4 位居民 的月均用水量分别为 x1 ,…, x4 (单位:吨).根据图 2 所示 的程序框图,若 x1 , x2 , x3 , x4 分别为 1, 1.5 , 1.5 , 2 , 则输出的结果 s 为 1.5 .

12.某市居民 2005~2009 年家庭年平均收入 x(单位:万元)与 年平均支出 Y(单位:万元)的统计资料如下表所示:
w_w w. k#s5_u.c o* m

年份 收入 x

2005 11.5

2006 12.1

2007 13

2008 13.3

2009 15

2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 2 -页 共 8 页

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支出 Y 根 位数是 13

6.8

8.8

9.8

10

12 正 据统计资料,居民家庭年平均收入的中 线性相关关系.

,家庭年平均收入与年平均支出有

13.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a=1,b= 3 ,A+C=2B,则 sinA=

1 . 2

w_w w. k#s5_u. c o* m

选做题( 、 考生只能从中选做一题) (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图 3,在直角梯形 ABCD 中,DC∥AB, CB⊥AB,AB=AD=a,CD=

a ,点 E,F 分别为线段 AB,AD 的中点,则 EF= 2

a 2

.

( 15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(ρ, θ ) 0 ≤ θ<2π ) 中,曲线 ρ ( cos θ + sin θ ) = 1 与 ρ ( sin θ ? cos θ ) = 1 的交点的极坐标为 (1,

π
2

) .

解答题: 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x ) = 3sin ? ω x + (1)求 f ( 0 ) ;
w_w w. k#s5_u.c o*m

? ?

π?

? , ω>0 , x ∈ ( ?∞, +∞ ) ,且以 为最小正周期. 2 6?

π

(2)求 f ( x ) 的解析式;

?α π ? 9 + ? = ,求 sin α 的值. ? 4 12 ? 5 π 3 16.解: (1)由已知可得: f (0) = 3 sin = 6 2 π 2π π π (2)∵ f (x ) 的周期为 ,即 = ∴ω = 4 故 f ( x ) = 3 sin( 4 x + ) 2 ω 2 6 a π a π π π (3)∵ f ( + ) = 3 sin[ 4 × ( + ) + ] = 3 sin( a + ) = 3 cos a 4 12 4 12 6 2 9 3 ∴由已知得: 3 cos a = 即 cos a = 5 5
(3)已知 f ?
w_w*w.k_s_5 u.c* o*m

∴ sin a = ± 1 ? cos a = ± 1 ? ( ) = ±
2 2

3 5

4 4 4 故 sin a 的值为 或 ? 5 5 5

17. (本小题满分 12 分) 某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了 100 名电视观众,相关 的数据如下表所示:
w_w*w.k_s_5 u.c*o* m

2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 3 -页 共 8 页

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(1)由表中数据直观分析,收看新闻节目的观众是否与年龄有关? (2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,大于 40 岁的观众应该抽取几名? (3)在上述抽取的 5 名观众中任取 2 名,求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率。
w. k#s5_u.c o* m w_w*w.k_s_5 u. c*o* m

17.解: (1)画出二维条形图,通过分析数据的图形,或者联列表的对角线的乘积的差的绝对值来分析, 得到的直观印象是收看新闻节目的观众与年龄有关; (2)在 100 名电视观众中,收看新闻的观众共有 45 人,其中 20 至 40 岁的观众有 18 人,大于 40 岁 的观众共有 27 人。 故按分层抽样方法,在应在大于 40 岁的观众中中抽取

5 × 27 = 3 人。 45

(3)法一:由(2)可知,抽取的 5 人中,年龄大于 40 岁的有 3 人,分别记作 1,2,3;20 岁至 40 岁的观众有 2 人,分别高为 a, b ,若从 5 人中任取 2 名观众记作 ( x, y ) ,则包含的总的基本事件有:

(1,2), (1,3), (1, a ), (1, b), (2,3), (2, a ), (2, b), (3, a ), (3, b), (a, b) 共 10 个。其中恰有 1 名观众的年龄为 20 岁
至 40 岁包含的基本事件有: (1, a ), (1, b), ( 2, a ), ( 2, b), (3, a ), (3, b) 共 6 个。 故 P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)=

6 3 = ; 10 5

1 1 C2 ? C3 3 法二: P (“恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁”)= = . 5 C52

18.(本小题满分 14 分) 如图 4, 弧AEC 是半径为 a 的半圆, AC 为直径,点 E 为弧 AC 的 中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点,平面 AEC 外一点 F 满足
w_w w. k#s5_u.c o*m

FC ⊥ 平面 BED , FB = 5a . (1)证明: EB ⊥ FD ; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

w_w*w.k_s_5 u. c*o* m

18.法一: 法一: 法一 (1)证明:∵点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, ∴点 B 为圆的圆心 又∵E 是弧 AC 的中点,AC 为直径, ∴ BC ⊥ EB 即 BD ⊥ EB ∵ FC ⊥ 平面 BDE , EB ? 平面 BDE , ∴ FC ⊥ EB 又 BD ? 平面 FBD , FC ? 平面 FBD 且 BD ∩ FC = C ∴ EB ⊥ 平面 FBD 又∵ FD ? 平面 FBD , ∴ EB ⊥ FD (2)解:设点 B 到平面 FED 的距离(即三棱锥 B ? FED 的高)为 h . ∵ FC ⊥ 平面 BDE , ∴FC 是三棱锥 F-BDE 的高,且三角形 FBC 为直角三角形 由已知可得 BC = a ,又 FB =

5a

∴ FC =

( 5a) 2 ? a 2 = 2a
1 × 2a × a = a 2 , 2

在 Rt?BDE 中, BD = 2a, BE = a ,故 S ?BDE =

2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 4 -页 共 8 页

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∴ V F ? BDE =

1 1 2 S ?BDE ? FC = × a 2 × 2a = a 3 , 3 3 3 又∵ EB ⊥ 平面 FBD ,故三角形 EFB 和三角形 BDE 为直角三角形,
6 a, DE = 5a ,在 Rt?FCD 中, FD = 5a , ∴ S ?FED =

∴ EF =

21 2 a , 2

∵ V F ? BDE = V B ? FED 即

1 21 2 2 4 21 ? a ? h = a 3 ,故 h = a, 3 2 3 21 4 21 a. 21

即点 B 到平面 FED 的距离为 h =

法二: 法二:向量法,此处略,请同学们动手完成。 19.(本小题满分 12 分) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含 12 个单位的碳水化合物,6 个单位的 蛋白质和 6 个单位的维生素 C ;一个单位的晚餐含 8 个单位的碳水化合物,6 个单位的蛋白质和 10 个单 位的维生素 C .另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含 64 个单位的碳水化合物,42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C . 如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是 2.5 元和 4 元,那么要满足上述的营养 要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19.解:设应当为该儿童分别预订 x 个单位的午餐, y 个单位的晚餐,所花的费用为 z ,则依题意得:
w_w*w.k_s_5 u.c* o* m

?12 x + 8 y ≥ 64 ? 3 x + 2 y ? 16 ≥ 0 ? 6 x + 6 y ≥ 42 ? x + y ? 7 ≥ 0 ? ? ? ? x, y 满足条件 ?6 x + 10 y ≥ 54 即 ?3 x + 5 y ? 27 ≥ 0 , ? ? x∈N x∈N ? ? y∈N y∈N ? ? ? ?
目标函数为 z = 2.5 x + 4 y , 作出二元一次不等式组所表示的平面区域(图略) ,把 z = 2.5 x + 4 y 变形为 y = ? 斜率为 ? 由

5 z x + ,得到 8 4

5 z ,在 y 轴上的截距为 ,随 z 变化的一族平行直线。 8 4 5 z 图 可 知 , 当 直 线 y =? x+ 经 8 4















M (即直线x + y ? 7 = 0与直线3x+5y-27=0的交点)时截距最小,即 z 最小. 解方程组: ?

? x+ y?7 = 0 , 得点 M 的坐标为 x = 4, y = 3 ?3 x + 5 y ? 27 = 0

所以, z min = 22

答:要满足营养要求,并花费最少,应当为该儿童分别预订 4 个单位的午餐,3 个单位的晚餐,此花的费 用最少为 22 元.

20.(本小题满分 14 分) 达式 f ( x ) = x ( x ? 2) .

已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x ) = kf ( x + 2) ,其中常数 k 为负数,且 f ( x ) 在区间 [ 0, 2] 上有表
w_w w. k#s5_u .c o* m

2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 5 -页 共 8 页

答案由广东实验中学龚寸章老师(nhgong@21cn.com)提供

(2)写出 f ( x ) 在 [ ?3,3] 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 [ ?3,3] 上的单调性; (3)求出 f ( x ) 在 [ ?3,3] 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.
w_w*w.k_s_5 u. c*o* m

(1)求 f ( ?1) , f (2.5) 的值;

20.解: (1)∵ f ( x ) = kf ( x + 2) ,且 f (x ) 在区间[0,2]时 f ( x ) = x ( x ? 2) ∴ f ( ?1) = kf ( ?1 + 2) = kf (1) = k ? 1 ? (1 ? 2) = ? k

1 f ( x) k 1 1 3 ∴ f ( 2.5) = f (0.5 + 2) = f (0.5) = ? 0.5 ? (0.5 ? 2) = ? k k 4k
由 f ( x ) = kf ( x + 2) 得 f ( x + 2) = (2)若 x ∈ [0,2] ,则 x + 2 ∈ [ 2,4]

1 1 1 f ( x) = x( x ? 2) = [( x + 2) ? 2][( x + 2) ? 4] k k k 1 ∴当 x ∈ [ 2,4] 时, f ( x ) = ( x ? 2)( x ? 4) k f ( x + 2) =
若 x ∈ [?2,0) ,则 x + 2 ∈ [0,2) ∴ f ( x ) = kf ( x + 2) = kx( x + 2) 若 x ∈ [ ?4,?2) ,则 x + 2 ∈ [ ?2,0) ∴ f ( x + 2) = k ( x + 2)[( x + 2) + 2] = k ( x + 2)( x + 4) ∴ f ( x + 2) = ( x + 2)[( x + 2) ? 2] = x ( x + 2)

∴ f ( x) = kf ( x + 2) = k 2 ( x + 2)( x + 4) ∵ ( 2,3] ? [ 2,4], [ ?3,?2) ? [ ?4,?2)

?k 2 ( x + 2)( x + 4), x ∈ [?3,?2) ? kx( x + 2), x ∈ [?2,0) ? ∴当 x ∈ [?3,3] 时, f ( x) = ? x( x ? 2), x ∈ [0,2] ? 1 ? ( x ? 2)( x ? 4), x ∈ (2,3] ? k
∵ k < 0 ,∴当 x ∈ [ ?3,?2) 时, f ( x ) = k 2 ( x + 2)( x + 4) ,由二次函数的图象可知, f (x ) 为增函数; 当 x ∈ [?2,0) 时, f ( x ) = kx ( x + 2) , 由二次函数的图象可知, x ∈ [ ?2,?1) 时, f (x ) 为增函数, 当 当 x ∈ [?1,0) 时, f (x ) 为减函数; 当 x ∈ [0,2] 时, f ( x ) = x ( x ? 2) ,由二次函数的图象可知,当 x ∈ [0,1) 时, f (x ) 为减函数;当

x ∈ [1,2] 时, f (x) 为增函数;
当 x ∈ ( 2,3] 时, f ( x ) =

1 ( x ? 2)( x ? 4) ,由二次函数的图象可知, f (x) 为增函数。 k
2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 6 -页 共 8 页

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综上,函数f ( x)的单调递增区间为[-3,-1],[1,3];递减区间为[-1,1].
(3)由(2)可知,当 x ∈ [?3,3] 时,最大值和最小值必在 x = ?3 或 ? 1,1,3 处取得。 (可画图分析) ∵ f ( ?3) = ?k , f ( ?1) = ?k , f (1) = ?1 , f (3) = ?
2

1 k

∴当 ? 1 < k < 0 时, y max = f (3) = ?

1 , y min = f (1) = ?1 ; k

当 k = ?1 时, y max = f ( ?1) = f (3) = 1, y min = f ( ?3) = f (1) = ?1; 当 k < ?1 时, y max = f ( ?1) = ?k , y min = f (?3) = ?k .
2

21.(本小题满分 14 分)
2

w_w w. k#s5_u.c o*m

已知曲线 Cn:y = nx ,点 Pn ( xn , yn )( xn > 0, yn > 0) 是曲线 Cn 上的点(n=1,2,…). (1)试写出曲线 Cn 在点 Pn 处的切线 ln 的方程,并求出 ln 与 y 轴的交点 Qn 的坐标; (2)若原点 O (0, 0) 到 ln 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比取得最大值,试求点 Pn 的坐标 ( xn , yn ); (3)设 m 与 k 为两个给定的不同的正整数, xn 与 yn 是满足(2)中条件的点 Pn 的坐标, 证明:
s
w_w*w.k_s_5 u.c* o* m


n =1

(m + 1) xn ? (k + 1) yn < 2

ms ? ks ( s = 1, 2, …)

21.解: (1) y ′ = 2nx ,设切线 l n 的斜率为 k ,则

k = y ′ | x = x n = 2nx n
∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? y n = 2nx n ( x ? x n ) 又∵点 Pn 在曲线 C n 上, ∴ y n = nx n
2

∴曲线 C n 在点 Pn 处的切线 l n 的方程为: y ? nx n = 2nx n ( x ? x n ) 即 2nx n x ? y ? nx n = 0
2 2

令 x = 0 得 y = ? nx n ,∴曲线 C n 在 y 轴上的交点 Qn 的坐标为 (0,? nx n )
2 2

(2)原点 O (0,0) 到直线 l n 的距离与线段 Pn Qn 的长度之比为:

| ?nx n |
2

4n 2 x n + 1
2

x n + (nx n + nx n ) 2
2 2 2

=

nx n 1 + 4n x n
2 2

=

1 1 + 4nx n nx n



1 4

当且仅当

1 1 1 2 = 4nx n 即 x n = 时,取等号。此时, y n = nx n = nx n 2n 4n
2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 7 -页 共 8 页

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故点 Pn 的坐标为 (
s

1 1 , ) 2n 4 n

(3)证法一:要证

∑|
n =1

(m + 1) x n ? (k + 1) y n | <| ms ? ks | (s = 1,2, ?) 2
s

只要证

m +1 ? k +1 ∑
n =1

1 2 n

< s | m ? k | (s = 1,2, ?)

只要证

∑2
n =1

s

1 n 1

< s×

m +1 + k +1 m+ k 1 n + n ?1

(s = 1,2, ?) m +1 + k +1 m+ k




1 2 n

=

n+ n

<

= n ? n ? 1 ,又∵


>1


∑2
n =1

s

1 n

< 1 + ( 2 ? 1) + ( 3 ? 2 ) + ? + ( s ? s ? 1) = s (s = 1,2, ?) < s × m + 1 + k + 1 (s = 1,2, ?)
m+ k

证法二:由上知,只需证

∑2
n =1

s

1 n

< s×
s

m +1 + k +1 m+ k

(s = 1,2, ?) ,

又∵

m +1 + k +1 m+ k

> 1 ,故只需证 ∑
n =1

1 2 n

< s ,可用数学归纳法证明之(略).

2010 广东高考数学(文科)试卷第 - 8 -页 共 8 页


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