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江西省新余市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析



2014-2015 学年江西省新余市高二(上)期末数学试卷(文科)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知复数 z 满足(1+ i)z=1+i,则|z|=( ) A. B. C. D. 2

2. 用反证法证明某命题时, 对结论: “自然数 a, b, c 中恰有一个偶数” 正确的反设为 ( A. a,b,c 中至少有

两个偶数 B. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C. a,b,c 都是奇数 D. a,b,c 都是偶数 3.若 a<b<0,则下列不等式中,一定成立的是(
2 2 2 2 2 2




2 2

A. a <ab<b B. a >ab>b C. a <b <ab D. a >b >ab 4.以下有关线性回归分析的说法不正确的是( )

A. 在回归线方程 =0.4x+12 中,当自变量 x 每增加一个单位时,变量 平均增加约为 0.4 个单位 B. 用最二乘法求回归直线方程,是寻求使
2

(y1﹣bx﹣a) 最小的 a,b 的值

2

C. 相关系数为 r,若 r 越接近 1,则表明回归线的效果越好 D. 相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱 5.在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=( A. 10 B. 18 C. 20 D. 28 )

6.已知数列{an}的通项公式 an=2014sin A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015

,则 a1+a2+…+a2014=(



7.运行如图所示的程序框图,若输出的结果为

,则判断框中应该填的条件是(



A. k≤5? B. k≤6? C. k≤7? D. k≤8? 8.有一段演绎推理是这样的: “因为对数函数 y=logax 是增函数;已知 y= 数,所以 y= x 是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( ) x 是对数函

A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误

9.已知 x,y 满足

,则

的取值范围是(



A. [0, ] B. [0, ] C. [1,

] D. [2,

]

10.若 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项的和,且

=

(n∈N ) ,则

*

+

=(



A.

B.

C.

D.

11.若不等式(a﹣a ) ?(x +1)+x≤0 对一切 x∈[(0,2]恒成立, 则 a 的取值范围为( A. (﹣∞, C. [ , ) B. [ ,+∞) ]∪[ ,+∞)

2

2



] D. (﹣∞,

12.在△ABC 中,AB=5,AC=6,cosA= ,O 是△ABC 的内心,若 [0,1],则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为( A. B. C. 4 D. 6 )

=x

+y

,其中 x,y∈

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.先后抛两枚均与的筛子,记“第一颗骰子的点数是 3 的倍数”为事件 A, “两颗骰子的 点数之和大于 7”为事件 B,则 P(B|A)= . 14.已知{an}是公比为 q 的正项等比数列,不等式 x ﹣a3x+a4≤0 的解集是{x|a1≤x≤a2}, 则 q= . 15.如图,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里 的 M 处, 下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处, 则这只船的航行速度为 海 里/小时.
2

16.数列{an}是正项等差数列,若 类比上述结论,写出正项等比数列{cn},若 dn=

,则数列{bn}也为等差数列, 则数列{dn}也为等比数列.

三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.设集合 A 为函数 y=ln(﹣x ﹣2x+8)的定义域,集合 B 为函数 y=x+
2

(x>﹣2)的

值域,集合 C 为不等式(ax﹣1) (x﹣2)≤0 的解集, (1)求 A∩B; (2)若 C? CRA,求 a 的取值范围. 18.大一学生小王选修了一门“教学与生活” ,这门课程的期末考核分理论考核与社会实践 考核两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ,两部分考核都“合格”者, 则可获得该门课程的学分.甲、乙、丙三人在理论考核中“合格”的概率依次为 、 、 , 在社会实践考核中“合格”的概率依次为 、 、 ,所有考核是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙 3 人同时进行理论与社会实践考核,谁获得学分的可能性最大; (2)求这 3 人进行理论与社会实践两项考核后,恰有 2 人获得获得学分的概率.

19.已知数列{an}中 a3=2,在平面直角坐标系中,设 =(2an﹣1) , =(1,2an+1) ,且 ﹣1. (1)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn; 2n (2)数列{bn}满足 bn=an? 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

=

20.已知向量 =(sinx,﹣1) , =(

cosx,﹣ ) ,函数 f(x)=( + ) ?

﹣2

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T 及单调减区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 (A)=1.求 A,b 和△ABC 的面积.

,c=4,且 f

21.我校数学老师这学期分别用 A,B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均 为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同,勤奋程度和自觉性都一样) .现随机抽取甲、 乙两班各 20 名的数学期末考试成绩,得到茎叶图: (1)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (2)现从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 86 分的同学 至少有一个被抽中的概率; (3)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2×2 列联表,并判断“能否在 犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 甲班 优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: P (K ≥k) 0.150.10 k 2.072 (参考公式:
2

乙班

合计

0.05 2.706

0.025 3.841

0.010 5.024

0.005 6.635

0.001 7.879 10.828

其中 n=a+b+c+d)

22.设数列{an}的前 n 项和 Sn>0,a1=1,a2=3,且当 n≥2 时,anan+1=(an+1﹣an)Sn. (1)求证:数列{Sn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)令 bn= 在正整数 n,使等式 Tn+ 由. ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn.设λ是整数,问是否存 成立?若存在,求出 n 和相应的λ值;若不存在,说明理

2014-2015 学年江西省新余市高二 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分) 1.已知复数 z 满足(1+ i)z=1+i,则|z|=( ) A. B. C. D. 2

考点: 专题: 分析: 解答: ∴

复数代数形式的乘除运算. 数系的扩充和复数. 利用复数代数形式的乘除运算化简求出 z,然后直接代入复数模的公式求解. 解:∵(1+ i)z=1+i, = .





故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数模的求法,是基础题. 2. 用反证法证明某命题时, 对结论: “自然数 a, b, c 中恰有一个偶数” 正确的反设为 ( A. a,b,c 中至少有两个偶数 B. a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 C. a,b,c 都是奇数 D. a,b,c 都是偶数 )

考点: 反证法与放缩法. 专题: 阅读型. 分析: 找出题中的题设,然后根据反证法的定义对其进行否定. 解答: 解:∵结论: “自然数 a,b,c 中恰有一个偶数” 可得题设为:a,b,c 中恰有一个偶数 ∴反设的内容是 假设 a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数. 故选 B. 点评: 此题考查了反证法的定义,反证法在数学中经常运用,当论题从正面不容易或不能 得到证明时,就需要运用反证法,此即所谓“正难则反“. 3.若 a<b<0,则下列不等式中,一定成立的是(
2 2 2 2 2 2


2 2

A. a <ab<b B. a >ab>b C. a <b <ab D. a >b >ab 考点: 不等式的基本性质.

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 由于 a<b<0,利用不等式的基本性质可得 a >ab>b . 解答: 解:∵a<b<0, ∴a >ab>b , 故选:B. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 4.以下有关线性回归分析的说法不正确的是( )
2 2 2 2

A. 在回归线方程 =0.4x+12 中,当自变量 x 每增加一个单位时,变量 平均增加约为 0.4 个单位 B. 用最二乘法求回归直线方程,是寻求使
2

(y1﹣bx﹣a) 最小的 a,b 的值

2

C. 相关系数为 r,若 r 越接近 1,则表明回归线的效果越好 D. 相关系数 r 越小,表明两个变量相关性越弱 考点: 回归分析. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: 根据线性回归方程、最小二乘法、相关指数的定义和性质分别进行判断即可. 解答: 解:在回归直线方程 =0.4x+12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,变量 平均 增加约为 0.4 个单位,故 A 正确; 由于用最小二乘法求回归直线方程,是寻求使 确; 相关系数为 r,若 r 越接近 1,则表明回归线的效果越好,故 C 正确; 由于相关系数 r 的绝对值越小,表明两个变量相关性越弱,故 D 不正确. 故选:D. 点评: 本题考查线性回归方程,考查学生对线性回归方程的理解,属于基础题. 5.在等差数列{an}中,已知 a3+a8=10,则 3a5+a7=( A. 10 B. 18 C. 20 D. 28 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 根据等差数列性质可得:3a5+a7=2(a5+a6)=2(a3+a8) .即可得到结论. 解答: 解:由等差数列的性质得: 3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+(2a6)=2(a5+a6)=2(a3+a8)=20, 故选 C. 点评: 本题考查等差数列的性质及其应用,属基础题,准确理解有关性质是解决问题的关 键. )
2

(y1﹣bx﹣a) 最小的 a,b 的值,故 B 正

2

6.已知数列{an}的通项公式 an=2014sin A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015 考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列.

,则 a1+a2+…+a2014=(



分析: 数列{an}是以 4 为周期的周期数列,由此能求出结果. 解答: 解: a2=2014sinπ=0, =﹣2014, a4=2014sin2π=0, 数列{an}是以 4 为周期的周期数列, 2014=503×4+2, ∴a1+a2+…+a2014=503×0+2014+0=2014. 故选:C. 点评: 本题考查数列的前 2014 项和的求法,是基础题,解题时要注意周期数列的性质的灵 活运用. =2014,

7.运行如图所示的程序框图,若输出的结果为

,则判断框中应该填的条件是(



A. k≤5? B. k≤6? C. k≤7? D. k≤8? 考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S= ,k=7,根据题意,应该退

出执行循环体,输出 S 的值,故判断框中应该填的条件为 k≤6. 解答: 解:执行程序框图,有 S=1,k=1 第 1 次执行循环体,有 S=1+ ,k=2 第 2 次执行循环体,有 S=1+ + ,k=3

第 3 次执行循环体,有 S=1+ + 第 4 次执行循环体,有 S=1+ + 第 5 次执行循环体,有 S=1+ + 第 6 次执行循环体,有 S=1+ + 此时 S=1+ + ﹣ =

+ + + +

,k=4 + + + ,k=5 + + ,k=6 + ,k=7

,根据题意,应该退出执行循环体,输出 S 的值,

故选:B. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,属于基础题. 8.有一段演绎推理是这样的: “因为对数函数 y=logax 是增函数;已知 y= 数,所以 y= x 是增函数”的结论显然是错误的,这是因为( ) x 是对数函

A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误 考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 阅读型. 分析: 对数函数的底数的范围不同, 则函数的增减性不同, 当 a>1 时, 函数是一个增函数, 当 0<a<1 时,对数函数是一个减函数,对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是增函数这个大 前提是错误的. 解答: 解:∵当 a>1 时,函数 y=logax(a>0 且 a≠1)是一个增函数, 当 0<a<1 时,此函数是一个减函数 ∴y=logax(a>0 且 a≠1)是增函数这个大前提是错误的, 从而导致结论错. 故选 A. 点评: 本题考查演绎推理的基本方法,考查对数函数的单调性,解题的关键是理解函数的 单调性,分析出大前提是错误的.

9.已知 x,y 满足

,则

的取值范围是(



A. [0, ] B. [0, ] C. [1,

] D. [2,

]

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,设 z= 的几何意义,即可得到结论. ,则 z= +1,设 k= ,利用 k

解答: 解:由题意绘出可行性区域如图所示, 设 z= ,则 z= +1,设 k= ,则 z=k+1,

k 的几何意义是可行域内任一点与点(4,2)连线的斜率 k 的取值范围, 由图象可得 ∴z= 故选:C ∈[0, ], .

点评: 本题主要考查线性规划的应用,将条件转化为 z=k+1,利用数形结合是解决本题的 关键.

10.若 Sn,Tn 分别是等差数列{an},{bn}的前 n 项的和,且

=

(n∈N ) ,则

*

+

=(



A.

B.

C.

D.

考点: 等差数列的性质;等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的前 n 项和与题意,不妨设 Sn=n(2n+1)=2n +n,Tn=n(4n﹣2)=4n ﹣ 2n,由公式求出 an、bn,再代入所求的式子进行化简求值. 2 2 解答: 解:设 Sn=n(2n+1)=2n +n,Tn=n(4n﹣2)=4n ﹣2n, ∴an=Sn﹣Sn﹣1=4n﹣1,bn=Tn﹣Tn﹣1=8n﹣6, ∴a10=39,a11=43,b3=18,b6=42,b15=114,b18=138, 则原式= + = = .
2 2

故选:D. 点评: 此题考查等差数列的通项公式、前 n 项和公式的灵活应用,及数列的前 n 项和与数 列中项的关系,熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键. 11.若不等式(a﹣a ) ?(x +1)+x≤0 对一切 x∈[(0,2]恒成立, 则 a 的取值范围为(
2 2



A. (﹣∞, C. [ ,

) B. [

,+∞) ]∪[ ,+∞)

] D. (﹣∞,

考点: 函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先将原不等式中的参数分离出来,然后研究不等号右边函数的最值即可,注意基本 不等式的应用. 解答: 解:由题意,要使原式成立,只需 令 f(x)= ,x∈(0,2]. 恒成立.

由 x∈(0,2]得 所以 ,

,当且仅当 x= ,即 x=1 时取等号,

所以要使原不等式恒成立,只需 解得 或 .

即可,

故选 D. 点评: 本题考查了不等式恒成立问题的解题方法,一般转化为函数的最值问题求解,求参 数范围的问题,能分离参数的尽量分离参数.

12.在△ABC 中,AB=5,AC=6,cosA= ,O 是△ABC 的内心,若 [0,1],则动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为( A. B. C. 4 D. 6 )

=x

+y

,其中 x,y∈

考点: 轨迹方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 根据向量加法的平行四边形法则, 得动点 P 的轨迹是以 OB, OC 为邻边的平行四边形, 其面积为△BOC 面积的 2 倍. 解答: 解:根据向量加法的平行四边形法则,得动点 P 的轨迹是以 OB,OC 为邻边的平行四 边形,其面积为△BOC 面积的 2 倍. 在△ABC 中,由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bccosA,代入数据,解得 BC=7, 设△ABC 的内切圆的半径为 r,则 所以 , ,解得 ,
2 2 2

故动点 P 的轨迹所覆盖图形的面积为



点评: 本题考查轨迹方程,根据向量加法的平行四边形法则,得动点 P 的轨迹是以 OB,OC 为邻边的平行四边形,其面积为△BOC 面积的 2 倍是关键. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 13.先后抛两枚均与的筛子,记“第一颗骰子的点数是 3 的倍数”为事件 A, “两颗骰子的 点数之和大于 7”为事件 B,则 P(B|A)= .

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: 记“第一颗骰子的点数是 3 的倍数”为事件 A,共有基本事件 12 个,在 A 发生的条 件下,两颗骰子的点数之和大于 7,有基本事件 3 个,即可求出概率. 解答: 解:由题意,记“第一颗骰子的点数是 3 的倍数”为事件 A,共有基本事件 12 个, 在 A 发生的条件下,两颗骰子的点数之和大于 7,有基本事件 3 个, ∴P(B|A)= 故答案为: . 点评: 本题考查条件概率,考查学生的计算能力,属于中档题. 14.已知{an}是公比为 q 的正项等比数列,不等式 x ﹣a3x+a4≤0 的解集是{x|a1≤x≤a2}, 则 q= .
2

= .

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: 利用韦达定理,可得 a1+a2=a3,结合等比数列的通项公式,即可得出结论. 2 解答: 解:∵不等式 x ﹣a3x+a4≤0 的解集是{x|a1≤x≤a2}, 2 ∴a1+a2=a3,∴1+q=q , ∵q>0, ∴q= ,

故答案为: 点评: 本题考查等比数列的性质,考查学生的计算能力,比较基础. 15.如图,一船自西向东匀速航行,上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距塔 68 海里 的 M 处,下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处,则这只船的航行速度为 /小时. 海里

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 综合题. 分析: 根据题意可求得∠MPN 和,∠PNM 进而利用正弦定理求得 MN 的值,进而求得船航行 的时间,最后利用里程除以时间即可求得问题的答案. 解答: 解:由题意知∠MPN=75°+45°=120°,∠PNM=45°. 在△PMN 中,由正弦定理,得 = ,

∴MN=68×

=34



又由 M 到 N 所用时间为 14﹣10=4(小时) , ∴船的航行速度 v= 故答案为: . = (海里/时) ;

点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.解答关键是利用正弦定理建立边角关系,考 查了学生分析问题和解决问题的能力.

16.数列{an}是正项等差数列,若

,则数列{bn}也为等差数列,

类比上述结论, 写出正项等比数列{cn}, 若 dn= 列{dn}也为等比数列. 考点: 类比推理. 专题: 计算题;压轴题.

则数

分析: 根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和, 除以下标的和,等比数列要类比出一个结论,只有乘积变化为乘方,除法变为开方,写出结 论. 解答: 解:∵根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字 倍的和,除以下标的和, ∴根据新的等比数列构造新的等比数列, 乘积变化为乘方 c1c2 c3 …cn , 原来的除法变为开方
2 3 n

故答案为: 点评: 本题考查类比推理,两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征, 推出另一类对象的也具有这类特征,是一个有特殊到特殊的推理. 三、解答题(共 6 小题,满分 70 分) 17.设集合 A 为函数 y=ln(﹣x ﹣2x+8)的定义域,集合 B 为函数 y=x+
2

(x>﹣2)的

值域,集合 C 为不等式(ax﹣1) (x﹣2)≤0 的解集, (1)求 A∩B; (2)若 C? CRA,求 a 的取值范围. 考点: 集合的包含关系判断及应用;交集及其运算. 专题: 计算题;集合. 分析: (1)通过对数函数的定义域求出集合 A,函数的值域求出集合 B,然后求解 A 与 B 的交集. (2) 求出 A 的补集, 利用 C? ? RA, 通过 a 的范围, 讨论不等式的解集,求出 a 的范围即可. 2 解答: 解: (1)∵﹣x ﹣2x+8>0, ∴解得 A=(﹣4,2) . ∵x>﹣2,∴y=x+ ∴B=[0,+∞) ; ∴A∩B=[0,2) ; (2)∵CRA=(﹣∞,﹣4]∪[2,+∞) ,C? CRA, 若 a<0,不等式(ax﹣1) (x﹣2)≤0 的解集只能是(﹣∞, ]∪[2,+∞) ,故定有 ≤﹣ 4 得﹣ ≤a<0. 若 a>0,则不等式(ax﹣1) (x﹣2)≤0 的解集只能是? ,否则不满足题意. 若 a=0,不等式(ax﹣1) (x﹣2)≤0 的解集只能是[2,+∞) ,满足题意,所以 a=0 成立. ∴a 的范围为 0≥a≥﹣ . 点评: 本题主要考查了集合的交并补混合运算,较为简单,关键是将各集合的元素计算出 来.考查分类讨论思想. =x+2+ ﹣2≥0.

18.大一学生小王选修了一门“教学与生活” ,这门课程的期末考核分理论考核与社会实践 考核两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格” ,两部分考核都“合格”者, 则可获得该门课程的学分.甲、乙、丙三人在理论考核中“合格”的概率依次为 、 、 , 在社会实践考核中“合格”的概率依次为 、 、 ,所有考核是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙 3 人同时进行理论与社会实践考核,谁获得学分的可能性最大; (2)求这 3 人进行理论与社会实践两项考核后,恰有 2 人获得获得学分的概率. 考点: 相互独立事件的概率乘法公式;互斥事件的概率加法公式. 专题: 概率与统计. 分析: (1)设事件 A,B,C 分别表示“甲、乙、丙获得学分” ,由已知条件利用相互独立 事件乘法公式分别求出 P(A) ,P(B) ,P(C) ,由此得到甲、乙、丙 3 人同时进行理论与社 会实践考核,丙获得学分的可能性最大. (2)这 3 人进行理论与社会实践两项考核后,利用 P=P( )+P(A C)+P(AB ) ,能 求出恰有 2 人获得获得学分的概率. 解答: 解: (1)设事件 A,B, C 分别表示“甲、乙、丙获得学分” , 由已知得 P(A)= P(B)= P(C)= = = = = = , , = ,

∴P(C)>P(B)>P(A) , ∴甲、乙、丙 3 人同时进行理论与社会实践考核,丙获得学分的可能性最大. (2)这 3 人进行理论与社会实践两项考核后,恰有 2 人获得获得学分的概率: P=P( = )+P(A C)+P(AB ) + + = .

点评: 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法 公式和互斥事件概率加法公式的合理运用.

19.已知数列{an}中 a3=2,在平面直角坐标系中,设 =(2an﹣1) , =(1,2an+1) ,且 ﹣1. (1)求数列{an}的通项公式 an 和前 n 项和 Sn; 2n (2)数列{bn}满足 bn=an? 2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 考点: 数列的求和;平面向量数量积的运算. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用数量积运算可得:2an﹣2an+1=﹣1,化为 的通项公式及其前 n 项和公式即可得出;

=

,再利用等差数列

(2)bn=an? 2 =(n+1) ? 2

2n

2n﹣1

.利用“错位相减法” 、等比数列的前 n 项和公式即可得出. =﹣1.

解答: 解: (1)∵ =(2an,﹣1) , =(1,2an+1) ,且 ∴2an﹣2an+1=﹣1, 化为 ,

∴数列{an}是等差数列,a3=2,公差为 . ∴an= =2+ = .

∴Sn=
2n

=


2n﹣1

(2)bn=an? 2 =(n+1) ? 2 . 3 5 2n﹣1 ∴数列{bn}的前 n 项和 Tn=2×2+3×2 +4×2 +…+(n+1) ? 2 , 3 5 2n﹣1 2n+1 4Tn=2×2 +3×2 +…+n? 2 +(n+1) ? 2 , 2 3 5 2n﹣1 ∴﹣3Tn=2 +2 +2 +…+2 ﹣(n+1) ? 2
2n+1

=2+

=



∴Tn=



点评: 本题考查了“错位相减法” 、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、数 量积运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

20.已知向量 =(sinx,﹣1) , =(

cosx,﹣ ) ,函数 f(x)=( + ) ?

﹣2

(1)求函数 f(x)的最小正周期 T 及单调减区间; (2)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,其中 A 为锐角,a=2 (A)=1.求 A,b 和△ABC 的面积.

,c=4,且 f

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法;正弦函数的单调性;正弦定 理. 专题: 解三角形. 分析: (1)由已知利用向量的运算及数量积即可得到 ,进而得到 f(x) ,利

用正弦函数周期公式及其单调性即可得到函数 f(x)的最小正周期 T 及单调减区间; (2)利用(1)即可得到 A,再利用正弦定理即可得到 C,利用三角形内角和定理即可得到 B,利用直角三角形含 30°角的性质即可得出边 b,进而得到三角形的面积 解答: 解析: (1)∵ , , .

∴( = = = ∴ ∴ 由 解得



=

?(sinx,﹣1)

+2, = . , . . , ,解得 A= , ; .

∴单调递减区间是 (2)∵f(A)=1,∴ ∵A 为锐角,∴ 由正弦定理得

∴ ∴ ∴

= ,∴ =2. .

=1,C∈(0,π) ,∴



点评: 本题综合考查了向量的运算及数量积运算、正弦函数的单调性及其性质、正弦定理、 直角三角形的边角关系及其面积等基础知识与基本技能,考查了推理能力和计算能力. 21.我校数学老师这学期分别用 A,B 两种不同的教学方式试验高一甲、乙两个班(人数均 为 60 人,入学数学平均分数和优秀率都相同,勤奋程度和自觉性都一样) .现随机抽取甲、 乙两班各 20 名的数学期末考试成绩,得到茎叶图: (1)依茎叶图判断哪个班的平均分高? (2)现从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为 86 分的同学 至少有一个被抽中的概率; (3)学校规定:成绩不低于 85 分的为优秀,请填写下面的 2×2 列联表,并判断“能否在 犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为成绩优秀与教学方式有关?” 甲班 乙班 合计

优秀 不优秀 合计 下面临界值表仅供参考: P (K ≥k) 0.150.10 k 2.072 (参考公式:
2

0.05 2.706

0.025 3.841

0.010 5.024

0.005 6.635

0.001 7.879 10.828

其中 n=a+b+c+d)

考点: 独立性检验的应用. 专题: 概率与统计. 分析: (1)依据茎叶图,确定甲、乙班数学成绩集中的范围,即可得到结论; (2)利用列举法,确定基本事件的个数,利用古典概型的概率公式,即可得到结论; (3)根据成绩不低于 85 分的为优秀,可得 2×2 列联表,计算 K ,从而与临界值比较,即 可得到结论. 解答: 解: (1)甲班数学成绩集中于 60﹣90 分之间,而乙班数学成绩集中于 80﹣100 分之 间, 所以乙班的平均分高﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) (2)记成绩为 86 分的同学为 A,B,其他不低于 80 分的同学为 C,D,E,F “从甲班数学成绩不得低于 80 分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本 事件有: (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (A,F) (B,C) (B,D) (B,E) (B,F) (C,D) (C, E) (C,F) (D,E) (D,F) (E,F)一共 15 个, “抽到至少有一个 86 分的同学”所组成的基本事件有: (A,B) (A,C) (A,D) (A,E) (A, F) (B,C) (B,D) (B,E) (B,F)共 9 个,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分) 故 P= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(7 分) (3) 甲班 乙班 合计 优秀 3 10 13 不优秀 17 10 27 合计 20 20 40 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) ∴K =
2

≈5.584>5.024,

因此在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下可以认为成绩优秀与教学方式有关. ﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分)

点评: 本题考查概率的计算,考查独立性检验知识,考查学生的计算能力,属于中档题. 22.设数列{an}的前 n 项和 Sn>0,a1=1,a2=3,且当 n≥2 时,anan+1=(an+1﹣an)Sn. (1)求证:数列{Sn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)令 bn= 在正整数 n,使等式 Tn+ 由. 考点: 数列与函数的综合;数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 通过当 n≥3 时, an=Sn﹣Sn﹣1, an+1=Sn+1﹣Sn, 代入 anan+1= (an+1﹣an) Sn, 通过 S1=1,S2=4,S3=16,满足 数列; (2)利用(1)求出 Sn,然后求数列{an}的通项公式; (3) 化简 bn= , 利用裂项法求出数列{bn}的前 n 项和为 Tn. 通过 n=1, 是整数,从而λ=4 是整数符合题意.然后 ,而 Sn 恒为正值,即可证明数列{Sn}是等比 ,记数列{bn}的前 n 项和为 Tn.设λ是整数,问是否存 成立?若存在,求出 n 和相应的λ值;若不存在,说明理

推出λ不是整数,不符合题意,n≥2, 得到结论

解答: 解: (1)当 n≥3 时,an=Sn﹣Sn﹣1,an+1=Sn+1﹣Sn, 代入 anan+1=(an+1﹣an)Sn 并化简得 (n≥3) ,…(4 分)anan+1=(an+1﹣an)Sn,

又由 a1=1,a2=3 得 S2=4, 代入 a2a3=(a3﹣a2)S2 可解得 a3=12,∴S1=1,S2=4,S3=16, 也满足 (2)由(1)知 ,而 Sn 恒为正值,∴数列{Sn}是等比数列.…(6 分) .当 n≥2 时, ,

又 a1=S1=1,∴

…(8 分)

(3)当 n≥2 时,

,此时

=

,又



.…(10 分)

故 当 n≥2 时,



= 若 n=1, 则等式 若 n≥2,则等式 为 , 为

,…(12 分)

不是整数,不符合题意;…(14 分) ,

∵λ是整数,∴4

n﹣1

+1 必是 5 的因数,∵n≥2 时 4

n﹣1

+1≥5

∴当且仅当 n=2 时,

是整数,从而λ=4 是整数符合题意. 成立, 成立.…(16 分)

综上可知,当λ=4 时,存在正整数 n=2,使等式 当λ≠4,λ∈Z 时,不存在正整数 n 使等式

点评: 本题考查数列求和,数列的递推关系式的应用,函数的思想的应用,考查分析问题 解决问题的能力.



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