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2015-2016学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何单元检测(A卷)新人教A版选修2-1



第三章

空间向量与立体几何(A)

(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.以下命题中,不正确的个数为( ) ①|a|-|b|=|a+b|是 a,b 共线的充要条件;②若 a∥b,则存在唯一的实数 λ ,使 a =λ b;③若 a·b=0,b·c=0,则 a=c;④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+ b,b+c,c+a}构成空间的另一个基底; ⑤|(a·b)·c|=|a|·|b|·|c|. A.2 B.3 C.4 D.5 → → → → 2.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若CA=a,CB=b,CC1=c,则A1B等于( ) A.a+b-c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 3.已知 a=(2,4,5),b=(3,x,y),若 a∥b,则( ) 15 A.x=6,y=15 B.x=3,y= 2 15 C.x=3,y=15 D.x=6,y= 2 → 4.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|= 3,且 a 分别与AB, → AC垂直,则向量 a 为( ) A.(1,1,1) B.(-1,-1,-1) C.(1,1,1)或(-1,-1,-1) D.(1,-1,1)或(-1,1,-1) → → 5.已知 A(-1,0,1),B(0,0,1),C(2,2,2),D(0,0,3),则 sin〈AB,CD〉等于( ) 2 2 5 5 A.- B. C. D.- 3 3 3 3 6.在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成角的大小为( ) A.60° B.90° C.105° D.75° 7.若平面 α 的法向量为 n,直线 l 的方向向量为 a,直线 l 与平面 α 的夹角为 θ , 则下列关系式成立的是( ) n·a |n·a| A.cos θ = B.cos θ = |n||a| |n||a| n·a |n·a| C.sin θ = D.sin θ = |n||a| |n||a| 8.若三点 A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC 的形状是( ) A.不等边的锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 9. 若两个不同平面 α , β 的法向量分别为 u=(1,2, -1), v=(-3, -6,3), 则( ) A.α ∥β B.α ⊥β C.α ,β 相交但不垂直 D.以上均不正确 → 10. 若两点 A(x,5-x,2x-1), B(1, x+2,2-x), 当|AB|取最小值时, x 的值等于( ) 8 8 19 A.19 B.- C. D. 7 7 14 11.

1

如图所示, 在四面体 P—ABC 中, PC⊥平面 ABC, AB=BC=CA=PC, 那么二面角 B—AP—C 的余弦值为( ) 2 3 A. B. 2 3 7 7 12. C. 5 D. 7

如图所示,在直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,△AEB 是等腰 直角三角形,其中∠AEB=90°,则点 D 到平面 ACE 的距离为( ) 3 2 3 A. B. 3 3 C. 3 题 号 答 案 1 2 3 D.2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),则|a-2b|=________. 14.如图所示,

1 1 已知正四面体 ABCD 中, AE= AB, CF= CD, 则直线 DE 和 BF 所成角的余弦值为________. 4 4 15.平面 α 的法向量为(1,0,-1),平面 β 的法向量为(0,-1,1),则平面 α 与平 面 β 所成二面角的大小为________. 16.

? ? π ?? 如图所示,已知二面角 α —l—β 的平面角为 θ ?θ ∈?0, ??,AB⊥BC,BC⊥CD,AB 2 ? ? ??
2

在平面 β 内,BC 在 l 上,CD 在平面 α 内,若 AB=BC=CD=1,则 AD 的长为______. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,CA1⊥BC1.求证:AB1=CA1.

18.(12 分)已知四边形 ABCD 的顶点分别是 A(3,-1,2),B(1,2,-1),C(-1,1, -3),D(3,-5,3). 求证:四边形 ABCD 是一个梯形.

19.(12 分)

如图所示,四边形 ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面,M、N 分别是 AC、BF 的中点,

3

判断 CE 与 MN 是否共线?

20.(12 分)

如图所示,已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠ BCD. 求证:C1C⊥BD.

4

21.(12 分)

如图,在空间四边形 OABC 中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB= 60°,求 OA 与 BC 所成角的余弦值.

5

22.(12 分)

如图,在长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是棱 BC,CC1 上的点,CF=AB=2CE,AB∶ AD∶AA1=1∶2∶4. (1)求异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值; (2)证明 AF⊥平面 A1ED; (3)求二面角 A1—ED—F 的正弦值.

第三章 1.C [只有命题④正确.] 2.

空间向量与立体几何(A)

→ → → → → → → → → D [如图,A1B=AB-AA1=CB-CA-AA1=CB-CA-CC1=b-a-c.] 3.D [∵a∥b,∴存在实数 λ ,

6

3=2λ ? ? 使?x=4λ ? ?y=5λ

x=6 ? ? ,∴? 15 y= ? 2 ?

.]

→ 4.C [设 a=(x,y,z),∵AB=(-2,-1,3), → AC=(1,-3,2), → → 又|a|= 3,a⊥AB,a⊥AC,

x +y +z =3, ? ? ∴?-2x-y+3z=0, ? ?x-3y+2z=0.

2

2

2

x=1, ? ? ∴?y=1, ? ?z=1

x=-1, ? ? 或?y=-1, ? ?z=-1.

∴a=(1,1,1)或 a=(-1,-1,-1).] → → 5.C [∵AB=(1,0,0),CD=(-2,-2,1), 2 AB ? CD → → ∴cos〈AB,CD〉= =- , 3 AB ? CD 5 → → ∴sin〈AB,CD〉= .] 3 6.B [

建立如图所示的空间直角坐标系, 设 BB1=1, 则 A(0,0,1), B1?

2 ? ? 6 C1(0, 2, , ,0?, 2 ?2 ?

0), 2 ? ? 6 B? , ,1?. 2 ?2 ? 2 2 ? → ? 6 ? → ? 6 ∴AB1=? , ,-1?,C1B=? ,- ,1?, 2 2 ?2 ? ?2 ? 6 2 → → ∴AB1·C1B= - -1=0, 4 4 即 AB1 与 C1B 所成角的大小为 90°.] 7. D [若直线与平面所成的角为 θ , 直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为 β , n·a |n·a| 则 θ =β -90°或 θ =90°-β ,cos β = ,∴sin θ =|cos β |= .] |n||a| |n||a| → → → → → → → 8. A [AB=(3,4,2), AC=(5,1,3), BC=(2, -3,1), AB·AC>0, 得∠A 为锐角; CA·CB>0, → → → → 得∠C 为锐角;BA·BC>0,得∠B 为锐角,所以△ABC 是锐角三角形且|AB|= 29,|AC| → = 35,|BC|= 14.] 9.A [∵v=-3u,∴v∥u.故 α ∥β .] → 10.C [AB=(1-x,2x-3,-3x+3), → 2 2 2 则|AB|= -x + x- + -3x+

7

= 14x -32x+19=

2

? 8?2 5 14?x- ? + . ? 7? 7

8 → 故当 x= 时,|AB|取最小值.] 7 11.C [如图所示,

作 BD⊥AP 于 D,作 CE⊥AP 于 E,设 AB=1,则易得 CE= 可以求得 BD= 14 , 4

2 2 ,EP= ,PA=PB= 2, 2 2

2 → → → → .∵BC=BD+DE+EC, 4 →2 →2 →2 →2 → → → → → → ∴BC =BD +DE +EC +2BD·DE+2DE·EC+2EC·BD. 1 7 → → → → ∴EC·BD=- ,∴cos〈BD,EC〉=- , 4 7

ED=

即二面角 B—AP—C 的余弦值为 12.B [

7 .] 7

建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0, -1,2),C(0,1,2). → → → AD=(0,0,2),AE=(1,1,0),AC=(0,2,2),设平面 ACE 的法向量 n=(x,y,z),



即?

?x+y=0; ? ?2y+2z=0. ?

令 y=1,∴n=(-1,1,-1). 故点 D 到平面 ACE 的距离

d=
13. 258

=?

?-2? 2 3 .] ?= ? 3? 3

8

解析 ∵a-2b=(8,-5,13), 2 2 2 ∴|a-2b|= 8 + - +13 = 258. 4 14. 13 解析 因四面体 ABCD 是正四面体,顶点 A 在底面 BCD 内的射影为△BCD 的垂心,所以 有 BC⊥DA,AB⊥CD.设正四面体的棱长为 4, → → → → → → 则BF·DE=(BC+CF)·(DA+AE) → → → → =0+BC·AE+CF·DA+0 =4×1×cos 120°+1×4×cos 120°=-4, BF=DE= 42+12-2×4×1×cos 60°= 13, 所以异面直线 DE 与 BF 的夹角 θ 的余弦值为:

cos θ =

4 = . 13

π 2π 15. 或 3 3 解析 设 n1=(1,0,-1),n2=(0,-1,1), 1×0+ - + - 1 则 cos〈n1,n2〉= =- , 2 2· 2 2π ∴〈n1,n2〉= .因平面 α 与平面 β 所成的角与〈n1,n2〉相等或互补,所以 α 与 3 π 2π β 所成的角为 或 . 3 3 16. 3-2cos θ → → → → 解析 因为AD=AB+BC+CD, →2 →2 →2 →2 → → → → → → 所以AD =AB +BC +CD +2AB·CD+2AB·BC+2BC·CD=1+1+1+2cos(π -θ )=3- 2cos θ . → 所以|AD|= 3-2cos θ , 即 AD 的长为 3-2cos θ . 17.证明 以 A 为原点,AC 为 x 轴,AA1 为 z 轴建立空间直角坐标系. 设 B(a,b,0),C(c,0,0),A1(0,0,d), → 则 B1(a,b,d),C1(c,0,d),AB1=(a,b,d), → → BC1=(c-a,-b,d),CA1=(-c,0,d), → → 2 2 2 由已知AB1·BC1=ca-a -b +d =0, → → CA1·BC1=-c(c-a)+d2=0,可得 c2=a2+b2. 再由两点间距离公式可得: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 |AB1| =a +b +d ,|CA1| =c +d =a +b +d , ∴AB1=CA1. → → 18.证明 因为AB=(1,2,-1)-(3,-1,2)=(-2,3,-3),CD=(3,-5,3)-(- -2 3 -3 1,1,-3)=(4,-6,6),因为 = = , 4 -6 6 → → 所以AB和CD共线,即 AB∥CD.
9

→ 又因为AD=(3,-5,3)-(3,-1,2)=(0,-4,1), → BC=(-1,1,-3)-(1,2,-1)=(-2,-1,-2), 0 -4 1 → → 因为 ≠ ≠ ,所以AD与BC不平行,所以四边形 ABCD 为梯形. -2 -1 -2 19.解 ∵M、N 分别是 AC、BF 的中点,四边形 ABCD、ABEF 都是平行四边形, → → → → 1→ → 1 ∴MN=MA+AF+FN= CA+AF+ FB . 2 2 → → → → → 又∵MN=MC+CE+EB+BN 1→ → → 1 =- CA+CE-AF- FB , 2 2 1→ → 1 ∴ CA+AF+ FB 2 2 1→ → → 1 =- CA+CE-AF- FB , 2 2 → → → ∴CE=CA+2AF+ FB → → → → =2(MA+AF+FN)=2MN. → → → → ∴CE∥MN,即CE与MN共线. → → → 20.证明 设CD=a,CB=b,CC1=c, 依题意,|a|=|b|, → → → 又设CD,CB,CC1中两两所成夹角为 θ , → → → 于是BD=CD-CB=a-b, → → CC1·BD=c·(a-b)=c·a-c·b =|c||a|cos θ -|c||b|cos θ =0, 所以 C1C⊥BD. → → → 21.解 因为BC=AC-AB, → → → → → → 所以OA·BC=OA·AC-OA·AB → → → → → → → → =|OA||AC|cos〈OA,AC〉-|OA||AB|cos〈OA,AB〉 =8×4×cos 135°-8×6×cos 120° =-16 2+24.

→ → 所以 cos〈OA,BC〉= = 24-16 2 3-2 2 = . 8×5 5

3-2 2 即 OA 与 BC 所成角的余弦值为 . 5 22.(1)解

10

如图所示,建立空间直角坐标系,点 A 为坐标原点.设 AB=1,依题意得 D(0,2,0),

F(1,2,1),

? ? A1(0,0,4),E?1, ,0?. ?
3 2

?

→ ? 1 ? 易得EF=?0, ,1?, ? 2 ? → A1D=(0,2,-4),

→ → 于是 cos〈EF,A1D〉=

3 =- . 5

3 所以异面直线 EF 与 A1D 所成角的余弦值为 . 5 → (2)证明 易知AF=(1,2,1), 3 ? → ? 1 ? → ? EA1=?-1,- ,4?,ED=?-1, ,0?, 2 ? 2 ? ? ? → → → → 于是AF·EA1=0,AF·ED=0. 因此,AF⊥EA1,AF⊥ED. 又 EA1∩ED=E,所以 AF⊥平面 A1ED. (3)设平面 EFD 的法向量 u=(x,y,z),



1 ? ?2y+z=0, 即? 1 ? ?-x+2y=0.

不妨令 x=1,可得 u=(1,2,-1), → 由(2)可知,AF为平面 A1ED 的一个法向量,

→ 于是 cos〈u,AF〉= 5 → 从而 sin〈u,AF〉= . 3

2 = , 3

所以二面角 A1—ED—F 的正弦值为

5 . 3
11



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