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重庆市万州区纯阳中学2015届高三上学期9月质检数学(理)试卷



重庆市万州区纯阳中学 2015 届高三上学期 9 月质检数学 试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的 1.已知角 α 的终边上有一点 P(﹣5,12) ,则 cosα 的值是( ) A. B. C.﹣ D.﹣

考点:任意角的三角函数的定义. 专题:三角函数的求值. 分析:通过已知条件求出 OP,直接利用三角函数的定义,求出 cosα 的值即可. 解答: 解:∵角 α 的终边上有一点 P(﹣5,12) , ∴OP= =13, .

由三角函数的定义,可知,cosα=

故选:C. 点评:本题是基础题,考查任意角的三角函数的定义的应用,考查计算能力. 2.函数 f(x)=2 A.1
x﹣1

﹣x 的零点的个数为( B.2

2

) C .3

D.4

考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:由 f(x)=2 ﹣x =0 得 2 =x ,即 2 =2x ,设函数 y=2 和 y=2x ,分别作出两个 函数对应的图象,利用数形结合即可得到两个图象的交点. 解答: 解:由 f(x)=2 ﹣x =0 得 2 =x , x 2 即 2 =2x , x 2 设函数 y=2 和 y=2x ,分别作出两个函数对应的图象如图: 由图象可知,两个图象的交点个数为 3 个, 即函数 f(x)=2 故选:C.
x﹣1 x﹣1 2 x﹣1 2 x﹣1 2 x﹣1 2 x 2 x 2

﹣x 的零点的个数为 3 个.

2

点评:本题主要考查函数零点个数的判断,利用数形结合是解决本题的关键.

3.已知 sin( A.

﹣x)= ,则 sin2x 的值为( B. C.

) D.±

考点:二倍角的正弦. 专题:三角函数的求值. 分析:利用 sin2x= 解答: 解:sin2x= = = 即可得出. = = .

故选:A. 点评:本题考查了诱导公式、倍角公式,属于基础题.

4.函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在的大致区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)

) D. (3,4)

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题.

分析:函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值 符号相反. 解答: 解:∵f(1)=ln(1+1)﹣2=ln2﹣2<0, 而 f(2)=ln3﹣1>lne﹣1=0, ∴函数 f(x)=ln(x+1)﹣ 的零点所在区间是 (1,2) , 故选 B. 点评: 本题考查函数的零点的判定定理, 连续函数在某个区间存在零点的条件是函数在区间 端点处的函数值异号. 5.函数 f(x)=ln(x +1)的图象大致是(
2

)

A.

B.

C.

D.

考点:函数的图象. 专题:作图题. 分析:由题意可判函数为偶函数,可排除 C,再由 f(0)=0,可排除 B、D,进而可得答案. 解答: 解:由题意可知函数的定义域为 R, 2 ∵f(﹣x)=ln(x +1)=f(x) ,∴函数为偶函数, 故可排除 C,由 f(0)=ln1=0,可排除 B、D 故选 A 点评:本题考查函数的图象,涉及函数的奇偶性和函数值,属基础题. 6.已知直线 y=x+1 与曲线 y=ln(x+a)相切,则 a 的值为( ) A.1 B.2 C.﹣1 D.﹣2 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题. 分析:由 y=ln(x+a) ,得 ,由直线 y=x﹣1 与曲线 y=ln(x+a)相切,得 ,

所以切点是(1﹣a,0) ,由此能求出实数 a. 解答: 解:∵y=ln(x+a) ,∴ ∵直线 y=x﹣1 与曲线 y=ln(x+a)相切, ∴切线斜率是 1,则 y'=1, ∴ , ,

x=1﹣a,y=ln1=0, 所以切点是(1﹣a,0) , ∵切点(1﹣a,0)在切线 y=x+1 上, 所以 0=1﹣a+1,解得 a=2.

故选 B. 点评:本题考查利用导数求曲线的切线方程的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解 答. 7. A.1 (e +2x)dx 等于( B.e﹣1
x

) C .e D.e +1
2

考点:定积分. 专题:计算题. 分析:求出被积函数的原函数,将积分的上限代入减去将下限代入求出差. 解答: 解: (e +2x)dx=(e +x )|0 =e+1﹣1=e
x x 2 1

故选 C. 点评:本题考查利用微积分基本定理求定积分值. 8.设 p:0<x<1,q: (x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0,若 p 是 q 的充分而不必要条件,则实数 a 的取值范围是( ) A.[﹣1,0] B. (﹣1,0) C. (﹣∞,0]∪[1+∞, ) D. (﹣∞,﹣1)∪ (0+∞, ) 考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:解一元二次不等式,化简命题 q,根据 p 是 q 的充分不必要条件得到 a≤0,且 2+a≥1, 求出实数 a 的取值范围. 解答: 解:命题 q: : (x﹣a)[x﹣(a+2)]≤0,即 a≤x≤2+a. 由题意得,命题 p 成立时,命题 q 一定成立,但当命题 q 成立时,命题 p 不一定成立. ∴a≤0,且 2+a≥1,解得﹣1≤a≤0, 故选 A. 点评:本题考查绝对值不等式的解法,充分条件、必要条件的定义,判断 a≤0,且 2+a≥1 是 解题的难点.
4 3 2

9.已知 f(x)= x ﹣ x +2x +a 在 x=x1 处取得极值 2,则 A.π+ C. π+ B.π D. + 或 π+

dt=(

)

考点:利用导数研究函数的极值. 专题:导数的综合应用. 分析:求函数的导数,确定函数取得极值的 x,建立条件关系求出 a,利用积分的几何意义 即可求出结论. 3 2 2 2 解答: 解:函数的导数为 f′(x)=x ﹣4x +4x=x(x ﹣4x+4)=x(x﹣2) ,

则当 f′(x)>0,得 x>0, 由 f′(x)<0 得 x<0,即当 x=0 时函数取得极小值,也是唯一的极值, ∵f(x)在 x=x1 处取得极值 2, ∴x1=0,即 f(0)=2, 则 f(0)=a=2, 则 设 y= dt=
2 2



,则 t +y =4, (0<t<1) ,

则积分的几何意义为阴影部分的面积, 则 A(1, ) ,则∠xOA= ,∠yOA= , = ,

则阴影部分的面积 S= 故选:C

点评:本题主要考查导数的应用,以及积分的几何意义,根据导数求出函数的极值,确定 a 的值是解决本题的关键. 10.已知函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0)的对称中心为 M(x0,y0) ,记函数 f(x)的导 3 2 函数为 f′(x) ,f′(x)的导函数为 f″(x) ,则有 f″(x0)=0.若函数 f(x)=x ﹣3x ,则可 求出 f( A.4029 )+f( )+f( B.﹣4029 )+…+f( C.8058 )+f( )的值为( D.﹣8058 )
3 2

考点:导数的运算;函数恒成立问题. 专题:导数的概念及应用. 分析:由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点(1,﹣2)对称,即 f(x)+f(2﹣x) =﹣4,而要求的式子可用倒序相加法求解,共有 2014 对﹣4 和一个 f(1)=﹣2,可得答案. 3 2 解答: 解:①由题意 f(x)=x ﹣3x , 2 则 f′(x)=3x ﹣6x, f″(x)=6x﹣6, 由 f″(x0)=0 得 6x0﹣6=1 解得 x0=1,而 f(1)=﹣2, 3 2 故函数 f(x)=x ﹣3x 关于点(1,﹣2)对称,

∴f(x)+f(2﹣x)=﹣4, ∴f( )+f( )+f( )+…+f( )+f( )=﹣4×2014+(﹣2)=﹣8058.

故选:D. 点评:本题主要考查导数的基本运算,利用条件求出函数的对称中心是解决本题的关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应的位置上. 11.sin +cos +tan(﹣ )=0.

考点:运用诱导公式化简求值. 专题:计算题. 分析:利用三角函数的诱导公式 sin =cos 果. 解答: 解:sin +cos +tan(﹣ )=sin +cos ﹣tan = + ﹣1=0 ,tan(﹣ )=﹣tan(6π+ =sin(4π+ )=﹣tan )=sin ,cos =cos(8π+ )

,然后根据特殊角的三角函数值求出结

故答案为 0. 点评: 本题考查了三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握诱导公式可以提 高做题效率,属于基础题.

12.若直线 ax+by﹣1=0(a>0,b>0)过曲线 y=1+sinπx(0<x<2)的对称中心,则 + 的 最小值为 3+2 .

考点:基本不等式. 专题:计算题. 分析: 由正弦函数的性质可求 y=1+sinπx (0<x<2) 的对称中心, 代入直线方程可求 a+b=1, 而 + =( ) (a+b) ,展开利用基本不等式可求最小值

解答: 解,由正弦函数的性质可知,曲线 y=1+sinπx(0<x<2)的对称中心为(1,1) ∴a+b=1 则 + =( 最小值为 故答案为:3+2 点评:本题主要考查了正弦函数的性质及基本不等式在最值求解中的应用,属于基础试题 13.若 f(x)是 R 上的增函数,且 f(﹣1)=﹣4,f(2)=2,设 P={x|f(x+t)<2},Q={x|f (x)<﹣4},若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,则实数 t 的取值范围是(3,+∞) . ) (a+b)=3+ =3+2

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;元素与集合关系的判断. 分析: 本题考查的充要条件的定义, 根据题设条件及“谁大谁必要, 谁小谁充分”, 可得 P?M, 然后再根据集合包含运算关系,判断出参数满足的不等式,即可求出实数 t 的取值范围. 解答: 解:又∵f(x)是 R 上的增函数,且 f(﹣1)=﹣4,f(2)=2, ∴Q={x|f(x)<﹣4}={x|x<﹣1}, P={x|f(x+t)<2}={x|x+t<2}={x|x<2﹣t}, ∵“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件 ∴P?M, 则 2﹣t<﹣1 则 t>3 故答案为: (3,+∞) 点评:本题考查充要条件,解题的关键是理解充分不必要条件的含义,将其正确转化为两个 集合之间的包含关系,本题考查了转化的思想及推理判断的能力 14.由两曲线 y=sinx(x∈[0,2π])和 y=cosx(x∈[0,2π])所围成的封闭图形的面积为 2 考点:定积分在求面积中的应用. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:求出图象的交点坐标,根据定积分的几何意义,所求面积为 S= (cosx﹣sinx) .

dx+

(sinx﹣cosx)dx+

(cosx﹣sinx)dx,再用定积分计算公式加以运算即可得

到本题答案. 解答: 解:由 y=sinx(x∈[0,2π])和 y=cosx(x∈[0,2π]) ,可得交点坐标为( ( , ) , , ) ,

∴由两曲线 y=sinx(x∈[0,2π])和 y=cosx(x∈[0,2π])所围成的封闭图形的面积为 S= (cosx﹣sinx)dx+ (sinx﹣cosx)dx+ (cosx﹣sinx)dx

=(sinx+cosx)

﹣(sinx+cosx)

+(sinx+cosx)

=2



故答案为:2 . 点评: 本题求曲线围成的曲边图形的面积, 着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等 知识,属于基础题.

15.已知符号函数 sgn=

则函数 f(x)=sgn(ln x)﹣ln x 的零点个数为 2.

2

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:计算题;函数的性质及应用. 2 2 分析:将函数 f(x)=sgn(ln x)﹣ln x 的零点可化为方程 sgn(ln x)﹣ln x=0 的根,从而 求出方程的根,得到零点个数. 2 2 解答: 解:函数 f(x)=sgn(lnx)﹣ln x 的零点可化为方程 sgn(lnx)﹣ln x=0 的根;

又∵sgn=











解得,x=e 或 x=1. 故答案为:2. 点评: 本题考查了函数的零点与方程的根之间的关系, 同时考查了转化的思想, 属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.已知 cosβ= ,sin(α+β)= ,α∈(0, (Ⅰ)求 cos2β 的值; (Ⅱ)求 sinα 的值. 考点:二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数. 专题:三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)由二倍角的余弦公式,cos2β=2cos β﹣1,根据已知即可求值. (Ⅱ)sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ,只要求出 sinβ,cos(α+β) 的值,根据已知代入即可求出其值. 解答: 解: (Ⅰ)由条件:cosβ= ,β∈( (Ⅱ)因为 cosβ= ,β∈( 因为,α∈(0, ) ,β∈( ,π)得 cos2β=2cos β﹣1=﹣ ; , , ) ,
2 2

) ,β∈(

,π) .

,π) ,所以 sinβ= ,π ) ,所以 α+β?( ,

又 sin(α+β)= ,所以 cos(α+β)=﹣

所以 sinα=sin[(α+β)﹣β]=sin(α+β)cosβ﹣cos(α+β)sinβ= . 点评:本题主要考察了二倍角的余弦公式、两角和与差的正弦公式等的综合运用,属于中档 题. 17. 设函数 f (x) =x +ax ﹣9x﹣1 (a<0) . 若曲线 y=f (x) 的斜率最小的切线与直线 12x+y=6 平行,求: (Ⅰ)a 的值;
3 2

(Ⅱ)函数 f(x)的单调区间. 考点:导数的运算;利用导数研究函数的单调性;两条直线平行的判定. 专题:计算题. 分析: (1)先求出导函数的最小值,最小值与直线 12x+y=6 的斜率相等建立等式关系,求 出 a 的值即可; (2)先求导数 fˊ(x) ,在函数的定义域内解不等式 fˊ(x)>0 和 fˊ(x)<0,解得的区间 就是所求. 3 2 解答: 解: (Ⅰ)因 f(x)=x +ax ﹣9x﹣1 所以 f'(x)=3x +2ax﹣9= 即当 x= 时,f'(x)取得最小值 .
2



因斜率最小的切线与 12x+y=6 平行,即该切线的斜率为﹣12, 所以 .
3 2 2

解得 a=±3,由题设 a<0,所以 a=﹣3. (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 a=﹣3, 因此 f (x) =x ﹣3x ﹣9x﹣1, f' (x) =3x ﹣6x﹣9=3 (x﹣3) (x+1) , 令 f'(x)=0,解得:x1=﹣1,x2=3. 当 x∈(﹣∞,﹣1)时,f'(x)>0,故 f(x)在(﹣∞,﹣1)上为增函数; 当 x∈(﹣1,3)时,f'(x)<0,故 f(x)在(﹣1,3)上为减函数; 当 x∈(3,+∞)时,f'(x)>0,故 f(x)在(3,+∞)上为增函数. 由此可见,函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(3,+∞) ; 单调递减区间为(﹣1,3) . 点评:本小题主要考查导数的几何意义,及运用导数求函数的单调区间、一元二次不等式的 解法等基础知识,属于基础题. 18.某市某社区拟选拔一批综合素质较强的群众,参加社区的义务服务工作.假定符合参加 选拔条件的每个选手还需要进行四轮考核, 每轮设有一个问题, 能正确回答问题者进入下一 轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为 , , , 且各轮问题能否正确回答互不影响. (1)求该选手进入第四轮才被淘率的概率; (2)该选手在选拔过程中回答过的问题的总个数记为 X,求随机变量 X 的分布列与数学期 望. (注:本小题结果可用分数表示) 考点:离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题:概率与统计. 分析: (1) 记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 A( 2, 3, 4) , 则 i i=1, , 率. , ,

,由此能求出该选手进入第四轮才被淘率的概

(2)X 的可能值为 1、2、3、4,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 X 的分布列与 数学期望. 解答: 解: (1)记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai(i=1,2,3,4) , 则 , , , .

∴该选手进入第四轮才被淘率的概率: = (2)X 的可能值为 1、2、3、4, , , = , .

. ∴X 的分布列为: X 1 P

2

3

4





点评:本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的期望的求法,是中档题,在历年 2015 届高考中都是必考题型. (a∈R)

19.已知函数 f(x)=alnx+

(1)当 a=1 时,求函数 f(x)在[1,+∞)上的最小值; (2)若 f(x)存在单调递减区间,求 a 的取值范围. 考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求出 f(x)的导函数 f′(x) ,由导函数 f′(x)>0,得出 f(x)的单调性; (2)若 f(x)存在单调递减区间,则不等式 f′(x)<0 有正数根,对 a 分 a=0、a<0、a> 0 进行讨论,转化成一次函数或二次函数,写出等价条件,求出 a 的范围. 解答: 解: (1)当 a=1 时, ,定义域为(0,+∞)





∴f(x)在[1,+∞)上是增函数,fmin(x)=f(1)=1 (2) =
2

∵f(x)存在单调递减区间∴f′(x)<0 有正数解,即 ax +2(a﹣1)x+a<0 有 x>0 的解, ①当 a=0 时,明显成立 ②当 a<0 时,y=ax +2(a﹣1)x+a 为开口向下的抛物线,ax +2(a﹣1)x+a<0 总有 x>0 的解 2 2 ③当 a>0 时,y=ax +2(a﹣1)x+a 为开口向上的抛物线,即 ax +2(a﹣1)x+a=0 有正根, 因为 x1x2=1>0,所以方程 ax +2(a﹣1)x+a=0 有正根? 综上得 .
2 2 2

,解得



点评: 本题考查利用导数求单调区间, 由单调性求参数范围, 运用等价转化、 分类讨论思想, 属于中档题. 20.已知函数 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,曲线 y=f(x)

在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; (Ⅲ)设 g(x)=(x +x)f′(x) ,其中 f′(x)为 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0,g ﹣2 (x)<1+e . 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)先求出 f′(x)= ,x∈(0,+∞) ,由 y=f(x)在(1,f(1) )处
2

的切线与 x 轴平行,得 f′(1)=0,从而求出 k=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,令 h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈

(0,+∞) ,求出 h(x)的导数,从而得 f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减; (Ⅲ)因 g(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,
﹣2

+∞) ,得 1﹣x﹣xlnx≤1+e ,设 m(x)=e ﹣(x+1) ,得 m(x)>m(0)=0,进而 1﹣x ﹣xlnx≤1+e <
﹣2

x

(1+e ) ,问题得以证明. ,x∈(0,+∞) ,

﹣2

解答: 解: (Ⅰ)∵f′(x)=

且 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行,

∴f′(1)=0, ∴k=1; (Ⅱ)由(Ⅰ)得:f′(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,

令 h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞) , 当 x∈(0,1)时,h(x)>0,当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0, 又 e >0, ∴x∈(0,1)时,f′(x)>0, x∈(1,+∞)时,f′x)<0, ∴f(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减; 2 证明: (Ⅲ)∵g(x)=(x +x)f′(x) , ∴g(x)= (1﹣x﹣xlnx) ,x∈(0,+∞) ,
﹣2

x

∴?x>0,g(x)<1+e ?1﹣x﹣xlnx<
﹣2

(1+e ) ,

﹣2

由(Ⅱ)h(x)=1﹣x﹣xlnx,x∈(0,+∞) , ∴h′(x)=﹣(lnx﹣lne ) ,x∈(0,+∞) , ﹣2 ∴x∈(0,e )时,h′(x)>0,h(x)递增, ﹣2 x∈(e ,+∞)时,h(x)<0,h(x)递减, ﹣2 ﹣2 ∴h(x)max=h(e )=1+e , ﹣2 ∴1﹣x﹣xlnx≤1+e , x 设 m(x)=e ﹣(x+1) , x x 0 ∴m′(x)=e ﹣1=e ﹣e , ∴x∈(0,+∞)时,m′(x)>0,m(x)递增, ∴m(x)>m(0)=0, ∴x∈(0,+∞)时,m(x)>0, 即 >1,
﹣2

∴1﹣x﹣xlnx≤1+e <
﹣2

(1+e ) ,

﹣2

∴?x>0,g(x)<1+e . 点评:本题考查了函数的单调性,函数的最值问题,考查导数的应用,切线的方程,是一道 综合题.

21.已知函数 f(x)=(a+ )lnx+ ﹣x(a>1) (1)讨论函数 f(x)在(0,1)上的单调性; (2)a 当≥3 时,曲线 y=f(x)上总存在相异两点,P(x1,f(x1) ) ,Q(x2,f(x2) )使得 y=f(x)曲线在 P、Q 处的切线互相平行,求证:x1+x2> .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)求函数 f(x)的导数 f′(x) ,根据 f′(x)判定 f(x)在(0,1)上的单调性;

(2)根据题意,当 a≥3 时,切线平行,即导数相等,得 f′(x1)=f′(x2) ,化简关于 a 的目 标函数,证出 成立.

解答: 解: (1)∵函数 f(x)=(a+ )lnx+ ﹣x(a>1) ,定义域为(0+∞) ,

∴f′(x)=



﹣1=

=﹣



令 f′(x)=0,解得 x=a 或 x= ; ∵a>1,∴0< <1, ∴当 0<x< 时,f′(x)<0; 当 <x<1 时,f′(x)>0. ∴f(x)在(0, )上单调递减,在( ,1)上单调递增. (2)由题意得,当 a≥3 时,f′(x1)=f′(x2) , (其中 x1,x2>0 且 x1≠x2) ,





﹣1=



﹣1,



=



即 a+ =



∵x1,x2>0 且 x1≠x2, ∴ 即 , ,

整理得



令 ∴g(a)在[3,+∞)上单调递减,



∴g(a)在[3,+∞)上的最大值为 ∴ .



点评:本题考查了利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的单调性求函数的最值问题, 利用导数求曲线的斜率问题,是难题.



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