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【成才之路】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-3)综合测试(含答案)



选修 2-3 综合测试
时间 120 分钟,满分 150 分。

一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排,含有“qu”(其中“qu”相连且顺序不 变)的不同排列共有( A.120 个 C.720 个 [答案

] B [解析] 第一步,先从除“qu”之外的另外 6 个字母中任选 3 个不同的字母,与“qu”一起 分成一堆,共有 C3 6种不同的选法;第二步,把“qu”看作一个字母,与另外 3 个字母排列,
3 4 且“qu”顺序不变,共有 A4 A4=480 个不同的 4种不同的排法,由分步乘法计数原理,共有 C6·

) B.480 个 D.840 个

排列.故选 B. 1 2.(2012· 安徽理,7)(x2+2)( 2-1)5 的展开式的常数项是( x A.-3 C.2 [答案] D [解析] 本题考查了二项式及其展开式中的特定项的问题. 1 1 第一个因式取 x2,第二个因式取 2,得:1×C5 (-1)4=5;第一个因式取 2,第二个因 x 式取(-1)5 得:2×(-1)5=-2,展开式的常数项是 5+(-2)=3.故选 D.利用展开式的通项 公式求二项式中的特定项是高考考查的重点. 3.甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同的 选法共有( A.6 种 C.30 种 [答案] C [解析] 用间接法求解: 第一步:甲从 4 门课程中选修 2 门,有 C2 4种选法. 第二步:乙从 4 门课程中选修 2 门,有 C2 4种选法.
2 根据乘法原理,甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门共有 C2 4C4种选法.

)

B.-2 D.3

) B.12 种 D.36 种

甲、乙所选的课程完全相同有 C2 4种选法,所以甲、乙所选的课程中至少有 1 门不相同
2 2 的选法共有 C2 4C4-C4=30 种.

故选 C. 4.有甲、乙两种钢材,从中各取等量样品检验它们的抗拉强度指标如下: X甲 P 110 0.1 120 0.2 125 0.4 130 0.1 135 0.2

X乙 P

100 0.1

115 0.2

125 0.1

130 0.4

145 0.2 )

现要比较两种钢材哪一种抗拉强度较好,应考察哪项指标( A.期望与方差 C.卡方 χ2 [答案] A B.正态分布 D.概率

[解析] 检验钢材的抗拉强度,若平均抗拉强度相同,再比较波动情况.故选 A. ?Dξ?2 5.设随机变量 ξ 服从二项分布 ξ~B(n,p),则 等于( ?Eξ?2 A.p2 C.np [答案] B
2 ?Dξ?2 [np?1-p?] [解析] 因为 ξ~B(n,p),(Dξ)2=[np(1-p)]2,(Eξ)2=(np)2,所以 = 2= 2 ?Eξ? ?np?

)

B.(1-p)2 D.p2(1-p)

(1-p)2.故选 B. 6.随机变量 X 的所有等可能取值为 1,2,?,n,若 P(X<4)=0.3,则 n 的值为( A.3 C.10 [答案] C 1 1 1 3 [解析] 因为 P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= + + = =0.3,所以 n=10. n n n n 7.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别是 A(1,2),B(2,3),C(3,4),D(4,5),则 y 与 x 之间的线性回归方程是( A.y=x+1 C.y=2x+1 [答案] A [解析] ∵A,B,C,D 四点共线,都在直线 y=x+1 上,故选 A. 8. 某校从学生中的 10 名女生干部与 5 名男生干部中随机选 6 名学生干部组成“文明校 ) B.y=x+2 D.y=x-1 B.4 D.不能确定 )

园督察队”,则组成 4 女 2 男的“文明校园督察队”的概率为( C6 15 A. 6 A15
2 C4 10C5 C. 6 C15 3 C3 10C5 B. 6 C15 2 C4 10A5 D. 6 A15

)

[答案] C
2 C4 10C5 [解析] 此题为超几何分布问题,组成 4 女 2 男的“文明校园督察队”的概率为 6 . C15

9.为了评价某个电视栏目的改革效果,在改革前后分别从居民点随机抽取了 100 位居 民进行调查,经过计算 χ2 的观测值 χ2=99.9,根据这一数据分析,下列说法正确的是( A.有 99.9%的人认为该栏目优秀 B.有 99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关 C.有 99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系 D.以上说法都不对 [答案] C [解析] 当 χ2>10.828 时有 99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系.故选 C. 10.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为 1-p,且各引擎是否有故障是 独立的,已知 4 引擎飞机中至少有 3 个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2 引擎飞机要 2 个引擎全部正常运行,飞机才可成功飞行.要使 4 引擎飞机比 2 引擎飞机更安全,则 p 的取 值范围是( 2 ? A.? ?3,1? 2? C.? ?0,3? [答案] B
3 4, 2 [解析] 4 引擎飞机成功飞行的概率为 C3 4p (1-p)+p 2 引擎飞机成功飞行的概率为 p ,

)

) 1 ? B.? ?3,1? 1? D.? ?0,3?

1 4 2 要使 C3 4(1-p)+p >p ,必有 <p<1.故选 B. 3 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.(2014· 山东青岛质检)平面内有 10 个点,其中 5 个点在一条直线上,此外再没有三 点共线,则共可确定______条直线;共可确定________个三角形. [答案] 36;110 [解析] 设 10 个点分别为 A1,A2,?,A10,其中 A1,A2,?,A5 共线,Ai(i=1,2,?, 5)与 A6、A7、?、A10 分别确定 5 条直线,共 25 条; A1、A2、?、A5 确定 1 条; A6、A7、?、A10 确定 C2 5=10 条, 故共可确定 36 条直线.

1 在 A1,A2,?,A5 中任取两点,在 A6,A7,?,A10 中任取一点可构成 C2 5C5=50 个三

角形;
2 在 A1,A2,?,A5 中任取一点,在 A7,A7,?,A10 中任取两点可构成 C1 5C5=50 个三

角形; 在 A6,A7,?,A10 中任取 3 点构成 C3 5=10 个三角形,故共可确定 50+50+10=110 个三角形. 12.(2012· 陕西理,12)(a+x)5 展开式中 x2 的系数为 10,则实数 a 的值为________. [答案] 1 [解析] 本题考查了二项式定理与二项展开式的通项分式.
5 r r 2 3 由已知 Cr · x 中 r=2,∴C5 a =10,a3=1,∴a=1,准确运用二项展开式的通项公 5a


式是解题关键. 13.一个袋中装有黑球、白球和红球共 n(n∈N*)个,这些球除颜色外完全相同.已知从 2 袋中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是 ,现从袋中任意摸出 2 个球.若 n=15,且摸出 5 的 2 个球都是白球的概率是 期望 Eξ= ________. [答案] 8 15 2 ,设 ξ 表示摸出的 2 个球中红球的个数,则随机变量 ξ 的数学 21

[解析] 设袋中黑球的个数为 x(个), 记“从袋中任意摸出一个球, 得到黑球”为事件 A, x 2 则 P(A)= = . 15 5 ∴x=6. 设袋中白球的个数为 y(个),记“从袋中任意摸出两个球,得到的都是白球”为事件 B, C2 2 y 则 P(B)= 2 = , C15 21 ∴ y?y-1? ∴y=5 或 y=-4(舍去) 15×14

即白球的个数为 5(个). ∴红球的个数为 15-6-5=4(个). ∴随机变量 ξ 的取值为 0,1,2,分布列是 ξ P 0 11 21 1 44 105 2 2 35

11 44 2 8 ξ 的数学期望 Eξ= ×0+ ×1+ ×2= . 21 105 35 15 14.已知 X~N(1.4,0.052),则 X 落在区间(1.35,1.45)中的概率为____________.

[答案] 0.6826 [解析] 因为 μ=1.4, σ=0.05, 所以 X 落在区间(1.35, 1.45)中的概率为 P(1.4-0.05<X<1.4 +0.05)=0.6826. 15.若两个分类变量 x 与 y 的列联表为: y1 x1 x2 总计 10 40 50 y2 15 16 31 总计 25 56 81

则“X 与 Y 有关系”这个结论是错误的概率不超过________. [答案] 0.01 [解析] 由列联表中的数据,得 K2 的观测值为 ?10+15+40+16??10×16-15×40?2 K2= ≈7.227>6.635, ?10+15??40+16??10+40??15+16? 因为 P(K2≥6.635)≈0.01,所以“X 与 Y 有关系”这一结论是错误的概率不超过 0.01. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,前 4 题每题 12 分,20 题 13 分,21 题 14 分) 16.研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心),给 50 名患者服用此药,给另外 50 个患者服用安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表: 有恶心 服药 A 服安慰剂 合计 此药物有无恶心的副作用? [解析] 由题意,问题可以归纳为独立检验假设 H1:服该药物(A)与恶心(B)独立.为了 检验假设,计算统计量 K2= 100×?15×46-4×35?2 ≈7.86>6.635. 50×50×19×81 15 4 19 无恶心 35 46 81 合计 50 50 100

故拒绝 H1,即不能认为药物无恶心副作用,也可以说,我们有 99%的把握说,该药物 与副作用(恶心)有关. 17.一厂家向用户提供的一箱产品共 10 件,其中有 2 件次品,用户先对产品进行抽检 以决定是否接收.抽检规则是这样的:一次取一件产品检查(取出的产品不放回箱子);若前 三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检,并 且用户拒绝接收这箱产品. (1)求这箱产品被用户接收的概率; (2)记抽检的产品件数为 ξ,求 ξ 的分布列. [解析] (1)设“这箱产品被用户接收”为事件 A,

8×7×6 7 则 P(A)= = . 10×9×8 15 7 即这箱产品被用户接收的概率为 . 15 (2)ξ 的可能取值为 1,2,3. 2 1 P(ξ=1)= = . 10 5 8 2 8 P(ξ=2)= × = . 10 9 45 8 7 28 P(ξ=3)= × = . 10 9 45 ∴ξ 的分布列为: ξ P 18.已知二项式(x- 1 1 5 2 8 45 3 28 45

2 10 ) 的展开式中, x

(1)求展开式中含 x4 项的系数; (2)如果第 3r 项和第 r+2 项的二项式系数相等,试求 r 的值. [解析] (1)设第 k+1 项为 Tk+1
10 k =Ck (- 10x


2 k 3 ) =(-2)kCk 10x10- k 2 x

3 令 10- k=4,解得 k=4, 2 ∴展开式中含 x4 项的系数为(-2)C4 10=-420.
r 1 (2)∵第 3r 项的二项式系数为 C3 10 ,


1 第 r+2 项的二项式系数为 Cr 10


r 1 r 1 ∴C3 10 =C10 ,故 3r-1=r+1 或 3r-1+r+1=10,解得 r=1.
- +

19.(2012· 陕西理,20)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互 相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下: 办理业务所需的时间(分) 频率 从第一个顾客开始办理业务时计时. (1)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (2)X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. [解析] 设 Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得 Y 的分布列如下: Y 1 2 3 4 5 1 0.1 2 0.4 3 0.3 4 0.1 5 0.1

P

0.1

0.4

0.3

0.1

0.1

(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务”,则事件 A 对应三种情形: ①第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为 3 分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为 2 分钟. 所以 P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2) =0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22. (2)X 所有可能的取值为 0,1,2. X=0 对应第一个顾客办理业务所需的时间超过 2 分钟, 所以 P(X=0)=P(Y>2)=0.5; X=1 对应第一个顾客办理业务所需的时间为 1 分钟且第二个顾客办理业务所需的时间 超过 1 分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为 2 分钟, 所以 P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2) =0.1×0.9+0.4=0.49; X=2 对应两个顾客办理业务所需的时间均为 1 分钟, 所以 P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01; 所以 X 的分布列为 X P 0 0.5 1 0.49 2 0.01

E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51. 20.(2014· 沈阳市质检)为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中老师分别用两 种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤 奋程度和自觉性都一样).以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为 20 人)学生的数学期末考试成 绩.

(1)现从甲班数学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 87 分的同学 至少有一名被抽中的概率; (2)学校规定:成绩不低于 75 分的为优秀.请填写下面的 2×2 列联表,并判断有多大 把握认为“成绩优秀与教学方式有关”. 甲班 乙班 合计

优秀 不优秀 合计 下面临界值表供参考: P(K2≥k) k 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

n?ad-bc?2 (参考公式:K2= ) ?a+b??c+d??a+c??b+d? [解析] (1)甲班成绩为 87 分的同学有 2 个, 其他不低于 80 分的同学有 3 个“从甲班数 学成绩不低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有 C2 5=10 个,
1 1 “抽到至少有一个 87 分的同学”所组成的基本事件有 C3 C2+C2 2=7 个,所以 P=

7 . 10

(2) 甲班 优秀 不优秀 合计
2

乙班 14 6 20

合计 20 20 40

6 14 20

40×?6×6-14×14? K2= =6.4>5.024, 20×20×20×20 因此,我们有 97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关. 21.某城市一个交通路口原来只设有红绿灯,平均每年发生交通事故 80 起,案件的破 获率为 70%,为了加强该路口的管理,第二年在该路口设置了电子摄像头,该年发生交通 事故 70 起,共破获 56 起,第三年白天安排了交警执勤,该年发生交通事故 60 起,共破获 了 54 起. (1)根据以上材料分析,加强管理后的两年该路口的交通状况发生了怎样的变化? (2)试采用独立性检验进行分析,设置电子摄像头对该路口交通肇事案件的破获产生了 什么样的影响?设置电子摄像头和交警白天执勤的共同作用对该路口交通肇事案件的破获 产生了什么样的影响? [解析] (1)由统计数据可知,没有采取措施之前,案件的发生较多,并且破获率只有

70%,安装电子摄像头之后,案件的发生次数有所减少,并且破获率提高到了 80%,白天安 排交警执勤后,案件的发生次数进一步减少,并且破获率提高到了 90%.由此可知,电子摄 像头对遏制交通案件的发生起到了一定作用, 并且给破案带了一定的帮助, 而安排交警执勤 对这些的影响更大. (2)根据所提供的数据可以绘制对应的 2×2 列联表如下:

破获的案件 未采取措施 安装摄像头 合计 56 56 112

未破获的案件 24 14 38

合计 80 70 150

破获的案件 未采取措施 安装摄像头 及交警执勤 合计 56 54 110

未破获的案件 24 6 30

合计 80 60 140

从如图所示的条形图容易看出,安装电子摄像头后,破案率有了提高,实行交警执勤后 案件的破获率有了明显提高,这说明两种措施对案件的破获都起到了一定的积极作用.

先分析电子摄像头对破案的影响的可信度,令 a=56,b=24,c=56,d=14,构造随 机变量 n?ad-bc?2 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? = 150×?56×14-24×56?2 ≈1.974. 80×70×112×38

其中 n=a+b+c+d.而查表可知,P(χ2≥1.323)=0.25.且 1-0.25=0.75=75%,因此约 有 75%的把握认为,安装电子摄像头对案件的破获起到了作用. 再分析安装电子摄像头及交警执勤的情况,同样令 a=56,b=24,c=54,d=6,则 n?ad-bc?2 χ2= ?a+b??c+d??a+c??b+d? = 140×?56×6-24×54?2 ≈8.145,其中 n=a+b+c+d. 80×60×110×30

而查表可知,P(χ2≥6.635)=0.01,且 1-0.01=0.99=99%,因此约有 99%的把握认为

安装电子摄像头及交警执勤对案件的破获起到了作用.



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