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高中数学基础知识强化记忆1



专题一:常以客观题考查的内容
一、集合
1、集合 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N 表示自然数集, N ? 或 N ? 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.
(3)集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a ? M ,或者 a ? M ,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. 注意:研究集合问题,一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。 (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集 .②含有无限个元素的集合叫做无限集 .③不含有任何元素的集合叫 做空集( ? ). 2、集合间的基本关系 (1)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A ? A 性质 (2) ? ? A (3)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C (4)若 A ? B 且 B ? A ,则 A ? B 示意图

A? B
子集 (或

A(B)

B ? A)

A 中的任一元素都 属于 B



B

A

A?B 真子 集
?

A ? B ,且 B 中至
少有一元素不属于 A

(1) ?? A (A 为非空子集)
?

(或 B ? A)
?

(2)若 A ? B 且 B ? C ,则 A ? C
? ? ?

B

A

集合 相等

A? B

A 中的任一元素都 (1)A ? B 属于 B,B 中的任一 (2)B ? A 元素都属于 A

A(B)

n n n (2)已知集合 A 有 n(n ? 1) 个元素,则它有 2 个子集,它有 2 ? 1 个真子集,它有 2 ? 1 个非空子集,它

有 2 ? 2 非空真子集.
n

3、集合间的基本运算 交集、并集、补集
1

名 称 交 集

记号

意义

性质 (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? ? (3) A ? B ? A

示意图

A? B

{x | x ? A, 且 x ? B}

A

B

并 集

A? B

{x | x ? A, 或 x ? B}

A? B ? B (1) A ? A ? A (2) A ? ? ? A (3) A ? B ? A A? B ? B
A ? (? U A) ? ?

A

B

补 集

? UA

{x | x ?U , 且x ? A}

痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) 痧 U ( A ? B) ? ( U A) ? (? U B) A ? (? A ) ? U U

注意: (1)数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法; (2)补 集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

二、常用逻辑用语
1、命题:可以判断真假的语句叫命题; 逻辑联结词: “或” “且” “非”这些词就叫做逻辑联结词; 简单命题:不含逻辑联结词的命题; 复合命题:由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母 p , q , r , s ,??表示命题. 2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系: ⑴、两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ⑵、两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 注意:在写出一个含有“或” 、 “且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或” 。否命题要对 命题的条件和结论都否定而命题的否定仅对命题的结论否定。 3、充分条件、必要条件与充要条件 ⑴、一般地,如果已知 p ? q ,那么就说: p 是 q 的充分条件, q 是 p 的必要条件; 若 p ? q ,则 p 是 q 的充分必要条件,简称充要条件. ⑵、充分条件,必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件 p 与结论 q 之间的关系: Ⅰ、从逻辑推理关系上看: ①若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件, q 是 p 的必要条件; ②若 p ? q ,但 q p ,则 p 是 q 充分而不必要条件; ③若 p q ,但 q ? p ,则 p 是 q 必要而不充分条件; ④若 p ? q 且 q ? p ,则 p 是 q 的充要条件; ⑤若 p q 且 q p ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看: 已知 A ? x x 满足条件 p? , B ? x x 满足条件 q? : ① 若 A ? B ,则 p 是 q 充分条件; ③ 若A B,则 p 是 q 充分而不必要条件; ② 若 B ? A ,则 p 是 q 必要条件; ④ 若B A,则 p 是 q 必要而不充分条件;

?

?

⑤ 若 A ? B ,则 p 是 q 的充要条件
2

⑥ 若 A ? B 且 B ? A ,则 p 是 q 的既不充分也不必要条件. 4、复合命题 ⑴复合命题有三种形式: p 或 q ( p ? q ) ; p 且q ( p ? q) ;非 p ( ? p ). ⑵复合命题的真假判断 “ p 或 q ”形式复合命题的真假判断方法:一真必真; “ p 且 q ”形式复合命题的真假判断方法:一假必假; “非 p ”形式复合命题的真假判断方法:真假相对. 5、全称量词与存在量词 ⑴全称量词与全称命题 短语“所有的” “任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“ ? ”表示.含有全称量词的命题, 叫做全称命题. ⑵存在量词与特称命题 短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“ ? ”表示.含有存在量词的命 题,叫做特称命题. ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定 ①全称命题 p : ?x ??, p( x) ,它的否定 ? p : ?x0 ??, ?p( x0 ). 全称命题的否定是特称命题. ②特称命题 p : ?x0 ??, p( x0 ), ,它的否定 ? p : ?x ??, ?p( x). 特称命题的否定是全称命题.

三、平面向量
1、向量的物理背景与概念 (1) 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度. (2) 既有大小又有方向的量叫做向量. 2、向量的几何表示 (1) 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度. (2) 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度(或称模) ,记作 AB ;长度为零的向量叫做零向量;长 度等于 1 个单位的向量叫做单位向量, a 的单位向量是 3、相等向量与共线向量 (1) 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (2) 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 (或共线向量).规定:零向量与任意向量平行. 4、向量加法运算及其几何意义 (1) 三角形加法法则和平行四边形加法法则. 三角形法则的特点:首尾相连. 平行四边形法则的特点:共起点. (2) a ? b ≤ a ? b . ⑶三角形不等式: a ? b ? a ? b ? a ? b . ⑷运算性质:①交换律: a ? b ? b ? a ; ②结合律: a ? b ? c ? a ? b ? c ;③ a ? 0 ? 0 ? a ? a
3

??? ?

?

a |a|



?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?? ?

?

?

?

?

? ?

?

? ?

?

?

?
? a
?

C

? b

?

5、向量减法运算及其几何意义 (1) 与 a 长度相等方向相反的向量叫做 a 的相反向量. (2) 三角形减法法则和平行四边形减法法则. 三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. 6、向量数乘运算及其几何意义 (1) 规定:实数 ? 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作: ? a ,它的长度和方向规 定如下: ① ?a ? ? a , ②当 ? ? 0 时,

? a 的方向与 a 的方向相同;当 ? ? 0 时, ? a 的方向与 a 的方向相反.

(2)平面向量共线定理:向量 a a ? 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 ? ,使 b ? ? a . (3)运算律:① ? ? ?a ? ? ? ?? ? a ;② ? ? ? ? ? a ? ?a ? ?a ;③ ? a ? b ? ? a ? ?b 7、平面向量基本定理 (1) 平面向量基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任一向量 a , 有且只有一对实数 ?1 , ? 2 ,使 a ? ?1 e1 ? ?2 e2 . 8、平面向量的正交分解及坐标表示 9、平面向量的坐标运算 (1)设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ① a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?, ③ ② a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ? , ④ a // b ? x1 y2 ? x2 y1 .

?

?

?

?

?

?

?

?? ?

?

?

?

a ? xi ? y j ? ?x, y ? .

? a ? ??x1 , ?y1 ? ,

(2) 设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则: AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? . 10、平面向量共线的坐标表示 (1)分点坐标公式:设点 ? 是线段 ?1?2 上的一点,?1 、?2 的坐标分别是 ? x1 , y1 ? ,? x2 , y2 ? ,当 ?1? ? ???2 时,点 ? 的坐标是 ?

??? ?

????

? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ? 时,就为中点公式。) (当 ? ? 1 , ?. 1? ? ? ? 1? ?

(2)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?, C?x3 , y3 ? ,则:

① 线段 AB 中点坐标为

?

x1 ? x2 2

y2 , y1 ? 2

?

, ②△ABC 的重心坐标为

?

x1 ? x2 ? x3 3

, y1 ? y32 ? y3

?

.

11、平面向量数量积的物理背景及其含义 (1) a ? b
2

? a b cos? .
2

(2) a 在 b 方向上的投影为: a cos? . (4) a ?

(3) a ? a .

a .
4

2

(5) a ? b ? a ? b ? 0 .

12、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 (1)设 a ? ?x1 , y1 ?, b ? ?x2 , y2 ? ,则: ① a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ③ a ? b ? a ? b ? 0 ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 (2)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y 2 ? ,则: (3)两向量的夹角公式 ② a ?

x12 ? y12

?

?

? ?

④ a / /b ? a ? ?b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

?

?

?

?

AB ?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y2 ? y1 ?2 .
x1 x2 ? y1 y2

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? a b

x ? y12 ? x2 2 ? y2 2
2 1

13、平面几何中的向量方法

14、向量在物理中的应用举例

四、不等式
1、不等式的基本性质 ①(对称性) a ? b ? b ? a ③(可加性) a ? b ? a ? c ? b ? c ②(传递性) a ? b, b ? c ? a ? c (同向可加性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d

(异向可减性) a ? b ,c ? d ? a ? c ? b ? d ④(可积性) a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc ⑤(同向正数可乘性) a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ⑥(平方法则) a ? b ? 0 ? an ? bn (n ? N , 且n ? 1) ⑧(倒数法则) a ? b ? 0 ? 2、几个重要不等式
2 2 ① a ? b ? 2ab ? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).

a ? b ,c ? 0 ? ac ? bc

(异向正数可除性) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a ? b
c d

⑦(开方法则) a ? b ? 0 ? n a ? n b (n ? N , 且n ? 1)

1 1 1 1 ? ;a ? b ? 0 ? ? a b a b
变形公式: ab ?
a 2 ? b2 . 2

②(基本不等式)

a?b ? ab 2

? a,b ? R ? ,(当且仅当 a ? b 时取到等号).
?

变形公式: a ? b ? 2 ab

? a?b ? ab ? ? ? . ? 2 ?

2

用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大) ,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式) (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号). ④ a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ? a,b ? R ? (当且仅当 a ? b ? c 时取到等号).
2 2 2

a?b?c 3 ? abc (a、b、c ? R? ) 3

⑤ 若ab ? 0, 则

b a b a ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) 若ab? 0, 则 ? ? ? 2 (当仅当 a=b 时取等号) a b a b
5

x ⑥ 当a ? 0时,

? a ? x2 ? a2 ? x ? ?a或x ? a;

x ? a ? x2 ? a2 ? ?a ? x ? a.

3、几个著名不等式 ①平均不等式:

2 a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? ? a,b ? R ? ? , a ?1 ? b?1 2 2
2 2 ( a ? b) 2 ? a ?b ? a ?b 2 2 a ? b ? . ; ? ? 2 2 ? 2 ? 2

(当且仅当 a ? b 时取 " ? " 号).(即调和平均 ? 几何平均 ? 算术平均 ? 平方平均). 变形公式: ab ? ?

②琴生不等式 : (特例 : 凸函数、凹函数)若定义在某区间上的函数 f ( x ) , 对于定义域中任意两点
x1 , x2 ( x1 ? x2 ),

有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 或
2 2

f(

x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则称 f(x)为凸(或凹)函数. )? . 2 2

4、不等式证明的几种常用方法 常用方法有:比较法(作差,作商法) 、综合法、分析法; 其它方法有:换元法、反证法、放缩法、构造法,函数单调性法等. 常见不等式的放缩方法: ①舍去或加上一些项,如 ( a ? ) ?
2

1 2

3 1 ? (a ? ) 2 ; 4 2

②将分子或分母放大(缩小) ,如:

1 1 ? , 2 k k (k ? 1)

1 1 ? , 2 k k (k ? 1) 1 2 ? (k ? N * , k ? 1) 等. k k ? k ?1

(

2 2 k

?

2 1 2 ?) ? , k? k k k ? k ?1

5、一元二次不等式的解法
判别式 ?

? b2 ? 4ac
二次函数

??0

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
O

的图象 一元二次方程

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的根

x1,2 ?

?b ? b2 ? 4ac 2a
? x2 )

x1 ? x2 ? ?

b 2a

无实根

(其中 x1

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x ? x1 或 x ? x2 }

{x | x ? ?

b } 2a

R

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
的解集

{x | x1 ? x ? x2}
2

?

?

求一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b ? 4ac ? 0) 解集的步骤:
2

6

一化:化二次项前的系数为正数. 二判:判断对应方程的根. 三求:求对应方程的根. 四画:画出对应函数的图象. 五解集:根据图象写出不等式的解集. 规律:当二次项系数为正时,小于取中间,大于取两边. 6、高次不等式的解法:穿根法. 分解因式,把根标在数轴上,从右上方依次往下穿(奇穿偶切) ,结合原式不等号的方向,写出不等式 的解集.

7、分式不等式的解法:先移项通分标准化,则

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? g ( x) ? g ( x) ? 0

“? 或 ?” ( 时同理) 规律:把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 8、无理不等式的解法:转化为有理不等式求解


? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a
? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 或? ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ? g ( x) ? 0 ? ? f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?



? f ( x) ? 0 f ( x) ? a(a ? 0) ? ? 2 ? f ( x) ? a



? f ( x) ? 0 ? ⑷ f ( x ) ? g ( x ) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? [ g ( x)]2 ?



规律:把无理不等式等价转化为有理不等式,从“小”的一边分析求解. 9、指数不等式的解法:
f ( x) ⑴当 a ? 1 时, a ? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

⑵当 0 ? a ? 1 时, a

f ( x)

? a g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

规律:根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

? f ( x) ? 0 ? ⑴当 a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? 0 ? . 规律:根据对数函数的性质转化. ⑵当 0 ? a ? 1 时, log a f ( x) ? log a g ( x) ? ? g ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ?
11、含绝对值不等式的解法: ⑴定义法: a ? ? 规律:关键是去掉绝对值的符号. ⑵平方法: f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x).
2 2

?a (a ? 0) . ??a (a ? 0)

⑶同解变形法,其同解定理有:
7

① x ? a ? ?a ? x ? a(a ? 0);

② x ? a ? x ? a或x ? ?a(a ? 0);

③ f ( x) ? g ( x) ? ?g ( x) ? f ( x) ? g ( x) ( g ( x) ? 0) ④ f ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x) 或f ( x) ? ? g ( x) ( g ( x) ? 0) 12、含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法: 规律:找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集,最后取各段的并集. 13、含参数的不等式的解法 解形如 ax ? bx ? c ? 0 且含参数的不等式时,要对参数进行分类讨论,分类讨论的标准有:
2

⑴ 讨论 a 与 0 的大小; ⑵ 讨论 ? 与 0 的大小;⑶ 讨论两根的大小. 14、恒成立问题 ⑴ 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
2

① 当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ② 当 a ? 0 时 ? ?
2

?a ? 0 ?? ? 0.

⑵ 不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是: ① 当 a ? 0 时 ? b ? 0, c ? 0; ② 当a ? 0 时? ?

?a ? 0 ?? ? 0.

⑶ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; ⑷ f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a; 15、 能成立问题

f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)max ? a; f ( x) ? a 恒成立 ? f ( x)min ? a.

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ;

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ?x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B . 16、恰成立问题 若不等式 f ?x ? ? A 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? A 的解集为 D ; 若不等式 f ?x ? ? B 在区间 D 上恰成立, 则等价于不等式 f ?x ? ? B 的解集为 D . 17、线性规划问题 ⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断: 法一:取点定域法: 由于直线 Ax ? By ? C ? 0 的同一侧的所有点的坐标代入 Ax ? By ? C 后所得的实数的符号相同.所以, 在实际判断时,往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( x0 , y0 ) (如原点) , Ax0 ? By0 ? C 的正负即可判 断出 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线哪一侧的平面区域. 即:直线定边界,分清虚实;选点定区域, 常选原点. 法二:根据 Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) ,观察 B 的符号与不等式开口的符号,
8

若同号, Ax ? By ? C ? 0 ( 或 ? 0) 表示直线上方的区域;若异号,则表示直线上方的区域. 即:同号上方,异号下方. ⑵二元一次不等式组所表示的平面区域: 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. ⑶利用线性规划求目标函数 z ? Ax ? By ( A, B 为常数)的最值: 法一:角点法: 如果目标函数 z ? Ax ? By ( x、 y 即为公共区域中点的横坐标和纵坐标)的最值存在,则这些最值都 在该公共区域的边界角点处取得,将这些角点的坐标代入目标函数,得到一组对应 z 值,最大的那个数 为目标函数 z 的最大值,最小的那个数为目标函数 z 的最小值 法二:画——移——定——求: 第一步,在平面直角坐标系中画出可行域;第二步,作直线 l0 : Ax ? By ? 0 ,平移直线 l0 (据可行域, 将直线 l0 平行移动)确定最优解;第三步,求出最优解 ( x, y ) ;第四步,将最优解 ( x, y ) 代入目标函数

z ? Ax ? By 即可求出最大值或最小值 .
A z z x ? , 为直线的纵截距. B B B

第二步中最优解的确定方法: 利用 z 的几何意义: y ? ?

①若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最大值,使直线的纵截 距最小的角点处, z 取得最小值; ②若 B ? 0, 则使目标函数 z ? Ax ? By 所表示直线的纵截距最大的角点处, z 取得最小值,使直线的纵截 距最小的角点处, z 取得最大值. ⑷常见的目标函数的类型: ①“截距”型: z ? Ax ? By; ②“斜率”型: z ?

y y ?b ; 或z ? x x?a

2 2 ③“距离”型: z ? x ? y 或 z ?

x 2 ? y 2 ; z ? ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 或 z ? ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 .

在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.

五、推理与证明
1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
9

归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) ; ? 证明(视题目要求,可有可无). 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后 提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 M ·a S ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 用集合的观点来理解:若集合 M 中的所有元素都具有性质 P , S 是 M 的一个子集,那么 S 中所有元素 也都具有性质 P. 从推理所得的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待进一步证明;演绎推理在前提和推理形式都 正确的前提下,得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立. 框图表示: 要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定 一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 框图表示: 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立.

六、数系的扩充与复数
10

1、复数的概念 ⑴ 虚数单位 i ; ⑵ 复数的代数形式 z ? a ? bi ⑶ 复数的实部、虚部,虚数与纯虚数. 复数 z ? a ? bi

(a, b ? R) ;

2、复数的分类

?a, b ? R ?

?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0, b ? 0) ? 虚数 ( b ? 0) ? ? ?非纯虚数(a ? 0, b ? 0) ?
⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑷ z ? a ? bi

3、相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑶ z ? a ? bi ?

a2 ? b2

z,z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数).
4、复数运算 ⑴复数加减法: ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ?bc ? ad ? i ;

⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ? c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分母实数化) 5、常见的运算规律

(1) z ? z ;
2

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
2

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

(6)i 4n?1 ? i, i 4n?2 ? ?1, i 4n?3 ? ?i, i 4n?4 ? 1;
(7) ?1 ? i ?
2

1? i 1? i ?1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i , ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?

2

(9 ) 设 ? ?

? 1 ? 3i 2 3n?1 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? ? ?, ? 3n?2 ? ? , ? 3n?3 ? 1 2

6、复数的几何意义 复平面:用来表示复数的直角坐标系,其中 x 轴叫做复平面的实轴, y 轴叫做复平面的虚轴.
一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?复平面内的点Z (a,b) 一一对应 复数z ? a ? bi ???? ?平面向量OZ

??? ?

| z1 ? z 2 | 的几何意义是 Z1、Z 2 间的距离.

七、算法初步
1、算法三种语言:自然语言、流程图、程序语言; 2、流程图中的图框:起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法;
11

起止框任何流程图都不可缺少的,它表明程序的开始和结束,所以一个完整的流程图 的首末两端必须是起止框。 输入输出框表示数据的输入或结果的输出, 它可用在算法中的任何需要输入、 输出的 位置 处理框是采用来赋值、执行计算语句、传送运算结果的图形符号 判断框判断框一般有一个入口和两个出口, 有时也有多个出口, 它是惟一的具有两个 或两个以上出口的符号,在只有两个出口的情形中,通常都分成“是”与“否” (也可用“Y”与“N” )两 个分支 用带有箭头的流程线连接图形符号. 3、算法的三种基本构: 顺序结构、条件结构、循环结构 ? ⑴顺序结构示意图:

?当型循环结构 ?直到型循环结构

语句 n 语句 n+1

顺序结构描述的是是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的。 ⑵条件结构示意图: ①IF-THEN-ELSE 格式:

②IF-THEN 格式:

是 满足条件? 是 语句 1 语句 2 满足条件? 否 否 语句

两种结构的共性: ①一个入口,一个出口。特别注意:一个判断框可以有两个出口,但一个条件分支结构只有一个出口。 ②结构中每个部分都有可能被执行,即对每一个框都有从入口进、出口出的路径。 以上两点是用来检查流程图是否合理的基本方法(当然,学习循环结构后,循环结构也有此特点) 提醒:解决分段函数的求值等问题,一般可采用条件结构来设计算法. ⑶循环结构示意图: ①当型(WHILE 型)循环结构示意图: ②直到型(UNTIL 型)循环结构示意图:

12

循环体 满足条件? 是

循环体 否 满足条件?

提醒:对于有规律的计算问题,一般可采用循环结构设计算法. 4、基本算法语句: ①输入语句的一般格式: INPUT“提示内容” ;变量 ②输出语句的一般格式: PRINT“提示内容” ;表达式 ③赋值语句的一般格式:变量=表达式 ( “=”有时也用“←” ). ④条件语句的一般格式有两种: IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为: IF—THEN 语句的一般格式为:

IF 条件
(图 1)

THEN

语句 1 ELSE 语句 2 END IF

IF 条件 THEN 语句 END IF
(图 2)

⑤循环语句的一般格式是两种: 当型循环(WHILE)语句的一般格式: 直到型循环(UNTIL)语句的一般格式:

WHILE 循环体
(图 3)

条件
(图 4)

DO 循环体 LOOP NTIL 条件

WEND

八、框图
1、流程图 2、结构图

13



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