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山东省威海市乳山市2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科)



山东省威海市乳山市 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (文 科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 a>b,则下列不等式中成立的是() A.a >b
2 2

B.

C.

D.

a >b

3

3

2. (5 分)不等式:①a +2>2a;②a +b ≥2(a﹣b﹣1) ;③a +b ≥ab 恒成立的个数是() A.0 B. 1 C. 2 D.3 3. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 sn,若 a2=2,a3=4,则 s4=() A.15 B.14 C. 8 D.7 4. (5 分)已知△ ABC 的三个内角之比为 A:B:C=3:2:1,那么对应的三边之比 a:b:c 等于() A.3:2:1 B. :2:1 C. : :1 D.2: :1 5. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=() A. B. 7 C. 6 D. 6. (5 分)等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于() A.160 B.180 C.200 D.220

2

2

2

2

2

7. (5 分)在△ ABC 中,若 A.直角三角形 C. 等边三角形 8. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集是 A.14 B.﹣14
2

,则△ ABC 的形状是() B. 等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 ,则 a﹣b 的值为() C.10 D.﹣10

9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则下列判断中正确的是() A.a=30,b=25,A=150°,有一解 B. a=7,b=14,A=30°,有两解 C. a=6,b=9,A=45°,有两解 D.b=9,c=10,B=60°,无解

10. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边, 的面积是 A.2 ,则边 c 等于() B. C. D.

,b=1,△ ABC

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题分,共 25 分. 11. (5 分)已知各项均为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a1?a20 的最大值是.

12. (5 分)已知变量 x,y 满足

,则 x+y 的最大值是.

13. (5 分)函数 y=x+

(x>2)的最小值是.

14. (5 分)一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2KB,然后每 2 分钟自身复制一 10 次,复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机分钟,该病毒占据内存 64MB(1MB=2 KB) . 15. (5 分)在高为 200 米的气球(Q)上测得山下一塔(AB)的塔顶(A)和塔底(B)的俯 角分别是 30°,60°,则塔高为米.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (12 分)在△ ABC 中,cos2A=2cos A﹣2cosA. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=3,b=2c,求 S△ ABC. 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 4acosB﹣bcosC=ccosB (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 ac=12,b=3 ,求 a,c. 18. (12 分)已知数列{an}为等比数列且公比 q>2,a2=9,6a1+a3=45.
2

(Ⅰ)求 an; (Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列 的前 n 项和.

19. (12 分)解关于 x 的不等式:mx ﹣(m+3)x﹣1≥0(m≤0) . 20. (13 分)已知定义域为[0,1]的函数 f(x)是增函数,且 f(1)=1.若对于任意 x∈[0,1], 总有 4f (x)﹣4(2﹣a)f(x)+5﹣4a≥0,求实数 a 的取值范围. 21. (14 分)数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2﹣an=1+(﹣1) (n∈N+) . (Ⅰ)令 bn=a2n,求证{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
n 2

2

山东省威海市乳山市 2014-2015 学年高二上学期期中数学 试卷(文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知 a>b,则下列不等式中成立的是() A.a >b
2 2

B.

C.

D.a >b

3

3

考点: 专题: 分析: 解答:

不等关系与不等式. 不等式的解法及应用. 利用不等式的性质分别进行判断即可. 2 2 解:A.虽然﹣1>﹣2,但是(﹣1) >(﹣2) 不成立; 不成立; 不成立;
2 2

B.虽然 3>﹣2,但是 C.虽然 2>﹣3,但是
3 3

D.∵a>b,∴a ﹣b =(a﹣b) (a +ab+b )>0(∵ 立. 综上可知:只有 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查了不等式的性质和通过举反例否定一个命题的方法,属于基础题.

)成

2. (5 分)不等式:①a +2>2a;②a +b ≥2(a﹣b﹣1) ;③a +b ≥ab 恒成立的个数是()

2

2

2

2

2

A.0

B. 1

C. 2

D.3

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 利用“作差法”和实数的基本性质即可得出. 2 2 2 解答: 解:①a +2﹣2a=(a﹣1) +1≥1,∴a +2>2a,正确; 2 2 2 2 2 2 ②∵a +b ﹣2(a﹣b﹣1)=(a﹣1) +(b+1) ≥0,∴a +b ≥2(a﹣b﹣1) ,正确; ③a +b ﹣ab=
2 2

+

≥0,当且仅当 a=b=0 时取等号,正确.

综上可得:①②③都恒成立. 故选:D. 点评: 本题考查了“作差法”和实数的基本性质、不等式的性质,属于基础题. 3. (5 分)等比数列{an}的前 n 项和为 sn,若 a2=2,a3=4,则 s4=() A.15 B.14 C. 8 D.7 考点: 等比数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由已知等比数列{an}的前 n 项和为 sn,若 a2=2,a3=4,得到公比为 2,首项为 1,利 用等比数列求和公式解之. 解答: 解:因为等比数列{an}的前 n 项和为 sn,若 a2=2,a3=4, 所以等比数列的公比为 q= =2,

首项为

=1,

所以 s4=

=15;

故选 A. 点评: 本题考查了等比数列的公比、首项、通项公式以及前 n 项和的求法,属于基础题. 4. (5 分)已知△ ABC 的三个内角之比为 A:B:C=3:2:1,那么对应的三边之比 a:b:c 等于() A.3:2:1 B. :2:1 C. : :1 D.2: :1 考点: 正弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 由 A+B+C=π,可得 C= ,从而得到三内角的值.再由正弦定理可得三边之比 a:b:

c=sinA:sinB:sinC,运算求得结果.

解答: 解:∵已知△ ABC 的三个内角之比为 A:B:C=3:2: 1,∴有 B=2C,A=3C,再 由 A+B+C=π,可得 C= 故三内角分别为 A= , 、B= 、C= . : =2: :1,

再由正弦定理可得三边之比 a:b:c=sinA:sinB:sinC=1: 故选:D.

点评: 本题主要考查正弦定理的应用,三角形的内角和公式,求得 A= 是解题的关键,属于中档题.

、B=

、C=



5. (5 分)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6=() A. B. 7 C. 6 D. 考点: 等比数列. 分析: 由数列{an}是等比数列,则有 a1a2a3=5?a2 =5;a7a8a9=10?a8 =10. 3 解答: 解:a1a2a3=5?a2 =5; 3 a7a8a9=10?a8 =10, 2 a5 =a2a8, ∴ ,∴ ,
3 3

故选 A. 点评: 本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着 重考查了转化与化归的数学思想. 6. (5 分)等差数列中,a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于() A.160 B.180 C.200 D.220 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先根据 a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78 可得到 a1+a20=18,再由等差数列的前 20 项和 的式子可得到答案. 解答: 解:∵a1+a2+a3=﹣24,a18+a19+a20=78 ∴a1+a20+a2+a19+a3+a18=54=3(a1+a20) ∴a1+a20=18 ∴ =180

故选 B 点评: 本题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用.考查等差数列的性质.

7. (5 分)在△ ABC 中,若 A.直角三角形 C. 等边三角形 考点: 正弦定理. 专题: 三角函数的求值;解三角形.

,则△ ABC 的形状是() B. 等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形

分析: 首先利用正弦定理把已知条件中的等式转化为

,进一步利用诱

导公式,通过讨论求的结果. 解答: 解:利用正弦定理: 所以: 转化为:

由于 0<A、B、C<π 所以:A=B=C 三角形为等边三角形. 故选:C 点评: 本题考查的知识要点:正弦定理的应用,三角函数诱导公式的应用.
2

8. (5 分)不等式 ax +bx+2>0 的解集是 A.14 B.﹣14 C.10

,则 a﹣b 的值为() D.﹣10

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由不等式 ax +bx+2>0 的解集是
2 2

,可得﹣ , 是一元二次方程

ax +bx+2=0 的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出. 解答: 解:不等式 ax +bx+2>0 的解集是 ax +bx+2=0 的两个实数根, ∴ = , = ,
2 2

,可得﹣ , 是一元二次方程

解得 a=﹣12,b=﹣2, ∴a﹣b=﹣12﹣(﹣2)=﹣10, 故选:D 点评: 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系,考查了 计算能力,属于基础题.

9. (5 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,则下列判断中正确的是() A.a=30,b=25,A=150°,有一解 B. a=7,b=14,A=30°,有两解 C. a=6,b=9,A=45°,有两解 D.b=9,c=10,B=60°,无解 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 各项利用正弦定理求出 sinB 或 sinC 的值,根据三角形的边角关系,以及正弦函数的 性质即可做出判断. 解答: 解:对于选项 A,∵a=30,b=25,A=150°,∴由正弦定理 sinB= = . 得:

∵b<a,∴B<A,∴B 只有一解,故选项 A 正确. 对于选项 B,∵a=7,b=14,A=30°,由正弦定理 故角 B=90°,则三角形只有一解,故选项 B 错误. 对于选项 C,∵a=6,b=9,A=45°,由正弦定理 ∵a<b,∴45°=A<B,则 B 只有一解,故选项 C 错误. 对于选项 D,∵b=9,c=10,B=60°,由正弦定理 得:sinB= = > , 得:sinB= = > , 得:sinB= =1,

∵b<c,∴B<C,则角 C 有一解,故选项 D 错误. 故选:A. 点评: 此题考查了三角形形状的判断,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于基础题. 10. (5 分)在△ ABC 中,a,b,c 分别是 A,B,C 的对边, 的面积是 A.2 ,则边 c 等于() B. C. D. ,b=1,△ ABC

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 根据 sin(2A+ 解答: 解:∵sin(2A+ ∴2A+ = ,可得 A= , ,解之得 c=2 )= 解出 A= ,利用三角形的面积公式算出 c=2.

)= ,A∈(0,π)

∵b=1,△ ABC 的面积为 ∴S= bcsinA= ,即 ×

故选:A. 点评: 本题着重考查了特殊角的三角函数值、三角形的面积公式、正余弦定理解三角形等 知识,属于中档题. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题分,共 25 分. 11. (5 分)已知各项均为正数的等差数列{an}的前 20 项和为 100,那么 a1?a20 的最大值是 25. 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列的前 20 项之和做出第 1 项和第 20 项之和,再根据基本不等式得到最 大值. 解答: 解:∵等差数列{an}的前 20 项和为 100, ∴a1+a2010 ∴a1?a20≤ =25,当且仅当 a1=a20 时等号成立,

∴a1?a20 的最大值为 25. 故答案为:25 点评: 本题考查等差数列的性质和前 n 项和,以及基本不等式的应用,本题解题的关键是 利用等差数列的性质做出第三项和第十八项之和,本题是一个基础题.

12. (5 分)已知变量 x,y 满足

,则 x+y 的最大值是 4.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出不等式组表示的平面区域.设 z=x+y,则 y=﹣x+z,此方程可看作是斜率为﹣1 的直线系方程,z 为直线的纵截距,只需找到直线 y=﹣x+z 经过此区域,且纵截距最大的位置 即可得到 x+y 的最大值.

解答: 解:作出直线 x=1,y=2,x﹣y=0,从而得到不等式组

表示的平面区域,

如右图所示的阴影部分. 设 z=x+y,则 y=﹣x+z,此方程可表示一系列斜率为﹣1 的平行直线, 当直线经过点 A 时,直线在 y 轴上的截距 z 最大,此时,由 2) , 从而 zmax=x+y=2+2=4,即 x+y 的最大值是 4. 故答案为:4. ,得 ,即 A(2,

点评: 本题主要考查了数形结合思想及转化与化归思想的运用,考查了利用不等式组表示 的平面区域解决最值问题.求解此类问题的一般步骤是: 1.正确画出不等式组表示的平面区域;2.根据目标函数的几何意义进行处理. 13. (5 分)函数 y=x+ (x>2)的最小值是 .

考点: 专题: 分析: 解答:

基本不等式. 不等式的解法及应用. 变形利用基本不等式的性质即可得出. 解:∵x>2,∴x﹣2>0. =(x﹣2)+ +2 +2=2 +2,当且仅当 x= +2

∴函数 y=x+ 时取等号. ∴函数 y=x+

(x>2)的最小值是



故答案为: . 点评: 本题考查了基本不等式的性质,属于基础题. 14. (5 分)一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2KB,然后每 2 分钟自身复制一 次, 复制后所占内存是原来的 2 倍, 那么开机 30 分钟, 该病毒占据内存 64MB (1MB=2
10

KB) .

考点: 有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. x+1 分析: 先由条件找到其规律:第 x 个 2 分钟后为:2 ;再与 64MB 相结合即可得到答案. 解答: 解:因为在刚开机时它占据的内存 2KB,然后每 3 分钟自身复制一次,复制后所占 的内存是原来的 2 倍 2 所以,一个 2 分钟后为 2×2=2 ; 3 两个 2 分钟后为:2×2×2=2 ; 3 4 三个 2 分钟后为;2 ×2=2 ; … 所以,第 x 个 2 分钟后为:2 . 10 16 又因为 64×2 =2 . 令 x+1=16?x=15. 所以:15×2=30. 故答案为:30. 点评: 本题考查数列的综合应用,关键是由题意找出规律,解题时要认真审题,仔细解答.
x+1

15. (5 分)在高为 200 米的气球(Q)上测得山下一塔(AB)的塔顶(A)和塔底(B)的俯 角分别是 30°,60°,则塔高为 米.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 应用题;解三角形. 分析: 先画出简图,然后从塔顶向山引一条垂线 AM,根据根据直角三角形的正切关系得到 QD=DB×tan60°,QM=AM×tan30°,进而可得到 QM 的长,再相减即可. 解答: 解:依题意,从塔顶向山引一条垂线 AM 则 QD=DB×tan60°,QM=AM×tan30°,DB=AM ∴QM= 所以塔高 AB=200﹣ 故答案为: . = .

点评: 本题主要考查构造三角形求解实际问题.属基础题. 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 2 16. (12 分)在△ ABC 中,cos2A=2cos A﹣2cosA. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a=3,b=2c,求 S△ ABC. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

分析: (Ⅰ)已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简,整理求出 cosA 的值,即可确定出 角 A 的大小; (Ⅱ)利用余弦定理表示出 cosA,把 a,b=2c,cosA 的值代入,求出 c 的值,再利用三角形 面积公式即可求出三角形 ABC 面积. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 2cos A﹣1=2cos A﹣2cosA, 整理得:cosA= , ∵0<A<π,∴A= (Ⅱ)∵b=2c, ∴cosA= 解得:c= ,b=2 = , × × = . = , ;

则 S△ ABC= bcsinA= ×2

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 17. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c 且满足 4acosB﹣bcosC=ccosB (Ⅰ)求 cosB 的值; (Ⅱ)若 ac=12,b=3 ,求 a,c. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ) 已知等式利用正弦定理化简, 再利用两角和与差的正弦函数公式变形, 由 sinA 不为 0 求出 cosB 的值即可; (Ⅱ)利用余弦定理列出关系式,把 ac,b,cosB 的值代入求出 a +c =24,与 ac=12 联立即可 求出 a 与 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ)已知等式 4acosB﹣bcosC=ccosB,利用正弦定理化简得:4sinAcosB﹣ sinBcosC=sinCcosB, 整理得:4sinAcosB=sin(B+C) ,即 4sinAcosB=sinA, ∵sinA≠0,∴cosB= ; (Ⅱ)∵ac=12,b=3 , 2 2 2 2 2 ∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 a +c =24, 2 2 联立 a +c =24 与 ac=12, 解得:a=c=2 . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握定理是解 本题的关键. 18. (12 分)已知数列{an}为等比数列且公比 q>2,a2=9,6a1+a3=45. (Ⅰ)求 an;
2 2

(Ⅱ)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列

的前 n 项和.

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)利用等比数列的通项公式即可得出. (II)利用对数的运算性质、“裂项求和”即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)由题意 解得 q=3 或 q=2(舍去) . ∴ (Ⅱ)∵ ∴ ,即 , , , 数列 的前 n 项和为 . . ,

点评: 本题考查了等比数列的通项公式性质、“裂项求和”、对数的运算性质,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题. 19. (12 分)解关于 x 的不等式:mx ﹣(m+3)x﹣1≥0(m≤0) . 考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 对二次项系数 m 与 0 的关系讨论,以及判别式与 0 的关系讨论,解不等式. 解答: 解;若 m=0,则有 3x+1≤0,解得
2 2 2

; (1 分)

若 m<0,∵△=(m+3) +4m=m +10m+9; (2 分) (ⅰ)△ <0,即﹣9<m<﹣1,解集为空集; (5 分) (ⅱ)△ =0,即 m=﹣9,解集为 ; (6 分)

m=﹣1,解集为{x|x=﹣1}; (7 分) (ⅲ)△ >0,即﹣1<m<0 或 m<﹣9,不等式的解为 (10 分) 总之,有 m=0,解集为 ;

﹣1<m<0 或 m<﹣9,解集为



m=﹣1,解集为{x|x=﹣1}m=﹣9,解集为



﹣9<m<﹣1,解集为空集; (12 分) 点评: 本题考查了不等式的解法,关键是讨论 m,做到不重不漏;考查了分类讨论的思想. 20. (13 分)已知定义域为[0,1]的函数 f(x)是增函数,且 f(1)=1.若对于任意 x∈[0,1], 总有 4f (x)﹣4(2﹣a)f(x)+5﹣4a≥0,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: f(x)在[0,1]上是增函数,故 1﹣f(x)≥0,讨论当 f(x)=1 时,当 f(x)<1 时, 运用参数分离,求出右边的最小值,结合基本不等式即可得到. 解答: 解:f(x)在[0,1]上是增函数, 则 f(x)≤f(1)=1,故 1﹣f(x)≥0, 当 f(x)=1 时,不等式化为 0?a+1≥0,显然 a∈R; 当 f(x)<1 时,不等式化为 对于 x∈[0,1]恒成立.
2



≥1 取等号,

当且仅当

∴ymin=1(10 分)从而 a≤1, 综上所述,a∈(﹣∞,1]. 点评: 本题考查函数的单调性及运用,考查不等式恒成立问题转化为求最值问题,考查运 算能力,属于中档题和易错题. 21. (14 分)数列{an}中,a1=1,a2=2,且 an+2﹣an=1+(﹣1) (n∈N+) . (Ⅰ)令 bn=a2n,求证{bn}是等差数列,并求{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式; (Ⅲ)求数列{an}的前 n 项和 Sn. 考点: 数列的求和;数列递推式. 分析: (I)利用等差数列的通项公式即可得出; (II)对 n 分类讨论利用等差数列的前 n 项和公式即可得出. 解答: 解: (Ⅰ)n≥2 时 bn﹣bn﹣1=a2n﹣a2n﹣2=2, ∴{bn}是等差数列, 且 b1=a2=2, ∴bn=2n. (Ⅱ)∵ 当 n 为奇数时,an+2﹣an=0(n∈N+) ,即 an+2=an ∵a1=1,∴
n

故当 n 为奇数时,an=1; 当 n 为偶数时, ,

∴an 的通项公式为



(Ⅲ)当 n 为偶数时,



当 n 为奇数时,







点评: 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式性质、等差数列的前 n 项和公式,考查 了分类讨论的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.



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