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2016高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(理科)(三角函数——漳州市数学组供稿)



2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(理科)
三角函数 漳州市数学组
一、选择题:本大题共 6 小题,每小题 6 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y ? 2 x 上,则 cos 2? =( (A) ? )

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5
?

(D)

4 5

(2)在 ?ABC 中, a ? b ? 10c ? 2(sin A ? sin B ? 10sin C ) , A ? 60 ,则 a ? ( (A) 3 (B) 2 3 (C) 4



(D)不确定 )

2015 ? ? cos 2016 ? ? ( (3) A ? {sin? ,cos ? ,1}, B ? {sin2 ? ,sin ? ? cos ? ,0} ,且 A ? B ,则 sin

(A) 0

(B) 1

(C) ?1

(D) ?1

(4)如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA ,终边为射线

OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x) ,则

y = f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的图像大致为(



(5)已知函数 f ? x ? ? cos x x ? ? 0,2? ? 有两个不同的零点 x1 , x2 ,方程 f ? x ? ? m 有两个不同的实根

?

?

x3 , x4 .若这四个数按从小到大排列构成等差数列,则实数 m 的值为(
(6)



?

1 2

(B)

1 2

(C)

3 2

(D) ?

3 2

(6)已知函数 f ? x ? 的导函数的图象如图所示, a、b、c 分别是 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边,且

3a2 ? 3b2 ? c2 ? 4ab ,则一定成立的是(
(A) f ? sin A? ? f ? cos B ? (C) f ?sin A? ? f ?sin B ?



(B) f ? sin A? ? f ? cos B ? (D) f ? cos A? ? f ? cos B ?

1

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 6 分。
(7)一个三角形两条边长分别为 3cm,5cm ,其夹角的余弦值是方程 5 x ? 7 x ? 6 ? 0 的根,则此三角形
2

的面积是____________. (8)有一道解三角形的题目,因纸张破损致使有一个条件不清,具体如下:

在 ?ABC 中,已知 a ? 3, B ? 45?, _________,求角 A . 经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示角 A ? 60?, 试将条件补充完整.
(9) 2015 年北京庆阅兵式上举行升旗仪式,如图,在坡度为 15° 的观礼台上,某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上,在 该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为 60°和 30°, 且第一排和最后一排的距离为 10 6 米,则旗杆的高度为______米.

(10)某同学对函数 f ( x) ? x sin x 进行研究后,得出以下结论:

]

①函数 y ? f ( x) 的图像是轴对称图形;②对任意实数 x , f ( x) ? x 均成立; ③函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? x 有无穷多个公共点,且任意相邻两点的距离相等; ④当常数 k 满足 k ? 1时,函数 y ? f ( x) 的图像与直线 y ? kx 有且仅有一个公共点. 其中所有正确结论的序号是 .

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (11) (本小题满分 10 分)
已知 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边为 a, b.c , m ? (a,cos B) , n ? (cos A, ?b) , a ? b , m ? n (Ⅰ)判断三角形的形状,并说明理由; (Ⅱ)若 y ?

??

?

??

?

sin A ? sin B ,试确定实数 y 的取值范围. sin A sin B

(12) (本小题满分 15 分)

?? ? 已知向量 m ? ?sin x, ?1? , n ? ? cos x,3? .
(Ⅰ)当 m ∥ n 时,求

??

?

sin x ? cos x 的值; 3sin x ? 2 cos x

(Ⅱ) 已 知 在锐 角 ?ABC 中 , a, b, c 分 别 为 A, B, C 的 对 边 ,

3c ? 2a sin ? A? B ? , 函数

?? ? ?? ?? ? f ? x ? ? m ? n ? m ,求 f ? B ? ? 的取值范围. 8? ?

?

?

2

(13) (本小题满分 15 分) 如图,扇形 AOB 是一个观光区的平面示意图,其中 ?AOB 的大小为

2? ,半径 OA 为 1km .为了便于 3

游客观光休闲,拟在观光区内铺设一条从入口 A 到出口 B 的观光道路,道路由弧 AC 、线段 CD 及线段

BD 组成,其中 D 在线段 OB 上,且 CD / / AO .设 ?AOC = ? .
(Ⅰ)用 ? 表示 CD 的长度,并写出 ? 的取值范围; (Ⅱ)当 ? 为何值时,观光道路最长?

3

2016 高三毕业班总复习单元过关平行性测试卷(理科)
三角函数(参考答案) 漳州市数学组
一、选择题。 1、 【解析】 选 ? B ? 根据已知条件利用任意角三角函数的定义求出 sin ? ,cos ? , tan ? 中的任一个均可解决 问题。 2、 【解析】由已知及正弦定理得

a ? 2 , a ? 2sin A ? 2sin 60? ? 3 ,选 ? A ? 。 sin A

3、 【解析】由已知易得 sin ? ? ?1,cos ? ? 0 选 C . 4、 【解析】如图:过 M 作 MD⊥OP 于D,则 PM= sin x ,OM= cos x ,在 Rt ?OMP 中,

MD=

1 OM ?PM cos x ?sin x ? ? cos x sin x ? sin 2 x , 2 OP 1

∴ f ( x) ?

1 sin 2 x (0 ? x ? ? ) ,选 B. 2

也可分 0 ? x ?

?

2



?

2

? x ? ? 两种情形考虑。

5、 【解析】由题意,可知 x1 , x2 的取值为

1 ,则 x3 , x4 的两个值为 2 2 2 2? 4? 4? 2? 3? 4? 1 , ? ? ? ,因为 ,显然这四个数不能构成等差数列;若 m ? ,则 x3 , x4 的两个值 3 3 2 3 3 2 3 ,
. 对于 f ? x? ? m ,若 m ? ?

? 3?



? 5?
3 , , 3

,因为

3? ? 5? 3? 3 ? ? ? ,故这四个数不能构成等差数列;若 m ? ,则 x3 , x4 的两个值为 2 2 3 2 2

? 11?
6 6

,因为

11? 3? 3? ? 3 ? ? ? ,显然这四个数不能构成等差数列;若 m ? ? ,则 x3 , x4 的两个 6 2 2 2 2

值为

5? 7? ? , ,显然这四个数能构成等差数列,公差为 .故选 D . 6 6 3

2 2 2 6、 【解析】依题意得, c ? 3a ? 3b ? 4ab ,

2 2 2 2 2 a ? b? ? a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? ? 3a ? 3b ? 4ab ? cos C ? ? ?? ?0, 2ab 2ab ab



?
2

? C ?? , 0 ? A? B ?

?
2

, 0? A?

?
2

?B?

?
2

, 0 ? sin A ? sin ?

?? ? ? B ? ? cos B ? 1 . 又 当 ?2 ?

x ??0 , ? 1时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 是增函数,于是有 f ?sin A? ? f ? cos B ? .故选 A .
4

二、填空题。 7、 【答案】 :6
2 【解析】 :由 5 x ? 7 x ? 6 ? 0 ,得 x1 ? ? , x2 ? 2 (舍去) ,

3 5

3 4 1 4 ? cos ? ? ? ,sin ? ? .? S ? ? 3 ? 5 ? ? 6 ? cm2 ? . 5 5 2 5
8、 【答案】 :

c?

6? 2 . 2

【解析】 :将角 A ? 60? 看作已知条件,



a b a c 6? 2 ? ? 得 b ? 2 ;由 得c ? . sin A sin B sin A sin C 2 a b 3 ? ? 得 sin A ? 不合题意, 舍去. , 角 A ? 60? 或120? , sin A sin B 2

若已知条件为 b ? 2, 则由

若已知条件为 c ?

6? 2 , 则由 b2 ? a 2 ? c2 ? 2a cos B ? 2 得 b ? 2, 2

? cos A ?

b2 ? c2 ? a2 1 ? , ? 角 A ? 60?, 符合题意. 2bc 2
6? 2 . 2

综上所述,破损处的已知条件应为 c ?

9、【答案】 : 30

【解析】 :设旗杆的高度为 x 米,如图



可知 ?ABC ? 180? ? 60? ? 150 ? 1050 , ?CAB ? 30? ? 150 ? 45? ,
? ? ? 所以 ?ACB ? 180? ? 105 ,根据正弦定理可知 ? 45 ? 30

BC AB ? ? ? ,即 BC ? 20 3 ,所以 sin 45 sin 30

sin 60? ?

x x 3 ? ,所以 x ? 20 3 ? ? 30 米。 BC 20 3 2

5

10、 【答案】 :①②④
【解析】 :∵ f (? x) ? ? x sin(? x) ? x sin x ? f ( x) ,∴ y ? f ( x) 是偶函数,图像关于 y 轴对称,故 ①对;对任意实数 x , f ( x) ?| x sin x |?| x | ? | sin x |?| x | ?1 ? x ,故②对;由 x sin x ? x ? x ? 0 或
? 5? sin x ? 1 ? x ? 0 或 x ? 2k? ? ? (k?Z),设相邻三两点为 O(0,0),P( ? , ? )、Q( 52 , 2 ),则|OP|= 2 2 2
2? 2



|PQ|=2 2 ?|,|OP|≠|PQ|,故③错;由 x sin x ? kx ? x ? 0 或 sin x ? k ,当 k ? 1时,sin x ? k 无 解,故④对.

三、解答题。
11、 【解析】 :(Ⅰ)∵ m ? n ,∴ m? n ? 0 ,∴ a cos A ? b cos B ? 0

??

?

?? ?

由正弦定理知,

a b ? ? 2 R ? 1 ,∴ a ? sin A, b ? sin B . sin A sin B

∴ sin A cos A ? sin B cos B, ∴ sin 2 A ? sin 2 B . ∵ A, B ? ? 0, ? ? ,∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? . ∴ A ? B (舍去), A ? B ?

?
2

。所以三角形 ABC 是直角三角形

(Ⅱ)? sin B ? cos A

?y ?

sin A ? cos A . sin A cos A

? sin A ? cos A ? 2 sin( A ?

?

? ? ? 3? ), A ? (0, ), A ? ? ( , ) . 2 4 4 4 4

? 2 ,1] ?sin A ? cos A ? (1, 2 ] ? sin( A ? ) ? ( 4 2
t 2 ?1 ? 令 sin A ? cos A ? t ? 1, 2 ,sin A cos A ? , ? 2

?

∴x?

2t 2 . ? t ?1 t ? 1 t
2

∵ t ? 在 1, 2 ? 单调递增,∴ 0 ? t ? ?

1 t

?

?

1 t

2?

1 2 , ? 2 2

∴ x ? 2 2 ,? a ? b ,故 x 的取值范围为 (2 2 ,??) .

12、 【解析】 :(Ⅰ)由 m ∥ n ,可得 3sin x ? ? cos x ,于是 tan x ? ?

??

?

1 , 3

6

sin x ? cos x tan x ? 1 ∴ ? ? 3sin x ? 2cos x 3tan x ? 2

1 ? ?1 2 3 ?? . 9 ? 1? 3? ? ? ? ? 2 ? 3?

(Ⅱ)在 ?ABC 中, A ? B ? ? ? C ,于是 sin ? A ? B? ? sin C ,由正弦定理知:

3 sin C ? 2sin A sin C,? sin C ? 0,?sin A ?
又 ?ABC 为锐角三角形,∴ A ?

3 . 2

?
3

,于是

?
6

?B?

?
2

.
2

∵ f ? x ? ? m ? n ? m ? ? sin x ? cos x, 2 ? ? ? sin x, ?1? ? sin x ? sin x cos x ? 2

?

?? ? ??

?

?

1 ? cos 2 x 1 2 ?? 3 ? ? sin 2 x ? 2 ? sin ? 2 x ? ? ? , 2 2 2 4? 2 ?
? ?

∴ f ?B?

??

2 ? ? ?? ?? 3 2 3 sin ?2 ? B ? ? ? ? ? ? sin 2B ? . ?? 8? 2 8 ? 4? 2 2 2 ? ?



?
6

?B?

?
2



?

3 2 3 2 3 ? 2 B ? ? ,? 0 ? sin 2 B ? 1, ? ? sin 2 B ? ? ? 3 2 2 2 2 2





?? ? 3 2 ? 3 ? f ? B ? ??? ? , ? ?. ? 8? ? 2 2 2 ? ?
13、 【解析】 :(Ⅰ)在 ?OCD 中,由正弦定理,得

CD OD CO ? ? , sin ?COD sin ?DCO sin ?CDO

所以 CD ?

2 2 2? 1 OD ? sin ? , sin( ? ? ) ? cos? ? sin?, 3 3 3 3 2 ? 3 sin? ? 1 ,所以 sin? ? ,所以 0 ? ? ? , 3 2 3

因为 OD ? OB ,即

所以 CD ? cos? ?

1 ? sin? , ? 的取值范围为(0, ). 3 3

(Ⅱ)设观光道路长度为 L(? ) ,则 L(? ) ? BD ? CD ? 弧CA 的长

? 1?

2 1 1 sin? ? cos? ? sin? ? ? ? cos ? ? sin ? ? ? ? 1 3 3 3 1 cos ? ? 1, 3
7

? ?? ? ? ? 0, ? , 3 ? ?

L?(? ) ? ? sin ? ?

由 L?(? ) ? 0 ,得 sin(? ?

?
6

)?

? ? 3 (0, ) ,又 ? ? ,所以 ? ? . 6 3 2

当 ? 变化时, L?(? ),L(? ) 的变化情况如下表:

所以,当 ? ?

?
6

时, L(? ) 达到最大值,即当 ? ?

?
6

时,观光道路最长.

8



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