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2016高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)(导数——三明市数学组供稿)



2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)
导数
三明市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 (1) 设函数 f ( x ) 是定义域为 R 且以 3 为周期的可导偶函数,则曲线 y ? f ( x) 在 x ? ?3 处的切线的
斜率为( (A) ? )

1 3

(B)0

(C)

1 3

(D)3 )

(2)设曲线 y ? ax ? ln( x ? 1) 在点 (0,0) 处的切线方程为 2 x ? y ? 0 ,则 a 的值为 (

(A)0
(3).函数

(B)1

(C)2 )

(D)3

f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 2 在区间 ??1,1? 上的最大值是(
(B)0 (C)2

(A)-2

(D)4

(4)已知定义在 R 上的函数 f ( x ) ,其导函数 f ?( x ) 的大致图象如图所示,则下列叙述不正确的是

(

) (A) f (a) ? f (b) ? f (c) (B)函数 f ( x ) 在 x ? c 处取得极大值 (C)函数 f ( x ) 在 x ? e 处取得极小值 (D)函数 f ( x ) 的最小值为 f ( d )

(5)已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则 c 的值为( 3
(B)-3 或 1

)

(A) ?

1 1 或 3 3
2 2 或 3 3
2

(C) ?

(D)-1 或

1 3
)

(6)若不等式 2 x ln x ? x ? ax ? 3 ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则实数 a 的最小值是(

(A) ?4

(B)0

(C)2

(D)4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。
(7)

?

1

?1

( x ? sin x)dx =



(8)若函数 f ( x) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? ax ? 1 恰在 ? ?1, 2? 上单调递增,则实数 a 的值为________. 3 2

1

(9)设函数 f ( x) ? 3ln x ? 3ln 3 , g ( x) ? (10)已知

1 2 3 x ? 2 x ? ,则方程 f(x)-g(x)=0 有______个实根. 2 2

f1 ( x) ? sin x ? cos x ,记 f 2 ( x) ? f1?( x) , f3 ( x) ? f 2?( x) ,…, fn ( x) ? fn??1 ( x) (n∈N*,
π 4 π 4 π 4

n≥2),则 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2015 ( ) ? ________.

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本小题满分 10 分)
已知 f ( x ) ?

?

x

0

(t 2 ? at ? 2)dt ,且 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值.

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 在 [ ?2,3] 上的最值.

(12)(本小题满分 15 分)

已知函数 f ( x) ? (ax2 ? 1) x ? 2 ( a ? 0) . (Ⅰ)若 f ( x ) 在 [2, ?? ) 上单调递减,求 a 的取值范围; (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性.

(13)(本小题满分 15 分)

已知函数 f ( x) ? ln x ? ax , g ( x ) ?
2

1 1 ? x ? b ,且直线 y ? ? 是函数 f ( x ) 的一条切线. x 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)对任意的 x1 ?[1, e] ,都存在 x2 ?[1,4] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 b 的取值范围; (Ⅲ)已知方程 f ( x ) ? cx 有两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,若 g ( x1 ? x2 ) ? 2c ? 0 ,求证: b ? 0 .

2

2016 高三毕业班总复习单元过关形成性测试卷(理科)
导数 (参考答案)
三明市数学组
一、选择题。 1.解析:因为 f ( x ) 是 R 上可导偶函数,所以 f ' (0) ? 0 ,又因为 f ( x ) 周期为 3 , 所以 f ' (?3) ? f ' (0) ? 0 ,所以 y ? f ( x) 在 x ? ?3 处的切线的斜率为 0 ,选(B) 2.解析:因为 f ?( x) ? a ?

1 ,所以在点(0,0)处切线的斜率为 a ? 1 ? 2 ,解得 a ? 1 ,故选(B) x ?1

' 2 ' 3.解析: f ( x) ? 3x ? 6 x ? 3x( x ? 2) , 当 x ? ( ?1,0) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,

当 x ? ( ?1,0) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,所以 f ( x)max ? f (0) ? 2 ,选(C) 4.解析:当 x ? ( a , c ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,所以 f (c) ? f (b) ? f (a) ,所以 A 正确; 当 x ? (b, c ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,当 x ? (c, d ) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,函
' 数 f ( x ) 在 x ? c 处取得极大值,所以 B 正确; 当 x ? ( c, e) 时, f ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减,当

x ? (e, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增,函数 f ( x) 在 x ? e 处取得极小值,所以 C 正确; 当 x ? (d , e) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减, f (e) ? f ( d ) ,所以函数 f ( x) 的最小值为 f ( d ) 错
误,选 D . 5.解析: f ?( x) ? x2 ?1 ? ( x ? 1)( x ?1) ,当 x 变化时, f ?( x ) , f ( x ) 变化如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

( ??, ?1)

?1
0

( ?1,1)

1
0

(1, ??)

?


?

?

2 2 ? ?c ?c ↘ ↗ 3 3 当 x ? ?? 时, f ( x ) ? ?? ,当 x ? ?? 时, f ( x ) ? ?? ,
因为 f ( ?1) ?

2 2 ? c , f (1) ? ? ? c , 3 3 1 3 x ? x ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 3

因为函数 f ( x) ?

所以

2 2 2 2 ? c ? 0 或 ? ? c ? 0 ,所以 c ? ? 或c ? ,选(C) 3 3 3 3 3 , x

2 6.解析:依题意得 ax ? ?2 x ln x ? x ? 3 ,即 a ? ?2 ln x ? x ?

3

令 g ( x ) ? ?2 ln x ? x ?

3 2 3 ? x 2 ? 2 x ? 3 ( ? x ? 1)( x ? 3) ? , g ?( x) ? ? ? 1 ? 2 ? , x x2 x x x2

当 x ? (0,1) 时,g ' ( x ) ? 0 ,g ( x ) 单调递增, 当 x ? (1, ??) 时,g ' ( x ) ? 0 ,g ( x ) 单调递减, 函 数 g ( x)max ? g (1) ? ?4 ,所以 a ? g ( x )max ? ?4 ,选(A) 二、填空题。 7.解析:因为 y ? x ? sin x 是奇函数,由定积分的几何意义得

?

1

?1

( x ? sin x )dx ? 0 .

8.解析: f ?( x) ? ? x2 ? x ? a , 因为 f ( x ) 恰在 ? ?1, 2? 上单调递增,
2 所以 ?1,2 是方程 ? x ? x ? a ? 0 的两根,所以 ?1 ? 2 ? ?a ,所以 a ? 2 ,

经检验, a ? 2 符合题意. 9.解析:令 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? 3ln x ?

1 2 3 x ? 2 x ? 3ln 3 ? , 2 2

h?( x) ?

3 ? x 2 ? 2 x ? 3 (? x ? 3)( x ? 1) ?x?2? ? , x x x
' '

当 x ? (0,3) 时, h ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递增,当 x ? (3, ??) 时, h ( x ) ? 0 , h( x ) 单调递减, 当 x ? 0 时, f ( x ) ? ?? ,当 x ? ?? 时, f ( x ) ? ?? ,

9 3 h( x )max ? h(3) ? 3ln 3 ? ? 6 ? 3ln 3 ? ? 0 , 2 2
所以 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 只有一个零点 所以方程 f(x)-g(x)=0 只有 1 个实根. 10.解析:令 an ? f n ( ) ,则 an 是以 4 为周期的周期函数,因为 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 0 , 所以 f1 ( ) ? f 2 ( ) ? ?? ? f 2015 ( ) ? ( a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? ( a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? ??

π 4

π 4

π 4

π 4

(a1 ? a2 ? a3 ) = a1 ? a2 ? a3 = sin
三、解答题。 (11) 解: (Ⅰ) f ( x ) ?

?
4

? cos

?
4

? 2.

?

x 1 1 1 1 (t 2 ? at ? 2)dt ? ( t 3 ? at 2 ? 2t ) ? x 3 ? ax 2 ? 2 x , 0 0 3 3 2 2
x

' 2 所以 f ( x) ? x ? ax ? 2 ,因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极值 ' 2 所以 f (?1) ? (?1) ? a ? (?1) ? 2 ? 0 ,解得 a ? 1 ,

经检验, a ? 1 符合题意,因此 a ? 1 . (Ⅱ)由(1)得 f ( x ) ?

1 3 1 2 x ? x ? 2 x , f ?( x) ? x2 ? x ? 2 ? ( x ? 1)( x ? 2) , 3 2

4

当 x 变化时, f ' ( x) 、 f ( x ) 变化如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)
由上表知:

?2

( ?2, ?1)

?1
0

( ?1,2)

2
0

(2,3)

3

?
? 2 3


?


?


7 6

?

10 3

?

3 2

7 10 ;当 x ? 2 时, f ( x ) 取到最小值 ? . 6 3 1 1 5ax 2 ? 8ax ? 1 ' 2 (12) 解: (Ⅰ) f ( x ) ? 2ax x ? 2 ? ( ax ? 1) ? ? = , 2 x?2 2 x?2
当 x ? ?1 时, f ( x ) 取到最大值 因为 f ( x ) 在 [2, ?? ) 上单调递减,所以
2

5ax 2 ? 8ax ? 1 ? 0 在 [2, ?? ) 上恒成立, 2 x?2
?1 , 5x ? 8x
2

因为 2 x ? 2 ? 0 ,所以 5ax ? 8ax ? 1 ? 0 ,即 a ? 令 g( x) ? 则 g ?( x) ?

?1 , x ?[2, ??) , 5x ? 8x
2

?1 10 x ? 8 ? 0 ,所以 g ( x ) ? 2 在 [2, ?? ) 上单调递增, 2 2 5x ? 8x (5 x ? 8 x) 1 1 ,所以 a ? g ( x ) min ? ? . 36 36

所以 g ( x ) min ? g (2) ? ?

(Ⅱ) f ( x ) 定义域为 [ ?2, ??)

1 1 5ax 2 ? 8ax ? 1 f ?( x) ? 2ax x ? 2 ? (ax 2 ? 1) ? ? = , 2 2 x?2 x?2
2 2 因为 a ? 0 ,所以 64a ? 20a ? 0 ,因此方程 5ax ? 8ax ? 1 ? 0 有两个根,

x1 ? x2 ?

?8a ? 64a 2 ? 20a ?8a ? 64a 2 ? 20a , x2 ? , 10a 10a ?8a ? 64a 2 ? 20a ?8a 4 ? ? ? ? ?2 , 10a 10a 5
1 ?8a ? 64a 2 ? 20a ? ?2 ,即 ? ? a ? 0 时, 4 10a

当 x1 ?

' 当 x 变化时, f ( x) 、 f ( x ) 变化如下表

5

x
f ' ( x)
f ( x)
由上表知:

?2

(?2, x2 )

x2
0

( x2 , ??)

?


?


f ( x ) 在 ( ?2,

?8a ? 64a 2 ? 20a ?8a ? 64a 2 ? 20a ) 上单调递增,在 ( , ??) 上单调递减, 10a 10a

当 x1 ?

1 ?8a ? 64a 2 ? 20a ? ?2 即 a ? ? 时 4 10a

当 x 变化时, f ' ( x) 、 f ( x ) 变化如下表

x
f ' ( x)
f ( x)
由上表知:

?2

(?2, x1 )
?
↘ 0

x1

( x1 , x2 )

x2
0

( x2 , ??)
?


?


f ( x ) 在 ( ?2,

?8a ? 64a 2 ? 20a ?8a ? 64a 2 ? 20a )和 ( , ??) 上单调递减, 10a 10a

在(

?8a ? 64a 2 ? 20a ?8a ? 64a 2 ? 20a , ) 上单调递增. 10a 10a

综上所述:

1 ?8a ? 64a 2 ? 20a 当 ? ? a ? 0 时, f ( x ) 在 ( ?2, ) 上单调递增, 4 10a
在(

?8a ? 64a 2 ? 20a , ??) 上单调递减; 10a

当a ? ?

1 ?8a ? 64a 2 ? 20a ?8a ? 64a 2 ? 20a 时, f ( x ) 在 ( ?2, )和 ( , ??) 上单调递减, 4 10a 10a

在(

?8a ? 64a 2 ? 20a ?8a ? 64a 2 ? 20a , ) 上单调递增. 10a 10a

(13) 解(Ⅰ)设直线 y ? ?

1 与 f ( x ) 相切于点 ( x0 ,ln x0 ? ax02 )( x0 ? 0) , 2

6

f ?( x) ?

1 2ax 2 ? 1 ? 2ax ? , x x

? 2ax0 2 ? 1 ? 0, ? x0 ? 1, ? ? ? x0 依题意得 ? 解得 ? 1 a?? . ? ?ln x ? ax 2 ? ? 1 , ? 2 0 0 ? ? 2
所以 a ? ?

1 1 ,经检验: a ? ? 符合题意 2 2 1 2 1 1 ? x2 x ,所以 f ?( x) ? ? x ? , 2 x x

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x ) ? ln x ? 当 x ? (1, e] 时, f ' ( x) ? 0

所以 f ( x ) 在 [1, e ] 上单调递减,

所以当 x ?[1, e ] 时, f ( x ) min ? f ( e ) ?

1 e 1 ? , f ( x ) max ? f (1) ? ? , 2 2 2

g ?( x) ? ?

1 ?1 ? x 2 ? 1 ? , x2 x2

当 x ? (1,4] 时, g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x ) 在 [1,4] 上单调递增, 所以当 x ? (1,4] 时, g ( x)min ? g (1) ? 2 ? b , g ( x ) max ? g (4) ? 依题意得 [ ?

17 ?b, 4

1 2

e 1 17 , ? ] ? [2 ? b, ? b] , 2 2 4

1 e ? 2?b ? ? , ? 19 3 e ? 2 2 ?b?? ? . 所以 ? 解得 ? 4 2 2 ? 17 ? b ? ? 1 , ? ? 4 2
(Ⅲ)依题意得 ?

? f ( x2 ) ? cx2 , ? f ( x1 ) ? cx1 ,
1 2 ( x2 ? x12 ) ? c( x2 ? x1 ) , 2

两式相减得 (ln x2 ? ln x1 ) ? 所以 c ?

ln x2 ? ln x1 x2 ? x1 , ? x2 ? x1 2

方程 g ( x1 ? x2 ) ? 2c ? 0 可转化为

1 2(ln x2 ? ln x1 ) ? ( x1 ? x2 ) ? b ? ? ( x2 ? x1 ) ? 0 , x1 ? x2 x2 ? x1

7

x1 x ? x1 x x2 ? 2 ln 1 ? 即 b( x2 ? x1 ) ? 2(ln x1 ? ln x2 ) ? 2 , x1 ? x2 x2 1 ? x1 x2 1?
令t ?

1? t x1 ,则 t ? (0,1) ,则 b( x2 ? x1 ) ? 2 ln t ? , 1? t x2 1? t , t ? (0,1) , 1? t

令 h(t ) ? 2 ln t ? 因为 h (t ) ?
'

2 ?(1 ? t ) ? (1 ? t ) 2 2 ? ? ? ?0, 2 t (1 ? t ) t (1 ? t )2

所以 h(t ) 在 (0,1) 上单调递增,所以 h(t ) ? h(1) ? 0 , 所以 b( x2 ? x1 ) ? 0 ,即 b ? 0 .

8



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