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南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学试题



南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟)
参考公式 锥体的体积公式: V ?

1 Sh ,其中 S 为底面积, h 为高. 3

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答 题纸的指定位置上)

1.已知集合 A ? x x ? 1 ? 0 , B ? ??1,2,5? ,则 A ? B =
2

?

?



.

2?i ( i 是虚数单位) ,则 | z |? ▲ . 1? i 3.书架上有 3 本数学书, 2 本物理书,从中任意取出 2 本,
2.已知复数 z ?

则取出的两本书都是数学书的概率为 ▲ . 4.运行如图所示的伪代码,其结果为 ▲ . 5.某校高一年级有学生 400 人,高二年级有学生 360 人, 现采用分层抽样的方法从全校学生中抽出 55 人,其中 从高一年级学生中抽出 20 人,则从高三年级学生中抽 第 4 题图 取的人数为 ▲ . 6. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上, 若曲线 C 经 过点 P(1,3) ,则其焦点到准线的距离为 ▲ . ▲ .

S←1 For I From 1 To 7 step 2 S←S + I End For Print S

? x ? y ? 5 ? 0, ? 7.已知实数 x, y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? x ? y 的最小值为 ? y ? 0, ?

8.设一个正方体与底面边长为 2 3 ,侧棱长为 10 的正四棱锥的体积相等,则该正方体的 棱长为 ▲ . 9. 在 ?ABC 中, 设 a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, 若a ? 5,

3 ,则边 c = ▲ . 4 5 10.设 Sn 是等比数列 ?an ? 的前 n 项和, an ? 0 ,若 A?
, cos B ?

?

A

S6 ? 2S3 ? 5 ,则 S9 ? S6 的最小值为
???? ??? ? ???? ??? ? DC ? 2BD ,则 AD ? BC 的值为



.

11.如图,在 ?ABC 中, AB ? AC ? 3 , cos ?BAC ? ▲
2 2

1 , 3

B

D
第 11 题图

C

.

12. 过点 P(?4, 0) 的直线 l 与圆 C : ( x ?1) ? y ? 5 相交于 A, B 两点, 若点 A 恰好是线段 PB
高三数学试题第 1 页(共 6 页)

的中点,则直线 l 的方程为



.
x

13.设 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f ( x) ? 2 ?

数 y ? g ( x) ? t 有且只有一个零点,则实数 t 的取值范围是 14.设函数 y ? ?

? f ( x), x ? 1, m ,设 g ( x) ? ? 若函 x 2 ? f (? x), x ? 1,
▲ .

的图象上存在两点 P, Q ,使得 ?POQ 是以 O 为直角顶点 a ln x , x ? e ? 的直角三角形(其中 O 为坐标原点) ,且斜边的中点恰好在 y 轴上,则实数 a 的取值范围 是 ▲ .

?? x ? x , x ? e,
3 2

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [ ?

?
2

?? ?

?
2

, x ? R) 的部分图象如图所示.
y

? ?

, ] 时,求 f ( x) 的取值范围. 2 2

2 O

? 3
第 15 题图

5? 6

x

16.(本小题满分 14 分) 如图,已知直三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 ACC1 A1 是正方形,点 O 是侧面 ACC1 A1 的中 心, ?ACB ? , M 是棱 BC 的中点. 2 (1)求证: OM // 平面 ABB1 A 1; (2)求证:平面 ABC1 ? 平面 A 1BC . O B1

?

A1

C1

A M B
第 16 题图

C

高三数学试题第 2 页(共 6 页)

17.(本小题满分 14 分) 如图所示, A, B 是两个垃圾中转站, B 在 A 的正东方向 16 千米处, AB 的南面为居民 生活区. 为了妥善处理生活垃圾, 政府决定在 AB 的北面建一个垃圾发电厂 P . 垃圾发电 厂 P 的选址拟满足以下两个要求( A, B, P 可看成三个点) :①垃圾发电厂到两个垃圾中 转站的距离与它们每天集中的生活垃圾量成反比,比例系数相同;②垃圾发电厂应尽量 远离居民区(这里参考的指标是点 P 到直线 AB 的距离要尽可能大). 现估测得 A, B 两 个中转站每天集中的生活垃圾量分别约为 30 吨和 50 吨,问垃圾发电厂该如何选址才能 同时满足上述要求?



· A
18.(本小题满分 16 分)

居民生活区 第 17 题图

· B

x2 ? y 2 ? 1 上一点,从原 4 2 2 2 点 O 向圆 M : ( x ? x0 ) ? ( y ? y0 ) ? r 作两条切线分别与椭圆 C 交于点 P, Q ,直线 OP, OQ 的斜率分别记为 k1 , k2 . (1)若圆 M 与 x 轴相切于椭圆 C 的右焦点,求圆 M 的方程; 2 5 (2)若 r ? . 5 y 1 ①求证: k1k 2 ? ? ; 4 ②求 OP ? OQ 的最大值. M Q
如图,在平面直角坐标系 xOy 中,设点 M ( x0 , y0 ) 是椭圆 C : · P O x

第 18 题图

高三数学试题第 3 页(共 6 页)

19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? (1)求 a 的值; (2)若对任意的 x ? (0, 2) ,都有 f ( x) ?

ax 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x . ex

1 成立,求 k 的取值范围; k ? 2x ? x2 x ? x2 ) 的正负,并说明 (3)若函数 g ( x) ? ln f ( x) ? b 的两个零点为 x1 , x2 ,试判断 g ?( 1 2
理由.

20.(本小题满分 16 分)

设数列 ?an ? 共有 m(m ? 3) 项,记该数列前 i 项 a1 , a2 ,?, ai 中的最大项为 Ai ,该数列后 (1)若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n ,求数列 ?ri ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , ri ? ?2 ,求数列 ?an ? 的通项公式;

m ? i 项 ai ?1, ai ?2 ,?, am 中的最小项为 Bi , ri ? Ai ? Bi (i ? 1, 2,3,?, m ?1) .

(3) 试构造一个数列 ?an ? , 满足 an ? bn ? cn , 其中 ?bn ? 是公差不为零的等差数列, ?cn ? 是等比数列,使得对于任意给定的正整数 m ,数列 ?ri ? 都是单调递增的,并说明理 由.

高三数学试题第 4 页(共 6 页)

南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试
数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题](在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答 题纸的指定区域内) A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图, AB 为⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于点 D , AC ? CD ,DE ? AB ,C 、 E 为垂足,连接 AD, BD . 若 AC ? 4 , DE ? 3 ,求 BD 的长. C D

A

· O

E

B

B.(选修 4—2:矩阵与变换) 设矩阵 M ? ?

第 21(A)题图

? a 0? ? 的一个特征值为 2 ,若曲线 C 在矩阵 M 变换下的方程为 ?2 1 ? x2 ? y 2 ? 1,求曲线 C 的方程.

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在 极 坐 标 系 中 , 已 知 点 A 的 极 坐 标 为 (2 2, ?

?
4

) ,圆 E 的极坐标方程为

? ? 4cos ? ? 4sin ? ,
试判断点 A 和圆 E 的位置关系.

D.(选修 4—5:不等式选讲) 已知正实数 a, b, c, d 满足 a ? b ? c ? d ? 1 . 求证: 1 ? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2c ? 1 ? 2d ? 2 6 .

高三数学试题第 5 页(共 6 页)

[必做题](第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内) 22. (本小题满分 10 分)

直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? 2 , AC ? 4 , AA 1 ? 2 , BD ? ? DC . (1)若 ? ? 1 ,求直线 DB1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值; (2)若二面角 B1 ? AC 1 1 ? D 的大小为 60 ? ,求实数 ? 的值. A1 B1 A D B
第 22 题图

??? ?

????

C1

C

23. (本小题满分 10 分)

设集合 M ? ?1,2,3,?, n? (n ? 3) ,记 M 的含有三个元素的子集个数为 Sn ,同时将每一 个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为 Tn .

T3 T T T , 4 , 5 , 6 的值; S3 S 4 S5 S6 T (2)猜想 n 的表达式,并证明之. Sn
(1)求

高三数学试题第 6 页(共 6 页)

南京市、盐城市 2016 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.

??1?
8. 2

2.

10 2

3.

3 10

4. 17

5. 17

6.

9 2 1 ] e ?1

7. ?3

9. 7

10. 20 11. ?2

12. x ? 3 y ? 4 ? 0

13. [?

3 3 , ] 2 2

14. (0,

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15.解: (1)由图象知, A ? 2 , …………2 分 又

T 5? ? ? 2? ? ? ? , ? ? 0 ,所以 T ? 2? ? ,得 ? ? 1 . 4 6 3 2 ?

…………4 分

所以 f ( x) ? 2sin( x ? ? ) ,将点 ( 即? ?

?

?
6

? 2k? (k ? Z ) ,又 ?

?
2

3

, 2) 代入,得

?

?? ?

?
2

3

?? ?

?

,所以 ? ?

?
6

2

? 2 k? ( k ? Z ) ,
…………6 分

.

所以 f ( x) ? 2sin( x ? (2)当 x ? [ ?

?
6

).

…………8 分

? ? 2? , ] 时, x ? ? [? , ] , …………10 分 2 2 6 3 3 ? 3 所以 sin( x ? ) ?[ ? …………14 分 ,1] ,即 f ( x) ?[? 3, 2] . 6 2 M 是 BC 的中点, 16.证明: (1)在 ?A1BC 中,因为 O 是 AC 1 的中点,
? ?
所以 OM // A1B . ..............4 分

OM / / 平 面 又 OM ? 平 面 ABB1 A 1 B ? 平 面 ABB 1 , A 1A 1 , 所 以

ABB1 A1 .
又 ?ACB ?

..............6 分

(2)因为 ABC ? A1B1C1 是直三棱柱,所以 CC1 ? 底面 ABC ,所以 CC1 ? BC ,

?

2

,即 BC ? AC ,而 CC1 , AC ? 面 ACC1 A1 ,且 CC1 ? AC ? C , ..............8 分

所以 BC ? 面 ACC1 A1 . 而 AC1 ? 面 ACC1 A1 ,所以 BC ? AC1 ,

又 ACC1 A1 是正方形,所以 AC ? AC1 ,而 BC, AC ? 面 A1BC ,且 BC ? AC ?C, 1 1 1 所以 AC1 ? 面 A 1BC . .............12 分 ..............14 分 又 AC1 ? 面 ABC1 ,所以面 ABC1 ? 面 A 1BC .

高三数学试题第 7 页(共 6 页)

17.解法一:由条件①,得

PA 50 5 ? ? . PB 30 3

...............2 分

设 PA ? 5x, PB ? 3x ,则 cos ?PAB ? 所 以 点

(5 x)2 ? 162 ? (3x) 2 x 8 ? ? , ..............6 分 2 ?16 ? 5 x 10 5 x
直 线

P



AB







h?

s P

i ? A n

x ? P 1

8 2 1 4 5 A ? ? ? B x 1? ? 17 x2 x? ( 64? x 0 4 5
...............10 分

)

1 ? ? ( x 2 ? 34)2 ? 225 , 4
2

所以当 x ? 34 ,即 x ? 34 时, h 取得最大值 15 千米. 即选址应满足 PA ? 5 34 千米, PB ? 3 34 千米. ...............14 分

解 法 二 : 以 AB 所 在 直 线 为 x 轴 , 线 段 AB 的 中 垂 线 为 y 轴 , 建 立 平 面 直 角 坐 标 系. ...............2 分 则 A(?8, 0), B(8, 0) . y P ...............4 分

PA 50 5 ? ? . 由条件①,得 PB 30 3

2 2 2 2 设 P( x, y )( y ? 0) ,则 3 ( x ? 8) ? y ? 5 ( x ? 8) ? y ,

· A

O

· B

x

化简得, ( x ?17) ? y ? 15 ( y ? 0) ,
2 2 2

...............10 分

即点 P 的轨迹是以点( 17, 0 )为圆心、 15 为半径的圆位于 x 轴上方的半圆. 则当 x ? 17 时,点 P 到直线 AB 的距离最大,最大值为 15 千米. 所以点 P 的选址应满足在上述坐标系中其坐标为 (17,15) 即可. ...............14 分 18 . 解 : ( 1 ) 因 为 椭 圆 C 右 焦 点 的 坐 标 为 ( 3,0) , 所 以 圆 心 M 的 坐 标 为

1 ( 3, ? ) , 2

...............2 分
2

从而圆 M 的方程为 ( x ? 3) ? ( y ? ) ?
2

1 2

1 . 4

…………4 分

高三数学试题第 8 页(共 6 页)

(2)①因为圆 M 与直线 OP : y ? k1 x 相切,所以 即 (4 ? 5x0 )k ?10 x0 y0k1 ? 4 ? 5 y0 ? 0 ,
2 2 1 2 2 2 2

| k1 x0 ? y0 | k ?1
2 1

?

2 5 , 5

…………6 分

同理,有 (4 ? 5x0 )k2 ? 10x0 y0k2 ? 4 ? 5 y0 ? 0 , 所以 k1 , k2 是方程 (4 ? 5x02 )k 2 ?10x0 y0k ? 4 ? 5 y02 ? 0 的两根, …………8 分

1 2 5 2 4 ? 5 y0 2 4 ? 5(1 ? 4 x0 ) ?1 ? 4 x0 1 ? ? ?? . 从而 k1k2 ? 2 2 2 4 ? 5 x0 4 ? 5 x0 4 ? 5 x0 4
② 设 点

…………10 分

P 1(

x1 ,

y1 )

? y ? k1 x ? , P2 , ( x2 联 , y立 ) ? x2 2 2 ? ? y ?1 ?4







x12 ?

4k12 4 2 , …………12 分 , y ? 1 1 ? 4k12 1 ? 4k12 4k2 2 4 2 ,所以 , y ? 2 1 ? 4k2 2 1 ? 4k 2 2

同理, x2 2 ?

4k12 4k22 4 4 OP2 ? OQ2 ? ( ? ) ? ( ? ) 1 ? 4k12 1 ? 4k12 1 ? 4k22 1 ? 4k22 ? 4(1 ? k12 ) 4(1 ? k22 ) 4 ? 4k12 1 ? 16k12 ? ? ? 1 ? 4k12 1 ? 4k22 1 ? 4k12 1 ? 4k12
……………14 分

5 ? 20k12 2 ( ) 1 25 2 ? ? , 当 且 仅 当 k1 ? ? 时 取 等 号 . 所 以 O P? O Q的 最 大 值 为 2 2 2 (1 ? 4k1 ) 4
5 . ……………16 分 2
19. 解: (1)由题意得 f ?( x ) ? 所以 f ?(0) ?

a (1 ? x ) ,因函数在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x , ex

a ? 1 ,得 a ? 1 . ……………4 分 1 x 1 (2)由(1)知 f ( x) ? x ? 对任意 x ? (0, 2) 都成立, e k ? 2x ? x2 2 2 所 以 k ? 2x ? x ? 0 , 即 k ? x ? 2 x 对 任 意 x ? (0, 2) 都 成 立 , 从 而 k ? 0. ……………6 分 ex ex ? x 2 ? 2 x ,令 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x , 又不等式整理可得 k ? x x x x e ( x ? 1) e ? 2( x ? 1) ? ( x ? 1)( 2 ? 2) ? 0 ,得 x ? 1 , ……………8 分 所以 g ?( x) ? 2 x x
高三数学试题第 9 页(共 6 页)

当 x ? (1, 2) 时, g ?( x) ? 0 ,函数 g ( x) 在 (1, 2) 上单调递增, 同理,函数 g ( x) 在 (0,1) 上单调递减,所以 k ? g ( x)min ? g (1) ? e ?1 , 综上所述,实数 k 的取值范围是 [0, e ? 1) . (3)结论是 g ?( ……………10 分

x1 ? x2 ) ? 0. 2

……………11 分

证明:由题意知函数 g ( x) ? ln x ? x ? b ,所以 g ?( x) ?

1 1? x ?1 ? , x x

易得函数 g ( x) 在 (0,1) 单调递增,在 (1, ??) 上单调递减,所以只需证明 可. ……12 分 因为 x1 , x2 是函数 g ( x) 的两个零点,所以 ? 不妨令

x1 ? x2 ?1即 2

? x1 ? b ? ln x1 x ,相减得 x2 ? x1 ? ln 2 , x1 ? x2 ? b ? ln x2

1 t x2 ln t , x2 ? ln t , ? t ? 1 ,则 x2 ? tx1 ,则 tx1 ? x1 ? ln t ,所以 x1 ? t ?1 t ?1 x1 t ?1 t ?1 ln t ? 2 ,即证 ? (t ) ? ln t ? 2 ? 0 , ……………14 分 即证 t ?1 t ?1 1 4 (t ? 1)2 因 为 ? ?(t ) ? ? ? ? 0 , 所 以 ? (t ) 在 (1, ??) 上 单 调 递 增 , 所 以 t (t ? 1)2 t (t ? 1)2 ? (t )? ? ( 1? ) , 0 x ? x2 ) ? 0 成立. 综上所述,函数 g ( x) 总满足 g ?( 1 ……………16 分 2 20.解: (1)因为 an ? 2n 单调递增,所以 Ai ? 2i , Bi ? 2i ?1 ,
所以 ri ? 2i ? 2i ?1 ? ?2i , 1 ? i ? m ? 1 . ……………4 分

(2)根据题意可知, ai ? Ai , Bi ? ai ?1 ,因为 ri ? Ai ? Bi ? ?2 ? 0 ,所以 Ai ? Bi 可 得 ai ? Ai ? B? i 增,
?1i

a 即 ai ? ai ?1 , 又 因 为 i ? 1, 2,3,?, m ? 1 , 所 以 {an } 单 调 递

……………7 分

则 Ai ? ai , Bi ? ai ?1 ,所以 ri ? ai ? ai ?1 ? ?2 ,即 ai ?1 ? ai ? 2 , 1 ? i ? m ? 1 , 所 以

?an ?

是 公 差 为

2

的 等 差 数 列 , an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 ,

1 ? i ? m ?1 .

……………10 分

(3)构造 an ? n ? ( ) ,其中 bn ? n , cn ? ?( ) .
n n

下证数列 ?an ? 满足题意.

1 2

1 2

……………12 分

证明:因为 an ? n ? ( ) ,所以数列 ?an ? 单调递增,
n

1 2

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所以 Ai ? ai ? i ? ( ) , Bi ? ai ?1 ? i ? 1 ? ( )
i

1 2

1 2

i ?1



……………14 分

所以 ri ? ai ? ai ?1 ? ?1 ? ( ) 因为 ri ?1 ? ri ? [?1 ? ( )

1 2

i ?1

,1 ? i ? m ? 1 ,

(说明:等差数列 ?bn ? 的首项 b1 任意,公差 d 为正数,同时等比数列 ?cn ? 的首项 c1 为负, 公比 q ? (0,1) ,这样构造的数列 ?an ? 都满足题意.)

所以数列 ?ri ? 单调递增,满足题意.

1 2

i?2

1 1 ] ? [?1 ? ( )i ?1 ] ? ( )i ? 2 ? 0 , 2 2
……………16 分

附加题答案
21. A、解:因为 CD 与 ? O 相切于 D ,所以 ?CDA ? ?DBA , …………2 分 又因为 AB 为 ? O 的直径,所以 ?ADB ? 90? . ? D, B 所 A 以 ?EDA ? ?DBA , 所 以 又 DE ? AB , 所 以 ?E D ?A ?EDA ? ?CDA . …………4 分 又 ?ACD ? ?AED ? 90? , AD ? AD ,所以 ?ACD ? ?AED . ………… 6 分 AE 2 ? DE 2 ? 5 , DE AE DE 15 ? ? AD ? . 又 ,所以 BD ? …………10 分 BD AD AE 4 B、由题意,矩阵 M 的特征多项式 f (? ) ? (? ? a)((? ? 1) , 因矩阵 M 有一个特征值为 2, f (2) ? 0 ,所以 a ? 2 . …………4 分 ? x ? ? 2 0? ? x ? ? x? ? ? x? ? 2 x 所以 M ? ? ? ? , ? ? ? ,即 ? ? ? ? ? y ? ? 2 1 ? ? y ? ? y?? ? y? ? 2 x ? y
2 2 2 2 代 入 方 程 x ? y ? 1 , 得 (2 x) ? (2 x ? y) ? 1 , 即 曲 线 C 的 方 程 为

所以 AE ? AC ? 4 ,所以 AD ?

8x2 ? 4 xy ? y 2 ? 1. ………10 分 C、解:点 A 的直角坐标为 (2, ?2) , …………2 分 2 2 圆 E 的直角坐标方程为 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 8 , …………6 分
则点 A 到圆心 E 的距离 d ? 所以点 A 在圆 E 外. D、解:因

(2 ? 2) 2 ? (?2 ? 2) 2 ? 4 ? r ? 2 2 ,
…………10 分

( 1 ? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2c ? 1 ? 2d )2 ? 4(1 ? 2a ?1 ? 2b ?1 ? 2c ?1 ? 2d ) ,………6 分
又 a ? b ? c ? d ? 1 ,所以 ( 1 ? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2c ? 1 ? 2d )2 ? 24 , 即 1 ? 2a ? 1 ? 2b ? 1 ? 2c ? 1 ? 2d ? 2 6 . …………10 分 22.解:分别以 AB, AC, AA1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0, 0, 0) , B(2, 0, 0) , C (0, 4,0) , A 1 (0,0, 2) , B 1 (2,0, 2) , C1 (0, 4, 2) …………2 分 ( 1 )当 ? ? 1 时, D 为 BC 的中点,所以 D(1, 2, 0) , DB1 ? (1, ?2,2) , AC 1 1 ? (0, 4,0) ,
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???? ?

???? ?

???? ? ?? 的法向量为 D A1D ? (1,2, ?2) ,设平面 AC n 1 1 1 ? ( x, y, z ) ???? ? ?? ?? ???? ? ?? ? 4y ? 0 DB1 ? n1 4 4 ? ?? ? 则? ,所以取 n1 ? (2,0,1) ,又 cos ? DB1 , n1 ?? ???? ? 5, | DB1 || n1 | 3 5 15 ? x ? 2z ? 0 4 5 . …………6 分 所以直线 DB1 与平面 AC 1 1 D 所成角的正弦值为 15 ???? ? ??? ? ???? ???? ? 2 4? 2 4? , , 0) ,? AC AD ?( , , ?2) , (2)? BD ? ? DC ,? D ( 1 1 ? (0,4,0) , 1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 4y ? 0 ? ?? ? 设平面 AC , 1 1 D 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则 ? 2 x ? 2z ? 0 ? ?? ?1 ?? 所以取 n1 ? (? ?1,0,1) . …………8 分 ?? ?? ? ?? ? 1 又平面 A1B1C1 的一个法向量为 n2 ? (0,0,1) ,由题意得 | cos ? n1 , n2 ?|? , 2 1 1 所以 , ? ,解得 ? ? 3 ? 1 或 ? ? ? 3 ? 1 (不合题意,舍去) (? ? 1)2 ? 1 2
所以实数 ? 的值为 3 ? 1 . 23.解: (1) …………10 分 ……………4 分

T3 T T 5 T 7 ? 2 , 4 ? , 5 ? 3, 6 ? . S3 S 4 2 S5 S6 2 T n ?1 (2)猜想 n ? . ……………5 分 Sn 2
下用数学归纳法证明之. 证明:①当 n ? 3 时,由(1)知猜想成立;

? 3 )时 , 猜 想 成 立 , 即 ② 假 设 当 n ? k( k
Tk ? k ?1 3 Ck . ……6 分 2 3 则当 n ? k ? 1 时,易知 Sk ?1 ? Ck ?1 ,

Tk k ? 1 3 , 而 Sk ? Ck ,所以得 ? Sk 2

而当集合 M 从 ?1, 2,3,?, k? 变为 ?1, 2,3,?, k , k ? 1? 时, Tk ?1 在 Tk 的基础上增加了 1 个 2,2 个 3,3 个 4,…,和 (k ? 1) 个 k , 所 ……………8 分 以

Tk ?1 ? Tk ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? k k ?
k ?1 3 3 2 Ck ? 2[C3 ? C32 ? C4 ? ??? ? Ck2 ] 2 (k ? 1) ? 1 ? S k ?1 , 2 ?

?

k ?1 3 Ck ? 2 C2 ? C ? C ? ??? ? Ck 2 k ?2 3 k ?2 3 ? Ck ?1 ? 2Ck3?1 ? Ck ?1 2 2

1

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Tk ?1 (k ? 1) ? 1 . ? Sk ?1 2 所以当 n ? k ? 1 时,猜想也成立.
即 综上所述,猜想成立. ……………10 分 (说明:未用数学归纳法证明,直接求出 Tn 来证明的,同样给分.)

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