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河南省中原名校2015届高三上学期第一次摸底考试 数学(理) WORD版含答案



中原名校 2014-2015 学年上期第一次摸底考试 高三数学(理)试题
编审:联谊会数学命题工作组 责任老师:新乡一中 (考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分)

第 I 卷选择题(共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.己知集合\ A= y | y ? x ? 1, x ? R , B ? ? x | x ? 2? ,则下列结论正确的是 B.3 B C. A ? B ? B D. A ? B ? B a ? 2i ? b ? i (a, b ? R) .其中 i 为虚数单位,则 a+b= 2.己知 i A.-1 B. 1 C. 2 D.3 3.设随机变量 ? 服从正态分布 N(3,4),若 P(? ? 2a ? 3) ? P(? ? a ? 2) ,则实数 a 的值为 A. A. ?3 ? A

?

?

7 3

B.

3 5

C.

5 3

D.

7 5

4 某程序框图如右图所示,则输出的 n 值是 A. 21 B 22 C.23

D.24

x 5 己知函数 f ( x) ? ln x ? ,则函数 f ( x ) 的零点所在的区间是 4
A.(0,1) B (1,2) C.(2,3) 6.如图,在边长为 e(e 为自然对数的 底数)的正方形中随机撒一粒黄豆, 则它落到阴影部分的概率为 D(3,4)

1 e 2 C. 2 e
A.

2 e 1 D. 2 e
B.

1 ? tan 4 2= 7.若 cos? ? ? , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2 1 1 3 A. B. ? C. D.-2 2 2 5

?

-1-

?x ? 1 ? 8.已知 a>0,x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z=2x+y 的最小值为 1,a= ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

9.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (n ? N ? ) ,且 an ? 2n ? ? ,若数列 ?Sn ? 在 n ? 7 时为 递增数列,则实数 ? 的取值范围为 A. (-15,+ ? ) B[-15,+ ? ) C.[-16,+ ? ) D. (-16,+ ? )
5 5

10 若 (2 ? 3x)5 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? a3 x3 ? a4 x4 ? a5 x5 ,则 a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 5 ? 2 等 于 A. 5
5

B.-l

C. 2

5

D. ? 2

5

11.”a<0”是”函数 f ( x) ? x( x ? 2a) 在区间 (0, ??) 上单调递增”的 A.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 B.充要条件 D.充分不必要条件
2

12 已知一函数满足 x>0 时,有 g '( x) ? 2 x ?

g ( x) ,则下列结论一定成立的是 x

g (2) ? g (1) ? 3 2 g (2) ? g (1) ? 4 C. 2
A.

g (2) ? g (1) ? 3 2 g (2) ? g (1) ? 4 D. 2
B.

第Ⅱ卷非选择题(共 90 分)
二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。 ) 13 设某几何体的三视图如下图所示,则该几何体的体积为__________.

14. 如果双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与撒物线 y ? x2 ? 2 相切,则双曲线的离 2 a b

心率为__________. 15 已知平行四边形 ABCD 中,AB=1,E 是 BC 边上 靠近点 B 的三等分点,AE ? BD,则 BC 长度的取
-2-

值范围是____________. 16 . 己 知 函 数 f ( x) ?

10 x ? 99 , x ? 10

?an?

为 a1 ? 1, d ? 2 的 等 差 数 列 , 则

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ??? ? f (a10 ) ? _____________.
三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,记角 A,B,C 的对边为 a,b,c,角 A 为锐角,设向量 m ? (cos A,sin A)

n(cos A,sin A) ,且 m ? n ?

1 2

(I)求角 A 的大小及向量 m 与 n 的夹角; (II)若 a ?

5 ,求 ? ABC 面积的最大值

18.(本小题满分 12 分) 设 X 为随机变量,从棱长为 a 的正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 ,的八个顶点中任取四个点,当 四点共面时,X=0;当四点不共面时,X 的值为四点组成的四面体的体积. (I)求概率 P(X=0); (II)求 X 的分布列,并求其数学期望 E(X). 19. (本小题满分 12 分) 己知四棱锥 P-ABCD,其中底面 ABCD 为矩形 侧棱 PA ? 底面 ABCD,其中 BC=2,AB=2PA=6, M,N 为侧棱 PC 上的两个三等分点,如右图所示: (I)求证:AN∥平面 MBD; (II)求二面角 B-PC-A 的余弦值. 20.(本小题满分 I2 分) 己知曲线 C1 : y ? ? x2 ? 1( y ? 0) 与 x 袖交于 A,B 两点,点 P 为 x 轴上方的一个动点,点 P 与 A,B 连线的斜率之积为-4 (I)求动点 P 的轨迹 C2 的方程; (Il)过点 B 的直线 l 与 C1 , C2 分别交于点 M ,Q(均异于点 A,B) ,若以 MQ 为直径的圆 经过点 A,求 ? AMQ 的面积 21 (本小题辅分 12 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ? 1) ? 2ln x (d 为常数) (I)当 a=l 对,求 f ( x ) 单调区间; (II)若函数 f ( x ) 在区间(0,1)上无零点,求 a 的最大值 【选做题】

-3-

请考生在 22、23. 24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分作答时请写 清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-l:几何证明选讲 如图, AC 于 E (I)求证: DC ? DE ? DB :
2

O 是 ? ABC 的外接圆,D 是 AC 的中点,BD 交

(II)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求

O 的半径 r

23. (本小题满分 l0 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 己知抛物线 y ? x ? m 的顶点 M 到直线 l : ?
2

? ?x ? t (t 为参数)的距离为 1 ? ? y ? 1 ? 3t

(I)求 m: (II)若直线 l 与抛物线相交于 A,B 两点,与 y 轴交于 N 点,求 S?MAN ? S?MBN 的值 24 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 己知长方体的三条棱长分别为 a、b、c,其外接球的半径为 (I)求长方体体积的最大值: (II)设 m ? (1,3, 6), n ? (a, b, c) ,求 m ? n 的最大值

3 2

理数答案
-4-

答案:DBACB 13. 4
17.解: (1) m ? n ?

CDBDA DB 14. 3

15.
? cos 2 A ?

(1,3)
1 2

16. 100

cos 2 A ? sin 2 A
?
3

因为角 A 为锐角,所以 2 A ?

,A?

?
6

……………………………………3 分

根据 m ? n ?| m | ? | n | ? cos ? m,n ? ?

? m, n ??

?
3

1 2

………………………………………………….6 分

? (2)因为 a ? 5 , A ? ,
6
( 5)
2

? b ? c ? 2bc cos

2

2

? 得: bc ? 5(2 ? 3) ……………………9 分
6

1 5(2 ? 3) S ? bc sin A ? 2 4
即 ?ABC 面积的最大值为

5(2 ? 3) ……………………………….12 分 4

18.解(1)从正方体的八个顶点中任取四个点,共有 C84 ? 70 种不同取法. 其中共面的情况共有 12 种(6 个侧面,6 个对角面). 则 P(X=0)=

12 6 . ? 70 35

…………………………………………………4 分

(2)任取四个点,当四点不共面时,四面体的体积只有以下两种情况: ①四点在相对面且异面的对角线上,体积为 a 3 ? 4 ? ?

1 1 3 1 3 a ? a 3 2 3
1 3 a . 6
8分

这样的取法共有 2 种.……………………………………………6 分 ②四点中有三个点在一个侧面上,另一个点在相对侧面上,体积为

这样的取法共有 70 ? 12 ? 2 ? 56 种 ……………………………………………… X 的可能取值是 0, a 3 , X 的分布列为

1 3

1 3 a ………………………………………………9 分 6

X

0
6 35

1 3 a 3
1 35

1 3 a 6
28 35

P

数学期望 E(X)= a 3 ?

1 3

1 1 3 28 1 3 ? a ? ? a .……………………………………………… 12 分 35 6 35 7
-5-

19.(1)证明:连结 AC 交 BD 于 O,连结 OM, ∵底面 ABCD 为矩形,∴O 为 AC 中点,∵M、N 为侧棱 PC 的三等份点,∴CM=CN, ∴OM//AN, ∵OM ? 平面 MBD,AN ? 平面 MBD,∴AN//平面 MBD 4 分. (2)易知 ?ABP 为等腰直角三角形,所以 BP 为外接圆的直径,所以 PB= 3 2 ,PA=3 如图所示,以 A 为原点,建立空间直角坐标系 A-xyz,
z
P
N

A

M

D y
C

x B

则 A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,6,0),D(0,6,0),P(0,0,3),M(2,4,1),N(1,2,2), 设平面 BCP 的法向量为 m ? ( x, y, z) ,

BP ? (?3,0,3), BC ? (0,6,0) ,并且 m ? BP, m ? BC ,

??3x ? 3z ? 0 ?? ,令 x ? 1, 得 y ? 0, z ? 1, ?6 y ? 0

∴平面 MBD 的一个法向量为 m ? (1,0,1) , 设平面 PAC 法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) , 同理可得 n ? (2, ?1,0) 8分

6分

cos ? m, n ??

m? n 2 10 ? ? 5 | m || n | 2 5

10 分

由图可知,二面角 B ? PC ? A 为锐角, ∴二面角 B ? PC ? A 的余弦值为

10 5
y Q A O B

20.解:(1)不妨设点 A 在点 B 左侧,则 A(?1, 0), B(1, 0) 设 P( x, y )( y ? 0) ,则 k AP k BP ?

y y ? ? ?4 x ?1 x ?1

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) 整理得: 4
所以动点 P 的轨迹 C2 的方程为 没有 y 的范围扣 1 分

x

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) --------5 分 4

P

-6-

(2)由(1)知,上半椭圆 C2 的方程为

y2 ? x 2 ? 1( y ? 0) . 4

易知,直线 l 与 x 轴不重合也不垂直,设其方程为 y=k(x-1)(k≠0), 代入 C2 的方程,整理得(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*) 设点 M 的坐标为(xP,yP), ∵直线 l 过点 B,∴x=1 是方程(*)的一个根. k2-4 -8k 由求根公式,得 xM= 2 ,从而 yM= 2 , k +4 k +4

?k -4 -8k ? ∴点 M 的坐标为? 2 , 2 ?. --------------------------------7 分 ?k +4 k +4?
?y=k(x-1)(k≠0), ? 同理,由? 2 ? ?y=-x +1(y≤0),

2

得点 Q 的坐标为(-k-1,-k2-2k). 由题意可知 AM⊥AQ,且 AM ? (

2k 2 ?8k , 2 ), AQ ? (?k , ?k 2 ? 2k ) . 2 k ?4 k ?4

-2k2 ∴ AM ? AQ ? 0 ,即 2 [k-4(k+2)]=0, k +4 ∵k≠0, 8 ∴k-4(k+2)=0,解得 k=- .--------------------------------10 分 3

48 16 , yQ ? ? 25 9 1 832 ∴ S ?APQ ? | AB || yP ? yQ |? 2 225 832 所以 ?APQ 的面积为 .…………………………12 分 225
∴ yP ? 答案: 21.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2ln x , f '( x) ? 1 ? 由 f '( x) ? 0 得 x ? 2 ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? 2 故 f ( x) 的单调递减区间为 (0, 2) ,单调递增区间为 (2, ??) (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上无零点,则 对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立或者 f ( x) ? 0 恒成立. 由 x ? (0,1) ,得 x ? 1 ? 0 , ?2 ln x ? 0 , 故若 a ? 0 , f ( x) ? a( x ? 1) ? 2ln x ? 0 恒成立; ……………5 分

2 x?2 ? x x

-7-

a a a a 若 a ? 0 , ?x0 ? ( ) ? (0,1) , f ( x0 ) ? f [( ) ] ? a[( ) ? 1] ? 2 ln( )

1 e

1 e

1 e

1 e

1 ? a( )a ? a ? 0 e
所以,函数 f ( x) ? 0 在区间 (0,1) 上不可能恒成立,故要使函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上无零点, 只要对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立. (后续步骤分为解法一和解法二) 解法一: ……………8 分

2 ax ? 2 ? , x x 2 2 2 当 a ? 2 ,即 0 ? ? 1 时,由 f '( x) ? 0 得 x ? ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a a 2 2 即 f ( x ) 在区间 (0, ) 上单调递减,在区间 ( ,1) 上单调递增; a a 2 2 2 2 此时 f ( x) min ? f ( ) ? a ( ? 1) ? 2 ln ? 2 ? a ? 2 ln , a a a a 2 2 2?a ? 0 ,故 g (a) ? g (2) ? 0 , 构造 g (a) ? 2 ? a ? 2 ln , g '(a ) ? ?1 ? ? a a a f '( x) ? a ?
所以当 a ? 2 时, f ( x)min ? 0 ,即对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 不恒成立,舍去; …………10 分 当 a ? 2 ,即

2 2 2 ? 1 时,由 f '( x) ? 0 得 x ? ,由 f '( x) ? 0 得 0 ? x ? , a a a

即 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递减,故 f ( x) ? f (1) ? 0 , 满足对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立, 综上, a ? 2 ,即 a 的最大值为 2.…………12 分 解法二: 由对 ?x ? (0,1) , f ( x) ? 0 恒成立可得对 ?x ? (0,1) , a ?

2 ln x 恒成立. x ?1

2 2 ( x ? 1) ? 2 ln x 2 ? ? 2 ln x 2 ln x x ? 令 g ( x) ? , g '( x ) ? x 2 ( x ? 1) ( x ? 1) 2 x ?1
令 h( x ) ? 2 ? 即 h( x ) ? 2 ?

2 2 2 2 ? 2x ? 2 ln x ,由 h '( x) ? 2 ? ? ? 0 得 h( x) 在区间 (0,1) 上单调递增, x x x x2

h( x ) 2 ? 2 ln x ? h(1) ? 0 ,从而 g '( x) ? ? 0, x ( x ? 1) 2

即 g ( x) 在区间 (0,1) 上单调递减,

-8-

由罗比达法则知 lim

2ln x (2ln x) ' 2 ? lim ? lim ? 2 ,即 g ( x) ? 2 , x ?1 x ? 1 x ?1 ( x ? 1) ' x ?1 x
2 ln x 恒成立,可得 a ? 2 ,即 a 的最大值为 2 x ?1
…………12 分

若对 ?x ? (0,1) , a ?

→ 22.(1)证明:由 D 为AC中点知,∠ABD=∠CBD,

又∵∠ABD=∠ECD,∴∠CBD=∠ECD, 又∠CDB=∠EDC, DE DC ∴△BCD~△CED,∴ = , DC DB ∴DC2=DE· DB;…………………………5 分 ︵ (2)∵D 是AC的中点,∴OD⊥AC, 设 OD 与 AC 交于点 F,则 OF=1, 在 Rt△COF 中,OC2=CF2+OF2,即 CF2=r2-1, 在 Rt△CFD 中,DC2=CF2+DF2, ∴(2 3)2=r2-1+(r-1)2,解得 r=3. …………………………10 分 23.解: (1)M(0,m),直线 l 的一般方程 3x ? y ? 1 ? 0 M 到直线 l 的距离为

?m ? 1 ? 1解得m ? ?1或3 …………………………4 分 2

(2)直线与抛物线相交于 A、B 两点,故 m ? ?1 .

将直线 l 的一个标准参数方程为 得 故

代入

,

=

…………………………10 分

2 2 2 24. 解(1)由题意可知 a ? 0,b ? 0,c ? 0且a ? b ? c ? 9 ,

由三个正数的基本不等式可得 a ? b ? c ? 3 a b c ? 3(abc) 3 ,
2 2 2 3 2 2 2

2

-9-

即 abc ? 3 3,当且仅当“ a ? b ? c ? 3”时取等号,所以 长方体体积的最大值 V ? 3 3 ;…………………………5 分 (2) m ? n ? a ? 3b ? 6c ,根据柯西不等式,有

? ?

(a2 ? b2 ? c2 )(12 ? 32 ? ( 6 )2 ) ? (a ? 3b ? 6c)2 ,

a ? 3b ? 6c ? 12 , 当且仅当“

a b c 3 9 3 6 ”即“ a ? ,b ? ,c ? ”时, ? ? 1 3 4 4 4 6

? ? m ? n ? a ? 3b ? 6c 取得最大值 12.…………………………10 分

- 10 -



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