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2.1数列的概念与简单表示法(1)(2)学案



2.1 数列的概念与通项公式
一、学习目标: 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数之间的关系;了解数列的通项公式, 并会用通项公式写出数列的任意一项; 对于比较简单的数列, 会根据其前几项写出它的个通 项公式。过程与方法:通过对一列数的观察、归纳,写出符合条件的一个通项公式,培养学 生的观察能力和抽象概括能力. 二、学习过程: Ⅰ .课题导入 三角形数:1,

3,6,10,… 正方形数:1,4,9,16,25,… Ⅱ .讲授新课 1、 数列的定义: 叫做数列. 注意:⑴ 数列的数是按一定 排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列 次序不同,那么它们就是不同的数列; ⑵ 定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. 思考:数列与集合的区别是什么? 2、 数列的项: 叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项(或首项) ,第 2 项,…,第 n 项,…. 3、数列的一般形式: a1 , a2 , a3 ,?, an ,? ,或简记为 ?an ? ,其中 an 是数列的第 n 项. 4、数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数 的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6.是有穷数列 无穷数列:项数 的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都 它的前一项的数列. 递减数列:从第 2 项起,每一项都 它的前一项的数列. 常数数列:各项 的数列. 摆动数列:从第 2 项起,有些项 它的前一项,有些项 它的前一项的数列. 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系?这一关系 可否用一个公式表示?(引导学生进一步理解数列与项的定义,从而发现数列的通项公式) 1 1 1 1 项 1 2 3 4 5 ↓ 序号 1 ↓ 2 ↓ 3 ↓ 4 ↓ 5

这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式: a n ?

1 来表示其对应关系 n

5、数列的通项公式: . 注意:⑴ 并不是所有数列都能写出其通项公式; ⑵ 一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式 可以是 a n ?

n ?1 1 ? (?1) n ?1 ? |. ,也可以是 a n ?| cos 2 2
;② 某数是否是该数列中的一项.

⑶ 数列通项公式的作用:① 求数列中

6、数列与函数的关系 思考 1:数列是一种特殊的函数,数列的通项公式相当于函数的解析式,数列的各项就 是当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值,那么,这种函数的定义域是什么? 思考 2:函数有哪几种表示法?相应地数列有哪几种表示法? 思考 3:写出下列数列的一个通项公式,并画出图像:2,4,8,16,32,...;2,4,6,8,10,... 观察数列的图象有什么特点? 7、递推公式: 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项 (或前几项) , 且任一项 an 与它的前一项 a n ?1(或 前 n 项) 间的关系 , 那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种方法.如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34, 55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8)

三、典例分析 例 1、写出下列数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 9, 17, 33,…; (2)

1 9 25 ,?2, ,?8, ,? ? ? 2 2 2

(3) 2 , 5,2 2 , 11,? ? ?

例 2、写出数列 1,

2 3 4 5 , , , ,? ? ? 的通项公式,并判断它的增减性. 4 7 10 13

例 3 、 已 知 有 穷 数 列 ?an ?:

2 4 5 8 20 , , , ,? ? ?, , 把它的各项前后顺序改变得新数列 3 8 16 24 120

?bn ?:

20 8 6 4 2 ,? ? ?, , , , , 求新数列 ?bn ?的通项公式. 120 24 15 8 3

?9? 例 4、 已知 an ? ? ? ?n ? 1? n ? N ? . 问: 数列 ?an ?中有没有最大项?如果有, 求出最大项; ? 10 ?
如果没有,请说明理由.

n

?

?

限时训练:1、求出下列数列的通项公式: (1) (2) ?

3 9 25 65 , , , ,? ? ? 2 4 8 16

1 1 1 1 , ,? , ,? ? ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5

2、求数列 ? 2n 2 ? 29n ? 3 中的最大项.

?

?

2.1 数列的概念与通项公式(2)
一、学习目标: 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递 推公式写出数列的前几项;理解数列的前 n 项和与 an 的关系 二、学习过程: 1、递推公式: 如果已知数列 ?an ? 的第 1 项 (或前几项) , 且任一项 an 与它的前一项 a n ?1(或 前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式也是给出数列的一种重要方法,并不是一种新数列. 斐波那契数列:其递推关系式为: 2、求数列通项公式的方法: 累加法: 若 an?1 ? an ? f (n) 求 an : an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ? ? (a2 ? a1 ) ? a1 (n ? 2) . 累乘法:已知 公式法:

an ?1 a a a ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) . an an ?1 an ? 2 a1

思考: a1 ? a2 ? ? ? an 称为数列 ?an ? 的前 n 项和,记作 Sn,那么 Sn-1 表示什

? 么? an ,Sn,Sn-1 三者之间有什么关系? an ? ? ?
三、典例分析 例 1、已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 0, 递推公式为 an?1 ? an ? ?2n ?1? n ? N ? , 写出它的前 5 项,并归纳出通项公式.

?

?

2 2 例 2、设 ?an ? 是首项为 1 的正项数列,且 ?n ? 1?an ,2,3,? ? ??, 求数列 ?1 ? nan ? an?1an ? 0?n ? 1

的通项公式.

例 3、数列 ?an ? 中,前 n 项和为 S n , 求 ?an ? 的通项公式: (1) Sn ? ??1?
n?1

n;

(2) Sn ? 3n ? 2;

(3) Sn ? n2 an ?n ? 2?, a1 ? 1.

例 4、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 3, an?1 ? 2an ? 1, 写出数列的前 6 项及 ?an ? 的通项公式.

限时训练:1、已知 ?an ? 满足 an ?

??1?n ? 1?n ? 2?, a
an?1

7

4 ? , 则 a5 ? 7

.

1 ? 2an ,0 ? an ? , ? 3 ? 2 a1 ? , 则数列的第 2014 项为 2、数列 ?an ? 满足 an ?1 ? ? 5 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1, n n ? 2 ?
3、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2, 求 an 的通项公式. 4、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2 ? an , 求 an 的通项公式.
n

.

5、数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2n ? 3n, 则 an ?
2

.

6、数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 对任意 n ? 2, 都有 a1 ? a2 ? ? ? ? ? an ?n2 , 求 a3 ? a5 ?

.

7、已知函数 f ?x ? ? 2 x ? 2? x , 数列 ?an ? 满足 f ?log2 an ? ? ?2n( 求数列 ?an ? 的通项公式; , 1) (2)证明:数列 ?an ? 是递减数列.



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