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抛物线的标准方程的练习题及答案



抛物线的标准方程
1、定长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 在抛物线 y 2 ? x 上移动,求 AB 中点到 y 轴距离的最 小值,并求出此时 AB 中点的坐标。 2、抛物线 x 2 ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离为 的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标。 5、求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1)、过点 ?? 3,2

? ; (2)、焦点在直线 x ? 2 y ? 4 ? 0 上; (3)、过抛物线 y ? 2mx 的焦点 F 作 x 轴的垂线交抛物线于 A、B 两点,且 AB ? 6 6、直线 l 过点 ?0,1? 且与抛物线 y 2 ? 2 x 只有一个公共点,求直线 l 的方程; 7、已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,抛物线上一点 M ?m,?3? 到焦点的距离为 5, 求 m 的值,抛物线方程和准线方程。 8、已知顶点在原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 截得的弦长为 15 ,求此 抛物线方程。 9、设抛物线 y 2 ? 8 x 的准线与 x 轴交于点 Q ,若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点,则直 线 l 的斜率的取值范围是 。
2

13、已知 P?8, a ? 在抛物线 y 2 ? 4ay 上,且 P 大盘焦点的距离为 10 ,则焦点到准线的距离 为 。 。



14、已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 12 ? 0 与抛物线 y 2 ? 2 px? p ? 0 ? 的准线相切,则 P =

3、已知抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点是 F , 点 P 是抛物线上的动点, 又有点 A?3,2 ? , 求 PA ? PF 4、平面上动点 P 到定点 F ?1,0 ? 的距离比点 P 到 y 轴的距离大 1,求动点 P 的轨迹方程。

15、斜率为 1 的直线经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 与抛物线相交于 A、B 两点, 求线段 AB 的长。 16、已知点 P 是抛物线 y 2 ? 2 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的摄影是 M ,点 A?

?7 ? ,4 ? ,则 ?2 ?

? PA ? PM ?min =



17、设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上一点, 若 OA ? AF ? ?4 , 则 A 点坐标为 18、与抛物线 y ?
2



x 关于直线 x ? y ? 0 对称的抛物线的焦点坐标是 4



19、已知点 P 在抛物线 y 2 ? 4 x 上,那么点 P 到点 Q?2,?1? 的距离与点 P 到抛物线焦点的 距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为 。

20、已知 F 是抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点, A、B 是抛物线 C 上的两个点,线段 AB 的中点 为 M ?2,2 ? ,则 S ?ABF = 。

10、已知抛物线 y 2 ? 6 x 的弦 AB 经过点 P?4,2 ? , 且 OA ? OB ( O 为坐标原点), 求弦 AB 的 长。 11、一辆卡车高 3m ,宽 1.6m ,欲通过断面为抛物线型的隧道,已知拱口宽恰好是拱高的 4 倍,若拱口宽为 acm ,求使卡车通过的 a 的最小整数值。 12、如图,有一张长为 8、宽为 4 的矩形纸片 ABCD ,按如图 方式折叠,使每次折叠后点 B 落在 AD 边上,此时将 B 记为

B ? (注:图中 EF 为折痕,点 F 也可落在边 CD 上),过点 B ?
作 B ?T // CD 交 EF 于点 T ,试求点 T 的轨迹方程。

抛物线的标准方程的答案
1、如图,点 A、B 到准线的垂线分别是 BD、AC ,过 AB 的中点

? 4 ? ?2 p?? 3?或9 ? 2 p ? 2;? p ?

(2)、令 x ? 0 得 y ? ?2 ;令 y ? 0 ,得 x ? 4;? 抛物线的焦点坐标为: ?4,0 ? 或 ?0,?2 ? ; 当焦点为 ?4,0 ? 时,则

2 9 4 9 或p ? ;? y 2 ? ? x或x 2 ? y 3 4 3 2

M 作准线的垂线 MN ,垂足分别为 C、D、N ,则 BF ? BD
AC ? AF 、 MN ?

p ? 4,? p ? 8;? y 2 ? 16 x 2 p ? 2,? p ? 4;? x 2 ? ?8 y 2 m ,作 AA? ? l 于 A? , BB ? 2

1 ? AC ? BD ?; 2

当焦点为 ?0,?2 ? 时,则

? MN ? ?x ?

1 ? AF ? BF ? ? 1 AB ? 3 ;设 M ?x, y ? ,则 MN ? 1 ? x ; 1 ? x ? 3 2 2 2 4 4 2

(3)、设抛物线的准线为 l ,交 x 轴于 K 点,则 l 的方程为 x ? ?

5 5 ;? 当弦 AB 过点 F 时等号成立,此时 M 到 y 轴的距离最小,最小值为 。 4 4 5 1 2 时, y1 ? y 2 ? ? p ? ? 4 4

? l 于 B ? ,则 AF ? AA? , FK ? m ,同理 BF ? BB ? ;? AB ? 6;? 2 m ? 6;? m ? ?3;

设 A?x1 , y1 ?、B?x2 , y 2 ? ;则 x1 ? x2 ? 2 x ;当 x ?

? y 2 ? ?6 x
6、设直线 l 的斜率为 k 当 k 不存在时, l : x ? 0 ,满足题意; 当 k 存在时,设 l : y ? kx ? 1 ,将其代入 y 2 ? 2 x 得: k 2 x 2 ? 2?k ? 1?x ? 1 ? 0 ;若 k ? 0 , 则x?

? ? y1 ? y 2 ? ?
2

2 y1

?

2 y2

1 2 ? 2 y1 y 2 ? 2 x ? ? 2;? y1 ? y 2 ? ? 2 ;? y ? ? 2 2

?5 2? ? ? M ? ,? ?4 2 ? ? ?
2、焦点 F ?0,1?;? y A ? 4;? x A ? ?4;? AF ?

?? 4?2 ? ?4 ? 1?2

?5

1 ;? l 与抛物线只有一个交点; ? l : y ? 1 2
2 2

当 k ? 0 时,方程 k 2 x 2 ? 2?k ? 1?x ? 1 ? 0 有唯一解,则 ? ? 4?k ? 1? ? 4k ? 0;? k ?

3、如图;由抛物线的定义得: PQ ? PF ,则 PA ? PF ? PQ ? PA 要使 PA ? PF 取得最小值,只需 P、A、F 三点共线;即 A 点到直线 l : x ? ?

1 ; 2

1 的距离 2

?l : y ?

1 1 x ? 1;? l : x ? 0或y ? 1或y ? ? x ? 1 2 2
? ? p? ? 2?

? ? PA ? PF ?min ? PQ ? PA ? 3 ?

? P?2,2 ?
4、设 P?x, y ? ,则

1 7 ? ;? P 点的纵坐标为 2,? P 点的横坐标为 2; 2 2

7、设抛物线的方程为: x 2 ? ?2 px? p ? 0 ? ,则焦点坐标为 F ? 0,?

?x ? 1?2 ? y 2

?4 x , ? x ? 0 ? ? x ? 1;? y 2 ? 2 x ? 2 x ;? y 2 ? ? ? 0, ?x ? 0 ?

? m2 ? 6 p ? ? p?4 2 ? M ?m,?3?; MF ? 5;? ? 2 ? ;? ? ;? 所求的抛物线方程为: p? ? m ? ? ? 3 ? ? ? 5 ?m ? ?2 6 2? ? ?
x 2 ? ?8 y, m ? ?2 6 , 准线方程为: y ? 2
8、设抛物线方程为 x 2 ? ay ?a ? 0 ? ;将 x ? 2 y ? 1 ? 0 代入 x 2 ? ay 得:2x2?a??0

5、(1)、设所求方程为: y 2 ? ?2 px 或 x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? ;? 抛物线过点 ?? 3,2 ? ;

? 直线与抛物线有两个焦点; ? ? ? ?? a ?2 ? 4 ? 2 ? a ? 0;? a ? 0或a ? 8
设 A?x1 , y1 ?、B?x2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ?

欲使卡车通过隧道,应有 y ? ? ?

a 0.8 2 ? a? ? 3;? a ? 0;? a ? 12.21;? a ? 13 ? ? 3;? ? 4 a ? 4?

a a 1 , x1 x2 ? , y1 ? y 2 ? ?x1 ? x2 ?; 2 2 2
5 ?x1 ? x2 ?2 ? 4 5 ?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2 4

12、如图以边 AB 的中点 O 为原点, AB 边所在的直线为 y 轴, 建立平面直角坐标系,则 B?0,?2 ? ,由题意得: BT ? B ?T ,

? AB ? ?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

?

?

?

B ?T ? AD;? 点 T 的轨迹是是以点 B 为焦点, AD 为准线的抛
物线的一部分;设 T ?x, y ? ;? AB ? 4;? 点 B 到定直线 AD 的距离为 4,? 抛物线的方程 为:x 2 ? ?8 y ; 在折叠中, 线段 AB ? 的长度在区间 ?0,4? 内变化; ? x ? AB ? ;? 0 ? x ? 4;?

1 1 5 a 2 ? 8a ;? AB ? 15 ;? 5 a 2 ? 8a ? 15 ;? a 2 ? 8a ? 48 ? 0 4 4

?

?

?

?

? a1 ? ?4, a2 ? 12;? 所求抛物线方程为: x 2 ? ?4 y或x 2 ? 12 y
9、由题意得: Q?? 2,0 ? ,设直线 l 的斜率为 k ,则 l : y ? k ?x ? 2 ? ,将其代入 y 2 ? 8 x 得:

点 T 的轨迹方程为: x 2 ? ?8 y ?0 ? x ? 4 ? 13 由题意得准线方程为: x ? ? p;? 8 ? P ? 10;? p ? 2;? 2 p ? 4; ? 焦点到准线的距离为 4 14、 ?x ? 2 ? ? y 2 ? 16;? ?2,0 ?到准线的距离为: 2?
2

P ? 4;? p ? 4 2

k 2 x 2 ? 4 k 2 ? 2 x ? 4k 2 ? 0;? 直线 l 与抛物线有公共点; ? ? ? 16 k 2 ? 2 ? 16k 4 ? 0 ;
? ?1 ? k ? 1
10、设 A?

?

?

?

?

15、焦点为 F ?1,0 ? ;直线 AB 的方程为: y ? x ? 1 将其代入 y 2 ? 4 x 得: x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 设 A?x1 , y1 ?、B?x2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? 6, x1 x2 ? 1,

2

? ? ? ? ? ? ? ? , y ?、B? , y ?; 则OA ? ? , y ?; OB ? ? ,y ?; ? 6 1? ? 6 2? ? 6 1? ? 6 2? ? ? ? ? ? ? ? ?
2 y1 2 y2 2 y1 2 y2

? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 ?

?x1 ? x2 ?2 ? 4 x1 x2

?8

16、设 P 点到抛物线的准线的距离为 d ,则

? OA ? OB;? OA ? OB ? 0;?

2 2 y1 y2

PA ? PM ? PA ? d ?
? y1 y 2 ? 0;? y1 y 2 ? 0;? y1 y 2 ? ?36

1 1 1 ? PA ? PF ? ? AF ? ;当且仅当 A、P、F 共线时取“=” 2 2 2 1 1 9 ? 5? ? 2 2 2

? 点 A、B 与点 P?4,2 ? 在一条直线上,
? y1 ? 2
2 y1

36

? ? PA ? PM
17、设 A?

?min ?

AF ?

?

y1 ? y 2
2 y1

6

?4

6

?

2 y2

;?

y1 ? 2
2 y1

? 24

?

1 ;? y1 y 2 ? 2? y1 ? y 2 ? ? ?24;? y1 ? y 2 ? ?6 y1 ? y 2

6

? y2 ? ? y2 ? ? ? y2 , y ? ;由题意得 F ?1,0 ?;? OA ? ? , y ?, AF ? ?1 ? ,? y ?;? OA ? AF ? ?4; ? 4 ? ? 4 ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ?

? y1 ? ?3 ? 3 5 , y 2 ? ?3 ? 3 5 ;? A 9 ? 3 5 ,?3 ? 3 5 ; B 9 ? 3 5 ,?3 ? 3 5 ; ? AB ?

?

? ?

?

?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y2 ?2

? 6 10

11、以隧道顶点为原点,拱高所在直线为 y 轴建立直角坐标系, 则 B?

2 ? 2 ? ?1 ? y ? ? y ?? y ? ? ?4;? y 4 ? 12 y 2 ? 64 ? 0;? y ? 4或一6;? y ? 1; ? 4 ? 4 ? ? ? y ? ?2;? A?1,?2 ?

?

y2 4

?a a? 2 ,? ? ,如图所示;设隧道所在的方程为 x ?2 4?

= my ,则

2 18、? y ?

x ?1 ? 的焦点坐标为? ,0 ?;? 关于直线x ? y ? 0对称的抛物线的焦点坐标 4 ? 16 ?

2 0.8 2 y?? ?a? ? a? 2 2 ? ? ? m ? ? ? ?;? m ? ?a;? x ? ?ay ;将 ?0.8, y ? 代入 0.8 ? ?ay 得: a ; ?2? ? 4?

? 1? 为? 0, ? ? 16 ?

19、如图:点 Q 在抛物线内部,由题意得: P 点到 F 的距离等于 P 点 到准线 x ? ?1 的距离,作 QH 垂直于直线 x ? ?1 ,交抛物线与 K , 则点 K 为取得最小值时的所求点,当 y ? ?1 时;则 x ? 20、设 A?x1 , y1 ?、B?x2 , y 2 ? ,则 x1 ? x2 ? 4, y1 ? y 2 ? 4

1 ?1 ? ;? P? ,?1? 4 ?4 ?

? A?x1 , y1 ?、B?x2 , y 2 ? 在抛物线 C 上;

2 2 ? y1 ? 4 x1 ; y 2 ? 4 x2 ;? ? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ? ? 4?x1 ? x2 ?;? k AB ? 1;? l AB : y ? x

?4,4?;? OF ? 1;? S ?ABF ? ? y 2 ? 4 x;? A、B 两点的坐标为 ?0,0 ?、

1 ? 1? 4 ? 2 2



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