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直线与圆的方程的应用、(1)



§4.2.3直线与圆的方程的应用

问题提出

通过直线与圆的方程,可以确定 直线与圆、圆和圆的位置关系,对 于生产、生活实践以及平面几何中 与直线和圆有关的问题,我们可以 建立直角坐标系,通过直线与圆的 方程,将其转化为代数问题来解决. 对此,我们必须掌握解决问题的基 本思想和方法.

例1:如图是圆拱形桥一孔圆拱的示意图.这个 圆的圆拱跨度 AB=20m,拱高OP=4m, 建造时每 间隔4m需要用一根支柱支撑.求支柱 A 2 P2 的高度(精确到0.01;其中 33 ? 5 .745 )

解:

如图,以

AB 所在直线为

x 轴,以 OP 所在直线为

y轴

建立直角坐标系
则 A , B , P , P2的坐标分别为( 设圆弧所在的圆的方程 坐标得:
2 ?0 2 ? 4 ? b) ? r 2 ( ? ? 2 ?10 ? ( 0 ? b ) 2 ? r 2 ?

? 10 , 0)(10 , 0 ), ( 0 , 4 ), ( ? 2 , y 2 ) ,
2 2 2

为: x ? ( y ? b ) ? r .代入 B , P 两点

解得: b ? ? 10 . 5 , r ? 14 . 5
2

2 2 2

所以,圆的方程是

x ? ( y ? 10 . 5 ) ? 14 . 5
2

代入点 P2 ( ? 2 , y 2 )的坐标得: ( ? 2) ? y 2 ? 10 . 5) ? 14 . 5 ( 0 ? y 2 ? 4 ) (
2 2 2

解得: y 2 ?

14 . 5 ? 4 ? 10 . 5 ? 14 . 36 ? 10 . 5 ? 3 . 86
2

答:支柱

A 2 P2的高度约为

3 . 86 m .

注意:(用坐标系解决实际问题) 1、建立适当的直角坐标系,将实际量转化成数学量; 2、利用数学知识解出所要求的数学量; 3、将数学量回归实际量,下结论。

知识探究:直线与圆的方程在平面几何中的应用

问题Ⅱ:已知内接于圆的四边形的对 角线互相垂直,求证:圆心到一边 的距离等于这条边所对边长的一半.

如图,选择互相垂直的 本题关键是求出圆心

两条对角线所在的直线

为坐标轴。

O 1的坐标 .过 O 1作 AC 、 BD 、 AD 的垂线 ,

垂足为 M , N , E , 则它们分别是 的横坐标与 O 1的横坐标一致

y

AC 、 BD 、 AD 的中点 , 垂足 M .同法可求出 O 1的纵坐标 .

B (0,b)

(c,0) C

M

A (a,0)

O

N O`

x
d E( , ) 2 2 a

(0,d) D

证明:
如图,以四边形 直线分别为 ABCD 互相垂直的对角线 CA , BD 所在 .设 x 轴, y 轴,建立直角坐标系

A ( a , 0 ), B ( 0 , b ), C ( c , 0 ), D ( 0 , d ).
分别作 O 1 M , O 1 N , O 1 E 垂直于 AC , BD , AD , 垂足分别为 M , N , E , 则它们分别是弦 x O1 ? x M ? 所以 | O 1 E |? ( a?c 2
2

AC , BD , AD 的中点 , 则由中点坐标公式可得 , y O1 ? y N ? b?d 2 , xE ? a 2 , yE ? d 2

a?c 2

?

a 2

) ?(
2 2

b?d 2

?

d 2

) ?
2

1 2

b ?c
2

2

又 ... | BC |?

b ?c 1 2

所以 ... | O 1 E |?

| BC | ..命题得证 .

用坐标法解决几何问题的步骤:

第一步: 建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程 表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数 问题; 第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结 论.

课堂小结: 1、熟悉直线、圆的方程; 2、用坐标系解决实际、几何问题,以及它的解题步骤

(1)建立适当的直角坐标系,用坐标,方程表 示问题中的量;
(2)通过代数运算,解决代数问题;

(3)把代数运算结果“翻译”成实际问题或几何 结论。



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