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甘肃兰州一中2017高三9月月考--数学理



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甘肃兰州一中 2017 高三 9 月月考--数学理 第 I 卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 ) 1.设集合 A={x|x>a},集合 B={-1,1,2},若 A∩B=B,则实数 a 的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-∞,1) C.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

a?i 2.已知复数 1 ? i 为纯虚数,那么实数 a ? (
1 B. 2 ?



A. ?1

C. 1

1 D. 2

3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和如图 2 所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用 分层抽样的方法抽取错误!未找到引用源。的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )
小学生 3500名
近视率/%

高中生 2000名

50 30

初中生 4500名 图1

10 O 小学 初中 图2 高中 年级

A.错误! 未找到引用源。 , 错误! 未找到引用源。 B.错误! 未找到引用源。 , 错误! 未找到引用源。 C. 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 4. 已知等差数列错误!未找到引用源。前 9 项的和为 27,错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。 ( ) A.100 B.99 C.98 D.97

?1 ? log 2 (2 ? x), x ? 1, f ( x) ? ? x ?1 f (?2) ? f (log 2 12) ? ( ?2 , x ? 1, 5. 设函数 ,
A.3 B.6 C.9 D.12



6. 如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的的体积为(



8 ? 2? A. 3

8 ?? B. 3
2

C. 4 ? 2?
2

D. 4 ? ?

7. 已知直线 l:x+ay-1=0(a ? R)是圆 C: x ? y ? 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 的对称轴.过点 A(-4,a)作圆 C 的一条切 西安恒谦教育科技股份有限公司
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线,切点为 B,则|AB|= ( A.2 B. 4 2 ) C.6 D. 2 10 )

8. 执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 3,则输出的 s 的值是(

A.1 B.2 C.4 D.7 9. 甲、乙、丙三人站在一起照相留念,乙正好站在甲丙之间的概率为( )

1 A. 2

1 B. 3


1 C. 4

1 D. 6

10. 函数 y ? x sin x ? cos x 的图象大致为(

x2 y2 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 11. 已知抛物线 y ? 8 x 的焦点到双曲线 的渐近线的距离不大于 3 ,则双曲线 E
的离心率的取值范围是( A. (1, 2 ] ) B. (1,2] C. [ 2 ,??) D. [2,??)

12. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 对 任 意 的 x ? R , 都 有 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) , 且 当 x ? [?2, 0] 时 ,

?1? f ( x) ? ? ? ? 1 ? ?2, 6? 内关于 x 的方程 f ( x) ? log a ( x ? 2) ? 0(a ? 1) 恰有 3 个不同的实数根,则实 ?2? .若在区间 数 a 的取值范围是( )
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x

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A.

?

3

4, 2

?

? 2, ?? ? B.

?1, 4 ? C.
3

D.

?1, 2 ?

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则 m=

.

14. 若 x , y 满足
6

?x ? y ≤ 0 , ? ? x ? y ≤ 1, ?x ≥ 0 , ?

则 z ? x ? 2 y 的最大值为
2

15. 在 (1 ? 2 x) 错误!未找到引用源。的展开式中, x 的系数为__________________.(用数字作答) 16. 若等比数列错误!未找到引用源。的各项均为正数,且错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤). x x x f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 2 2 2 17.已知函数 . (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值. .

18. 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取 70 后 和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表:

(Ⅰ) 以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中随机抽取 3 位,记其 中生二胎的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望;
0 (Ⅱ)根据调查数据,是否有 90 0 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由:

参考数据:

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(参考公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

19. (本小题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 PD⊥底面 ABCD,PD=DC.E 是 PC 的中点, 作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小.

20. (本小题满分 14 分)

1 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,右焦点到右顶点的距离为 1 .
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R ) ,使得 OA ? OB ? 0 成立?若存在,求出实 数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

a 21.已知函数 f(x)=lnx- ,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中 a∈R. x (Ⅰ)当 a=1 时,判断 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; 西安恒谦教育科技股份有限公司
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22.(本题满分 10 分) 选修 4-1《几何证明选讲》 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线,AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点. (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长.

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》 π 极坐标方程为 ρ=2cos(θ- ). 4 (1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程;

x?t ? ? ? 2 ? 3t ?y ? ? 2 已知直线 l 的参数方程为 (t 为

参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 方向为极轴,选择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的

P(0,
(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设点

2 ) 2 ,求 PA ? PB .

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 [0, 4] ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若

?x 0 ? R

,使得

f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m 2 ? 4m

,求实数 m 的取值范围.

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参考答案 第 I 卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 ) 1. D 2.C 3.A 4. C 5.C 6.D 7.C 8.C 9.B 10.D 11.B 12.A 第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?2 14. 2 15. 60 16. 50 三、解答题: (本题共 6 小题,共 70 分,解答过程应写出文字说明,证明过程或演算步骤). x x x f ( x) ? 2 sin cos ? 2 sin 2 2 2 2. 17.已知函数 (Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值.

【答案】 (1) 2? , (2)

?1 ?

2 2

f(x ) ?
(Ⅰ)

2 sin

x
2

cos

x
2

?

2 sin2

x
2

?

2?

1 sin x ? 2

2?

1 ? cos x ? 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin(x ? ) ? 2 2 2 4 2 ………6 分

(1) f (x )的最小正周期为

T ?

2? ? 2? 1 ;

? ?? ? x ? 0,? ?
(2)

3? ? ? ? ? 3? ? x ? ? x ? ? ? ,x ? ? 4 4 4 ,当 4 2 4 时,

f(x )取得最小值为:

?1 ?

2 2

………12 分

18. 2016 年 1 月 1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取 70 后 和 80 后作为调查对象,随机调查了 100 位,得到数据如下表:

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(1)以这 100 个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市 70 后公民中随机抽取 3 位,记其 中生二胎的人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望;
0 (2)根据调查数据,是否有 90 0 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由:

参考数据:

(参考公式:

n ? ad ? bc ? K ? ? a ? b ?? a ? d ?? a ? c ?? b ? d ?
2 2

,其中 n ? a ? b ? c ? d )

19. (本题 满 分 12 分) 如图所示, 在四棱锥 P - ABCD 中,底面 ABCD 是 正方形, 侧 棱 PD⊥底 面 ABCD, PD=DC.E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)证明 PA∥平面 EDB; (2)证明 PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小. 西安恒谦教育科技股份有限公司
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(1)证明 如图所示, 连接 AC,AC 交 BD 于 O,连接 EO. ∵底面 ABCD 是正方形, ∴点 O 是 AC 的中点. 在△ PAC 中,EO 是中位线, ∴PA∥EO. 而 EO?平面 EDB 且 PA?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. ………4 分 (2)证明 ∵PD⊥底面 ABCD,且 DC?底面 ABCD, ∴PD⊥DC.∵PD=DC,可知△ PDC 是等腰直角三角形. 而 DE 是斜边 PC 的中线,∴DE⊥PC.① 同样,由 PD⊥底面 ABCD,BC?平面 ABCD, 得 PD⊥BC. ∵底面 ABCD 是正方形,有 DC⊥BC.又 PD∩CD=D, ∴BC⊥平面 PDC. 而 DE?平面 PDC,∴BC⊥DE.② 由①和②且 PC∩BC=C 可推得 DE⊥平面 PBC. 而 PB?平面 PBC,∴DE⊥PB. 又 EF⊥PB 且 DE∩EF=E, ∴PB⊥平面 EFD. ………8 分 (3)解 由(2)知,PB⊥DF. 故∠EFD 是二面角 C-PB-D 的平面角. 由(2)知 DE⊥EF,PD⊥DB. 设正方形 ABCD 的边长为 a, 则 PD=DC=a,BD= 2a, PB= PD2+BD2= 3a, PC= PD2+DC2= 2a, 1 2 DE= PC= a, 2 2 PD·BD a· 2a 6 在 Rt△PDB 中,DF= = = a. PB 3 3a 在 Rt△EFD 中,sin∠EFD= DE 3 = , DF 2

∴∠EFD=60°. ∴二面角 C-PB-D 的大小为 60°. ………12 分 20. (本小题满分 12 分)

1 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 2 ,右焦点到右顶点的距离为 1 .
(1)求椭圆 C 的标准方程; (2)是否存在与椭圆 C 交于 A, B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R ) ,使得 OA ? OB ? 0 成立?若存在,求出实 数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由. 西安恒谦教育科技股份有限公司
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x2 y 2 c 1 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? e? ? 2 b a 2 ,由右焦点到右顶点的距 解析: (1)设椭圆 C 的方程为 a ,半焦距为 c . 依题意
离为 1 ,得 a ? c ? 1 .解得 c ? 1 , a ? 2 .所以 b ? a ? c ? 3 .
2 2 2

x2 y 2 ? ?1 3 所以椭圆 C 的标准方程是 4 .………4 分
(2)解:存在直线 l ,使得 OA ? OB ? 0 成立.理由如下:

? y ? kx ? m, ? 2 ?x y2 ? ? 1, 2 2 2 ? 3 由? 4 得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 .

? ? (8km) 2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m 2 ? 12) ? 0 ,化简得 3 ? 4k 2 ? m 2 . A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则
x1 ? x2 ? ?



4m 2 ? 12 8km x x ? 1 2 3 ? 4k 2 . 3 ? 4k 2 ,

若 OA ? OB ? 0 .所以

??? ? ??? ?

x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 ,
2

4m 2 ? 12 8km (1 ? k ) ? ? km ? ? m2 ? 0 2 2 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 , 3 ? 4k 3 ? 4k ,
化简得, 7 m ? 12 ? 12k .将
2 2

k2 ?

7 2 7 3 m ?1 3 ? 4( m 2 ? 1) ? m 2 m2 ? 2 2 12 12 4 .又 代入 3 ? 4k ? m 中, ,解得,

由 7 m ? 12 ? 12k ? 12 ,
2 2

m2 ?

12 7 ,

m2 ?
从而

12 2 2 m? 21 m ? ? 21 7 , 7 7 或 . (??, ? 2 2 21] ? [ 21, ??) 7 7 .

所以实数 m 的取值范围是

…12 分

a 21.已知函数 f(x)=lnx- ,g(x)=f(x)+ax-6lnx,其中 a∈R. x (1)当 a=1 时,判断 f (x)的单调性; (2)若 g(x)在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; x+a a 解:(1)由 f(x)=lnx- ,得 f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= , x x2 当 a=1 时,f′(x)= x+1 >0(x>0),f(x)在(0,+∞)上单调递增.………5 分 x2
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a (2)由已知得,g(x)=ax- -5lnx,其定义域为(0,+∞), x a 5 ax2-5x+a g′(x)=a+ - = . x2 x x2 因为 g(x)在其定义域内为增函数,所以? x∈(0,+∞), 5x g′(x)≥0,即 ax2-5x+a≥0,即 a≥ . x2+1 而 5x 5 5 = ≤ ,当且仅当 x=1 时,等号成立, 1 2 x2+1 x+ x ………12 分

5 所以 a≥ . 2

22.(本题满分 10 分) 选修 4-1《几何证明选讲》 已知 A、B、C、D 为圆 O 上的四点,直线 DE 为圆 O 的切线, AC∥DE,AC 与 BD 相交于 H 点 (1)求证:BD 平分∠ABC; (2)若 AB=4,AD=6,BD=8,求 AH 的长. 22.解: 证明:(1)∵AC∥DE,∴?CDE=?DCA,又∵?DBA=?DCA,∴?CDE=?DBA ∵直线 DE 为圆 O 的切线,∴?CDE=?DBC 故?DBA=?DBC,即 BD 平分∠ABC …………………………………5 分 AH AB (2)∵?CAB=?CDB,且?DBA=?DBC,∴?ABH∽?DBC,∴ = CD BD 又?EDC=?DAC=?DCA,∴AD=DC ∴ AH AB = , ∵AB=4,AD=6,BD=8∴AH=3 AD BD ……………………………8 分 ……………………………10 分

23. (本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》

x?t ? ? ? 2 ? 3t ?y ? 2 已知直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数),若以直角坐标系 xOy 的 O 点为极点,Ox 方向为极轴,选
π 择相同的长度单位建立极坐标系,得曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos(θ- ). 4 (1)求直线 l 的倾斜角和曲线 C 的直角坐标方程;

P(0,
(2)若直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,设点

2 ) 2 ,求 PA ? PB .

?
解 (1)直线 l 倾斜角为 3 ……………2 分 2 2 )2+(y- )2=1……………5 分 2 2

曲线 C 的直角坐标方程为(x-

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2 ) 2 在直线 l 上且在圆 C 内部,所以 PA ? PB ? AB ……………6 分
2 ……………8 分 2

P(0,
(2)容易判断点

直线 l 的直角坐标方程为 y= 3x+ 所以圆心(

2 2 6 10 , )到直线 l 的距离 d= .所以|AB|= , 2 2 4 2

PA ? PB ?


10 2 ……10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | (1)若不等式 f ( x) ? 2 的解集为 [0, 4] ,求实数 a 的值; (2)在(Ⅰ)的条件下,若

?x 0 ? R

,使得

f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m 2 ? 4m

,求实数 m 的取值范围.

解: (Ⅰ)∵ | x ? a |? 2 ,∴ a ? 2 ? x ? a ? 2 ,

?a ? 2 ? 0 ? a ? 2 ? 4 ,∴ a ? 2 .………5 分 ∵ f ( x ) ? 2 的解集为 [0, 4] ,∴ ?
(Ⅱ)∵ f ( x) ? f ( x ? 5) ?| x ? 2 | ? | x ? 3 |?| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 , ∵ ∴

?x 0 ? R

,使得

f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? m 2 ? 4m

,即

f ( x 0 ) ? f ( x 0 ? 5) ? 4m ? m 2

成立,

4m ? m 2 ? f ( x) min ,即 4m ? m 2 ? 5 ,解得 m ? ?5 ,或 m ? 1 ,

∴实数 m 的取值范围是 (??, ?5) ? (1, ??) .………10 分

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