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2.1.3函数的单调性-2-复合函数



复习准备
1、函数单调性的定义是什么? 对于给定区间I上的函数f(x),若对于I 上的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有 f(x1)<(>)f(x2),则称f(x)是I上的增(减)函数, 区间I称为f(x)的增(减)区间。

复习准备
2、证明函数单调性的步骤是什么? 证明函数单调性应该按下列步骤进行: 第一步

:取值 第二步:作差变形 第三步:定号 第四步:判断下结论

复习准备
3、现在已经学过的判断函数单调性有些什 么方法? 另:
正比例函数:y=kx 反比例函数:y=k/x 一次函数y=kx+b (k≠0) (k≠0) (k≠0)

y?

x, b (a ? 0, b ? 0). x

y ? ax ?

二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)

复合函数的单调性
复合函数: 令 则 u=g(x) y=f(u)

y=f[g(x)]
内函数 外函数 原函数 以x为自变量 以u为自变量 以x为自变量

y=f[g(x)]

复合函数单调性定理:
①当内外函数在各自定义域内同增同减时,原函数增 ②当内外函数在各自定义域内一增一减时,原函数减

复合函数f[g(x)]由f(u)和g(x) 的单调性共同决定。它们之 间有如下关系:
f(u) g(x) f[g(x)]

结论1

法 则 同 增 异 减

三个函数y=f(u),u=g(x),y=f[g(x)]中,若有两个函数 单调性相同,则第三个函数为增函数;若有两个函 数单调性相反,则第三个函数为减函数。

利用已知函数单调性进行判断

例1:设f(x)在定义 域A上是减函数,试 判断y=3-2f(x)在A 上的单调性,并说 明理由。 结论2: y=f(x)与y=kf(x)

解:y=3-2f(x)在A上是增函数, 因为:

任取x1,x2∈A,且x1<x2,
由f(x)在A上为减函数,所以

f(x1)>f(x2),故-2 f(x1)<-2f(x2) 所以3-2 f(x1)<3-2f(x2)即有

y1<y2,由定义可知,y=3-2f(x) 当k>0时,单调性相同; 在A上为增函数。 当k<0时,单调性相反。

利用已知函数单调性进行判断

结论3:若f(x)与g(x)在 结论4:若f(x) 在R上是增函数, R上是增函数,则 g(x)在R上是减函数,则 f(x)+g(x)也是增函数。 f(x) -g(x)也是增函数 结论5:若f(x)(其中 f(x)>0)在某个区间上 为增函数,则
n

结论6: y=f(x)
y ?

1 f ( x)

(f(x) 恒不为0),与

的单调性相反。

f ( x) , f n ( x)

(n ? 1)

也是增函数

1.求单调区间

例1、求函数y ? x ? 2x-3的单调区间。
2

解:x ? 2x - 3 ? 0 ? x ? -3 ,或x ? 1
2

? 原函数的定义域为(- ?,- 3 ] ? [ 1 ,+?)

令u ? x ? 2x - 3 , 则y ? u
2

? y ? u在 [ 0, +?) 为 增 函 数 , 而u ? x 2 ? 2x - 3在 ( - ?, -3 ]为减函数 在[ 1, +?) 上 为 增 函 数
?函数y ? x2 ? 2x-3的单调递增区间为[1,+?), 单调递减区间为(-?,-3 ]

练习: 2 求函数 y ? x ? 4x ? 3的单调区间。

?? ?,?3?, ??1,???
注意: 在原函数定义域内讨论函数的单调性

例2:设y=f(x) 的单调增区间 是(2,6),求函 数y=f(2-x)的 单调区间。
注意:求单调区 间时,一定要先 看定义域。

解:y=f(2-x)是由y=f(u)和u=2-x 复合而成 由已知得2<u<6 ? 2<2-x<6 ?x? (-4, 0) ? y=f(u)在(2,)上是增函数, 6 u ? 2 ? x在x ? (?4, 0)上是减函数, 由复合函数单调性可知, y=f (2 ? x)在(-4, 0)上是减函数。
? f (2 ? x)的单减区间是(?4, 0)

2.函数单调性解应用题
例2:已知函数 y=x2-2ax+a2-1在 (-∞,1)上是减函数, 求a的取值范围。

解:y ? x ? 2ax ? a ? 1
2 2

的减区间是(- ?,a ], 显然,(-?, 1) ? (-?,a], 即a ? 1
解此类由二次函数单调性求 参数范围的题,最好将二次 函数的图象画出来,通过图 象进行分析,可以将抽象的 问题形象化。

练习:如果 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间(0.5,1) 上是增函数,那么 f(2)的取值范围是什 么? 答案:[7,+∞)

2.函数单调性解应用题
例3:已知:f(x)是定 义在[-1,1]上的增函数,可转化为不等式组 且f(x-1)<f(x2-1), ? ?1? x ?1? 1 ? 求x的取值范围。 2
注: 在利用函数的 单调性解不等式的 时候,一定要注意 定义域的限制。 保证实施的是等价 转化
解:依题意, f ( x ? 1) ? f ( x 2 ? 1)

易错点

?? 1 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? x2 ? 1 ? ? 0? x?2 ? ? ? 0 ? x 2 ? 2?1 ? ? x ? 0或x ? 1 ?

x? 2

例4:已知f(x)在其定 解: ? f ( xy) ? f ( x ) ? f ( y ) 义域R+上为增函数, ? f ( 4) ? f ( 2) ? f ( 2) ? 2 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y). ? f ( 8) ? f ( 4) ? f ( 2 ) ? 3 解不等式 f(x)+f(x-2) ≤3 又f ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x 2 ? 2 x)
解此类题型关 键在于充分利用题 目所给的条件,本 题就抓住这点想办 法构造出f(8)=3,这 样就能用单调性解 不等式了。

由题意有 f ( x ? 2 x ) ? f (8)
2

? f ( x )为R 上 的 增 函 数 ? x?0 ? 4? ? ? x ? 2 ? 0 解得x ? ?2, ? x2 ? 2x ? 8 ?



练习:已知函数f(x)对任意x,y ? R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求证:f(x)是R上的减函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 证明:( 1)令x=y=0可得f(0)=0,令x=-y可得

f(0)=f(x)+f(-x), ?f(-x)=-f(x)

在R上任取两数x1,x 2且x1 <x 2则f(x 2 ) ? f(x1 ) =f(x 2 )+f(-x1 )=f(x 2 -x1 ) ? x1 <x 2 ? x 2 -x1 >0
又因为x>0时,f(x)<0, ?f(x2 -x1 )<0

即f(x 2 ) ? f(x1 )<0,f(x1 )>f(x 2 )

由函数单调性定义知,f(x)是R上的减函数

练习:已知函数f(x)对任意x,y ? R,总有f(x+y)=f(x)+f(y), 2 且当x>0时,f(x)<0,f(1)=3 (1)求证:f(x)是R上的减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

(2) ? f(x)在R上是减函数, ?f(x)在[-3, 3]上也是减函数 ?f(x)min =f(3),f(x)max =f(-3)

? f(-3)=-f(3)=2

2 f(3)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3 ? (- )= ? 2 3

?函数f(x)在[-3, 3]上最大值为2,最小值为-2.

小结
1、怎样用定义证 明函数的单调性? 2、判断函数的单 调性有哪些方法? 3、与单调性有关 的题型大致有哪 些? 1、定义法 2、图象法 3、利用已知函数的单调 性,通过一些简单结论、 性质作出判断。

4、利用复合函数单调 性的规则进行判断。

小结
1、怎样用定义证 明函数的单调性? 2、判断函数的单 调性有哪些方法? 3、与单调性有关 的题型大致有哪 些? 1、已知单调性,求参数范 围。(有时候需要讨论)

2、利用函数单调性求函 数的值域或最值。
3、利用单调性求解不等 式。(重在转化问题) 4、求函数单调区间的题 型(包括求复合函数单调 区间)

作业
1.已知:f(x)是定义在[-1,1]上 的增函数, 且f(x-1)<f(x2-1),求x的取值 范围。 2.已知函数f(x)定义在(0, +∞)上 是单调递增,满足(1)f(xy) = f(x) + f(y); (2)f(2) = 1; (3)f(x) + f(x +3)≤2,则x∈________. 3.已知x∈[0,1],则函数 的最大值为_______ 最小值为_________

y ? 2x ? 2 ? 1 ? x



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