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重庆市南开中学2012届高三五月模拟考试 数学理



数学(理)试题
本试卷分为第 1 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

第 1 卷(选择题)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是 符合题目要求的。 1.复数 z ?

2 的虚部为 1? i

r />( ) A. i B.- i C.1 D.-1 2. 已知命题 P: “1g(x-1)<0” ,命题 q: “|1-x|<2” ,则 p 是 q 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3. 10 名女生与 5 名男生中选出 6 名同学组成课外兴趣小组, 从 如果按照性别分层随机抽样, 则男生甲被选中的概率为 ( ) A.

1 5
x x ??

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

4.已知 lim a 不存在(a ? 0), 则 lim ( ) A.-1

1? ax 的值为 x ?? 1 ? a x
C.1 D. 不存在

B. 0

5











?2 ? ? 3 x ?1 x ( ? f ( x ?)? ? 1 (x ? 0 ?x ?

0 ) 若f ,a ? a 则实数a的取值范围为 ( ) , )



) B. (??, ?1) 函 数 C. (1, ??) D. (0,1)

A. (??, ?3) 6 . 已 知

f ( x) ? a1og 2 ? b1og3 x ? 2且f (
B.2 C.0

1 ) ? 4, 则f (2012)的值为 2012
`D.—2

( ) A.—4

7.正项数列 ( )

? an ?

满 足 , a1 ? 1, an ?1 ? an ? an ?
2 2

1 1 1 1 ,则 ? ?? ? 4 a1a2 a2 a3 an ? an ?1

A. 2 ?

4 n?2

B. 1 ?

2 n?2

C. 4 ?

2 ` n ?1

D. 2 ?

4 n ?1

8.长方体 AC1 中,AB=BC=1,AA1=2,过顶点 D1 在空间作直线 l ,使 l 与 直线 AC 和 BC1 所成的角都等于 A.1 C.3 B.2 D.4

? ,这样的直线最多可作( 3

)条

9.已知函数 y ? sin x ? a cos x的图象关于x ? 条对称轴是 ( ) A. x ?

5? 对称,则函数y=asinx+cosx 图象的一 3

?
3

B. x ?

2? 3

C. x ?

11? 6

D. x ? ?

x2 y 2 10.已知圆 C 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 1, 是椭圆p ? ?1 4 3
2 2

??? ??? ? ? 上一点, 过p作圆的两条切线, 切线为 A、B,求 PA □ PB
的范围为 A. [0, ( B. [2 2 ? 3, ??] C. [2 2 ? 3, )

56 ] 9

56 ] 9

D. [ ,

3 56 ] 2 9

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填写在答题卡相应位置上) 11.设集合 U ? 1, 2,3, 4,5? , A ? 2, 4? , B ? 3, 4,5? , C ? 3, 4? 则 ( A ? B) ? (CU C ) ? 12.设 (1 ? x ? x ) ? a0 ? a ( x ? 2) ? a2 ( x ? 1) ? a3 ( x ? 1) ? ? ? a8 ( x ? 1) ,
2 4 2 3 8

?

?

?

?

则 a1 ? a2 ? ? ? a8 ? 13 . 若 。

a, b, c ? R ?且a ? 2b ? c ? 1, 则

1 2 ? 的最小值为 a?b b?c

14.以椭圆的右焦点 F2 为圆心作一个圆,使此圆过椭圆的中心 O 并交椭圆于点 M、N,若 过 椭 圆 的 左 焦 点 F1 的 直 线 MF1 是 圆 F2 的 切 线 , 则 椭 圆 的 离 心 率 为 。

15.如图,一个 8×8 的国际象棋盘有 32 个黑格和 32 个白格。一条“线路”由 8 个白格组 成,每行有一个,且相邻的白格有公共顶点,则这样的“路线”共有 条(请用 数字作答)

三、解答题(共 6 小题;共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16. (共 13 分)已知△ABC 的面积为 2 ? 3, 且 AB · AC ? 2

??? ?

????

2sin 2
(1)求 tanA 的值; (2)求

A A A ? 2sin cos ?1 2 2 2 的值。 cos(

?

4

? A)

17. (13 分)甲、乙两人进行投篮,每人各投 4 个球,甲投篮命中的概率为 的概率为

1 ,乙投监命中 2

2 ,两人相互不受影响,每次投篮结果也不受影响。 3

(1)求甲至多命中 2 个且乙至少命中 3 个的概率; (2) 若规定每投篮一次命中得 3 分, 未命中和—1 分, 求乙所得分数? 的分布列与期望。

18. (13 分)如图,正三棱柱 ABC—A1B1C1 的所有棱长都为 2,D 为棱 CC1 的中点。 (1)求证:AB1⊥平面 A1BD; (2)求二面角 A—A1D—B 的大小。

19. (12 分)已知 x=1 是 f ( x) ? 2 x ?

b ? 1nx 的一个极植点 x

(1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)设 g (x) ? f (x) ? 说明理由。

3 ,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线 y ? g ( x) 相切?请 x

20. (12 分)已知抛物线 C : x ? 2my (m ? 0)和直线l : y ? x ? m没有 公共点(其中 m 为
2

常数) 。动点 P 是直线 l 上的任意一点,过 P 点引抛物线 C 的两条切线,切点分别为 M、 N,且直线 MN 恒过点 Q(1,1) 。 (1)求抛物线 C 的方程;

????? ???? ? | PA | | QA | ? ? (2)已知 O 点为原点,连结 PQ 交抛物线 C 于 A、B 两点,求 ???? ? ???? 的值。 | PB | | QB |

21. (12 分)a 为实数,数列 an ? 满足a1 ? a, 对于n ? 1, 2,3?

?

? an ? 1, an ? 1时 an ?1 ? ? ? ? an ? 2, an ? 1时
(1) 0<a n <2时,证明0<a n?1 ? 2 ; (2) a满足0 ? a ? 1, 求an (n ? 1, 2,3?); (3)k 为自然数,求使 an ? k ? an (n ? 1, 2,3?) ,成立的所有 k 与 a。

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