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高考第一轮复习——函数综合与应用



一、考点扫描
考点 函数与方程 了解函数的零点与方程根 的联系,能结合函数图象判 要求 断方程根的存在性及根的 个数,并能用二分法求方程 的近似解。 函数零点的个数与所在区 题型 函数与不等式 能借助函数的图象、单 调性解决某些不等式解 集以及含参数的不等式 恒成立和是否有解的问 题。 各种题型均可出现,但 性知识结合的解答题 中。 分值 5分 10 分左右 0-12

分 多见于解答题中的应 用题,即求实际问题的 最优解。 函数模型及其应用 了解指数函数、对数函 数及幂函数的增长趋 势;了解函数模型在社 会生活中的广泛应用。

间的估计,常见于选择题。 更常见于与导数、单调

二、重难点提示
重点:用函数研究方程的解,建立函数模型解决生活中的实际问题。 难点:函数与含参数的方程与不等式问题。

一、知识脉络图

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存在区间 方程的解 个数 二分法 函数的应用 数学内部的应用

解不等式 实际应用 不等式 证明不等式 含参数的不等 式恒成立与是 否有解问题

拟合函数模型

精确函数模型

变量预报

最优解

二、知识点拨
1. 函数与方程

()对于函数 1 y ? f ? x ?,我们把使 __________ 叫做函数y ? f ? x ?的零点。 (2)方程f ? x ? ? 0有实根 ? 函数y ? f ? x ?的图象 ______ ? 函数y ? f ? x ? __________ 。 (3)如果函数y ? f ? x ? 在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且 __________ , 那么,函数y ? f ? x ? 在区间(a,b)内有 ______ ,即存在c ? (a,b),使得 __________ , 这个c也就是方程f ? x ? ? 0的根。 (4)对于在区间[a,b]上连续不断且f ? a ? f ? b ? ? 0的函数y ? f ? x ?,通过不断地把 函数f ? x ?的零点所在区间 __________ ,使区间的两个端点逐步逼近 __________ , 进而得到零点近似值的方法叫做 __________ 。

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? 5? 给定精确度e,用二分法求函数f ? x ?的零点近似值的步骤如下: 第一步,确定区间[a,b],验证f ? a ? ? f ? b ? ? 0,
第二步,求区间(a,b)的中点c; 第三步,计算f ? c ?的值; ⅰ若 ( ) f ? c ? ? 0,则c就是函数f ? x ?的零点; (ⅱ)若f ? a ? ? f ? c ? ? 0,则令b ? c(此时零点x0 ? (a,c)); (ⅲ)若f ? c ? ? f ? b ? ? 0,则令a ? c(此时零点x0 ? (c,b)). 第四步,判断是否达到精确度e:即若 a ? b ? e,则得到零点的近似值a (或b); 否则重复第二、三、四步.
随堂练习:函数 f(x)=x2-1 在下列哪个区间存在零点( ) A. (-3,-2) B. (-2,0) C. (2,3) D. (0,1) 解:∵f(-3)=8,f(-2)=3, ∴f(-3)f(-2)>0, ∵f(-2)=3,f(0)=-1 ∴f(-2)f(0)<0, ∵f(2)=3,f(3)=8, ∴f(2)f(3)>0, ∵f(0)=-1,f(1)=0, ∴f(0)f(1)=0, 综上可知,只有区间(-2,0)符合函数 f ( x) ? x 2 ? 1 存在实根的条件,故选 B。 答案:B 2. 函数与不等式 (1)解不等式: 图象法:求根、画图、写解集。 单调性法:已知函数 y ? f ( x), x ? D, 且为 D 上的单调递增函数, f ( x0 ) ? 0, 则不等式 f ( x) ? 0 的解集可由不等式组 (2) 证明不等式: 已知函数 y ? f ( x), x ? ?a, b?, 若要证明 f ( x) ? 0, 可证函数 y ? f ( x) 单调递增(减) ,且 f (a) ? 0 ( f (b) ? 0 ) ,但这是个充分条件,而不是必要条件。 (3)含参数的不等式恒成立或是否有解问题:常转化为求函数的 3. 函数的实际应用 (1)常用拟合函数模型 指数函数、对数函数、幂函数(包括幂函数的组合:一次函数、反比例函数、二次函数、 勾函数、多项式函数等) 。
x a 当 a ? 1 时,对于函数 y ? a , y ? x , y ? loga x ,在 x 的值很大时,其递增趋势各不

确定。

问题。

相同,指数函数递增最快,对数函数递增最慢。 (2)实际问题中最优解问题的处理步骤: 第一步,分析实际问题中的变量,确定自变量。 第二步, 分析等量关系, 用自变量表示因变量得出一元函数 (线性规划问题为二元函数)

y ? f ( x) ,并确定定义域。
第三步,结合基本函数、导数、不等式等研究目标函数的最值。
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第四步,回归实际问题,作出回答。 随堂练习:某厂一月份的产值为 15 万元,第一季度的总产值是 95 万元,设月平均增长 率为 x,则可列方程为( ) A. 95=15(1+x)2 C. 15(1+x)+15(1+x)2=95 解:二月份的产值为:15(1+x) , 三月份的产值为:15(1+x) (1+x)=15(1+x)2, 故第一季度总产值为:15+15(1+x)+15(1+x)2=95。 故选 D。 答案:D 参考答案:1. (1)函数值等于零的自变量的值 (2)与 x 轴有交点 有零点 (3) f (a) f (b) ? 0 零点 f (c) ? 0 (4)等分 零点 二分法 2. (1) ? B. 15(1+x)3=95 D. 15+15(1+x)+15(1+x)2=95

?x ? D ? x ? x0

(3)最值

(2)证 f ( x) ? ln(1 ? x) ? x 在 (0,??) 上单调递减, f (0) ? 0

夯实基础
例题 1 (1)下图是函数 f ( x ) 的图象,它与 x 轴有 4 个不同的公共点。给出下列四个 区间,则不能用二分法求出函数 f ( x ) 在区间( )上的零点。

A. [?2.1,?1] C. [4.1,5] 其参考数据如下: f(1)=-2 f (1.375) =-0.260
3 2

B. [1.9,2.3] D. [5,6.1]

(2) 若函数 f (x) =x3+x2-2x-2 的一个正数零点附近的函数值可用二分法计算得出, f(1.5)=0.625 f(1.4375)=0.162 B. 1.3 f(1.25)=-0.984 f(1.40625)=-0.054

那么方程 x +x -2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( ) A. 1.2 C. 1.4 D. 1.5 思路导航:用 f (a) f (b) ? 0 判断。 解答过程: ( 1 )由于用二分法判断函数 f ( x ) 在区间 上有零点的必要条件是 ,而从图象可以看出, f ( x ) 在区间[1.9,2.3]的两端的符号相同,故不能 用二分法求出函数 f ( x ) 在该区间上的零点。故选 B。 (2) 由表中数据知, 近似根可在 (1, 1.5) , (1.25, 1.5) , (1.375, 1.5) , (1.375, 1.4375) ,
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(1.40625,1.4375)内,满足精确度要求的为后两个,这两个区间内的任何一个值都可作为 其近似解,对比选项知,选 C 更恰当。 点评: f (a) f (b) ? 0 是利用二分法判断零点的存在区间的必要条件,但不是判断零点 存在的必要条件,象第(1)题 B 项中[1.9,2.3]内的零点,这一点要特别注意。本题为基 本概念题,属于容易题。 例题 2 若函数 f(x)=2x+x-12 的零点所在的区间为 (k , k ? 1), k ? Z , 则 k ?
x



思路导航: 先画出 y ? 2 , y ? ? x ? 12 的草图, 估计零点存在区间, 再用 f (a) f (b) ? 0 检验所作出的估计。 解答过程:画出 y ? 2 x , y ? ? x ? 12 的草图(草图略) ,先估计零点存在区间为 (2,3) , 经检验知 f (2) ? 0, f (3) ? 0, 再估计零点存在区间为 ( 3, 4) , 经检验知 f (4) ? 0, 所以 k ? 3. 点评:函数图象为估计根的存在区间及个数提供了方向,是用 f (a) f (b) ? 0 判断根的 存在区间的有力补充,在画函数图象时,往往不是直接画 f(x)的图象,而是将其分解为 两个更为熟悉的函数,再去看两个图象的交点。本题为容易题。 例题 3 (1)某种细胞在正常情况下的培养过程中,时刻 t(单位:分钟)与细胞数 n (单位:个)的部分数据如下: t n 0 1 20 2 60 8 140 128

根据表中数据,推测繁殖到 1000 个细胞时的时刻 t 最接近于________分钟。 (2)某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运 的总利润 y 万元与营运年数 x (x∈N*)的关系式为 y=-x2+12x-25,则为使其营运年平 均利润最大,每辆客车的营运年数为( A. 2 年 B. 4 年 )

C. 5 年 D. 6 年 1 思路导航: ( )根据数据可考虑指数函数 y ? 2 x ,求出 t 与 n 的关系式,从而进行变量 预报。 (2)年平均利润为总利润除以营运年数,得出函数关系式,利用均值不等式或勾函数 的性质可求得最值。
t

解答过程: (1) 由表格中所给数据可以得出 n 与 t 的函数关系式为 n=2 20 , 令 n=1000, 得2
t 20

=1000,又 210=1024,所以时刻 t 最接近 200 分钟。 2 y -x +12x-25 25 (2)年平均利润: = =12-(x+ )≤12-10=2, x x x 25 当且仅当 x= ,即 x=5 时,等号成立,故选 C。 x 点评:本题考查了函数的实际应用,难度中等,想得到正确答案并不难。做完后,还应

进一步思考: (1) 选择了指数函数作为拟合函数, 这是由表中数据和细胞繁殖的规律想到的, 题中的数据是理想状态下的,得到的函数与数据完全吻合,但若数据略有变动,比如 128 改为 122,应当仍然信任选定的拟合函数。 (2)题题意理解不清,容易误选 D,运输车辆服 务年限的确定不是由最大总利润决定的, 而是由最大平均利润决定的, 也就是说往往在车辆 仍盈利的时候就宣布报废。

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例题 4

设 a ? 0 且 a ? 1 ,解不等式: a 4?(loga x )

2

2 1 ? ( )(loga x )?1 ? 0 。-1 a

思路导航:将底数统一为 a,再利用指数函数与对数函数的单调性对底数展开讨论,最 终利用换元法可将其转化为解一元二次不等式的问题。 解答过程:原不等式可化为: a
4?(loga x ) 2

? a1?2 loga x

当 0 ? a ? 1 时,由指数函数的单调性,有

4 ? (loga x) 2 ? 1 ? 2 loga x, (loga x) 2 ? 2 loga x ? 3 ? 0, 1 3 从而, loga x ? ?1 或 loga x ? 3 ,进而 x ? , 或 0 ? x ? a a 2 a ? 1 当 时,则有 (loga x) ? 2 loga x ? 3 ? 0, 1 3 从而, ? 1 ? log a x ? 3, ? x ? a a 1 ? 3 综上:当 0 ? a ? 1 时,解集为 ? x | x ? 或0 ? x ? a ? a ? 1 3 当 a ? 1 时,解集为 ?x | ? x ? a ? a
点评:解既含指数又含对数的不等式的基本思想是“化同底,求单一”,即把不同底的指 数或对数化为同底的,再通过函数的单调性将其转化为求一次或二次不等式,要是仅给出

a ? 0 且 a ? 1 需对底数展开讨论,此外,解此类不等式要看清哪个是指数,哪个是底数,
哪个是真数。 本题体现了利用函数的单调性解不等式的思想, 还考查了换元以及分类讨论等 常用的解题方法,难度中等。

厚积薄发
例题 1 设奇函数 的解集为( A. C. 思路导航:先利用奇函数 在 ) B. D. 将不等式化简,再利用 结合函数的单调性可脱 上为增函数,且 ,则不等式

掉“f”,将抽象不等式转化为具体不等式。 解答过程:由奇函数 , 方法一:当 当 又 ∴ 方法二:作出函数 当 时, 当 时, 时, 在 。 的示意图,有 ,即 ,即 ; 。 时, , 上为增函数,则奇函数 在 上为增函数, ; 可知 ,而 ,则

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故选 D。 点评:本题为抽象不等式问题,难度中等偏上。解决此类问题的方法有两种:一是利用 函数的单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,从而脱掉“f”,将抽象问题具 体化; 二是结合函数性质构造函数图象, 从图象上观察解集, 实际上也是抽象问题的具体化。 这两种方法各有所长,第一种方法比较严谨,更适用于解答题;第二种方法比较简单,但欠 严谨,适用于选择、填空题。 例题 2 (1)若定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,且当 x∈[0,1]时, f(x)=x,则函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是( ) A. 多于 4 个 (2)方程 e
x-k

B. 4 个

C. 3 个

D. 2 个

-x=0 在区间[k,2k](其中 k>1)上的根的个数是________个。
-k

思路导航: (1)中确定函数零点个数,可转化为确定函数图象的交点个数,分别作出 y =f(x)与 y=log3|x|的图象来确定; (2)中求方程根的个数,可转化为求函数 f(x)=ex -x 的零点个数来讨论。 解答过程: (1)因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+2)=f(x) ,x∈[0,1] 时,f(x)=x, 作函数 y=f(x)的图象,再作 y=log3|x|的图象。

由图可知,y=f(x)与 y=log3|x|的图象交点个数为 4 个, 故函数 y=f(x)-log3|x|的零点个数是 4 个,故选 B。 (2)令 f(x)=ex k-x,又 k>1,


则 f(k)=e0-k=1-k<0,f(2k)=ek-2k。 设 g(k)=ek-2k,g′(k)=ek-2>e1-2>0, 所以当 k>1 时,g(k)为增函数, 所以 g(k)>g(1)=e-2>0, 所以 f(2k)=ek-2k>0,即 f(k)· f(2k)<0, 所以 f(x)=ex k-x 在区间[k,2k](k>1)上有零点,


又 f′(x)=ex k-1,当 x∈(k,2k)时,f′(x)>0。


所以 f(x)在区间[k,2k]上是增函数, 所以 f(x)=ex k-x 在区间[k,2k]上仅有一个零点,


即方程 ex k-x=0 在区间[k,2k]其中(k>1)上只有一个根。 点评:解决函数零点的个数问题只用 f (a) f (b) ? 0 来判断是远远不够的,还应结合函


数的图象或单调性来进行。 (1)考查了函数图象的画法,体现了数形结合思想的应用,难度 中等。 (2)题中由于含有参数,画图象不易观察,所以采用了函数的单调性结合导数解决,
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难度较大。 例题 3 (1)已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________。 (2)当 x>0 时,不等式 xlnx-a>0 恒成立,则 a 的取值范围是 值又可结合导数求解。 解答过程: (1)由于函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,即 ex-2x+a=0 有解,所以 a= -ex+2x。 令 g(x)=-ex+2x,由于 g′(x)=-ex+2,令 g′(x)=-ex+2=0,解得 x=ln2。 当 x∈(-∞,ln2)时,g′(x)=-ex+2>0,此时为增函数,当 x∈(ln2,+∞)时, g′(x)=-ex+2<0,此时为减函数。所以,当 x=ln2 时,函数 g(x)=-ex+2x 有最大值 2ln2-2,即 g(x)=-ex+2x 的值域为(- ?,2 ln 2 ? 2) ,所以 a ?(- ?,2 ln 2 ? 2) 。 (2)令 f(x)=xlnx(x>0) ,则 f′(x)=lnx+1。 1 由 f′(x)=0,得 x= 。 e 1 当 x∈(0, )时,f′(x)<0; e 1 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0, e 1 1 所以 f(x)在(0, )上递减,在( ,+∞)上递增。 e e 1 1 1 所以当 x= 时,f(x)有最小值 f( )=- 。 e e e a<xlnx 恒成立,则 a<[xlnx]min, 1 所以 a<- 。 e 点评:本题为求含参数的方程是否有解与不等式恒成立问题,为中高档难度的题目。解 决此类问题最常用的方法是利用分离变量法转化为求一个具体函数的最值或值域的问题, 判 断方程在某个区间内有解往往要求值域,判断不等式恒成立往往要求最值。 例题 4 已知函数 f(x)=lnx-ax2+(2-a)x。 (1)讨论 f(x)的单调性; 1 ?1 ? ?1 ? (2)设 a>0,证明:当 0<x< 时, f ? ? x ? ? f ? ? x ? ; a ?a ? ?a ? (3)若函数 y=f(x)的图象与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证 明 f′(x0)<0。 思路导航: (1) 利用导数并对 a 展开讨论可求单调区间, 进而得出单调性。 (2 ) 由于 。 思路导航: 两小题都可利用分离变量法转化为求函数的最值或值域的问题, 而函数的最

1 ?x, a

1 ? x 不在同一个单调区间,故不能利用(1)的结论证明,可将其具体化,即通过函数的 a
单调性加以证明。 (3)结合(1) (2)的结论比较 x0 与 的大小关系。

1 解答过程: (1) ( f x) 的定义域为 (0, +∞) , f ( ′ x) = -2ax+ (2-a) = ? (2 x ? 1)(ax ? 1) x

x

①若 a≤0,则 f′(x)>0,所以 f(x)在(0,+∞)上单调增加。

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1? 1 1 ②若 a>0,则由 f′(x)=0 得 x= ,且当 x∈? ?0,a?时,f′(x)>0,当 x>a时,f′(x) a 1? ?1 ? <0。所以 f(x)在? ?0,a?上单调增加,在?a,+∞?上单调减少。 (2)证明:设函数 g(x)= f ?

?1 ? ?1 ? ? x ? ? f ? ? x ? ,则 ?a ? ?a ?

g(x)=ln(1+ax)-ln(1-ax)-2ax, a a 2a3x2 g′(x)= + -2a= 。 1+ax 1-ax 1-a2x2 1 当 0<x< 时,g′(x)>0,而 g(0)=0,所以 g(x)>0。 a 1 ?1 ? ?1 ? 故当 0<x< 时, f ? ? x ? ? f ? ? x ? 。 a ?a ? ?a ? (3)证明:由(1)可得,当 a≤0 时,函数 y=f(x)的图象与 x 轴至多有一个交点, 故 a>0,从而 f(x)的最大值为 f ? ? ,且 f ?

?1? ?a?

?1? ? ?0。 ?a?

1 不妨设 A(x1,0) ,B(x2,0) ,0<x1<x2,则 0<x1< <x2。 a

?2 ? ?1 1 ? ? x1 ? ? f ? ? ? x1 ? >f(x1)=0。 ?a ? ?a a ? x1+x2 1 1 2 从而 x2> -x1,于是 x0= > 。故 x 0 ? 。 a 2 a a
由(2)得 f ? 由(1)知,f′(x0)<0。 点评:本题考查了利用函数证明不等式,及函数、导数、不等式的综合。此类题目常作 为高考的压轴题,第(1)问难度中等,而后面两问难度较大。

例题【湖南理】某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产 品需要这三种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件) 。已知每个工人每天可生产A部件 6 件,或B部件 3 件,或C部件 2 件。该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部 件,生产B部件的人数与生产A部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数) 。 (Ⅰ)设生产A部件的人数为x,分别写出生产A,B,C三种部件需要的时间; (Ⅱ)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间 最短,并给出时间最短时具体的人数分组方案。 命题意图:本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等知识点,并考查 运算能力及用数学知识分析解决实际应用问题的能力。难度较大。 解答过程: (Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为

T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x), 由题设有 2 ? 3000 1000 2000 1500 T1 ( x) ? ? , T2 ( x) ? , T3 ( x) ? , 6x x kx 200 ? (1 ? k ) x 其中 x, kx, 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数。
(Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x) ? max ?T1 ( x), T2 ( x), T3 ( x)? , 其定义域为

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? 200 ? , x ? N ? ?. 易 知 , T1 ( x), T2 ( x) 为 减 函 数 , T3 ( x) 为 增 函 数 。 注 意 到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ? 2 T2 ( x) ? T1 ( x), 于是 k (1)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 此时
?1000 1500 ? f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)? ? max ? , ?, ? x 200 ? 3x ? 1000 1500 ? 由 函 数 T1 ( x), T3 ( x) 的 单 调 性 知 , 当 时 f ( x) 取 得 最 小 值 , 解 得 x 200 ? 3x 400 400 250 x? ? 45, 而f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? 。由于 44 ? 9 9 11 300 , f (44) ? f (45) 。 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? 。 11 375 , ? ( x) (2) 当 k ? 2 时, 故 k ? 3, 此时 T ( x) ? T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数, 50 ? x ? max ?T1 ( x), T ( x)? ,易知 T ( x) 为增函数,则

? max ?T1 ( x), T ( x)?

f ( x) ? max ?T1 ( x), T3 ( x)?

?1000 375 ? ? ? ( x) ? max ? , ?。 ? x 50 ? x ?
1000 375 400 ? 时 ? ( x) 取得最小值,解得 x ? 。 x 50 ? x 11 400 250 250 375 250 ? 37, 而? (36) ? T1 (36) ? ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 由于 36 ? 11 9 11 13 11 250 此时完成订单任务的最短时间大于 。 11 (3)当 k ? 2 时, T1 ( x) ? T2 ( x), 由于 k 为正整数,故 k ? 1 ,此时 f ( x) ? max
由函数 T1 ( x), T ( x) 的单调性知,当

?T2 ( x), T3 ( x)? ? max ? ?

2000 750 ? , ? . 由函数 T2 ( x), T3 ( x) 的单调性知, ? x 100 ? x ? 2000 750 800 ? 当 时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ? 。 x 100 ? x 11
类似(1)的讨论。此时 完成订单任务的最短时间为

250 250 ,大于 。 9 11

综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为 44,88,68。 点评:第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解决,体现分类讨论思想。

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f (a) f (b) ? 0 与方程 f ( x) ? 0 在区间 ?a, b ? 上有解的关系是怎样的? 答: (1)大前提为 y ? f ( x) 在区间 ?a, b? 上连续,否则两者无明确关系。 ( 2 )在 y ? f ( x) 在区间 ?a, b? 上连续的前提下, f (a) f (b) ? 0 是 f ( x) ? 0 在区间 ?a, b ? 上有解的充分条件,但不是必要条件。 (3) f (a) f (b) 的符号只能用于判断有解,不能判断无解,也不能判断有几个解,所
以往往需要运用函数图象补充判断。

一、函数与方程
利用函数求方程的根突出了从“数”和“形”两个角度认识方程与函数关系的特点。“数”指 的是从解析式入手,判断 f (a) f (b) 的符号,此时要理解 f (a) f (b) ? 0 与方程 f ( x) ? 0 在 区间 ?a, b ? 上有解的关系;“形”指的是从图象入手,看图象交点的横坐标,因此需要学生能 熟练掌握函数图象的作法(上一讲已讲解) 。两者结合产生“二分法”求方程的近似解:先用 “形”估计初始区间及解的个数,再用“数”收紧区间,直至达到精度要求,要注意这里的精度 要求通常指的是区间的长度,要和“四舍五入”区分开来。

二、函数与不等式
利用函数解不等式源于一元二次不等式的解法,主要是结合图象或者单调性把要解的不 等式转化为一元一次或一元二次不等式。 需要熟记基本函数的图象和单调性, 而指数函数与 对数函数要注意底数,有时需要对其进行展开讨论。 不等式的证明与恒成立问题体现了函数、导数、不等式知识的综合,难度较大,但最终 都是转化为求函数的单调性与最值问题。这部分内容我们在后面复习导数时还会加强学习。

三、函数的实际应用
1. 熟悉常用的函数模型,主要是指数函数、对数函数、幂函数(或其组合) ,理解它们的 增长趋势的比较。 2. 函数的实际应用题有时以解答题的形式出现,解决此类问题要按前面知识梳理中给出 的四个步骤操作。 关键步骤是函数解析式的确定和求最值, 求最值要注意对函数解析式的结 构的认识和合理变形,多数情况下要借助均值不等式或导数来解决。

高考第一轮复习——导数、定积分的概念与运算
预习导学及问题思考 1. 导数的概念 (1)什么是割线与切线?什么是平均速度与瞬时速度?如何定义导数?因变量和自变 量之间有何联系? (2)导数与切线的关系是什么?如何求曲线的切线方程?曲线的切线方程都有哪些类 型? 2. 导数公式与运算法则 (1)常见函数的求导公式有哪些? (2)导数的运算法则有哪些?
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3. 定积分的概念与运算 (1)定积分是如何定义的?其几何意义是什么? (2)什么是微积分的基本定理?怎样用这个定理求定积分? (3)定积分的应用有哪些?

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