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6.1第一节 不等关系与不等式



第六章 不等式、推理与证明 第一节 不等关系与不等式

三年6考

高考指数:★★☆☆☆

考纲 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系 考情 2.了解不等式(组)的实际背景 3.掌握不等式的性质及应用 13年(2考):陕西T10 广东T8 三年 12年(2考):浙江T9 江苏T14 考题 11年(2考):浙江T7 安

徽T19 1.以选择题或填空题的形式考查不等式的性质及其应用 考情 2.常以不等式、不等关系为载体考查充要条件问题,有时 播报 以新型概念(定义)比较两个数的大小,题目难度不大

【知识梳理】
1.两个实数比较大小的法则 a-b>0 a-b=0 a-b<0 设a,b∈R,则a>b?______,a=b ?______,a<b ?______.

2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性 性质内容 b<a a>b?____ a>c a>b,b>c?____ a+c>b+c a>b?_______
a ? b? ac>bc ? ?______ c ? 0?

特别提醒 ? ? ?

可乘性
a ? b? ac<bc ??______ c ? 0?

注意c 的符号

性质

性质内容
a ? b? a+c>b+d ? ?________ c ? d? a ? b ? 0? ac>bd ? ?______ c ? d ? 0?
a ?b a>b>0?_______ (n∈N,n≥1) n a?nb a>b>0?_______ (n∈N,n≥2)
n n

特别提醒

同向可加性 同向同正 可乘性
可乘方性 可开方性

?

?

a,b同 为正数

3.不等式的一些常用性质 (1)倒数性质:
1 < 1; ①a>b,ab>0? ___ a b 1 < 1. ②a<0<b? ___ a b

(2)有关分数的性质: 若a>b>0,m>0,则 ①真分数的性质:
b<b?m b?m ;b> __ __ (b ? m>0) ; a a?m a a?m

②假分数的性质:
a >a ?m a <a ?m __ , __ ? b ? m>0 ?. b b?m b b?m

【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: ①一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不 变; ②一个非零实数越大,则其倒数就越小; ③同向不等式具有可加和可乘性; ④两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母. 其中错误的是( A.①④ ) C.①②③ D.②③④

B.②④

【解析】选C.①错,同乘以一个负数或0时不等号改变; ②错,如-2<2,而 ? < ; ③错,同向不等式具有可加性,但不一定具有可乘性,如 1<2, -3<-2,但-3>-4; ④对.当这个比值中的分母小于零时,分子小于分母,当这个
1 2 1 2

比值中的分母大于零时,分子大于分母.

2.设b<a,d<c,则下列不等式中一定成立的是( A.a-c<b-d C.a+c>b+d B.ac<bd D.a+d>b+c

)

【解析】选C.由同向不等式具有可加性可知C正确.

3.若a>1>b,下列不等式中不一定成立的是( A.a-b>1-b C.a-1>1-b B.a-1>b-1 D.1-a>b-a

)

【解析】选C.由a>1知a-b>1-b,故A正确;由a>b知a-1>b-1,故B 正确;由1>b知1-a>b-a,故D正确,C项错误,如当a=3,b=-3时,不

成立.

4.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(
A.充分而不必要条件

)

B.必要而不充分条件
C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由a>0且b>0可知a+b>0,ab>0,反之,由ab>0,则a,b 同号,又a+b>0知a>0,b>0,故为充分必要条件.

5.(2014·济宁模拟)设a>0且a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1), 则P与Q的大小关系为 .

【解析】由a3-1>0,a2-1>0且a>0可知a>1,又(a3-1)-(a2-1) =a2(a-1)>0,故a3-1>a2-1,所以loga(a3-1)>loga(a2-1),即P>Q. 答案:P>Q

6.已知-2<a<-1,-3<b<-2,则a-b的取值范围是 取值范围是 .

,a2+b2的

【解析】因为-2<a<-1,-3<b<-2,所以2<-b<3, 于是0<a-b<2. 又因为1<a2<4,4<b2<9,所以5<a2+b2<13.

答案:(0,2) (5,13)

考点1

用不等式(组)表示不等关系

【典例1】(1)已知甲、乙两种食物的维生素A,B含量如下表: 甲 维生素A(单位/kg) 维生素B(单位/kg) 600 800 乙 700 400

设用甲、乙两种食物各xkg,ykg配成至多100kg的混合食物,并
使混合食物内至少含有56000单位维生素A和62000单位维生素B,

则x,y应满足的所有不等关系为

.

(2)某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售,每天

可销售100件,现在他采用提高售价,减少进货量的办法增加利
润.已知这种商品的售价每提高1元,销售量就相应减少10件.若

把提价后商品的售价设为x元,用x表示每天的利润不低于300元
的不等关系为 .

【解题视点】(1)利用已知表格数据及题目中的限制条件逐一 写出并化简整理可解. (2)确定单价变化时相应的每天利润,即可列出不等式.

? x ? y ? 100, ?600x ? 700y ? 56 000, ? ? 【规范解答】(1)依题意,有 ?800x ? 400y ? 62 000, ? x ? 0, ? ? x ? y ? 100, ? y ? 0, ?6x ? 7y ? 560, ? ? 整理化简得 ? ?2x ? y ? 155, ? ? x ? 0,y ? 0.
? x ? y ? 100, ?6x ? 7y ? 560, ? 答案: ? ?2x ? y ? 155, ? ? x ? 0,y ? 0

(2)若提价后商品的售价为x元,则销售量减少 x ? 10 ? 10 件,
1

因此,每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元,则“每天的 利润不低于300元”可以表示为不等式(x-8)[100-10(x-10)] ≥300.即x2-28x+190≤0,同时10≤x≤20. 答案:x2-28x+190≤0(10≤x≤20)

【规律方法】用不等式(组)表示不等关系的常见类型及解题策 略 (1)常见类型: ①常量与常量之间的不等关系; ②变量与常量之间的不等关系; ③函数与函数之间的不等关系; ④一组变量之间的不等关系.

(2)解题策略: ①分析题目中有哪些未知量; ②选择其中起关键作用的未知量,设为x,再用x来表示其他未 知量; ③根据题目中的不等关系列出不等式(组). 提醒:在列不等式(组)时要注意变量自身的范围,解题时极易 忽略,从而导致错解.

文字语言与符号语言的转化 将实际问题中的不等关系写成相应的不等式(组)时,应注意关 键性的文字语言与对应数学符号语言之间的正确转换,常见的 转换关系如表: 大于, 高于, 超过 > 小于, 低于, 少于 <

文字 语言 符号 语言

大于等于,至 小于等于,至 少,不低于 多,不超过 ≥ ≤

【变式训练】某厂拟生产甲、乙两种适销产品,甲、乙产品都 需要在A,B两台设备上加工,在A,B设备上加工一件甲产品所 需工时分别为1小时、2小时,加工一件乙产品所需工时分别为 2小时、1小时,A,B两台设备每月有效使用时数分别为400和 500.写出满足上述所有不等关系的不等式. 【解析】设甲、乙两种产品的产量分别为x,y,则由题意可知
? x ? 2y ? 400, ?2x ? y ? 500, ? ? ? x ? 0, x ? N, ? ? y ? 0, y ? N.

【加固训练】 1.将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x,构 成一个钝角三角形,试用不等式(组)表示x应满足的不等关系. 【解析】各边都缩短x后,长度仍然为正数,只要最短边大于零 即可,因此5-x>0.而要构成三角形,还要满足(5-x)+(12-x)>13 -x.当三角形是钝角三角形时,应使最大角是钝角,此时只需最 长边对的角是钝角即可,因此(5-x)2+(12-x)2<(13-x)2,故x应
?5 ? x ? 0, ? 满足的不等关系如下: ? ?? 5 ? x ? ? ?12 ? x ? ? 13 ? x, ? 2 2 2 5 ? x ? 12 ? x ? 13 ? x . ? ? ? ? ? ? ? ?

2.某化工厂制定明年某产品的生产计划,受下面条件的制约: 生产此产品的工人不超过200人,每个工人的年工作时间约为 2 100 h,预计此产品明年的销售量至少为80 000袋,生产每 袋产品需用4 h,生产每袋产品需用原料20 kg,年底库存原料 600 t,明年可补充1 200 t.试根据这些数据预测明年的产量.
?4x ? 200 ? 2 100, 【解析】设明年的产量为x袋,则 ? ? x ? 80 000, ?0.02x ? 600 ? 1 200, ?

解得80 000≤x≤90 000.

预计明年的产量在80 000袋到90 000袋之间.

考点2

比较大小

【典例2】(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的 大小关系是( A.M<N C.M=N ) B.M>N D.不确定
1 loga5, 2

(2)(2014·郑州模拟)已知0<a<1,x=loga 2+loga 3 ,y= z=loga 21 -loga 3,则( A.x>y>z C.z>x>y B.z>y>x D.y>x>z )

【解题视点】(1)将M,N作差、变形、因式分解可解. (2)利用对数运算法则整理,再利用对数函数的单调性可解. 【规范解答】(1)选B.因为M-N=a1a2-a1-a2+1 =a1(a2-1)-(a2-1)=(a1-1)(a2-1), 因为a1,a2∈(0,1),故a1-1<0,a2-1<0,

所以(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N.

(2)选D.因为 x ? log a 2 ? log a 3 ? log a 6,
1 y ? log a 5 ? log a 5, z ? log a 21 ? log a 3 ? log a 7, 2

7> 6> 5, 又0<a<1,

所以 log a 5>log a 6>log a 7, 即y>x>z.

【互动探究】若将本例(1)中,a1,a2∈(0,1)这个条件去掉,又
将如何判断M,N的关系?

【解析】作差,即M-N=(a1-1)(a2-1).
①当a1,a2∈(-≦,1)时,(a1-1)(a2-1)>0,即M>N; ②当a1,a2∈(1,+≦)时,(a1-1)(a2-1)>0,即M>N; ③当a1,a2中一个小于或等于1,另一个大于或等于1时,(a1-1) (a2-1)≤0,即M≤N. 综上,当a1,a2∈(-≦,1)或a1,a2∈(1,+≦)时,M>N,当a1,a2中一 个小于或等于1,另一个大于或等于1时,M≤N.

【规律方法】比较两个数大小的常用方法 (1)作差法:其基本步骤为:作差、变形、判断符号、得出结论, 用作差法比较大小的关键是判断差的正负,常采用配方、因式 分解、分子(分母)有理化等变形方法.

(2)作商法:即判断商与1的关系,得出结论,要特别注意当商与1
的大小确定后必须对商式分子分母的正负做出判断,这是用作

商法比较大小时最容易漏掉的关键步骤.
(3)单调性法:利用有关函数的单调性比较大小.

(4)特值验证法:对于一些题目,有的给出取值范围,可采用特值
验证法比较大小.

【变式训练】已知 ? ? (0, ),且a=cos 2θ ,b=cos θ -sin θ ,
则a与b的大小关系为_________.

? 4

【解析】由于 ? ? (0, ? ), 所以 2? ? (0, ),
4

? 2

故a=cos 2θ >0,且cos θ >sin θ,所以b>0.
2 2 a cos 2 ? cos ? ? sin ? ? 而 ? ? ? cos ? ? sin ? ? 2sin(? ? ), b cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 4 由于 ? ? (0, ? ), 所以 ? ? ? ? ( ? , ? ), 4 4 4 2 故 sin(? ? ? ) ? ( 2 ,1), 2sin(? ? ? ) ? 1, 2 , 4 2 4 即 a ? 1, 故必有a>b. b

?

?

答案:a>b

【加固训练】 1.若 a ?
ln 2 ln 3 ln 5 ,b ? ,c ? , 则( 2 3 5

)

A.a<b<c C.c<a<b

B.c<b<a D.b<a<c
a 3ln 2

【解析】选C.易知a,b,c都是正数,b ? 2ln 3 ? log8 9>1, 所以b>a; ?
a c 5ln 2 ? log 25 32>1, 所以a>c,即c<a<b. 2ln 5

2.(2013·烟台模拟)已知x∈R, m ? ? x ? 1? (x 2 ? ? 1),
1 则m,n的大小关系为( n ? (x ? ) ? x 2 ? x ? 1?, 2

x 2

)

A.m=n C.m≤n

B.m>n D.m<n

【解析】选B.因为 ? x ? 1? (x 2 ? x ? 1)
2

2 x ? ? x ? 1? (x ? x ? ? 1) 2 x ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? ? ? x ? 1?, 2 1 1 (x ? ) ? x 2 ? x ? 1? ? (x ? 1 ? )(x 2 ? x ? 1) 2 2 1 2 2 ? ? x ? 1? ? x ? x ? 1? ? ? x ? x ? 1?, 2 x 1 所以 ? x ? 1? (x 2 ? ? 1) ? (x ? )(x 2 ? x ? 1) 2 2 1 1 1 ? ? x 2 ? x ? 1? ? x ? x ? 1? ? >0. 2 2 2 x 1 则有x∈R时,? x ? 1? (x 2 ? ? 1)>(x ? )(x 2 ? x ? 1) 恒成立.故选B. 2 2

3.已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,则
的大小关系为________.
S3 S5 S3 S5 【解析】当q=1时, ? 3, ? 5, 所以 < ; a3 a5 a3 a5 a1 ?1 ? q 3 ? a1 ?1 ? q 5 ? S3 S5 当q>0且q≠1时, ? ? 2 ? ? 4 a 3 a 5 a1q ?1 ? q ? a1q ?1 ? q ? q 2 ?1 ? q 3 ? ? ?1 ? q 5 ? ?q ? 1 S3 S5 所以 < . ? < 0, 4 4 q ?1 ? q ? q a3 a5 S S 综上可得 3 < 5 . a3 a5 答案:S3 <S5 a3 a5

S3 S 与 5 a3 a5

考点3

不等式性质及其应用

高频考点 通 关

【考情】不等式的性质及其应用是高考命题的热点.不等式性 质的应用是高考的常考点,常通过不等式性质来比较大小,有时 也与函数结合综合考查充要条件等问题,常以选择题、填空题 形式出现,题目难度不大.

【典例3】(1)(2013·北京高考)设a,b,c∈R,且a>b,则( A.ac>bc C.a2>b2
1 1 B. < a b

)

D.a3>b3

(2)(2013·天津高考)设a,b∈R,则“(a-b)·a2<0”是“a<b” 的( )

A.充分而不必要条件
C.充要条件

B.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件

【解题视点】(1)排除法(利用特值)可解.
(2)利用两命题间关系可解.

【规范解答】(1)选D.A选项,当c<0时,ac<bc,故A不正确;B选项,
当a>0>b时,显然B不正确;C选项,当a=1,b=-2时,a2<b2,C不正

确;D选项,因为y=x3是单调增函数,当a>b时,有a3>b3,D是正确的.
(2)选A.(a-b)·a2<0,则必有a-b<0,即a<b;而a<b时,不能推出

(a-b)·a2<0,如a=0,b=1,所以“(a-b)·a2<0”是“a<b”的充
分而不必要条件.

【通关锦囊】 高考指数 重点题型 不等式是 否成立的 判断 破 解 策 略

◆◆◆

利用特值能判断则用特值,否 则利用性质求解

◆◆◇

利用两命题间关系,看p能否推 充要条件的 出q,再看q能否推出p,充分利 判断 用不等式性质或特值求解 新定义 创新题 仔细读懂题意,利用特值或利 用性质转化可解

◆◆◇

【关注题型】
与函数、方程 结合命题 证明不等式

◆◇◇ ◆◇◇

利用图象或方程的根的特点可求解 利用不等式性质,采用比较法、综 合法等方法证明 建立待求范围的整体与已知范围的 整体的等量关系,利用不等式性质 求解

◆◇◇

求范围

【通关题组】
1.(2012·浙江高考)设a>0,b>0 ( )

A.若2a+2a=2b+3b,则a>b
B.若2a+2a=2b+3b,则a<b

C.若2a-2a=2b-3b,则a>b
D.若2a-2a=2b-3b,则a<b

【解析】选A.利用正难则反求解. 当0<a≤b时,2a≤2b,2a≤2b<3b,故2a+2a≠2b+3b,故A的逆否命 题成立,故A对而B错.当0<a≤b时,由2a≤2b,2a≤2b<3b知2a-2a

与2b-3b的大小关系不确定,所以C不正确,同理D也不正确.

2.(2013·浙江高考)设a,b∈R,定义运算“∧”和“∨” 如下: a∧b= ?
?a,a ? b, ?b,a ? b, a?b?? b,a > b, ? ?a,a>b.

若正数a,b,c,d满足ab≥4,c+d≤4,则( A.a∧b≥2,c∧d≤2 C.a∨b≥2,c∧d≤2 B.a∧b≥2,c∨d≥2 D.a∨b≥2,c∨d≥2

)

【解析】选C.因为a∧b=min{a,b},a∨b=max{a,b},又ab≥4,

所以正数a,b中至少有一个大于等于2,所以a∨b≥2,排除A,
B;因为c+d≤4,所以c,d中至少有一个小于等于2,所以 c∧d≤2,故选C.

3.(2012·四川高考)设a,b为正实数,现有下列命题: ①若a2-b2=1,则a-b<1; ②若 1 ? 1 =1,则a-b<1;
b a

③若| a ? b |=1,则|a-b|<1; ④若|a3-b3|=1,则|a-b|<1.

其中的真命题有

(写出所有真命题的序号).

1 ,而a>0,b>0,又a2=b2+1>1, a?b 所以a>1,所以 1 <1,即a-b<1,①正确;②中取a=4,b= 4 知 a?b 5

【解析】①中a2-b2=1,所以a-b=

②错;③取a=4,b=1知③错;④中,不妨设a>b,因为a3-b3=1,又 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=1+3ab(b-a)<1,故a-b<1,所以④正确. 答案:①④

【加固训练】1.(2014·台州模拟)下列四个数中最大的是( A.lg 2 B.lg 2 C.(lg 2) 2 D.lg(lg 2)

)

【解析】选A.因为lg 2∈(0,1),所以lg(lg 2)<0;
1 2 2 ? ? lg 2 ? ? lg 2( ? lg 2)> 2 1 lg 2( ? lg 10) ? 0, 2 lg

即lg 2 >(lg 2)2; lg 2-lg 2 = 1 lg 2>0,即lg 2>lg 2 . 2

所以最大的是lg 2.

2.(2013·泉州模拟)若x>y,a>b,则在①a-x>b-y,②a+x >b+y,③ax>by,④x-b>y-a,⑤ a > b 这五个式子中,恒
y x

成立的不等式的序号是

.

【解析】令x=-2,y=-3,a=3,b=2,

符合题设条件x>y,a>b,
因为a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,

所以a-x=b-y,因此①不成立.又因为ax=-6,by=-6,
所以ax=by,因此③也不成立.
a 3 b 2 ? ? ?1 , ? ? ?1 , y ?3 x ?2 a b 所以 ? , 因此⑤不成立.由不等式的性质可推出②④成立. y x

又因为

答案:②④

3.(2014·枣庄模拟)若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:
e e > . a ?c b?d

【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0, 又a>b>0,所以a-c>b-d>0,故 而e<0,所以
e e > . a ?c b?d 1 1 < . a ?c b?d

4.(2014·绍兴模拟)若二次函数f(x)的图象关于y轴对称,且 1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4,求f(3)的范围.

【解析】设f(x)=ax2+c(a≠0),
? f ? 2 ? ? f ?1? a? , ? ?f ?1? ? a ? c, ? ? 3 ?? ? ? ?f ? 2 ? ? 4a ? c ?c ? 4f ?1? ? f ? 2 ? , ? 3 ?

f(3)=9a+c=3f(2)-3f(1)+

4f ?1? ? f ? 2 ? 3

?

8f ? 2 ? ? 5f ?1? 3

.

因为1≤f(1)≤2,3≤f(2)≤4, 所以5≤5f(1)≤10,24≤8f(2)≤32,14≤8f(2)-5f(1)≤27,
14 8f ? 2 ? ? 5f ?1? 14 ? ? 9,即 ? f (3) ? 9. 3 3 3

所以

【巧思妙解6】巧用特值判断不等式问题
1 b 1 1 1 1 ① ④ln a2>ln b2中, < ; ②|a|+b>0;③ a ? >b ? ; a ? b ab a b

【典例】(2014·潍坊模拟)若 < <0, 则下列不等式:

1 a

正确的不等式是( A.①④ B.②③

) C.①③ D.②④

【常规解法】 选C.由 1 <1 <0,可知b<a<0.①中,a+b<0,ab>0,所以
1 1 1 1 < , 故①正确,排除B,D;③中, <0, >0,故有 a ? b ab a?b ab 因为b<a<0,即0>a>b,又因为 1 <1 <0, 所以 a ? 1 >b ? 1 , a b a b a b

故③正确,排除A,选C.

【解法分析】 1.此类题目通常是边选边排除. 2.在选的过程中应用不等式性质变形判断是通法,但运算量大, 极易出错.

【巧妙解法】
1 1 1 1 ?? , ? , a?b 3 ab 2 a b 1 1 故①对,排除B,D,对于③中, a ? ? ?1 ? ? 0,而 b ? 1 a ?1 b 1 1 1 3 成立,排除A,选C. ? ?2 ? ? ? , 故 a ? >b ? a b ?2 2

选C.因为 1 <1 <0, 故可取a=-1,b=-2,显然

【妙解分析】 1.仍然采用边选边排除的思想. 2.在选与排除的过程中采用特值法验证,简化了过程,提高了 准确率.

【小试牛刀】(2014·武汉模拟)若a>b>0,则下列不等式中 一定成立的是(
1 1 A.a ? >b ? b a 1 1 C.a ? >b ? b a

)
b b ?1 B. > a a ?1 2a ? b a D. > a ? 2b b

b b ? 1 b ? a ? 1? ? a ? b ? 1? 【解析】常规解法:选A.对B, ? ?

b?a <0, 故B不成立. a ? a ? 1? 2a ? b a b ? 2a ? b ? ? a ? a ? 2b ? ? ? 对 D, a ? 2b b b(a ? 2b) ?
2ab ? b 2 ? a 2 ? 2ab b2 ? a 2 ? ? <0, b ? a ? 2b ? b ? a ? 2b ?

a

a ?1

a(a ? 1)

故D不成立.

另外,函数f(x)=xx+

1 在(0,1]上递减,在[1,+≦)上递增.所以,当a>b>0 x

1 是(0,+≦)上的增函数,但函数g(x)= x

时,f(a)>f(b)必定成立.但g(a)>g(b)未必成立,这样,
1 1 1 1 a ? >b ? ? a ? >b ? . a b b a

1 巧妙解法:选A.取a=2,b=1,排除B和D,取a=2,b= ,排除C. 2



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第一节 不等关系和不等式性质
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6.1不等关系和不等式(1)
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