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高考文科数学专题复习导数训练题



高考文科数学专题复习导数训练题(文)
一、考点回顾 1.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考 查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义. 2.导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工具,特 别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题 .选择填空题侧重于利用导数确

定函数 的单调性、单调区间和最值问题,解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、不等式、数列的综合应用. 3.应用导数解决实际问题,关键是建立适当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个 极值点,此时函数在这点有极值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最值. 二、经典例题剖析 考点一:求导公式 例1 f / ( x) 是 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f / (?1) ? 3

.

考点二:导数的几何意义 例2. 已知函数 y ? f ( x) 的图象在点 M (1, f (1)) 处的切线方程是 y ? 考点三:导数的几何意义的应用 例3.已知曲线 C : y ? x3 ? 3x 2 ? 2x, 直线 l : y ? kx, 且直线 l 与曲线 C 相切于点 ?x0 , y0 ??x0 ? 0?, 求直 线 l 的方程及切点坐标. 考点四:函数的单调性 例4.设函数 f ( x) ? 2x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a , b 的值及函数 f ( x ) 的单调区间; (2)若对于任意的 x ? ?0,3?, 都有 f ( x ) < c 成立,求 c 的取值范围.
2

1 x ? 2 ,则 f (1) ? f / (1) ? . 2

考点五:函数的最值
2 / / 例5.已知 a 为实数, f ( x) ? ( x ? 4)(x ? a). (1)求导数 f ( x) ;(2)若 f (?1) ? 0, 求 f ( x ) 在区间 ?? 2,2? 上的最值.

考点六:导数的综合性问题 例 6. 设 函 数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 为 奇 函 数 , 其 图 象 在 点 ?1, f (1)? 处 的 切 线 与 直 线
3

x ? 6 y ? 7 ? 0 垂直,导函数 f / ( x) |min ? ?12. (1)求 a, b, c 的值;
(2)求函数 f ( x ) 的单调递增区间,并求函数 f ( x ) 在 ?? 1,3? 上的最大值和最小值.

?1? 3 3 2 例 7. 已知 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在区间 ?0,1? 上是增函数,在区间 ?? ?,0?, ?1,??? 上是减函数, 又 f ?? ? ? . ?2? 2
(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;(Ⅱ)若在区间 [0,m](m ? 0) 上恒有 f ( x) ≤ x 成立,求 m 的取值范围.
2 例 8.设函数 f ( x) ? ? x( x ? a) ( x ? R ),其中 a ? R .(Ⅰ)当 a ? 1 时,求曲线 y ? f ( x) 在点

(2,f (2)) 处的切线方程;(Ⅱ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的极大值和极小值;

(Ⅲ)当 a ? 3 时,证明存在 k ?? ?1 , 0? ,使得不等式 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立. 例 9.已知 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 在 ?? ?,0? 上是增函数, ?0,3? 上是减函数,方程 f ( x) ? 0 有三 个实根,它们分别是 ? ,2, ? . (1)求 b 的值,并求实数 a 的取值范围;(2)求证: ? ? ? ≥ . 三、 方法总结 (一)方法总结 导数是中学限选内容中较为重要的知识,由于其应用的广泛性,为我们解决所学过的有关函数问 题提供了一般性方法,是解决实际问题强有力的工具.导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高 考重点考查的对象.要牢记导数公式,熟练应用导数公式求函数的导数,掌握求导数的方法.应用导 数解决实际问题的关键是要建立恰当的数学模型,了解导数概念的实际背景.应用导数求函数最值及 极值的方法在例题讲解中已经有了比较详细的叙述. (二)高考预测 导数的考查方式以客观题为主,主要考查求导数的基本公式和法则,以及导数的几何意义.也可 以解答题的形式出现,即以导数的几何意义为背景设置成导数与解析几何的综合题.导数的应用是重 点,侧重于利用导数确定函数的单调性和极值、最值、值域问题. 四、强化训练 1.已知曲线 y ? A.1

5 2

1 x2 的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( A ) 2 4
B .2 C.3 D.4

2.函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9, 已知 f ( x ) 在 x ? ?3 时取得极值,则 a ? ( D ) (A)2 3.函数 f ( x ) ? 2 x ?
2

(B)3

(C)4

(D)5

1 3 x 在区间 ?0,6? 上的最大值是( A ) 3
16 B. 3
C. 12 A ) D. a ? D. 9

32 A. 3
3

4.三次函数 y ? ax ? x 在 x ? ?? ?,??? 内是增函数,则 ( A. a ? 0 B. a ? 0 C. a ? 1

5.在函数 y ? x 3 ? 8x 的图象上,其切线的倾斜角小于

? 的点中,坐标为整数的点的个数是( D 4
D.0

1 3



A.3

B.2

C.1

3 2 6.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c, 当 x ? ?1 时,取得极大值7;当 x ? ?1 时,取得极小值.求这

个极小值及 a, b, c 的值. 7.设函数 f ( x) ? x ? bx ? cx( x ? R).已知 g ( x) ? f ( x) ? f ( x) 是奇函数.
3 2 /

(1)求 b, c 的值;(2)求 g ( x) 的单调区间与极值.

8.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的 长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少? 9.已知函数 f ? x ? ? x3 ? 3ax ?1, g ? x ? ? f ? x ? ? ax ? 5 ,其中 f ' ? x ? 是的导函数. (I)对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (II)设 a ? ?m2 ,当实数 m 在什么范围内变化时,函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点. 10.设函数 f ( x) ? tx2 ? 2t 2 x ? t ?1( x ? R,t ? 0) .(I)求 f ( x ) 的最小值 h(t ) ; (II)若 h(t ) ? ?2t ? m 对 t ? (0, 2) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

x3 ? (a ? 1) x 2 ? 4ax ? b(a, b ? R). 11.设函数 f ( x) ? 3
(I)若函数 f ( x) 在 x ? 3 处取得极小值

1 , 求 a , b 的值;(II)求函数 f ( x) 的单调递增区间; 2

(III) 若函数 f ( x) 在 (?1,1) 上有且只有一个极值点,求实数 a 的取值范围. 12.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 满足:对任意 x ? R ,都有 f ( x) ≥ x, 且当 x ? (1,3) 时,有 f ( x) ≤ ( x ? 2) 成立.(I)试求 f ( 2) 的值;(II)若 f (?2) ? 0, 求 f ( x) 的表达式;
2

1 8

(III)在(II)的条件下,若 x ? ?0,??? 时, f ( x) > 13.已知函数 f ( x) ?

m 1 x ? 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 4

a 3 1 x ? (3a ? 2) x 2 ? 6 x, g ( x) ? ?ax 2 ? 4 x ? m(a, m ? R). 3 2

(I)当 a ? 1, x ? ?0,3?时,求 f ( x ) 的最大值和最小值; (II)当 a <2 且 a ? 0 时,无论 a 如何变化,关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) 总有三个不同实根,求 m 的取值 范围.

例题参考答案 例 1 3; 例 2 3; 例 3 y ? ? x, ? ,? ? ; 例 4 (1) a ? ?3, b ? 4, 增区间为 ?? ?,1?, ?2,???; 减区间为 ?1,2? , (2) ?? ?,?1? ? ?9,??? ;例5 (1) f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4, (2) f ( x) max ? f (?1) ?

1 ? 3 3? 4 ? 2 8?

例6 (1) a ? 2, b ? ?12, c ? 0. (2) ? ?,? 2 , 2,?? ; f ( x)max ? f (3) ? 18, f ( x)min ? f ( 2 ) ? ?8 2. ; 例 7 解:(Ⅰ) f ?( x) ? 3ax2 ? 2bx ? c ,由已知 f ?(0) ? f ?(1) ? 0 ,

?

??

?

9 4 50 , f ( x) min ? f ( ) ? ? . ; 2 3 27

?c ? 0, ?c ? 0, ? 即? 解得 ? 3 ?3a ? 2b ? c ? 0, ?b ? ? a. ? 2

? 1 ? 3a 3a 3 ? f ?( x) ? 3ax2 ? 3ax ,? f ? ? ? ? ? ? ,? a ? ?2 ,? f ( x) ? ?2x3 ? 3x2 . ?2? 4 2 2
(Ⅱ)令 f ( x) ≤ x ,即 ?2 x ? 3x ? x ≤ 0 ,? x(2 x ? 1)( x ? 1) ≥ 0 ,? 0 ≤ x ≤
3 2

1 或 x ≥1. 2

又 f ( x) ≤ x 在区间 ? 0,m? 上恒成立,? 0 ? m ≤

1 . 2

例 8 解:(Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? ? x( x ?1)2 ? ? x3 ? 2 x2 ? x ,得 f (2) ? ?2 ,且

f ?( x) ? ?3x2 ? 4x ?1, f ?(2) ? ?5 .
? 2) 处的切线方程是 y ? 2 ? ?5( x ? 2) ,整理得 5x ? y ? 8 ? 0 . 所以,曲线 y ? ? x( x ? 1) 在点 (2,
2

(Ⅱ)解: f ( x) ? ? x( x ? a) ? ? x ? 2ax ? a x , f ?( x) ? ?3x ? 4ax ? a ? ?(3x ? a)( x ? a) .
2 3 2 2 2 2

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

a 或 x ? a. 3

由于 a ? 0 ,以下分两种情况讨论. (1)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x
f ?( x )

a? ? ? ?∞, ? 3? ?

a 3
0

?a ? ? ,a ? ?3 ?

a
0

(a,∞ ? )

?
a 处取得极小值 3

?
4 ?a? f ? ? ? ? a3 ; 27 ?3?

?

因此,函数 f ( x ) 在 x ?

?a? f ? ? ,且 ?3?

函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极大值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 . (2)若 a ? 0 ,当 x 变化时, f ?( x ) 的正负如下表:

x
f ?( x )

? ?∞,a ?
?

a
0

? a? ? a, ? ? 3?

a 3
0

?a ? ? ∞? ? , ?3 ?

?

?

因此,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 f ( a ) ,且 f (a) ? 0 ; 函数 f ( x ) 在 x ?

a 4 3 ?a? ?a? 处取得极大值 f ? ? ,且 f ? ? ? ? a . 3 27 ?3? ?3? a ? 1 ,当 k ???1 , 0? 时, k ? cos x ≤ 1, k 2 ? cos2 x ≤1 . 3

(Ⅲ)证明:由 a ? 3 ,得

由(Ⅱ)知, f ( x ) 在 ? ?∞, 1? 上是减函数,要使 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) , x ? R 只要 k ? cos x ≤ k ? cos x( x ? R)
2 2

即 cos x ? cos x ≤ k ? k ( x ? R)
2 2



设 g ( x) ? cos 2 x ? cos x ? ? cos x ?
2

? ?

1? 1 ? ? ,则函数 g ( x) 在 R 上的最大值为 2 . 2? 4

2

要使①式恒成立,必须 k ? k ≥ 2 ,即 k ≥ 2 或 k ≤ ?1 . 所以,在区间 ? ?1 , 0? 上存在 k ? ?1 ,使得 f (k ? cos x) ≥ f (k 2 ? cos2 x) 对任意的 x ? R 恒成立. 例 9 解:(1)? f ( x) ? 3ax ? 2 x ? b, f ( x) 在 ?? ?,0? 上是增函数,在 ?0,3? 上是减函数,
/ 2

所以当 x ? 0 时, f ( x) 取得极小值,

? f / (0) ? 0,?b ? 0.? f (2) ? 0,?8a ? 4 ? c ? 0.
又方程 f ( x) ? 0 有三 实根,? a ? 0. ? f / ( x) ? 3ax2 ? 2 x ? b ? 0 的两根分别为 x1 ? 0, x 2 ?

2 . 3a

又 f ( x) 在 ?? ?,0? 上是增函数, 在 ?0,3? 上是减函数, ? f / ( x) >0 在 ?? ?,0? 上恒成立,f / ( x) <0 在 ?0,3? 上恒成立. 由二次函数的性质知, a >0 且

2 2 ≥ 3,? 0 < a ≤ . 3a 9

故实数 a 的取值范围为 ? 0, ?. 9

? ?

2? ?

(2) ? ? ,2, ? 是方程 f ( x) ? 0 的三个实根, 则可设 f ( x) ? a( x ? ? )(x ? 2)(x ? ? ) ? ax ? a(2 ? ? ? ? ) x ? a(2? ? 2? ? ?? ) x ? 2a?? .
3 2

又 f ( x) ? ax3 ? x 2 ? bx ? c(a, b, c ? R) 有 a (? ? ? ? 2) ? 1,? ? ? ? ?

1 ? 2, a

2 5 ? 0 < a ≤ ,? ? ? ? ≥ . 2 9
强化训练答案: 6.解: f / ( x) ? 3x 2 ? 2ax ? b . 据题意,-1,3是方程 3x ? 2ax ? b ? 0 的两个根,由韦达定理得
2

2a ? ?1? 3 ? ? ? ? 3 ? b ?? 1 ? 3 ? ? 3 ?

∴ a ? ?3, b ? ?9,? f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 9x ? c ,? f (?1) ? 7,? c ? 2 ∴极小值 f (3) ? 33 ? 3 ? 32 ? 9 ? 3 ? 2 ? ?25 7.解:(1)∵

f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx

,∴

f ? ? x ? ? 3x2 ? 2bx ? c

。从而

g( x) ? f ( x) ? f ?( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? (3x2 ? 2bx ? c) = x3 ? (b ? 3) x2 ? (c ? 2b) x ? c 是一个奇函数,
所以 g(0) ? 0 得 c ? 0 ,由奇函数定义得 b ? 3 ;

? (2)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? 6x ,从而 g ( x) ? 3x ? 6 ,由此可知,
3 2

(??, ? 2) 和 ( 2, ??) 是函数 g ( x) 是单调递增区间; (? 2, 2) 是函数 g ( x) 是单调递减区间;
g ( x) 在 x ? ? 2 时, 取得极大值, 极大值为 4 2 ,g ( x) 在 x ? 2 时, 取得极小值, 极小值为 ? 4 2 。
h? 18 ? 12x ? 4.5 ? 3x(m) 4 3? ? ? 0<x< ? 2?. ?

8.解:设长方体的宽为 x (m),则长为 2 x (m),高为

V ?x ? ? 2 x 2 ?4.5 ? 3x ? ? 9 x 2 ? 6 x 3 m3
故长方体的体积为 从而 V ?( x) ? 18x ? 18x (4.5 ? 3x) ? 18x(1 ? x).
2

? ?

3? ? ?0 ? x ? ? 2? ?

令 V ' ?x? ? 0 ,解得 x ? 0 (舍去)或 x ? 1,因此 x ? 1. 当 0 ? x ? 1 时, V ' ?x? ? 0 ;当

1? x ?

3 2 时, V ' ?x? ? 0 ,

故在 x ? 1处

V ? x ? 取得极大值,并且这个极大值就是 V ? x ? 的最大值。
2 3

从而最大体积 V ? V ' ?x? ? 9 ?1 ? 6 ?1 m ,此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
3

? ?

答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为 3m . 9.解:(Ⅰ)由题意 g ? x ? ? 3x2 ? ax ? 3a ? 5 ,令 ? ? x ? ? ? 3 ? x ? a ? 3x2 ? 5 , ?1 ? a ? 1 对 ?1 ? a ? 1 ,恒有 g ? x ? ? 0 ,即 ? ? a ? ? 0 ∴?

3

? ? ? ?1? ? 0 ? ?? ? ?1? ? 0

即?

?3 x 2 ? x ? 2 ? 0 ?3 x ? x ? 8 ? 0
2

解得 ?

2 ? x ?1 3

故 x ? ? ? ,1? 时,对满足 ?1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ? x ? ? 0 (Ⅱ) f ' ? x ? ? 3x2 ? 3m2 ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x3 ?1 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点 ②当 m ? 0 时,列表:

? 2 ? ? 3 ?

x
f ' ? x? f ? x?

?? ?,? | m |?
?

?m
0
极大
2

?? m , m ?
?

m
0
极小

? m , ?? ?
?

∴ f ( x) |极小 ? f (| m |) ? ?2m | m | ?1< ? 1 , 又∵ f ? x ? 的值域是 R ,且在 m , ?? 上单调递增 ∴当 x ? m 时函数 y ? f ? x ? 的图象与直线 y ? 3 只有一个公共点。 当 x ? m 时,恒有 f ? x ? ? f ? m 由题意得 f ? m ? 3

?

?

?

?
3

?

?

2 即 2m m ? 1 ? 2 m ? 1 ? 3

解得 m ? ? 3 2, 0

?

? ? 0, 2 ?
3

综上, m 的取值范围是 ? 3 2, 3 2 . 10.解:(Ⅰ)

?

?

f ( x) ? t ( x ? t )2 ? t 3 ? t ?1( x ? R,t ? 0) ,

? 当 x ? ?t 时, f ( x) 取最小值 f (?t ) ? ?t 3 ? t ?1,即 h(t ) ? ?t 3 ? t ? 1.
(Ⅱ)令 g (t ) ? h(t ) ? (?2t ? m) ? ?t ? 3t ? 1 ? m ,
3

由 g ?(t ) ? ?3t 2 ? 3 ? 0 得 t ? 1 , t ? ?1 (不合题意,舍去). 当 t 变化时 g ?(t ) , g (t ) 的变化情况如下表:

t
g ?(t ) g (t )

(0, 1)

1

(1, 2)

?
递增

0
极大值

?
递减

1? m

? g (t ) 在 (0, 2) 内有最大值 g (1) ? 1 ? m . h(t ) ? ?2t ? m 在 (0, 2) 内恒成立等价于 g (t ) ? 0 在 (0, 2) 内恒成立,即等价于 1 ? m ? 0 ,
所以 m 的取值范围为 m ? 1 .
/ 2 / 11.解:(I)? f ( x) ? x ? 2(a ? 1) x ? 4a,? f (3) ? 9 ? 6(a ? 1) ? 4a ? 0,? a ?

3 1 ,? f (3) ? ,? b ? ?4. 2 2

(II) ? f / ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 4a ? ( x ? 2a)(x ? 2), 令? f / ( x) ? 0. ? x ? 2a,2 当 a >1 时,由 f / ( x) >0 得 f ( x) 的单调递增区间为 ?? ?,2?, ?2a,??? ; 当 a =1 时, f / ( x) ? ( x ? 2) 2 ≥0,即 f ( x) 的单调递增区间为 ?? ?,??? ; 当 a <1 时,由 f / ( x) >0 得 f ( x) 的单调递增区间为 ?? ?,2a ?, ?2,??? . (III)由题意知 a <1 且 f (?1) f (1) <0,解得 ?
/ /

1 1 1 1 < a < , 即实数 a 的取值范围为 ( ? , ). 2 2 2 2

1 2 8 1 2 (Ⅱ)由 f (?2) ? 0, f (2) ? 2, 得 b ? , c ? 1 ? 4a. 又 f ( x) ≥ x 恒成立,即 ax ? (b ? 1) x ? c ≥0 恒成立, 2 1 1 1 1 1 1 1 ? a >0,且 ? ? ( ? 1) 2 ? 4a(1 ? 4a) ≤ 0, ? (8a ? 1) 2 ≤ 0, ? a ? , b ? , c ? . ? f ( x) ? x 2 ? x ? . 8 2 2 8 2 2 2 1 2 1 m 1 1 2 (III)g ( x) ? x ? ( ? ) x ? > 在 x ? ?0,??? 恒成立, 即 x ? 4(1 ? m) x ? 2 >0 在 x ? ?0,??? 恒成立 8 2 2 2 4
12.(Ⅰ)由条件知 f ( 2) ≥2, f ( 2) ≤ (2 ? 2) ,? f (2) ? 2. ①由 ? <0,解得 1 ?

? ≥0 2 2 2 < m <1 ? ;②{ ? 2(1 ? m) ≤0 ,解出 m ≤ 1 ? 2 2 2 f (0) ? 2 >0

故 m 的取值范围为 ? ? ?,1 ?
/ 2

? ? ?

2? ?. 2 ? ?
/

13.解:(Ⅰ) f ( x) ? ax ? (3a ? 2) x ? 6 ? (ax ? 2)(x ? 3),? a ? 1,? f ( x) ? ( x ? 2)(x ? 3), x ? [0,3]

? x ? ?0,2?, f / ( x) ≥ 0, f ( x) 单调递增; x ? ?2,3?, f / ( x) ≤ 0, f ( x) 单调递减;

? f ( x) max ? f (2) ?

14 9 , f ( x) min 为 f (0) ? 0 和 f (3) ? 的最小者,? f ( x) min ? f (0) ? 0. 3 2
a 3 a x ? ( ? 1) x 2 ? 2 x ? m,? h / ( x) ? ax 2 ? (a ? 2) x ? 2 ? (ax ? 2)( x ? 1) 3 2

(Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x), 则 h( x) ?

因 f ( x) ? g ( x) 总有三个不同实根,即 y ? h( x) 的图象与 x 轴总有三个不同的交点,

2 a 2 6a ? 4 ? m, <1, h( x) 的极大值为 h(1) ? 1 ? ? m, h( x) 的极小值为 h( ) ? a 6 a 3a 2 2 要使 y ? h( x) 的图象与 x 轴总有三个不同的交点,只需 h(1) >0 且 h ( ) <0 在 a <0 时恒成立,易有 a a ? 6a ? 4 ? 6a ? 4 4 1 3 2 3 ) | min ,? ? ( ? ) ? > 0,? m ≤0, m ≥ ( ? 1) | max ,? m ≥ ? 1, 且 m ≤ ( 2 6 3 a 4 4 3a 3a 2 ? ?1 ≤ m ≤0.
① 当 a <0 时, ②当 0< a <2 时, h / ( x) ? ax2 ? (a ? 2) x ? 2 ? (ax ? 2)(x ? 1),

h( x) 的极大值为 h(1) ? 1 ?
2 a

a 2 6a ? 4 ? m, h( x) 的极小值为 h( ) ? ? m, 6 a 3a 2

由题意有 h(1) >0 且 h ( ) <0,此时 m ? ? .



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