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《走向高考》2013



8-7 圆锥曲线的综合问题(理) 基础巩固强化 x2 y2 1.(2012· 潍坊教学质量监测)椭圆 4 + 3 =1 的离心率为 e,点(1,e)是圆 x2+ y2-4x-4y+4=0 的一条弦的中点,则此弦所在直线的方程是( A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 [答案] [解析] B 1 1 依题意得 e= ,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1, )的连

线的斜 2 2 B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0 )

1 2-2 3 2 1 2 率为 =2,则所求直线的斜率等于-3,所以所求直线方程是 y-2=-3(x- 2-1 1),即 4x+6y-7=0,选 B. 2.(2011· 宁波十校联考)已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对 称的相异两点 A、B,则|AB|等于( A.3 C.3 2 [答案] C
2 [解析] 设 A(x1,3-x2 1),B(x2,3-x2),由于 A、B 关于直线 x+y=0 对称,∴ 2 ?x1=x2-3, ?x1=-2, ?x1=1, ? 解得? 或? 设直线 AB 的斜率为 kAB, 2 ?3-x1=-x2, ?x2=1, ?x2=-2,

) B.4 D.4 2

∴|AB|= 1+k2 AB|x1-x2|=3 2.故选 C. 3.设 F 是抛物线 C1:y2=2px(p>0)的焦点,点 A 是抛物线 C1 与双曲线 C2: x2 y2 a2-b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的一个公共点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离 心率为( A.2 5 C. 2 [答案] D ) B. 3 D. 5

[解析]

p p 由题意可知,抛物线 C1 的焦点为 F(2,0),因为 AF⊥x 轴,则 A(2,

p p b b ± p),不妨取 A(2,p),则双曲线 C2 的渐近线的斜率为p=a,∴a=2,令 a=1, 2 c 则 b=2,c= a2+b2= 5,∴e=a= 5. x2 y2 4.(2011· 南昌检测)过椭圆a2+b2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭 圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( 2 A. 2 1 C.2 [答案] [ 解析 ] B 记 |F1F2| = 2c ,则 |PF1| = 2c 4c , |PF2| = ,所以椭圆的离心率为 3 3 3 B. 3 1 D.3 )

|F1F2| 2c 3 = 2c 4c = 3 ,选 B. |PF1|+|PF2| + 3 3 5. (2011· 台州二模)已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 且倾斜角为 60° 的直 |AF| 线 l 与抛物线在第一、四象限分别交于 A、B 两点,则|BF|的值为( A.5 [答案] C [解析] p y p 由题意设直线 l 的方程为 y= 3(x-2),即 x= +2,代入抛物线 3 B.4 C.3 D.2 )

方程 y2=2px 中,整理得 3y2-2py- 3p2=0,设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 yA 3 |AF| yA = 3p,yB=- 3 p,所以|BF|=|y |=3. B 1 x2 y2 6.(2012· 东北三校一模)已知直线 y=2x 与双曲线 9 - 4 =1 交于 A、B 两点, P 为双曲线上不同于 A,B 的点,当直线 PA,PB 的斜率 kPA,kPB 存在时,kPA· kPB =( ) 4 A.9 1 B.2

2 C.3 [答案] A

D.与 P 点位置有关

[解析]

设点

1 ? ?y=2x, A(x1,y1)、B(x2,y2)、P(x0,y0),则由? 2 2 x y ? 9 - 4 =1, ?

消去 x

36 36 36 2 得 y2= 7 , y1+y2=0, y1y2=- 7 , (y1+y0)(y2+y0)=y1y2+y0 +y0(y1+y2)=y2 0- , 7
2 2 (x1 + x0)(x2 + x0) = (2y1 + x0)(2y2 + x0) = 4y1y2 + x 2 0 + 2x0(y1 + y2) = 4y1y2 + x 0 = x 0 -

36 y2 36 9 36 x1+x0 x2+x0 9 0 4× 7 =9( 4 +1)-4× 7 =4(y2 · = . 0- ), 7 y1+y0 y2+y0 4
2 x1 y2 1 ? ? 9 - 4 =1 2 2 x2 y2 y1-y0 4 x1+x0 y2-y0 1-x0 1-y0 得 9 = 4 ,即 =9· ,同理有 = x1-x0 y1+y0 x2-x0

由? 2 2 x0 y0 ? ? 9 - 4 =1

y1-y0 y2-y0 4 2 x1+x0 x2+x0 4 2 9 4 4 x2+x0 · ,于是有 k k · =( ) · · =( ) ×4=9,选 A. PA· PB= 9 y2+y0 x1-x0 x2-x0 9 y1+y0 y2+y0 9 x2 y2 7.已知过双曲线 2- 2=1 右焦点且倾斜角为 45° 的直线与双曲线右支有两 a b 个交点,则双曲线的离心率 e 的取值范围是________. [答案] [解析] (1, 2) c2-a2 b c2 由条件知,渐近线的倾斜角小于 45° ,即a<1,∴ a2 <1,∴a2<2,

即 e2<2,∵e>1,∴1<e< 2. y2 8.设直线 l:y=2x+2,若 l 与椭圆 x + 4 =1 的交点为 A、B,点 P 为椭圆
2

上的动点,则使△PAB 的面积为 2-1 的点 P 的个数为________. [答案] [解析] 3 y2 设与 l 平行且与椭圆相切的直线方程为 y=2x+b,代入 x + 4 =1
2

中消去 y 得,8x2+4bx+b2-4=0, 由 Δ=16b2-32(b2-4)=0 得,b=± 2 2, 显见 y=2x+2 与两轴交点为椭圆的两顶点 A(-1,0),B(0,2),

∵直线 y=2x+2 2与 l 距离 d=

2 2-2 , 5

2 2-2 1 5 ∴欲使 S△ABP=2|AB|· h= 2 h= 2-1,须使 h= ,∵d=h,∴直线 y 5 =2x+2 2与椭圆切点,及 y=2x+4-2 2与椭圆交点均满足,∴这样的点 P 有 3 个. x2 y2 9.已知 F 是椭圆a2+b2=1(a>0,b>0)的左焦点,若椭圆上存在点 P,使得 2π 直线 PF 与圆 x2+y2=b2 相切,当直线 PF 的倾斜角为 3 时,此椭圆的离心率是 ________. [答案] [解析] 2 7 7 2π π π 依题意得 OP⊥PF, ∵直线 PF 的倾斜角为 3 , ∴∠OFP=3, ∴sin3 1 b 1+?c?2 = 2 7 = 7 . 3 1+? 2 ?2 1

b 3 c c =c= 2 ,椭圆的离心率 e=a= 2 = c +b2

10.(2012· 昆明一中测试)过抛物线 C:x2=2py(p>0)的焦点 F 作直线 l 与抛 物线 C 交于 A、B 两点,当点 A 的纵坐标为 1 时,|AF|=2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)若直线 l 的斜率为 2,问抛物线 C 上是否存在一点 M,使得 MA⊥MB,并 说明理由. [解析] 2,∴p=2, ∴抛物线 C 的方程为 x2=4y. p p (1)由抛物线的定义得|AF|等于点 A 到准线 y=-2的距离,∴1+2=

(2)抛物线 C 的焦点为 F(0,1),直线 l 的方程 y=2x+1, x2 x2 x2 1 2 0 设点 A、B、M 的坐标分别为(x1, 4 )、(x2, 4 )、(x0, 4 ),
2 ?x =4y 由方程组? 消去 y 得,x2=4(2x+1), y = 2 x + 1 ?

即 x2-8x-4=0, 由韦达定理得 x1+x2=8,x1x2=-4. → → ∵MA⊥MB,∴MA· MB=0,
2 2 2 x2 1 x0 x2 x0 ∴(x1-x0)(x2-x0)+( 4 - 4 )( 4 - 4 )=0,

1 ∴(x1-x0)(x2-x0)+16(x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=0. ∵M 不与 A,B 重合,∴(x1-x0)(x2-x0)≠0, 1 ∴1+16(x1+x0)(x2+x0)=0,x1x2+(x1+x2)x0+x2 0+16=0,
2 ∴x0 +8x0+12=0,∵Δ=64-48>0. 2 ∴方程 x0 +8x0+12=0 有解,即抛物线 C 上存在一点 M,使得 MA⊥MB.

能力拓展提升 11.(2011· 大纲全国理,10)已知抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,直线 y=2x-4 与 C 交于 A,B 两点,则 cos∠AFB=( 4 A.5 C.- 3 5 D ) 3 B.5 D.- 4 5

[答案]

[解析]

2 ?y =4x, ? 方法一:联立 ?y=2x-4,

?x=4, ?x=1, 解得? 或? 不妨设 A 在 x 轴上方, ?y=4, ?y=-2, ∴A(4,4),B(1,-2), → → ∵F 点坐标为(1,0),∴FA=(3,4),FB=(0,-2), → → -8 FA· FB 4 cos∠AFB= = =- . → → 5×2 5 |FA|· |FB| 方法二:同上求得 A(4,4),B(1,-2),|AB|=3 5,|AF|=5,|BF|=2, 由余弦定理知, cos∠AFB= |AF|2+|BF|2-|AB|2 4 =- 2· |AF|· |BF| 5.

12.(2012· 江西七校联考)如图,有公共左顶点和公共左焦点 F 的椭圆Ⅰ与Ⅱ 的长半轴的长分别为 a1 和 a2, 半焦距分别为 c1 和 c2.则下列结论不正确的是( )

A.a1+c1>a2+c2 C.a1c2<a2c1 [答案] [解析] D

B.a1-c1=a2-c2 D.a1c2>a2c1

依题意得,a1>a2,c1>c2,a1+c1>a2+c2;两个椭圆的左焦点到左
1 2

1 1 顶点的距离相等,即有 a1-c1=a2-c2;由 a1>a2,得a <a ,又 a1-c1=a2-c2, a1-c1 a2-c2 c2 c1 因此 a < a ,即有a <a ,a1c2<a2c1.因此,不正确的结论是 D,选 D.
1 2 2 1

13.若直线 mx+ny-5=0 与圆 x2+y2=5 没有公共点,则过点 P(m,n)的直 x2 y2 线与椭圆 7 + 5 =1 的公共点的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.无法确定

[答案] C [ 解析 ]
2

因为直线 mx + ny - 5 = 0 与圆 x2 + y2 = 5 没有公共点,所以

5 > 5,即 m2+n2<5,所以点 P(m,n)在圆 x2+y2=5 的内部,而该圆在椭 m +n2 x2 y2 x2 y2 圆 7 + 5 =1 内部,故点 P(m,n)在椭圆 7 + 5 =1 的内部,所以过点 P(m,n)的直 x2 y2 线与椭圆 7 + 5 =1 一定相交,故公共点的个数是 2. 14.(2012· 安徽文,14)过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点.若|AF|=3,则|BF|=________. 3 [答案] 2 [解析] 本题考查抛物线定义、直线与抛物线的位置关系.

设 A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3 及抛物线定义可知 x1+1=3,x1=2,∴ 2 2-0 A(2,2 2),则直线 AF 斜率为 k= =2 2, 2-1 所以 AB 方程为 y=2 2(x-1),
2 ?y =4x, 由? 联立消去 y 得,2x2-5x+2=0, ?y=2 2?x-1?,

1 1 解之得 x1=2,x2=2,∴B(2,- 2), 1 3 所以|BF|=x2+1=2+1=2. 15.已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,短轴长为 2,且两个焦 点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点.过右焦点 F 与 x 轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P,Q 两点.

(1)求椭圆的方程; (2)当直线 l 的斜率为 1 时,求△POQ 的面积; (3)在线段 OF 上是否存在点 M(m,0),使得以 MP,MQ 为邻边的平行四边形 是菱形?若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. [解析] x2 y2 (1)由已知,椭圆方程可设为a2+b2=1(a>b>0).∵两个焦点和短轴

的两个端点恰为正方形的顶点,且短轴长为 2,∴b=c=1,a= 2. x2 2 所求椭圆方程为 2 +y =1. (2)右焦点 F(1,0),直线 l 的方程为 y=x-1. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),
2 2 ?x +2y =2, 由? 消去 x 得,3y2+2y-1=0, ?y=x-1,

1 解得 y1=-1,y2=3. 1 1 2 ∴S△POQ=2|OF|· |y1-y2|=2|y1-y2|=3. (3)假设在线段 OF 上存在点 M(m,0)(0<m<1),使得以 MP、MQ 为邻边的平 行四边形是菱形.因为直线与 x 轴不垂直,所以设直线 l 的方程为 y= k(x- 1)(k≠0).
2 2 ?x +2y =2 由? 可得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0. ?y=k?x-1?

2k2-2 4k2 ∴x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 → → → MP=(x1-m,y1),MQ=(x2-m,y2),PQ=(x2-x1,y2-y1).其中 x2-x1≠0 以 MP,MQ 为邻边的平行四边形是菱形 → → → → → → ?(MP+MQ)⊥PQ?(MP+MQ)· PQ=0 ?(x1+x2-2m,y1+y2)· (x2-x1,y2-y1)=0 ?(x1+x2-2m)(x2-x1)+(y1+y2)(y2-y1)=0 ?(x1+x2-2m)+k(y1+y2)=0

2 2 ? 4k ? 2? 4k ? - 2 m ?+k ?1+2k2-2?=0 ??1+2k2 ? ? ? ?

k2 ?2k -(2+4k )m=0?m= (k≠0). 1+2k2
2 2

1 ∴0<m<2. x2 y2 16.双曲线a2-b2=1(a>0,b>0)的离心率为 2,坐标原点到直线 AB 的距离 3 为 2 ,其中 A(0,-b),B(a,0). (1)求双曲线的标准方程; (2)设 F 是双曲线的右焦点,直线 l 过点 F 且与双曲线的右支交于不同的两 → → 点 P、 Q, 点 M 为线段 PQ 的中点. 若点 M 在直线 x=-2 上的射影为 N, 满足PN· QN → =0,且|PQ|=10,求直线 l 的方程.

[解析]

? ? ab 3 (1)依题意有? = , 2 a +b ? ?a +b =c .
2 2 2 2 2

c a=2,

解得 a=1,b= 3,c=2. y2 所以,所求双曲线的方程为 x2- 3 =1. → (2)当直线 l⊥x 轴时,|PQ|=6,不合题意.当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-2). y2 ? ?x2- =1?x>0?, 3 由? ? ?y=k?x-2?,

消去 y 得,

(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.① 因为直线与双曲线的右支交于不同两点,所以 3-k2≠0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),则 x1、x2 是方程①的两个正根,于是有

? ? +3 ?x x =4kk - >0, 3 ? ?Δ=?4k ? -4?3-k ??-4k -3?>0,
2 1 2 2 2 2 2 2

4k2 x1+x2= 2 >0, k -3

所以 k2>3.② → → → 因为PN· QN=0, 则 PN⊥QN, 又 M 为 PQ 的中点, |PQ|=10, 所以|PM|=|MN| 1 =|MQ|=2|PQ|=5. 又|MN|=x0+2=5,∴x0=3, x1+x2 2k2 而 x0= 2 = 2 =3,∴k2=9,解得 k=± 3. k -3 ∵k=± 3 满足②式,∴k=± 3 符合题意. 所以直线 l 的方程为 y=± 3(x-2). 即 3x-y-6=0 或 3x+y-6=0.

1.(2011· 辽宁文,7)已知 F 是抛物线 y2=x 的焦点,A,B 是该抛物线上的 两点,|AF|+|BF|=3,则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为( 3 A.4 5 C.4 [答案] C [解析] 如图所示: B.1 7 D.4 )

∵|AF|=|AK|,|BF|=|BM|, ∴|AK|+|BM|=|AF|+|BF|=3, ∴AB 的中点 P 到准线的距离为: 1 3 |PN|=2(|AK|+|BM|)=2 3 1 5 ∴点 P 到 y 轴的距离为2-4=4. 2.(2012· 镇江调研)已知抛物线的方程为 y2=2px(p>0),过它的顶点 O 作两条 互相垂直的弦 OA,OB.

(1)证明直线 AB 过定点; (2)求抛物线顶点 O 在 AB 上射影 M 的轨迹方程. [解析] 1 是 , x1+x2
2 (1)不妨设 A(2px2 1,2px1),B(2px2,2px2)(x1≠x2),则直线 AB 的斜率

1 于是 lAB:y-2px2= (x-2px2 2), x1+x2 即(x1+x2)y=2px1x2+x, 1 1 又∵OA⊥OB,∴x · x =-1.
1 2

因此,直线方程为(x1+x2)y=-2p+x,令 y=0 得 x=2p, ∴lAB 恒过定点(2p,0). (2)由(1)的结论可知,AB 过定点 N(2p,0). 设 M(x,y),当 AB 斜率存在时,由 KOM· KAB=-1 可知, y y =-1,即(x-p)2+y2=p2. x· x-2p 当 AB⊥x 轴时,点 M 与点 N 重合,方程也满足. ∴点 M 的轨迹方程是(x-p)2+y2=p2.它表示以点(p,0)为圆心,p 为半径的圆 (去掉坐标原点). 3.已知动点 P 到定点 F( 2,0)的距离与点 P 到定直线 l:x=2 2的距离之 2 比为 2 . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; → → (2)设 M、 N 是直线 l 上的两个点, 点 E 与点 F 关于原点 O 对称, 若EM· FN= 0,求|MN|的最小值. [解析] (1)设点 P(x,y), ?x- 2?2+y2 2 x2 y2 = 2 ,整理得 4 + 2 =1, |x-2 2|

依题意有,

x2 y2 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 4 + 2 =1. (2)∵点 E 与点 F 关于原点 O 对称, ∴点 E 的坐标为(- 2,0). ∵M、N 是直线 l 上的两个点, ∴可设 M(2 2,y1),N(2 2,y2)(不妨设 y1>y2). → → ∵EM· FN=0,∴(3 2,y1)· ( 2,y2)=0,

6 ∴6+y1y2=0,即 y2=-y .
1

由于 y1>y2,∴y1>0,y2<0. 6 ∴|MN|=y1-y2=y1+y ≥2
1

6 y1· y =2 6.
1

当且仅当 y1= 6,y2=- 6时,等号成立. 故|MN|的最小值为 2 6.



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