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全国中学生物理竞赛-16-26届光学复赛辅导



16——26届全国中学生物理竞赛

光学复赛试题

几何光学的 近轴成像 ? 光轴---- 光学系统的对称轴 ? 近\傍轴光线---与光轴夹角较小,并靠近光轴的光线 光轴

黄线—近轴光线
绿线—非近轴光线

取近似的技巧和原理
泰勒级数:

1? f f

?x ? ? ? n n ?0 n! ?x
? n
3 5

x
x ?0

n

常用函数的幂级数:

x x sin x ? x ? ? ? ... 3! 5!
3

x tan x ? x ? ? ... 3 2 3 x x 1 x 2 3 ? 1 ? x ? x ? x ? ... e ? 1? x ? ? ? ... 1? x 2! 3!
一级近似:保留到一次项

x x cos x ? 1 ? ? ? ... 2! 4! 2 x x 1? x ? 1? ? ? ... 2 8

2

4

sin x ? tan x ? x

复习回顾

光的折射定律:
①折射光线在入射光线和法线所决定平面内;

②折射光线和入射光线分居法线两侧;
③入射角

i1与折射角 i 2

满足;n1 sin i1 ? n2 sin i2

多层介质折射 如图:多层介质折射率 分别为 n1 , n2 , n3 ? 则由折射定律得:

i1
i2
i3

n1

n2 n3

n1 sin i1 ? n2 sin i2 ? ? ? nk sin ik
④当光由光密介质向光疏介质中传播,且入射角大于临界角C时, n1 将发生全面反射现象(折射率为 的光密介质对折射率为的光 n 2 n sin C ? 2 )。 疏介质的临界角
n1

狭缝S:光源的光由此进入分光镜,观察到的谱线就是狭缝的像

透镜L1:与狭缝的距离为f1,使由狭缝射来的光束经L1后成为与圆 筒轴平行的平行光束.
分光棱镜:使由L1射来的平行光束中频率不同的单色光经棱镜后成 为沿不同方向出射的平行光束. 透镜L2:使各种单色平行光束经L2 成像在它的焦平面上,形成狭 缝的像(即光谱线). 观察屏P:位于L2焦平面上,光源的谱线即在此屏上 透镜L3:与P的距离f3,是人眼观察光谱线所用的放大镜(目镜)

由几何关系可得
r1 ? i2 ? ?

i1 ? r2 ?

?
2

由折射定律可得

n1 sin i2 ? n2 sin r2
从以上各式得 2n1 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? 1 sin 2 ? ? ? ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? n2 ? ? ? ? ? ? 2 n1 2? ?2? ?2? ?
2 ? ? ? 4n1 ? ?n 2 ? 1? 解得 sin 2 ? ? ? 2? 4 n12 ? n 2 ? 2

sin i1 ? n1 sin r1

?

?

以 n1 ? 1.5170 n2 ? 1.7200 代入,得 ,

? ? 123.6

?

i ? ? ? 90?

nA sin ? ? nF sin ?

nA sin iC ? nB

与 iC 对应的 ? 值为 ?C ? 90? ? iC

? max ? ?C ? 90? ? iC

端面处入射角 ? 最大时,折射角? 也达最大值,设为 ? max

? max ? ? 0

nF sin? max ? nA sin ? max
nA sin ? 0 nF ? sin? max

当 ? 0 ? ? C时 当 ?0 ? ?C 时
sin ? max ?

2 2 n A ? nB n A cos iC nF ? ? sin ? max sin ? max

(d 2 ? d1 ) / 2

?(d2 ? d1 ) / 2?

2

? (h2 ? h1 ) 2
2

于是 nF 的表达式应为

nF ? n A sin ? 0
2 2 nF ? n A ? nB

? (d 2 ? d1 ) / 2?
? (d 2 ? d1 ) / 2?
2

? ( h2 ? h1 ) 2

( d 2 ? d1 ) / 2
? ( h2 ? h1 ) 2 (d 2 ? d1 ) / 2

a0 ? aC
a0 ?? aC

2. 可将输出端介质改为空气,光源保持不变,按同样手续 d 再做一次测量,可测得 h1? 、h2? 、 1? 、 2? ,这里打撇的量 d 与前面未打撇的量意义相同.已知空气的折射率等于1, 故有

a0 ? aC

1 ? nA sin ? 0

?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? ) 2 1 2 1 ? 2 ? (d 2? ? d1? ) / 2
?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? ) 2 1 2 1 ? 2 ? (d 2? ? d1? ) / 2
2

2

a0 ? aC
nF ? d 2? ? d1? d 2 ? d1

2 2 1 ? n A ? nB

? (d 2 ? d1 ) / 2?

2 2

? (h2 ? h1 ) 2

?(d ? ? d ? ) / 2 ? ? (h ? ? h ? ) 2 1 2 1 ? 2 ?

这结果适用于 ? 0 为 任何值的情况。

第20届复赛四、(20分)如图所示,一半径为、折射率为 n 的玻璃半球,放在空气中,平表面中央半径为 h0 的区域 被涂黑.一平行光束垂直入射到此平面上,正好覆盖整 个表面.Ox 为以球心 O 为原点,与平而垂直的坐标 轴.通过计算,求出坐标轴 Ox 上玻璃半球右边有光线 通过的各点(有光线段)和无光线通过的各点(无光线 段)的分界点的坐标.

图复解20-4-1中画出的是进 入玻璃半球的任一光线的光 路(图中阴影处是无光线进 入的区域),光线在球面上 的入射角和折射角分别为 和 i ? ,折射光线与坐标轴的 交点在 P 。令轴上的OP距 离为 x , 的距离为 l ,根 MP l x 据折射定律,有 sin i? ? n ? l 2 ? R2 ? x2 ? 2Rx cos i sin i 在 ?OMP 中 sin i sin i? 2 2 2 2 x ? nl x ? n ( R ? x ? 2Rx cos i) 设 M点到Ox的距离为 h 有 得

i

h ? R sin i

R cos i ? R 2 ? R 2 sin 2 i ? R 2 ? h 2
x2 (1 ? 1 ) ? 2 x R 2 ? h2 ? R 2 ? 0 n2



x2 ? R 2 ? x 2 ? 2 x R 2 ? h2 2 n

解得

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2 h2 x? n2 ? 1

n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2 h2 x? n2 ? 1

为排除上式中应舍弃的解, h ?0 x 令 ,则 处应为玻璃 半球在光轴 上的傍轴 Ox 焦点,由上式 n(n ? 1)

由图可知,应有 x ? R,故式(5)中应排除±号中的 负号,所以 x 应表示为 n2 R 2 ? h2 ? n R 2 ? n2 h2
x?

n n x? 2 R? R或 R n ?1 n ?1 n ?1

因为半球平表面中心有涂黑的面积,所以进入玻璃半 球的光线都有 h ? h0 ,其中折射光线与 Ox 轴交点最远 处的坐标为 x ? n2 R 2 ? h02 ? n R2 ? n2 h02
0

n2 ? 1

n2 ? 1

在轴上 x ? x0 处,无光线通过。

随 h 增大,球面上入 射角 增大,当 i 大 于临界角 iC 时,即会 发生全反射,没有折 射光线。与临界角 iC 1 1 相应的光线有 hC ? R sin iC ? R n2 R 1 ? 2 n 这光线的折射线与轴线的交点处于xC ? n 2 ? 1 n

i

?

nR n2 ? 1

在轴 Ox R ? x ? xC 处没有折射光线通过。 上

由以上分析可知,在轴 Ox 上玻璃半球以右 xC ? x ? x0

x 的一段为有光线段,其它各点属于无光线段。 0 与xC 就是 所要求的分界点,如图复解20-4-2所示。

第16届复赛 二、(25分)两个焦距分别是 f1 和 f 2 的薄透镜Ll1和L2, 相距为d,被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行,问该 入射光线应满足什么条件? 2. 根据所得结果,分别画出各种可能条件下的光路示意 图。

回顾1;像与物的概念:

发光物体上的每个发光点可视为一个“物点”即“物”。 一个物点上发出的光束,经一系列光学系统作用后,若 成为会聚光束,则会聚点为物的实像点;若成为发散光 束,则其反向延长线交点为物的虚像点;若为平行光束 则不成像。

回顾2;薄透镜成像公式是:

1 1 1 ? ? u ? f
式中f、u、v的正负仍遵循“实正、虚负”的法则。

解答

l.在所示的光路图中 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? u1 v1 f1 u2 v2 f 2
d ? u2 ? v1

当入射光线与出射光

线平行时,图中的 ? ? ? ? ,利用相似三角形关系可求得 v2 u2 h? v2 h? u2 f1d ? ? ? 联立方程可得 u1 ? 从而求得 u v h u1 h v1 1 1 d ? ( f1 ? f2 ) f f 由于d 、1 、2 均已给定,所以 u1 为一确定值,这表明: 如果入射光线与出射光线平行,则此入射光线必须通过主 轴上一确定的点,它在L1的左方与L1相距 u1处,又由于 u1 与 ? 无关,凡是通过该点射向的入射光线都和对应的出

f1d 2.由结果 u1 ? d ? ( f1 ? f 2 )

当时 d ? f1 ? f 2 , 1 u

?0 ,

当时 d ? f1 ? f 2 , 1 ? ?, u ?

? 0,

1.考虑到使3个点光源的3束 光分别通过3个透镜都成实像于 ? S P点的要求,组合透镜所在的 h ? 平面应垂直于z轴,三个光心O1、S h O2、O3的连线平行于3个光源 ? 的连线,O2位于z轴上,如图1 所示.图中MM ? 表示组合透镜 u ? 、 ? 、 3 为三个光束 ? S 的平面, 1 S 2 S S 2 中心光线与该平面的交点.2 O= 1 1 u就是物距.根据透镜成像公式 u ? L ? u ?
1 2

M

O1 O2(S2’)

P z

O3 S3’ L

M’
图1

可解得 因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点,来自各光源的 光线在投射到透镜之前不能交叉,必须有2utana ≤h即u≤2h.在上式 u 中取“-”号,代入f 和L的值,算得 ? (6 ? 3 2 )h ≈1.757h

1 f

1 u ? [ L ? L2 ? 4 fL ] 2

26届 五、内半径为R的直立圆柱器皿内盛水银,绕圆 柱轴线匀速旋转(水银不溢,皿底不露),稳定后的液 面为旋转抛物面。若取坐标原点在抛物面的最低点,纵 坐标轴z与圆柱器皿的轴线重合,横坐标轴r与z轴垂直, ? z ?,式中ω为旋转角速度,g为重 r 则液面的方程为 2g 力加速度(当代已使用大面积的此类旋转水银液面作反 射式天文望远镜)。 观察者的眼睛位于抛物面最低点正上方某处,保持位置 不变,然后使容器停转,待液面静止后,发现与稳定旋 转时相比,看到的眼睛的像的大小、正倒都无变化。求 人眼位置至稳定旋转水银面最低点的距离。
2 2

旋转抛物面对平行于对称轴的光线严格聚焦,此 g 抛物凹面镜的焦距为 f ? 2
2?

旋转抛物面方程可表示为

r2 z? 4f

停转后液面水平静止.由液体不可 压缩性,知液面上升.以下求抛物 液面最低点上升的高度.

V

M

?

R 2 4 f 的圆柱 抛物液面最低点以上的水银,在半径R、高

形中占据体积为M的部分,即附图中左图阴影部分绕轴 线旋转所得的回转体;其余体积为V的部分无水银.回转 体M在Z高度处的水平截面为圆环,利用抛物面方程,得 Z处圆环面积 S M ? z ? ? π ? R 2 ? r 2 ? ? π ? R 2 ? 4 fz ?

S M ? z ? ? π ? R 2 ? r 2 ? ? π ? R 2 ? 4 fz ?

得Z处圆环面积

将V体倒置,得附图中右图 阴影部分绕轴线旋转所得 的回转体 ? ,相应抛物面 R2 ? r 2 方程变为 z ?
4f

V

M

?

其高度Z处的水平截面为圆面,面积为
1 2 R2 由此可知 M ? ? ? V ? πR 2 4f

S? ? z ? ? πr 2 ? π ? R 2 ? 4 fz ? ? S M ? z ?
M R2 h? ? 2 πR 8f

即停转后抛物液面最低点上升

因抛物镜在其轴线附近的一块小面积可视为凹球面镜,抛物镜的 焦点就是球面镜的焦点,故可用球面镜的公式来处理问题.两次观 察所见到的眼睛的像分别经凹面镜与平面镜反射而成,而先后看 到的像的大小、正倒无变化,这就要求两像对眼睛所张的视角相 同.设眼长为 y0 .凹面镜成像时,物距 u 即所求距离,像距 fu v f v与像长分别为 v ?
u- f
y?? u y0 ? f ?u y0

平面镜成像时,由于抛物液面最低点上升,物距为
R2 u? ? u ? h ? u ? 8f

像距与像长分别为 两像视角相同要求 即

y y? ? u ? v u? - v ?

v? ? -u?

y? ? ?

v? y0 ? y0 u?

1 1 ? 2u ? u 2 f 2u ? R 2 4 f

R 可解得 u ? 2

18届复赛一个放在空气中的玻璃棒,折射率n0=1.5,中心 轴长 L=45cm,一端是半径为R1=10cm的凸球面。问: (1)要使玻璃棒的作用相当于一架理想的天文望远镜 (使主光轴上无限远的物成像于主光轴上无限远处的望远 系统),取中心轴线为主光轴,玻璃棒的另一端应磨成什 么样的球面? (2)对于这个玻璃棒射出的平行光束与主光轴成小角度 f2,求f2/f1(此比值等于该玻璃棒望远系统的角放大率) n0=1.5 O1 C1 F1’

解:对于一个望远系统来说,从主光轴上无限远处的物点发出的入
射光为平行于主光轴的光线,它经过系统后的出射光线也应与主光 轴平行,即像点也在主光轴上无限远处

由正弦定理、 折射定律和 小角度近似得

AF1 ? R1 sin r1 r1 1 1 ? ? ? ? R1 sin(i1 ? r1 ) i1 ? r1 (i1 / r1 ) ? 1 n ? 1 即

AF1 1 ?1 ? R1 n ?1

光线 PF1 射到另一端面时,其折射光线为平行于主光轴的 光线,由此可知该端面的球心 C2 一定在端面顶点 B 的左 C 方, 2 B 等于球面的半径 R2 BF1 1 ?1 ? 仿照上面对左端球面上折射的关系可得 R2 n ?1 又有 BF ? L ? AF 1 1 即右端为半径等于5cm的向外凸的 代入数值可得 R2 ? 5 cm 球面.

(2)求入射和出射平行光线与主光轴夹角的比 f2/f1

f1

C1

f1

F1’(F2) C2

f2

? 通过球心的光线,在球面上折射不改变方向 作图表示出入射端光线和出射端光线的走向 C1

f1

F1(F2)

C2

f2
|f1’|=30cm
f1 ' ? R1 f2 tan f2 ? ?2 ? 夹角比 ? f1 tan f1 f 2 ? R2

|f2|=15cm

球面折射成像 球形折射面两侧 的介质折射率分 别n1和n2,C是

n1

i1
i2 n2

s

?

o
A0 ?? u

?

球心,O是顶点,球面曲率半径为R,S是物点,S ? 是像点,对于 近轴光线

c

?

S?

n1i1 ? n2i2

i1 ? ? ? ?

联立上式解得

i2 ? ? ? ? n1 n2 n2 ? n1 ? ? u v r

A0 ?? R

A0 ?? v

这是球面折射的成像公式,式中u、υ的符号同样遵循“实正虚负” 的法则,对于R;则当球心C在出射光的一个侧,(凸面朝向入射 光)时为正,当球心C在入射光的一侧(凹面朝向入射光)时为负。

球面折射成像

n1 n2 n2 ? n1 ? ? u v r

n1

i1
i2 n2

s

?

o

?
S?

c
2

?

S?

当入射光为平行于主轴的平行光(u=∝)时,出射光 (或其反向延长线)的交点即为第二焦点,(也称像方 焦点),此时像距即是第二焦距 f ,有。 f ? n2 R

2

n2 ? n1

当出射光为平行光时,入射光(或其延长线)的交点 即第一焦点(即物方焦点),这时物距即为第一焦 nR 距 f1 , f1 ? n 1 n ?
2 1

将 f1、 f 2 代入成像公式改写成

f1 f2 ? ?1 u u

19届复赛:五:薄透镜两侧的介质不同,其折射率分别 为n1、n2,则透镜两侧各有一焦点(设为F1和F2 ),但F1 、 F2和透镜中心的距离不等,其值分别为f1、 f2 。现有一 薄凸透镜L,已知此透镜对平行光束起会聚作用,其左 右两侧介质的折射率及焦点如图所示。 (1)试求出此时物距u,像距v,焦距f1、 f2四者之间的 关系式。 (2)若有一傍轴光线射向透镜中心,已知它与透镜主轴 的夹角为 ?1 ,则与之相应的出射光线与主轴夹角 ?2 多大? (3) f1,f2 ,n1 , n2四者之间有何关系? n1 n2

F1

f1

L

f2

F2

利用焦点的性质 用 y 和 y ? 分别表示物和像的大小,则由图中的几 何关系可得
f2 y u ? f1 ? ? y? f1 v ? f2

(u ? f1 )(v ? f 2 ) ? f1 f 2
f2 ? ?1 u v

简化后即得物像距公式 f1

(2)薄透镜中心附

近可视为薄平行板,
入射光线经过两次折

射后射出,放大后
的光路如图复解所示

图中为 ? 1 入射角,

夹角。设透镜的折射率为

? 2 为与之相应的出射角, ? 为平行板中的光线与法线的

n1 sin?1 ? n sin ? ? n2 sin? 2

n ,则由折射定律得

n1 ? 2 ? ?1 n2

3)由物点 Q 射向

中心的入射线,经
L折射后,出射线

应射向 Q ?,如图所 示,在傍轴的条件下, y y? 有 ? tan?1 ? ?1, ? tan? 2 ? ? 2
u

二式相除

f1u n1 ? (u ? f1 )v n2

y ?u n1 ? yv n2

v

用(1)式的 y? / y ? f1 /(u ? f1 ) 代入得
n1uv f1 ? n2u ? n1v



用(1)式的 y? / y ? (v ? f 2 ) / 即
n2uv f2 ? n2u ? n1v

(v ? f 2 )u n1 f 2 代入 f v ? n 2 2

从而得他们之间关系式

f 2 n2 ? f1 n1

条纹间距关系式

1.求S? 经双缝 产生的干涉图像 的零级亮纹 P0? 的 位置

S?

设 P0? 点的坐标 ? 为 y0 它也就是光源 与S分别对应的干涉条纹的零级亮 纹之间的距离,即 P0?P0 ? ? y ? y0 ? 0 ? y0 ? ?

由双缝到 P0? 点的光程差 ?1 ? S2 P0? ? S1P0? ,从 S1 作 S 2 P0? 的垂 线交于H点,三角形 OP0 P0?与三角形S1 HS2 相似,因 D ?? d d d ? 则 ?1 ? y0 ? ? y
D D

S?
S 从 S 2作 ?S1的垂线交于G, S? 到双缝的光程差 ? 2 ? S?S2 ? S?S1

? 三角形 SOS?与三角形S1GS2 相似,因l ? d,则

d ?2 ? S?S2 ? S?G ? GS1 ? ?GS1 ? ? ? s l d d? s ?0 对满足零光程差条件的而言 ?S?S2 ? S2 P0?? ? ?S?S1 ? S1P0?? ? ?1 ? ?2 ? ? y ? ? ? ? ? D D l 得 ? y ? ?? s l

?

?

回顾1:光的折射定律 ①折射光线在入射光线和法线所决定平面内; ②折射光线和入射光线分居法线两侧; ③入射角与折射角满足 n sin i ? n sin i ;
1 1 2 2

回顾2:光子说 光子的能量跟它的频率成正比即

E ? hv

式中h为普朗克恒量

E hv 光子也是物质,它具有质量,其质量等于 m ? ? 2 2 c c
光子也具有动量,其动量等于 p ? mc ? hv ? hv c c

按照光的折射定律有 n0 sin ? ? n sin ? l 几何关系还可知 sin ? ?
激光光束经两次折射,频率保持不变, 故在两次折射前后,光束中一个光子的 动量的大小和相等,即 p

r

? hv / c ? p'

光子动量的方向由于光束的折射而偏转

了一个角度 2? ,由图中几何关系可知 2? ? 2(? ? ? )

若取线段 GN1 的长度正比于光子动量 p , 2 的长度正 GN 比于光子动量 p ? ,则线段 N1 N 2 的长度正比于光子动量 的改变量 p ,由几何关系得p ? 2 p sin ? ? 2 h? sin ? ? ? c ?GN1 N 2为等腰三角形,其底边上的高 GH 与 CD 平行,故 光子动量的改变量的方向沿垂直 CD 的方向,且由G 指向球心 O .

光子与小球作用的时间可认为是光束 在小球内的传播时间,即

式中是光在小球内的传播速率。 按照牛顿第二定律,光子所受小球的 平均作用力的大小为 f ? ?p ? n0 h? sin ? ?t nr cos ? 按照牛顿第三定律,光子对小球的平均作用力大小 F , f ? 即 n0 h? sin? 力的方向由 点指向 G点 O F?

2r cos ? ?t ? cn0 / n

nr cos ?

n0lh? F? nr 2

? r2 ? l2 ?1 ? (nr / n0 ) 2 ? l 2 ? ?

? ? ? ?

26届七、(20分)1.设想光子能量为E的单色光垂直 入射到质量为M、以速度V沿光入射方向运动的理想反 射镜(无吸收)上,试用光子与镜子碰撞的观点确定 反射光的光子能量E′。可取以下近似: E ?? V ?? 1 c Mc 2 ,其中c为光速。 2.若在上述问题中单色光的强度为Φ,试求反射光的强 度Φ′(可以近似认为光子撞击镜子后,镜子的速度仍 为V)。光的强度定义为单位时间内通过垂直于光传播 方向单位面积的光子的能量。

参考解答:

1.光子与反射镜碰撞过程中的动量和能量守恒定律表现 为 E c ? MV ? ? E ? c ? MV ? E ? MV 2 2 ? E ? ? MV ?2 2
其中V ? 为碰撞后反射镜的速度.从上两式消去V ? ,得
2E E ? E? ? ? 2 1 ? V c ? ?1 ? V c ? ? 4 E Mc 2 1 ? V c
1 V 当 ?? 1 时, ? V c ? 1 ? V c ,可得 1 c

4E

1?V c E? ? E 1?V c

E ? ? E ?1? 2V c ?

2.考察时刻位于垂直于光传播方向的 截面A左侧的长为光在1s时间内所传 播的距离c?1s、底面积为单位面积柱 体内的光子,如图1所示.经过1s时间,它们全部通过所 考察的截面.若单位体积中的光子数为 n ,根据光强 的定义,入射光的强度 Φ ? ncE 若A处固定一反射镜,则柱体的底面S2处的光子在时刻t到 达位于A处的反射镜便立即被反射,以光速c向左移动;当 柱体的底面S1在t+1s到达A处被反射镜反射时,这柱体的 底面S2已到达A左边距离A为c?1s处,所有反射光的光子 仍分布在长为c?1s、截面积为单位面积的柱体内,所以反 射光的强度与入射光的强度相等.

回顾1;
时间延缓效应 在相对观察者静止的惯性系中,同一地点先后 发生的两个事件的时间间隔称为原时,或同地 时,用?t 代表。 在另一相对观察者运动的惯性系中观测的这两 个事件的时间间隔,称为测时,用?t 代表。
?t ?
1? u 2 / c 2

测时

?t ? ??t ? ?

原时

—测时比原时长 时间延缓效应

回顾2; 长度收缩
SS

u

A
? ? x1 , t1

B
? x? , t 2 2
x2 , t 2

O? O

x?

x1 , t1

x
原长

? l ? ? l ? ? ? ? l ? 1 ? u2 c 2 测长
原长最长,测长比原长短—长度收缩效应

回顾3;相对论动力学

(1)质量 狭义相对论理论中,物体的质量是随着速 度而改变的,两者的关系是
式中m0是物体在相对静止的惯性参照系中的质量,叫做静止 质量,m则叫做相对论质量.

(2)动量

在相对论中,动量的表达式是
)v.

?p=(m0/ (3)运动时能量 E=mc2

(1)由能量与速度关系及题给条件
可知运动电子的能量为
m0 c
2 2 2

光子散射方向

1 ? (v / c )

? 1.10m0 c 2
光子入射方向



?



由此可解得 v ? 0.21 ? 0.417c ? 0.42c
1.10
图复解 19-6

A
光子入射方向

图复解 19-6光子散射方向光子入射方向光子入射方向电子?A入射 h? p ? 和p? ? h? ?,方向如图复解19-6所 光子和散射光子的动量分别为 c c mv , m 为运动电子的相对论质量。由动量守 示。电子的动量为 m0v 恒定律可得 h? m0v h? ?

h? ? h? ? ? 0.10m0c 2 已知

1 ? (v 2 / c 2 )

cos? ?

c

c 1 ? (v / c ) ? ? 0.37m0c 2 / h 可解得
2 2

sin ? ?

? ? ? 0.27m0c 2 / h

?? 27 ? arctan( ) ? 36.1? ? 37 电子从点运动到所需时间为 ?t ? L0 ? 2.4L0 / c v L ? L0 1 ? (v 2 / c 2 ) (2)当观察者相对于沿方向以速度运动时, ? ? tan-1

由狭义相对论的长度收缩效应得

L ? 0.91L0

六、(20分)两惯性系S′与S初始时刻完全重合,前者 相对后者沿z轴正向以速度v高速运动。作为光源的自由 质点静止于S′系中,以恒定功率P向四周辐射(各向同 性)光子。在S系中观察,辐射偏向于光源前部(即所 谓的前灯效应)。 1.在S系中观察,S′系中向前的那一半辐射将集中于光 源前部以x轴为轴线的圆锥内。求该圆锥的半顶角α。已 知相对论速度变换关系为 u? ? v x ux ? 1 ? u? v / c 2 x

式中ux与ux′分别为S与S′系中测得的速度x分量,c为光 速。 2.求S系中测得的单位时间内光源辐射的全部光子的总 动量与总能量。

先求两惯性系中光子速度方向的变换关系.根据光速不 变原理,两系中光速的大小都是C.以 S 和 S? 分别表示 光子速度方向在和系中与 x 和 x ?轴的夹角,则光速的 u? ? c cos ? ? 分量为 u x ? c cos ? x cos ? ? ? v c 再利用相对论速度变换关系,得 cos? ? 1 ? vcos? ? c

S?系中光源各向同性辐射,表明有一半辐射分布于
?

0 ? ? ? ? π 2 的方向角范围内, S 系中,此范围对 x 应 0 ? ? ? ? .由上式求得
v 2 c ? arccos v ? ? arccos v ? c 1 ? cos c 2 cos ?

可以看出,光源的速度v越大,圆锥的顶角越小.

S?系中,质点静止,?t ? 在时间内辐射光子的能量来自质 2
点静能的减少,即 P?t ? ? ?m0c 式中?m0为时间 ?t ? 内质点减少的质量

S系中,质点以速度v匀速运动,由于辐射,其动质量 减少 ?m ,故动量与能量亦减少.转化为光子的总动量 ?m0 v ?p ? 为 ?p ? ?mv ,即 1- v2 c2
转化为光子的总能量为 ?E ? ?mc
?E ? 即 1? v2 S? 系中光源静止,测得的辐射时间 ? t ? 为本征时,在 系中膨胀为 ?t ? ?t ?
1? v2 c2
2

?m 0 c 2 c2

由以上各式可得在S系中单位时间内辐射的全部光子的 ?E 总动量与总能量分别为 ?p ? vP ?P 2 ?t c ?t

平行平面膜反射

反射条件



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