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高一数学数列求和2


数列求和

复习内容
1、数列的和
2、等差数列的前n项和公式,并 简述推导方法 3、等比数列的前n项和公式,并 简述推导方法

设等差数列{an}首项为a1,公差为d
Sn=a1+a2+a3+……+an

=a1+a1+d+a1+2d+……+a1+(n-1)d
Sn=an+an-d+an-2d+……+an-(n-1)d 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+……+(a1+an)

S n=

n (a1 ? an) 2

设等比数列{an}的首项是a1,公比是q

Sn=a1+a2+……+an
=a1+a1q+a1q2+……+a1q n-1 qSn=a1q+a1q2+a1q3+……+a1q n-1+a1qn (1-q)Sn=a1-a1qn S n=
n a 1 (1 ? q ) 1? q

尝试应用
1、有限数列A={a1,a2,a3…an},Sn为其前 n项和,定义
S 1 ? S 2 ? ... ? S n n

为A的

“凯森和”,如有500项的数列,a1,
a2…a500的“凯森和”为2004,则有501项 的 数列2,a1,a2…a500的“凯森和”为—— A 2002 B 2004 C 2006 D 2008 —

S1? S

2

?? ? S 500

500

? 2004

S 1 ? S 2 ? ? ? S 500 ? 2004 ? 500
2 ? ( 2 ? S 1 ) ? ( 2 ? S 2 ) ? ... ? ( 2 ? S 500 ) 501

?

2 ? 501 ? S 1 ? S 2 ? ... ? S 500 501

?

2 ? 501 ? 2004 ? 500 501

? 2002

2、已知 lg(xy) ? a
S ? lg
n

x

? lg(

n ?1

x

? y ) ? ... ? lg

n

y

, ( x ? 0, y ? 0)

求 S
S ? lg
n

x
n

? lg(

n ?1

x
n ?1

? y ) ? ... ? lg

n

y
n

S ? lg y ? lg( y
n

? x ) ? ... ? lg x
n

2 S ? lg ( xy ) ? lg ( xy ) ? ... ? lg ( xy )

n

? n ( n ? 1) a

3、求和
Sn ? 1 ? 3 x ? 5 x ? 7 x ? ... ? ( 2 n ? 1 ) x
2 3 n ?1

, (x ? 0)

(1)x=1时,Sn=n2
(2)x≠1时 S=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)x n-1 x· S=x+3x2+5x3+…+(2n-1)x n-1+ (2n-1)x n (1-x)S=1+2(x+x2+x3+…+xn-1)-(2n-1) xn
?1? 2 x (1 ? x 1? x
n ?1

)

? ( 2 n ? 1) x

n

其他求法
第一题
Sn ? (x ? 1 x
2

) ? (x ?
2

1 x
2

2

) ? ... ? ( x ?
n

1 x
n

2

)

求 Sn 第二题 求数列
1 , 1 , 1 ... 1 n(n ? 2)

1? 3 2 ? 4 3 ? 5

的前n项和

反馈练习
1、等比数列的首项为a,公比为q,Sn为前n项和, 求S1+S2+…+Sn

2、正数数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
(1)求{an}的通项公式 (2)设 bn ?
1 a na n
? 1

1 4

( a n ? 1)

2

记{bn}的前n项和为Tn,求Tn

反馈练习1答案 (1) q=1时 S1+S2+…+Sn=a+2a+…+na= (2) q≠1时,S1+S2+…+Sn
? a 1? q a 1? q a
1? q na 1? q

n ( n ? 1) a 2

[( 1 ? q ) ? (1 ? q ) ? ... ? (1 ? q )]
2 n

2

n

?
?

[ n ? ( q ? q ? ... ? q )]
[n ? q (1 ? q ) 1? q
n n

]

?

?

aq (1 ? q ) 1? q

反馈练习2答案
(1)当n≥2时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 整理得 ∵ ∴
(an ? an
? 1
? 1

1 4

[ ( a n ? 1) ? ( a n
? 1

2

? 1

? 1) ]

2

)( a n ? a n

? 2) ? 0

(an ? an
(an ? an

) ? 0
? 2) ? 0

? 1



an ? 2n ? 1

(2)当n=1时, a 1 ? S 1 ? 得 a1=1
bn ? 1 ( 2 n ? 1 )( 2 n ? 1 )
1 2 (1 ? 1 3 ? 1 3 ? 1 5

1 4
1 2

( a 1 ? 1)

2

?

(

1 2n ? 1
1 2n ? 1

?

1 2n ? 1
1 2n ? 1

)

Tn ?

? ... ?

?

)

?

1 2

(1 ?

1 2n ? 1

)



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