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江西省新余市第一中学2014-2015学年高一(下)期末数学复习试卷 Word版含解析



江西省新余市第一中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学复习 试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共计 50 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卷的相应位置) 1.已知 cosθ?tanθ<0,那么角 θ 是( ) A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一

或第四象限角

2.已知平面向量 =(3,1) , =(x,﹣3) ,且 ⊥ ,则 x=( A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1

) D. 3

3.已知| |=5,| |=4, 与 夹角为 120°,则向量 在向量 上的射影为( A. B. ﹣ C. 2

) D . ﹣2

4.阅读以下程序:

若输出 y=16,则输入的 x 值应该是( A. 3 或﹣3 B. ﹣5 或 5

) C. 5 或﹣3 D . ﹣5

5.已知 x、y 之间的一组数据如下: x 0 1 2 3 y 8 2 6 4 则线性回归方程 y=a+bx 所表示的直线必经过点( ) A. (0,0) B. (2,6) C. (1.5,5) 6.下列函数中最小正周期为 π 且为偶函数的是( A. y=|sinx| B. y=tan ) C. y=﹣sin2x

D. (1,5)

D. y=cos4x

7.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“ A. B. C.

”发生的概率为( D.



8. A. C.

的单调递减区间为(

) B. D.

9.如图,在△ ABC 中,AD⊥AB,

=

,|

|=1,则

?

的值为(



A.

B. 3

C.

D.

10.若关于 x 的方程 解,则实数 m 的取值范围是( A. D. B. ) C.

在区间

上有两个不同的

二、 填空题 (本大题共 5 小题, 每题 5 分, 共计 25 分. 请将正确答案填在答题卡相应位置. ) 11.某校高一有 1500 个学生,高二有 1200 个学生,高三有 1000 个学生.现按年级分层抽 样,调查学生的视力情况,若高一抽取了 75 人,则全校共抽取了 人. 12.cos36°cos24°﹣sin36°sin24°= .

13.已知向量 =(2,l) , ? =10,| + |=5

,则| |=



14.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x=



15.给出下列 4 个命题: ①保持函数 象的解析式为 ②在区间 . ③在平面直角坐标系中,取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 , 作为基底,则四 个向量
3

图象的纵坐标不变,将横坐标扩大为原来的 2 倍,得到的图 . 上,x0 是 y=tanx 的图象与 y=cosx 的图象的交点的横坐标,则


3





的坐标表示的点共圆. .

④方程 cos x﹣sin x=1 的解集为 其中正确的命题的序号为 .

三、解答题: (本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.设 =(﹣1,1 ) , =( 4,3 ) , =( 5,﹣2 ) , (1)求 与 的夹角的余弦值; (2)求 λ1 和 λ2,使 =λ1 +λ2 .

17.已知向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) , (Ⅰ)当 ∥ 时,求 tan2x 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)=( + )? 在[﹣ ,0]上的值域.

1)若将一粒骰子连续抛掷两次(骰子是有六个面的正方体且每个面分别标有 1,2,3,4, 2 2 5, 6) 所得到点数分别记为 a、 b. 记“关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0 有实根”为事件 C. 求 事件 C 发生的概率; 2 2 (2)若 a、b 均为从区间[0,6]内任取的一个实数,记事件 D 表示“a +b ≤16”,求事件 D 发 生的概率. 19.将一张足够大的纸,第一次对折,第二次对折,第三次对折,…,如此不断地对折 27 次,这时纸的厚度将会超过世界第一高峰的高度,请完成下面的程序框图,并用算法语句描 述算法. (假设 10 层纸的厚度为 0.001m) 提示: (设用变量 n 来表示纸的层数,用 h 来表示纸的厚度)

20.某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如图,据此解答如下问题:

(1)求分数在[50,60)的频率及全班的人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份在[90,100]之间的概率. 21.已知定义在 R 上的函数 最大值与最小值的差为 4, 相邻两个最低点之间距离为 π, 且函数 有的对称中心都在 y=f(x)图象的对称轴上. (1)求 f(x)的表达式; (2)若 (3)设 恒成立,求实数 m 的取值范围. , ,求 , 的值; ,若 , 图象所

江西省新余市第一中学 2014-2015 学年高一(下)期末数学复习 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共计 50 分.在每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卷的相应位置) 1.已知 cosθ?tanθ<0,那么角 θ 是( ) A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第三或第四象限角 D. 第一或第四象限角 考点:象限角、轴线角. 专题:三角函数的图像与性质. 分析:根据 cosθ?tanθ<0 和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来判断角 θ 所在的象限. 解答: 解:∵cosθ?tanθ=sinθ<0, ∴角 θ 是第三或第四象限角, 故选 C. 点评:本题的考点是三角函数值的符号判断, 本题化简后能比较直接得出答案, 一般此类题 需要利用题中三角函数的不等式和“一全正、二正弦、三正切、四余弦”对角的终边位置进行 判断.

2.已知平面向量 =(3,1) , =(x,﹣3) ,且 ⊥ ,则 x=( A. ﹣3 B. ﹣1 C. 1

) D. 3

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题:常规题型. 分析:根据题意, ⊥ ? =0,将向量坐标代入可得关系式,解可得答案. =0,

解答: 解:根据题意, ⊥ ?

将向量坐标代入可得,3x+1×(﹣3)=0, 解可得,x=1, 故选:C. 点评:本题向量数量积的应用,判断向量垂直,简单题,仔细计算即可.

3.已知| |=5,| |=4, 与 夹角为 120°,则向量 在向量 上的射影为( A. B. ﹣ C. 2

) D . ﹣2

考点:平面向量数量积的运算.

专题:平面向量及应用. 分析:利用平面向量的数量积公式得到向量 在向量 上的射影为: .

解答: 解:由已知,向量 在向量 上的射影为:

=|

cos120°=4×(﹣ )=﹣2;

故选 D. 点评:本题考查了平没戏了的数量积的几何意义;关键是熟练运用公式. 4.阅读以下程序:

若输出 y=16,则输入的 x 值应该是( A. 3 或﹣3 B. ﹣5 或 5

) C. 5 或﹣3 D . ﹣5

考点:选择结构. 专题:函数的性质及应用;算法和程序框图. 分析:由已知中伪代码可得程序的功能是计算分段函数:y=(x+1) ,x<0:y=(x﹣1) , x≥0,根据 y=16,代入分别计算求出 x 的值即可. 解答: 解:本程序含义为: 输入 x, 2 如果 x<0,执行:y=(x+1) , 2 否则,执行:y=(x﹣1) , 因为输出 y=16, 2 由 y=(x+1) ,x<0,可得,x=﹣5, 2 由 y=(x﹣1) ,x≥0,可得,x=5, 故 x=5 或﹣5, 故选:B 点评:本题选择选择结构的程序语句,根据两个执行语句分别计算.属于基础题. 5.已知 x、y 之间的一组数据如下: x 0 1 2 3 y 8 2 6 4 则线性回归方程 y=a+bx 所表示的直线必经过点( ) A. (0,0) B. (2,6) C. (1.5,5)
2 2

D. (1,5)

考点:线性回归方程. 专题:规律型. 分析:先利用数据平均值的公式求出 x,y 的平均值,以平均值为横、纵坐标的点在回归直 线上. 解答: 解:∵ , =5

∴线性回归方程 y=a+bx 所表示的直线必经过点(1.5,5) 故选 C 点评:解决线性回归直线的方程,应该利用最小二乘法推得的公式求出直线的截距和斜率, 注意由公式判断出回归直线一定过样本中心点. 6.下列函数中最小正周期为 π 且为偶函数的是( A. y=|sinx| B. y=tan ) C. y=﹣sin2x D. y=cos4x

考点:函数的周期性;三角函数的周期性及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:逐一分析四个答案中给定函数的周期性和奇偶性,可得结论. 解答: 解:A 中,函数 y=|sinx|最小正周期为 π 且为偶函数,满足条件; B 中,函数 y=tan 最小正周期为 2π 且为奇函数,不满足条件; C 中,函数 y=﹣sin2x 最小正周期为 π 且为奇函数,不满足条件; D 中,函数 y=cos4x 最小正周期为 π 且为偶函数,不满足条件; 故选:A 点评:本题考查的知识点是正弦(余弦)函数的奇偶性,三角函数的周期性及其求法,熟练 掌握正弦型函数及余弦型函数的性质是解答本题的关键. 7.在区间[0,π]上随机取一个数 x,则事件“ A. B. C. ”发生的概率为( D. )

考点:几何概型;三角函数的化简求值. 专题:计算题. 分析:先根据题中所给的不等式解出 x 的范围,再结合几何概率模型的公式 P= 解答: 解:根据 可得 可求得 , 得: 即 , . 求出答案即可.

由几何概率模型的公式 P=

. 故选 C. 点评:解决此类问题的关键是熟练掌握关于三角不等式的求解与几何概率模型的公式.

8. A. C.

的单调递减区间为(

) B. D.

考点:正弦函数的单调性. 专题:计算题. 分析:由题意可得,即求 sin(2x﹣ 得 x 的范围即为所求. 解答: 解:∵ (﹣2x+ )大于 0 时的减区间, )小于 0 时的增区间. 由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ,可得 kπ﹣ ≤x< =ln[﹣sin( (2x﹣ )],由题意可得,即求 sin )小于 0 时的增区间,由 2kπ﹣ ≤2x﹣ ≤2kπ,可

即 sin(2x﹣ kπ+ ,k∈z.

故选 D. 点评:本题考查诱导公式,正弦函数的单调性和值域,判断 求 sin(2x﹣ 增区间,是解题的关键. )小于 0 时的

9.如图,在△ ABC 中,AD⊥AB,

=

,|

|=1,则

?

的值为(



A.

B. 3

C.

D.

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用.

分析:运用向量的数量积的定义,结合条件可得 ? =|

?

=|

|cos∠DAC,再由诱导公式可得

|sin∠BAC,结合三角形 ABC 中的正弦定理和直角三角形的锐角三角函数的定

义,计算即可得到所求值 解答: 解: ∵| ∴ |=1, ? =| |cos∠CAD, +∠DAC, ? = ,

∵∠BAC=

∴cos∠CAD=sin∠BAC, ? =| |sin∠BAC, ,变形得|AC|sin∠BAC=|BC|sinB, = ,

在△ ABC 中,由正弦定理得 所以 ? =| |sin∠BAC=|BC|sinB=|BC|?

故选 A. 点评:本题考查向量的数量积的定义和性质, 同时考查诱导公式和正弦定理的运用, 属于中 档题

10.若关于 x 的方程 解,则实数 m 的取值范围是( A. D. B. ) C.

在区间

上有两个不同的

考点:正弦函数的定义域和值域. 专题:计算题. 分析:这种题目首先要分离参数,把 m 表示出来,整理关于三角函数的解析式,根据余弦 曲线的特点看出若有两个交点时,m 应该在的区间. 解答: 解:∵关于 x 的方程 个不同的解, ∴m=2 = ﹣sin2x+1﹣ 在区间 上有两

cos2x﹣sin2x+1 )+1 上有两个不同的解,

=2cos(2x+ ∵在区间

只要写出函数的值域,当 x∈ 2x+ ∈[ ]

时,

根据余弦函数的图象可以知道函数在这个区间上,若是直线 y=m 与曲线有两个交点, 则m , 故选 A. 点评:本题考查函数的定义域和值域,本题解题的关键是分离参数,把 m 看成是函数,求 函数的值域即可. 二、 填空题 (本大题共 5 小题, 每题 5 分, 共计 25 分. 请将正确答案填在答题卡相应位置. ) 11.某校高一有 1500 个学生,高二有 1200 个学生,高三有 1000 个学生.现按年级分层抽 样,调查学生的视力情况,若高一抽取了 75 人,则全校共抽取了 185 人. 考点:分层抽样方法. 专题:概率与统计. 分析:根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论. 解答: 解:∵高一抽取了 75 人,∴抽取比例为 1500:75=20:1, ∴高二抽取的人数为 高三抽取的人数为 =60, =50,

则全校抽取人数为 75+60+50=185, 故答案为:185. 点评:本题主要考查分层抽样的应用, 根据条件建立比例关系是解决本题的关键. 比较基础.

12.cos36°cos24°﹣sin36°sin24°=



考点:两角和与差的余弦函数. 专题:计算题. 分析:由题设中 cos36°cos24°﹣sin36°sin24°的形式知,应该先用余弦的和角公式化简,再利 用特殊角求值 解答: 解:由题意 cos36°cos24°﹣sin36°sin24°=cos60°= 故答案为 点评:本题考查两角和与差的余弦函数,解答本题的关键是熟记两角和与差的余弦函数公 式,及特殊角的三角函数值,本题是基本公式考查题.

13.已知向量 =(2,l) , ? =10,| + |=5

,则| |=

5



考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.

专题:计算题. 分析:设 =(x,y) ,则有 2x+y=10,且 的值,即可求得|b|的值. 解答: 解:∵已知向量 =(2,l) , 且 解得 x=3,y=4,故 =5 =10,|
2

=5

,解方程求得 x、y

|=5

,设 =(x,y) ,则有 2x+y=10,

, (2+x)

=(3,4) ,∴|b|=5,

故答案为 5. 点评:本题主要考查两个向量的数量积公式,两个向量坐标形式的运算,属于基础题. 14.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出值 x= 12 .

考点:程序框图. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:执行程序框图,写出每次循环得到的 x 的值,当 x=12 时满足条件 x>8,输出 x 的值 为 12. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=1 满足条件 x 是奇数,x=2 不满足条件 x 是奇数,x=4,不满足条件 x>8,x=5 满足条件 x 是奇数,x=6, 不满足条件 x 是奇数,x=8,不满足条件 x>8,x=9 满足条件 x 是奇数,x=10, 不满足条件 x 是奇数,x=12,满足条件 x>8,输出 x 的值为 12. 故答案为:12.

点评:本题主要考察了程序框图和算法, 正确写出每次循环得到的 x 的值是解题的关键, 属 于基础题. 15.给出下列 4 个命题: ①保持函数 象的解析式为 ②在区间 . ③在平面直角坐标系中,取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 , 作为基底,则四 个向量
3

图象的纵坐标不变,将横坐标扩大为原来的 2 倍,得到的图 . 上,x0 是 y=tanx 的图象与 y=cosx 的图象的交点的横坐标,则


3





的坐标表示的点共圆. .

④方程 cos x﹣sin x=1 的解集为 其中正确的命题的序号为 ②③ .

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;平面向量的正交分解及坐标表示. 专题:综合题. 分析: 利用函数的伸缩变换判定①的正误; 利用公式的单调性,判定②的正误; 找出四个向量到原点的距离相等即可判定③的正误; 利用特殊值即可判定④的正误; 解答: 解:①保持函数 倍,得到的图象的解析式为 ②在区间 图象的纵坐标不变,将横坐标扩大为原来的 2 .所以①不正确;

上,x0 是 y=tanx 的图象与 y=cosx 的图象的交点的横坐标,则 ,因为 x= 时,tanx>cosx;x= 时,tanx<cosx,所以②正确;

③在平面直角坐标系中,取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 , 作为基底,则四 个向量 , , , 的坐标表示的点,到原点的距离相等,

所以四点共圆.正确; ④方程 cos x﹣sin x=1 的解集为 ④不正确; 故答案为:②③.
3 3

.显然 x=0 是方程的解,所以

点评:本题是基础题,考查三角函数的伸缩变换,函数图象的交点问题,三角函数方程的解 的知识,四点共圆知识,考查计算能力,判定推理能力. 三、解答题: (本大题共 6 小题.共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.设 =(﹣1,1 ) , =( 4,3 ) , =( 5,﹣2 ) , (1)求 与 的夹角的余弦值; (2)求 λ1 和 λ2,使 =λ1 +λ2 . 考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析: (1)利用平面向量的数量积公式求夹角; (2)利用坐标表示 =λ1 +λ2 ,利用线段相等得到关于两个参数的方程组解之. 解答: 解: (1)∵ =(﹣1,1) , =(4,3) =﹣1×4+1×3=﹣1,| |= ∴cos< , >= = ,| |=5,…(4 分) =﹣ .…(6 分)

(2)∵ =λ1 +λ2 . ∴(5,﹣2)=λ1(﹣1,1)+λ2(4,3)=(﹣λ1+4λ2,λ1+3λ2) …(8 分) ∴ ….…(10 分)

解得:

…(12 分)

点评:本题考查了利用平面向量的数量积的坐标表示求向量的夹角以及利用向量相等其参 数;属于经常考查题型.

17.已知向量 =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) , (Ⅰ)当 ∥ 时,求 tan2x 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)=( + )? 在[﹣ ,0]上的值域.

考点:平面向量数量积的运算;数列的极限;平行向量与共线向量.

专题:计算题;平面向量及应用. 分析: (I)根据向量平行的条件,建立关于 x 的等式解出 sinx=﹣ cosx,从而算出 tanx= ﹣ ,再利用二倍角的正切公式,即可算出 tan2x 的值; (II)根据向量数量积的坐标公式与三角恒等变换公式,化简得 f(x)=( + )? = (2x+ ) ,再根据 x∈[﹣ sin

,0]利用正弦函数的图象与性质加以计算,可得所求函数值域.

解答: 解: (Ⅰ)∵ ∥ , =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) , ∴sinx?(﹣1)﹣ ?cosx=0, 即 sinx+ cosx=0, 得 sinx=﹣ cosx, 由此可得 tanx= ∴tan2x= =﹣ , = ;

(Ⅱ)∵ =(sinx, ) , =(cosx,﹣1) , ∴ ? =sinxcosx﹣ , ( f x) = ( + ) ? = ? + ∵x∈[﹣ ∴sin(2x+ f(x)= =cos x+(﹣1) =cos x+1, =sinxcosx﹣ +cos x+1= sin2x+ (1+cos2x) ﹣ = ∈[﹣ , ],
2 2 2 2

sin (2x+

) ,

,0],可得 2x+ )∈[﹣ sin(2x+

,1], )∈[﹣ , ]. ,0]上的值域为[﹣ , ].

即函数 f(x)=( + )? 在[﹣

点评:本题着重考查了向量平行的条件、同角三角函数的基本关系与二倍角的三角函数公 式、两角和与差的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识,属于中档题. 1)若将一粒骰子连续抛掷两次(骰子是有六个面的正方体且每个面分别标有 1,2,3,4, 2 2 5, 6) 所得到点数分别记为 a、 b. 记“关于 x 的一元二次方程 x +2ax+b =0 有实根”为事件 C. 求 事件 C 发生的概率; 2 2 (2)若 a、b 均为从区间[0,6]内任取的一个实数,记事件 D 表示“a +b ≤16”,求事件 D 发 生的概率.

考点:几何概型;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (1)是古典概型.只要明确事件个数,利用公式解答; (2)是几何概型,只要求出区域的面积,利用面积比求概率. 解答: 解: (1)基本事件总数共 6×6=36 个…(2 分) 事件 C 共包含 21 个基本事件,分别为: (1,1) (2,1) (2,2, ) (3,1) (3,2) (3,3) (4, 1) (4,2) (4,3) (4,4) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

事件 C 发生的概率 P(C)=

…(6 分)

(2)在如图所示平面直角坐标系下, (a,b)的所有可能结果是边长为 6 的正方形区域,面 积为 36, 而事件 D“a +b ≤16”的可能结果由图中阴影部分表示,面积为 由几何概型的概率公式得: P(D)= …(12 分)
2 2



点评:本题考查了古典概型和几何概型概率的求法; 关键是首先明确概率模型, 然后根据根 式解答. 19.将一张足够大的纸,第一次对折,第二次对折,第三次对折,…,如此不断地对折 27 次,这时纸的厚度将会超过世界第一高峰的高度,请完成下面的程序框图,并用算法语句描 述算法. (假设 10 层纸的厚度为 0.001m) 提示: (设用变量 n 来表示纸的层数,用 h 来表示纸的厚度)

考点:设计程序框图解决实际问题. 专题:图表型. 分析:由已知可得程序的功能是:计算对折 27 次,这时纸的厚度的高度,由于每对折一次 厚度变为原来的 2 倍,故①填 n=2n.根据 i 的初值为 1,故循环需要执行 27 次,又因为循 环变量的初值为 1,故循环变量的值为小于等于 27(最大为 27)时,循环继续执行,当循 环变量的值大于 27 时,结束循环,输出累加值 h= ×0.001,据此可得①②③处满足条件

的语句; 再判定循环的结构, 然后选择对应的循环语句, 对照流程图进行逐句写成语句即可. 解答: 解: 填空: ①n=2n;②i≤27;③h= ×0.001.

用变量 n 来表示纸的层数,用 h 来表示纸的厚度,用算法语句描述算法如下: n=1 For i From 1 to 27 n=2n End for h= ×0.001

Print h End. 点评:本题主要考查了设计程序框图解决实际问题. 程序填空也是重要的考试题型, 这种题 考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.

20.某校高三某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏, 但可见部分如图,据此解答如下问题:

(1)求分数在[50,60)的频率及全班的人数; (2)求分数在[80,90)之间的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高; (3)若要从分数在[80,100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况,在抽取的试卷中, 求至少有一份在[90,100]之间的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;茎叶图;等可能事件的 概率. 专题:计算题. 分析: (1)根据分数在[50,60)的频率为 0.008×10,和由茎叶图知分数在[50,60)之 间的频数为 2,得到全班人数. (2)分数在[80,90)之间的频数为 25﹣2﹣7﹣10﹣2,做出频率,根据小长方形的高是频 率比组距,得到结果. (3)本题是一个等可能事件的概率,将分数编号列举出在[80,100]之间的试卷中任取两份 的基本事件,至少有一份在[90,100]之间的基本的事件有 9 个,得到概率. 解答: 解: (1)分数在[50,60)的频率为 0.008×10=0.08, 由茎叶图知:分数在[50,60)之间的频数为 2,所以全班人数为 25. (2)分数在[80,90)之间的频数为 25﹣2﹣7﹣10﹣2=4, 频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为 4÷25÷10=0.016 (3)由题意知本题是一个等可能事件的概率, 将[80,90)之间的 4 个分数编号为 1,2,3,4[90,100)之间的 2 个分数编号为 5,6, 在[80,100]之间的试卷中任取两份的基本事件为: (1,2 ) , (1,3) , (1,4) , (1,5 ) (1, 6 ) , (2,3 ) , (2,4 ) , (2,5 ) , (2,6) , (3,4 ) (3,5 ) , (3,6) (4,5 ) , (4,6) , (5,6 ) 其中至少有一份在[90,100]之间的基本的事件有 9 个, 所以至少有一份在[90,100]之间的概率为 点评:本题考查频率分步直方图和等可能事件的概率, 本题解题的关键是在列举时要做到不 重不漏,本题是一个基础题.

21.已知定义在 R 上的函数 最大值与最小值的差为 4, 相邻两个最低点之间距离为 π, 且函数 有的对称中心都在 y=f(x)图象的对称轴上. (1)求 f(x)的表达式; (2)若 (3)设 恒成立,求实数 m 的取值范围. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数恒成立问题. 专题: 综合题. 分析: (1)由已知中已知定义在 R 上的函数 , ,求 , 的值; ,若

, 图象所

,最大值与最小值的差为 4, 相邻两个最低点之间距离为 π,我们易计算出 A 值,及最小正周期,进而求出 ω 值,再由 函数 图象所有的对称中心都在 y=f(x)图象的对称轴上,求出 φ 值,即

可得到 f(x)的表达式; (2)由 ,进而求出 求出答案. (3)由 , , , 恒 ,结合(1)中所求的函数解析式,可得 的值,然后根据两角差的余弦公式,即可

成立,要以转化为函数恒成立问题,构造函数,求出其最值,即可得到答案. 解答: 解: (1)依题意可知:A=2,T=π, 即相差 所以 或 故 (2)因为 因为 增, ,又 . ,即 ,y=cosx 在 , 单调递 (舍) , , 与 f(x)相差 ,

所以



所以

,于是

(3)因为



, ,

于是 4cos x+mcosx+1≥0,得 因为 ,

2

对于

恒成立,

故 m≥﹣4. 点评: 本题考查的知识点是由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,函数恒成立问 题,其中根据已知条件,计算出函数 的解析式是解答本题的关键.



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