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2013-2014学年高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第1课时)目标导学 新人教A版必修5


第 1 课时 一元二次不等式及其解法

1.了解一元二次 不等式的概念. 2.掌握一元二次不等式的解集,会解一元二次不等式. 3.掌握一元二次不等式的解集与其系数的关系.

1.一元二次不等式 只含有__个未知数,并且未知数的最高次数是__的不等式,称为一元二次不等式. (1)“只含有一个未知数”, 并不是说在代数式中不能含有其他的字母, 只要明确指出, 哪一个是变量,哪一些是参数(定值)就可以. (2)“最高次数是 2”,仅限于“未知数”,若还含有其他参数,则次数不受此条件的 限制. 【做一做 1】 有下列不等式:①x2 >0;②-x2 -2x≤15;③x3 -5x+6>0;④x2 -y< 0.其中一元二次不等式的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.一元二次不等式的解集 (1)一元二次不等式的解集如下表: 判别式 Δ >0 Δ =0 Δ <0 Δ =b2 -4ac 二次函数 y=ax2 +bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 有两个相等实根

ax2 +bx+c=0 (a>0)的根 ax2 +bx+c>0 (a>0)的解集 ax2 +bx+c<0 (a>0)的解集

有两个相异实根 x1 ,x2 (x1 <x2 ) ____________ ____________

x1 =x2 =-

b 2a

没有实数根 __________ __________

____________ __________

(2)一元二次不等式的解法. 步骤是: ①利用不等式的性质,将不等式进行同解变形为一般形式 ax2 +bx+c>0 或 ax2 +bx+c≥0 或 ax2 +bx+c<0 或 ax2 +bx+ c≤0,其中 a__0. ②计算判别式 Δ =__________的值. ③当 Δ >0 时,解方程 ax2 +bx+c=0 得两个不相等的实根 x1 ,x2 ,不妨设 x1 <x2 ,则 ax2 +bx+c>0 的解集为{x|x<x1 或 x>x2 }; ax2 +bx+c≥0 的解集为__________; ax2 +bx+c<0 的解集为{x|x1 <x<x2 }; ax2 +bx+c≤0 的解集为__________. 2 ④当 Δ =0 时,解方程 ax +bx+c=0 得两个相等的实根 x1 ,x2 ,则 2 ax +bx+c>0 的解集为{x|x≠x1 };
1

ax2 +bx+c≥0 的解集为____; ax2 +bx+c<0 的解集为____; ax2 +bx+c≤0 的解集为________. ⑤当 Δ <0 时,方程 ax2 +bx+c=0 没有实根,则 ax2 +bx+c>0 的解集为 R; ax2 +bx+c≥0 的解集为__; ax2 +bx+c<0 的解集为 ; ax2 +bx+c≤0 的解集为____. 2 【做一做 2-1】 不等式 x>x 的解集是( ) A.{x|x>1} B.{x|x<0} C.{x|0<x<1} D.R 2 【做一做 2-2】 不等式 x +6x+10<0 的解集是( )
A. B.R C.{x|x>5} D.{x|x<2} 2 【做一做 2-3】 不等式-x +x-2<0 的解集为__________. 答案:1.一 2 【做一做 1】 B 2.(1){x|x<x1 或 x>x2 } 4ac ③{x|x≤x1 或 x≥x2 } 【做一做 2-1】 C 【做一做 2-2】 A 【做一做 2-3】 R {x|x≠- } R {x|x1 <x<x2 } ? ? (2)①> 2a {x|x1 ≤x≤x2 } ④R ? {x|x=x1 } ⑤R ?

b

②b2 -

1.一元二次不等式的解集与其系数的关系 剖析:(1)如果一元二次不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是{x|n<x<m}(n<m),或一元二

?m+n=-b, a 次不等式 ax +bx+c≥0 的解集是{x|n≤x≤m}(n<m),那么有? c ?mn=a.
a<0,
2

如果一元二次不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是{x|x<n 或 x>m}(n<m),或一元二次不

?m+n=-b, a 等式 ax +bx+c≥0 的解集是{x|x≤n 或 x≥m}(n<m),那么有? c mn= . ? a
a>0,
2

(2)如果一元二次不等式 ax2 +bx+c>0 的解集是 R,则有? 元二次不等式 ax2 +bx+c≥0 的解集是 R,则有?
?a>0, ?

?a>0, ? ? ?Δ =b -4ac<0;
2

如果一

? ?Δ =b -4ac≤0. ?a<0, ? ? ?Δ =b -4ac<0;
2

2

如果一元二次不 等式 ax2 +bx+c<0 的解集是 R, 则有?

如果一元二

2

次不等式 ax +bx+c≤0 的解集是 R,则有?
2 2

? ?a<0, ? ?Δ =b -4ac≤0.
2

(3)如果一元二次不等式 ax +bx+c>0 的解集是 元二次不等式 ax2 +bx+c≥0 的解集是
2

, 则有?

?a<0, ? ? ?Δ =b -4ac≤0;
2

如果一

,则有?

?a<0, ? ? ?Δ =b -4ac<0.
2

如果一元二次不等式 ax +bx+c<0 的解集是 二次不等式 ax +bx+c≤0 的解集是
2

,则有?

?a>0, ? ? ?Δ =b -4ac≤0;
2

如果一元

,则有?

?a>0, ? ? ?Δ =b -4ac<0.
2

2.利用二次函数的图象解一元二次不等式 剖析:我们知道以自变量的取值为横坐标,对应的函数值作为纵坐标,在平面直角坐标 系中描出所有的点, 这些点就构成了函数的图象. 因此函数图象上点的坐标的意义是横坐标 是自变量的取值,纵坐标是对应的函数值.二次函数 f(x)=ax2 +bx+c 的图象上的点的坐 标的意义也是一样.由于位于 x 轴上方的点的纵坐标大于 0,位于 x 轴上的点的纵坐标等于 2 0,位于 x 轴下方的点的纵坐标小于 0,所以二次函数 f(x)=ax +bx+c 的图象上位于 x 轴 上方的点的横坐标的取值范围是不等式 f(x)=ax2 +bx+c>0 的解集,二次函数 f(x)=ax 2 2 +bx+c 的图象上位于 x 轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式 f(x)=ax +bx+c<0 的 解集.所以可以用二次函数的图象来解一元二次不等式.当然,对于任意函数 y=f(x),只 要能画出它的图象,那么就可以解不等式 f(x)>0 或 f(x)<0.

题型一 解一元二次不等式 【例题 1】 解下列不等式: 2 (1)-x2 +2x- >0; 3 1 (2)- x2 +3x-5>0; 2 81 2 (3)4x -18x+ ≤0 . 4 分析:一看 a(二次项系数),二算 Δ ,三写解集. 反思:解一元二次不等式的一般步骤: (1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程没有实根; (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集. 题型二 已知一元二次不等式的解集求参数的值 2 【例题 2】 不等式 ax +bx+2≤0 的解集是{x|x≤-1 或 x≥2},求 a,b 的值. 2 分析:-1 和 2 是关于 x 的一元二次方程 ax +bx+2=0 的两根,借助于一元二次方程 根与系数的关系,求出 a 与 b 的值. 反思:已知一元二次不等式的解集求参数的值的步骤:(1)确定 x2 的系数 a≠0;(2)明 2 确不等式 ax +bx+c>0(或<0,或≥0,或≤0)的解集的“端点”(如本题中解集的端点是 -1 和 2)是相 应的一元二次方程 ax2 +bx+c=0 的根;(3)借助一元二次方程根与系数的关 系,列出关于参数的方程(组),解得参数的值. 题型三 易错辨析 x-3 【例题 3】 解不等式 <0. x+7 错解:原不等式两边同乘以 x+7,得 x-3<0,
3

∴原不等式的解集是{x|x<3}. 错因分析:分母中含有未知数 x,符号未知,解题时不能直接去掉,而错解中在此出现 错误. 答案: 【例题 1】 解:(1)两边都乘以-3,得 3x2 -6x+2<0. ∵3>0,Δ =36-24=12>0,且方程 3x2 -6x+2=0 的解是 x1 =1- ∴原不等式的解集是?x?1-
? ?

3 3 ,x2 =1+ , 3 3

? ?

3 3? <x<1+ ? 3 3 ?

.

(2)不等式可化为 x2 -6x+10<0, Δ =(-6)2 -4×10=-4<0, ∴原不等式的解集为?. (3)不等式可化为 16x2 -72x+81≤0, 即(4x-9)2 ≤0, 9 ∴4x-9=0,∴x= . 4 ? ? 9? ∴原不等式的解集为?x x= ? . ? 4? ? 【例题 2】 解:由 ax2 +bx+2≤0 的解集是{x|x≤-1 或 x≥2},知 a<0,且 ax2 +bx +2=0 的两根分别是 x1 =-1,x2 =2,

?-b=1, ?a ∴? 2 ?a=-2, ?

∴a=-1,b=1.

【例题 3】 正解:方法一:化为两个一元一次不等式组来解. ?x-3>0, x-3 ? ∵ <0 ? x+7 ? ?x+7<0 或?
?x-3<0, ? ? ?x+7>0

x∈

或-7<x<3

-7<x<3,

∴原不等式的解集是{x|-7<x<3}. 方法二:化为一元二次不等式来解. x-3 ∵ <0 (x-3)(x+7)<0 -7<x<3, x+7 ∴原不等式的解集是{x|-7<x<3}.

1 不等式

x ?1 >0 的解集是( x?2

) B.{x|-2<x<1} D.{x|-1<x<2}
2

A.{x|x<-2 或 x>1} C.{x|x<-1 或 x>2}

2 (201 1·江苏南京一模)函数 y= 2x ? x 的定义域是__________. 3 若集合 A={x|x2 -2x<0},B={x|y=lg(x-1)},则 A∩B 为__________. 4 (2011·广东广州二模)若关 于 x 的不等式 m(x-1)>x2 -x 的解集为{x|1<x<2},则 实数 m 的值为__________. 5 已知二次函数 y=x2 +px +q,当 y<0 时,有 ?

1 1 <x< ,解不等式 qx2 +px+1>0. 2 3
4

答案:1.A

2.[0,2]

3.{x|1<x<2}

4.2

5.解:∵不等式 x2 +px+q<0 的解集为 ? x ?

? ?

1 1? ? x? ?, 2 3?

1 1 和 . 2 3 1 1 1 ? 1 1? 1 ∴p= ? ? ? ? ? ? ,q= ? ? ? ? . 2 3 6 ? 2 3? 6 1 1 ∴不等式 qx2 +px+1>0,即为 x 2 ? x ? 1 <0. 6 6
∴方程 x +px+q=0 的两根为 ?
2

∴所求不等式的解集为{x|-2<x<3}.

5



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