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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第11课 对数的运算 文



第 11 课

对数的运算
页)

(本课时对应学生用书第

自主学习 回归教材

1.(必修1P58习题5改编)计算:lo 【答案】-1

g 2?

3

(2- 3 )=

.

【解析】方法一:利用对数定义求值.设lo

g 2?

3

x (2- 3 )=x,则(2+ 3 ) =2-

1 3 = 2 ? 3 =(2+ 3 )-1,所以x=-1.

方法二:利用对数的运算性质求解.lo

g 2?

3

(2- 3 )=lo

g 2?

3

1 2 ? 3 =lo g 2? 3 (2+ 3 )-1=-1.
.

2.(必修1P80习题6改编)计算:(lg 5) +lg 2×lg 50= 【答案】1

2

【解析】原式=(lg 5) +lg 2×(1+lg 5)=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2=1.

2

3.(必修1P80习题12改编)已知lg 6=a,lg 12=b,则用a,b表示lg 24= 【答案】2b-a

.

144 【解析】lg 24=lg 6 =2lg 12-lg 6=2b-a.

4.(必修1P63习题5改编)若log34·log48·log8m=log416,则m= 【答案】9

.

lg4 lg8 lgm 【解析】由已知有 lg3 · lg4 · lg8 =2 ? lg m=2lg 3 ? m=9.
5.(必修1P63练习8改编)方程lg x+lg(x+3)=1的解x=

.

1

【答案】2

【解析】原方程等价于

? x ? 0, ? ? x ? 3 ? 0, ? x(x ? 3) ? 10, ?

解得x=2.

1.对数的相关概念 (1)对数的定义:如果a =N(a>0,a≠1),那么b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b. (2)常用对数和自然对数 ①常用对数:以10为底N的对数,简记为lg N; ②自然对数:以e为底N的对数,简记为ln N. (3)指数式与对数式的相互转化
b

ab=N ? logaN=b(a>0,a≠1,N>0),两个式子表示的a,b,N三个数之间的关系是一样的,并且
可以互化.

2.对数运算的性质(M>0,N>0,a>0,a≠1) (1)loga(MN)=logaM+logaN;

M (2)loga N =logaM-logaN;
(3)logaM =nlogaM.
n

3.对数换底公式(N>0,a>0,a≠1,b>0,b≠1)

log a N log a b . logbN= 1 m g m log a b ,lo a n b = n logab,logab·logbc=logac. 由换底公式可以得到:logab=
4.几个常用的结论(N>0,a>0,a≠1)

2

(1)logaa=1,loga1=0; (2)logaa =N, a
N

log a N

=N.

【要点导学】 要点导学 各个击破

对数式的计算 例1 计算:

7 (1)lg 14-2lg 3 +lg 7-lg 18; 32 log5 3 (2)2log32-log3 9 +log38- 5 ; 1 32 4 (3) 2 lg 49 - 3 lg

8 +lg 245 .

【思维引导】本题直接利用对数的运算性质进行计算. 【解答】(1)原式=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0. (2)原式=2log32-5log32+2+3log32-3=-1.

1 4 1 1 2 (3)原式= 2 (lg 32-lg 49)- 3 lg 8 + 2 lg 245 1 4 3 1 = 2 (5lg 2-2lg 7)- 3 × 2 lg 2+ 2 (2lg 7+lg 5) 5 1 = 2 lg 2-lg 7-2lg 2+lg 7+ 2 lg 5 1 1 1 1 = 2 lg 2+ 2 lg 5= 2 lg 10= 2 .

3

【精要点评】对数的运算主要是要熟练掌握三条运算性质,不能把公式记错,当然也有 一定的运算技巧,例如:尽量把每一个真数分解成最简因式的乘积形式,巧妙利用关系lg 2+lg 5=1.

变式 (2015·涟水中学)计算:

3 lg 2 3-lg9 ? 1 (1)lg 7 +lg 70-lg 3;

? lg4-lg60 ? ? ? lg3 ? lg5 ? 5 -11 (2) ? -4 ×2 .

3

3 ? 70 7 2 2 3 - lg 3-2lg3 ? 1 =lg 10- (lg3-1) =1-|lg 3-1|=lg 3. 【解答】(1)原式=lg
? lg4-(lg4 ? lg15) ? ? -lg15 ? 3 ? ? ? ? lg15 ? -210×2-11= ? lg15 ? -2-1=- 2 . (2)原式= ?
【精要点评】(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数 幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算过程中要注意化同底 或指数与对数互化.(2)熟练地运用对数的三条运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、 化简、证明常用的技巧.
3 3

指数式与对数式的相互转化 例2 已知实数x,y,z满足3 =4 =6 >1.
x y z

2 1 2 (1)求证: x + y = z ;
(2)试比较3x,4y,6z的大小. 【思维引导】设法将x,y,z从已知条件中解出,即令k=3 =4 =6 >1,将指数式化成对数 式,再证明与比较. 【解答】(1)令k=3 =4 =6 >1, 则x=log3k,y=log4k,z=log6k,
x y z x y z

4

1 1 1 于是 x =logk3, y =logk4, z =logk6,
2 1 2 2 y 从而 x + =2logk3+logk4=logk3 +logk4=logk36=2logk6= z ,等式成立.
(2)由于k>1,故x,y,z>0.

3lgk lg3 3 3log k 3x 4lgk 3lg4 lg4 lg64 3 4 y = 4log 4 k = lg4 = 4lg3 = lg34 = lg81 <1; 2lgk lg4 2 2log k 3lg k 2lg6 lg6 lg36 4y 4 3 6 z = 3log 6 k = lg6 = 3lg4 = lg4 = lg64 <1,
所以3x<4y<6z. 【精要点评】对于“连等式”,我们往往令它等于一个常数“k”,然后以k为“媒介” 进行转化,这样使问题很容易得以解决.本题主要考查指数式与对数式的互化,常用的方法是 取对数、消参数.比较两个数的大小,可以利用作差比较法,而比较两个符号相同的数的大小 时,也可采用作商比较法.

变式1 已知logax=logac+b,求x. 【思维引导】由于x作为真数,故可直接利用对数定义求解.另外,由于等式右端为两实 数和的形式,b的存在使变形产生困难,故可考虑将logac移到等式左端,或者将b变为对数形 式. 【解答】方法一:由对数定义可知x= a
log a c ? b

=a

log a c

·a =c·a .

b

b

x 方法二:由已知移项可得logax-logac=b,即loga c =b. x b b 由对数定义知 c =a ,所以x=c·a .
方法三:因为b=logaa , 所以logax=logac+logaa =loga(c·a ),所以x=c·a .
b b b b

5

【精要点评】在解题过程中,根据问题的需要将指数式转化为对数式运算,或者将对数 式转化为指数式运算,这正是数学转化思想的具体体现,转化思想是中学重要的数学思想,要 注意学习、体会,逐步达到灵活应用.

23 x ? 2-3 x x -x 变式2 若xlog34=1,求 2 ? 2 的值.
【思维引导】先把要求的式子用立方和公式化简,再把对数式写成指数式,然后代入要 计算的式子即可. 【解答】由xlog34=1,得4 =3.
x

(2 x ? 2- x )(22 x -2 x 2- x ? 2-2 x ) 1 7 x -x x -x 2 ?2 原式= =4 +4 -1=3+ 3 -1= 3 .
【精要点评】给出条件的求值问题,一般有两种处理方法:一是直接将条件代入所求式 子,再化简求值;二是将条件及待求式先化简,再代入求值,后者比前者更简单.

换底公式的应用 例3 已知logax+logcx=2logbx,且x≠1,求证:c =(ac )
2

log a b

.

【思维引导】在这类问题中,对数都不是同底的,因而要用换底公式将它们转化成相同 底数进行计算.

log a x 2log a x log a c = log a b ,且x≠1, 【解答】 因为logax+

1 2 log a c = log ab , 所以logax≠0,所以1+
所以2logac=(logac+1)logab. 所以logac =loga(ac)·logab= 所以c =(ac )
2 2

loga (ac)logab ,

loga b

.

【精要点评】对数运算必须要解决的一个问题就是化不同底为相同底,从对数的性质出 发,将对数的底统一,这是换底公式最有效的应用.

6

变式 已知lo lo

g a1

b1=lo

ga2

b2=?=lo

gan

bn=λ 且a1a2?an≠0,n∈N*.求证:

ga1a2 …an

(b1b2?bn)=λ .

【思维引导】利用换底公式及等比定理转化为对数lo

ga1a2 …an

(b1b2?bn).

lgbn lgb1 lgb2 lga1 = lga2 =?= lgan =λ , 【解答】由换底公式得 lgb1 ? lgb2 ? ? ? lgbn lga1 ? lga2 ? ? ? lgan =λ , 由等比定理得 lg(b1b2 ?bn ) lg(a1a2 ? an ) =λ , 所以 lg(b1b2 ?bn ) g lg(a1a2 ? an ) =λ . 所以lo a1a2 …an (b1b2?bn)=
【精要点评】当对数的底数不同时,可以利用换底公式,在使用换底公式时,一般换成 以10或e为底的常用对数或自然对数,但有时根据实际需要换成相应的底,如本题就换成以

a1,a2,?,an为底的对数.

?1? 5 ? ? 1.(2015·安徽卷)计算:lg 2 +2lg 2- ? 2 ? =
【答案】-1

-1

.

【解析】原式=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=1-2=-1.

2.(2015·浙江卷)若a=log43,则2 +2 =

a

-a

.

4 3 【答案】 3
a a 【解析】因为a=log43,所以4 =3 ? 2 = 3 ,

7

1 4 3 a -a 所以2 +2 = 3 + 3 = 3 .
3.(2015·襄阳孝感联考)计算:(log43+log49)(log32+log38)= 【答案】6

.

? lg3 lg9 ? ? lg2 lg8 ? ? lg3 ? 2lg3 ? ? lg2 ? 3lg2 ? 3lg3 4lg2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? lg4 lg4 lg3 lg3 ? = ? 2lg2 ? · ? lg3 ? = 2lg2 · lg3 =6. ? ? ? 【解析】原式= ·
4.求下列各式的值.

1 2 (1)lg 5(lg 8+lg 1 000)+(lg 2 ) +lg 6 +lg 0.06;
3

(2)log2( 2 ? 3 - 2- 3 ). 【解答】(1)原式=lg 5(3lg 2+3)+3(lg 2) -lg 6+lg 6-2
2

=3lg 5·lg 2+3lg 5+3(lg 2)2-2 =3lg 2(lg 5+lg 2)+3lg 5-2 =3(lg2+lg5)-2=1.

1 2 (2)原式= 2 log2( 2 ? 3 - 2- 3 ) 1 (2 ? 3)(2- 3) ] = 2 log2[4-2 1 1 1 = 2 log2(4-2)= 2 log22= 2 .

趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第21~22页.

【检测与评估】 第11课 对数的运算

8

一、 填空题 1.(2015·江苏省东台市创新学校)计算:lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2) =
2

.

2.已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a )+f(b )=

2

2

.

3.若f(10 )=x,则f(3)=

x

.

4.(2015·长春十一中)在正项等比数列{an}中,若a2·a5=10,则lg a3+lg a4=

.

5.若函数f(x)=log2x,则f(f(4))=

.

6.(2015·吉林一中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=3 +m(m为常数),则f(log35)= .

x

7.计算:1 6

1 log 6 4

+4 9

1 log 8 7

=

.

8.里氏震级M的计算公式为:M=lg A-lg A0,其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A0是 相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是1 000,此时标准地震的 振幅为0.001,则此次地震的震级为 倍. 级;9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的

二、 解答题 9.(2015·海安中学)求下列各式的值.

g1 2
(1)log535+2lo
2

2

1 -log5 50 -log514;

(2)[(1-log63) +log62·log618]÷log64.

10.若a,b是方程2(lg x) -lg x +1=0的两个实根,求lg(ab)·(logab+logba)的值.

2

4

9

x x-y y 11.已知2lg 2 =lg x+lg y,求 的值.

三、 选做题(不要求解题过程,直接给出最终结果) 12.(2015·启东中学)已知m,n为正整数,a>0且a≠1,且

1? 1 ? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? ?1 ? ? m ? +loga ? m ? 1 ? +?+loga ? m ? n-1 ? =logam+logan,求m,n的值. logam+loga ?

【检测与评估答案】 第11课 对数的运算

1.2 【解析】原式=lg 5 +lg 2·(lg 10+lg 5)+(lg 2) =2lg 5+lg 2+lg 2·lg 5+(lg 2) =2lg 5+lg 2+lg 2(lg 5+lg 2)=2lg 5+2lg 2=2.
2

2

2

2. 2 【解析】由f(ab)=1,得ab=10,于是f(a )+f(b )=lg a +lg b =lg(a b )=2lg(ab)=2lg 10=2.

2

2

2

2

2 2

3. lg 3 【解析】令3=10 ,则x=lg 3.

x

4.1 【解析】因为a2·a5=a3·a4=10,所以lg a3+lg a4=lg(a3·a4)=lg10=1.

5. 1 【解析】f(4)=log2 4=2,f(2)=1.

6.-4 【解析】由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,所以m=-1,所以f(-log35)=-

f(log35)=-( 3

log3 5

-1)=-(5-1)=-4.

log7 8 log4 6 7. 100 【解析】原式=1 6 +4 9 =(42

)log4 6

+(7

2

)log7 8

=36+64=100.

10

8.6

10 000 【解析】由M=lg A-lg A0,知M=lg 1 000-lg 0.001=6,所以此次地震的震级数

A1 A 为6级.设9级地震的最大振幅为A1,5级地震的最大振幅为A2,则lg 2 =lg A1-lg A2=(lg A1-lg
A1 A0)-(lg A2-lg A0)=9-5=4.所以 A2 =104=10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅
的10000倍.

1

g1 22
9.(1) 原式=log535+log550-log514+2lo
2

35 ? 50 g1 =log5 14 +lo 2 2
=log553-1=2.
(2) 原式=[(log662 ?? ? 6? 2 ?? log 6 ? ? log 6 2 ? log 6 2 ? log 6 3 ? 3? ?? ? 2 2 ? ÷log622=[(log62) log63) +log62·log6(2×3 )]÷log64= ?

?

?

2

+(log62)2+2log62·log63]÷(2log62)=log62+log63=log6(2×3)=1.

10.原方程可化为2(lg x) -4lg x+1=0,设t=lg x,则原方程可化为2t -4t+1=0,

2

2

1 所以t1+t2=2,t1t2= 2 ,
由已知a,b是原方程的两个根, 则t1=lg a,t2=lg b,

1 lg a+lg b=2,lg a·lg b= 2 ,
所以lg(ab)·(logab+logba)

? lgb lga ? ? ? ? lg a lgb ? ? =(lg a+lg b)
(lga ? lgb)[(lgb)2 ? (lga)2 ] lgalgb =

11

22 -2 ?

(lga ? lgb)[(lgb ? lga) 2 -2lgalgb] lgalgb = =2×

1 2

1 2
=12.

?x? x ? x-y ? ? x-y ? ? ? ? ? ? ? y 2 2 11.由已知得 lg ? 2 ? =lg(xy),故 ? 2 ? =xy,即x -6xy+y =0,所以 ? ? -6· y +1=0,所
2 2

2

x x x x-y 以 y =3±2 2 .又因为 2 >0及x,y>0,所以x>y>0,即 y >1,从而 y =3+2 2 ,故
x y

=1+ 2 .

12.左边

m?n ? ? m ?1 ? ? m?2? ? m?n ? ? m ?1 m ? 2 · · …· ? ? ? ? ? ? ? m· ? m m ?1 m ? n-1 ? =lo =logam+loga ? m ? +loga ? m ? 1 ? +?+loga ? m ? n-1 ? =loga ?
ga(m+n), 所以已知等式可化为 loga(m+n)=logam+logan=loga(mn). 比较真数得m+n=mn,即(m-1)(n-1)=1.

?m-1 ? 1, ?m ? 2, ? ? n -1 ? 1 , n ? 2. ? 因为m,n为正整数,所以 解得 ?

12



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