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山东省潍坊一中2015届高三上学期期末数学模拟试卷(理科)



山东省潍坊一中 2015 届高三上学期期末数学模拟试卷(理科)
一、选择题: (本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是满足题目要求的.) 1. (5 分)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3,4}的集合 B 的个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.5 2. (5 分)若复数 Z 满足 (1+i)=

2i,则在复平面内 Z 对应的点的坐标是() A.(1,1) B.(1,﹣l) C.(﹣l,1) D.(﹣l,﹣l) 3. (5 分)下列说法中正确的是() 2 2 A.若命题 p 为:对?x∈R 有 x >0,则¬p:?x∈R 使 x ≤0 B. 若命题 p 为: ,则

C. 若 p 是 q 的充分不必要条件,则¬p 是¬q 的必要不充分条件 D.方程 ax +x+a=0 有唯一解的充要条件是:
2

4. (5 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.48cm

3

B.98cm

3

C.88cm

3

D.78cm

3

5. (5 分)二项式(3x﹣ A.﹣12 B.18

) 展开式中,含 x

7

﹣3

项的系数是() D.21

C.﹣20

6. (5 分)若圆 C 经过(1,0) , (3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为() A.(x﹣2) +(y±2) =3 C. (x﹣2) +(y±2) =4
2 2 2 2

B. D.

7. (5 分)如图,设抛物线 y=﹣x +1 的顶点为 A,与 x 轴正半轴的交点为 B,设抛物线与两 坐标轴正半轴围成的区域为 M,随机往 M 内投一点 P,则点 P 落在△ AOB 内的概率是()

2

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是()

A.f(x)=x+sinx C. f(x)=xcosx

B. D.

9. (5 分)已知 F1、F2 是双曲线 存在一点 P 与点 F2 关于直线 y= A. B.

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上

对称,则该双曲线的离心率为() C. D.2

10. (5 分)函数 f(x)=

+

的性质:

①f(x)的图象是中心对称图形; ②f(x)的图象是轴对称图形; ③函数 f(x)的值域为[ ,+∞) ; ④方程 f(f(x) )=1+ 有两个解,上述关于函数的性质说法正确的是() A.①③ B.③④ C.②③ D.②④

二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 11. (5 分)若|x+1|+|x﹣3|>k 对任意的 x∈R 恒成立,则实数 k 的取值范围为.

12. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为.

13. (5 分)若 x,y 满足

,且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为.

14. (5 分)在直角三角形 ABC 中,∠C=
2

,AB=2,AC=1,若

=

,则

?

=.

15. (5 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 =4 ,则|QO|=.

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,且满足 cos2A﹣ cos2B= (1)求角 B 的值; (2)若 且 b≤a,求 的取值范围.

17. (12 分)某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情 况有如下规律:每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间 T(单位:年)有关.若 T≤1, 则每台销售利润为 0 元;若 1<T≤3,则每台销售利润为 100 元;若 T>3,则每台销售利润为 200 元.设每台该种电视机的无故障使用时间 T≤1,1<T≤3,T>3 这三种情况发生的概率分 2 别为 P1,P2,P3,又知 P1,P2 是方程 10x ﹣6x+a=0 的两个根,且 P2=P3. (Ⅰ)求 P1,P2,P3 的值; (Ⅱ)记 ξ 表示销售两台这种电视机的销售利润总和,写出 ξ 的所有结果,并求 ξ 的分布列;

(Ⅲ)求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值. 18. (12 分)如图,在底面是正方形的四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 中点,G 为 AC 上一点. (1)求证:BD⊥FG; (2)当二面角 B﹣PC﹣D 的大小为 时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n ﹣1,数列{bn}满足 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan, 且 b1=3. (Ⅰ)求 an,bn; (Ⅱ)设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值.

2

n

20. (13 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点 M(

,1) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)已知点 P( ,0) ,若 A,B 为已知椭圆上两动点,且满足 ? =﹣2,试问直线 AB

是否恒过定点,若恒过定点,请给出证明,并求出该定点的坐标;若不过,请说明理由. 21. (14 分)已知函数 , ,其中 m∈R.

(1)若 0<m≤2,试判断函数 f (x)=f1(x)+f2(x) (x∈[2,+∞) )的单调性,并证明你的 结论; (2)设函数 若对任意大于等于 2 的实数 x1,总存在唯一的小于

2 的实数 x2,使得 g(x1)=g(x2)成立,试确定实数 m 的取值范围.

山东省潍坊一中 2015 届高三上学期期末数学模拟试卷 (理 科)

参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 l0 小题.每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是满足题目要求的.) 1. (5 分)设集合 A={1,2},则满足 A∪B={1,2,3,4}的集合 B 的个数是() A.2 B. 3 C. 4 D.5 考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 计算题. 分析: 根据题目给出的集合 A={1,2},且满足 A∪B={1,2,3,4},由并集的概念直接得 到集合 B 的可能情况. 解答: 解:由集合 A={1,2},且满足 A∪B={1,2,3,4}, 所以 B={1,3,4}或 B={2,3,4}或 B={3,4}或 B={1,2,3,4}共 4 种可能. 所以满足 A∪B={1,2,3,4}的集合 B 的个数是 4. 故选 C. 点评: 本题考查了并集的概念,考查了子集与并集的运算转换,是基础题. 2. (5 分)若复数 Z 满足 (1+i)=2i,则在复平面内 Z 对应的点的坐标是() A.(1,1) B.(1,﹣l) C.(﹣l,1) D.(﹣l,﹣l) 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 先求出 ,进而可得 z,从而可得结论. 解答: 解:∵ (1+i)=2i, ∴ = = =1+i,

∴z=1﹣i,其在复平面内 Z 对应的点的坐标是(1,﹣1) , 故选:B. 点评: 本题考查复数的几何意义,注意解题方法的积累,属于中档题. 3. (5 分)下列说法中正确的是() 2 2 A.若命题 p 为:对?x∈R 有 x >0,则¬p:?x∈R 使 x ≤0 B. 若命题 p 为: ,则

C. 若 p 是 q 的充分不必要条件,则¬p 是¬q 的必要不充分条件 D.方程 ax +x+a=0 有唯一解的充要条件是:
2

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 阅读型;简易逻辑. 2 分析: 直接写出命题的否定判断 A,B 的真假,分 a=0 和 a≠0 求解方程 ax +x+a=0 有唯一解 的充要条件判断 D,由 p 是 q 的充分不必要条件可知由 P 能推出 q,但由 q 不能推出 P,由其 逆否命题判断 C. 2 解答: 解:选项 A 中,?p:?x∈R 使 x ≤0,∴A 不正确;

选项 B 中,¬p:



无意义,∴B 不正确;

选项 C 中,若 p 是 q 的充分不必要条件,即由 P 能推出 q,但由 q 不能推出 P, 则由¬q 能推出¬p,但由¬p 不能推出¬q,∴¬p 是¬q 的必要不充分条件. 选项 D 中,方程 ax +x+a=0 有唯一解的充要条件是:
2

或 a=0,∴D 不正确;

故选:C. 点评: 本题考查命题的否定,考查一个命题的等价命题,训练了由方程解的情况求解参数 的范围问题,体现了分类讨论的数学思想方法,是中档题. 4. (5 分)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是()

A.48cm

3

B.98cm

3

C.88cm

3

D.78cm

3

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 几何体是长方体削去一个三棱锥,画出其直观图,判断长方体的长、宽、高的数值, 再判断削去的三棱锥的相关几何量的值,代入体积公式计算. 解答: 解:由三视图知:几何体是长方体削去一个三棱锥,如图:

长方体的长、宽、高分别为 6、3、6,∴长方体的体积为 6×6×3=108; 削去的三棱锥的底面直角三角形的两直角边长分别为 3,5,高为 4,∴体积为 × ×3×5×4=10; ∴几何体的体积 V=108﹣10=98(cm ) . 故选:C. 点评: 本题考查了由三视图求几何体的体积,解答此类问题的关键是判断几何体的形状及 相关几何量的数值.
3

5. (5 分)二项式(3x﹣ A.﹣12 B.18

) 展开式中,含 x

7

﹣3

项的系数是() D.21

C.﹣20

考点: 二项式系数的性质. 专题: 二项式定理. 分析: 根据二项式展开式的通项公式,求出 r 的值,再计算含 x 解答: 解:∵二项式(3x﹣ 通项公式为 Tr+1= ?(3x)
7﹣r
﹣3

项的系数.

) 展开式中,

7

?

=(﹣1) ?3

r

7﹣r

?

?



令 7﹣ r=﹣3, 解得 r=6; ∴含 x
﹣3

项的系数是
7﹣6

(﹣1) ?3

6

?

=21.

故选:D. 点评: 本题考查了二项式定理的应用问题,解题时应利用二项式展开式的通项公式进行解 答,是基础题. 6. (5 分)若圆 C 经过(1,0) , (3,0)两点,且与 y 轴相切,则圆 C 的方程为() A.(x﹣2) +(y±2) =3 C. (x﹣2) +(y±2) =4
2 2 2 2

B. D.

考点: 圆的标准方程. 专题: 直线与圆. 分析: 由已知圆 C 经过(1,0) , (3,0)两点,且与 y 轴相切.可得圆心在直线 x=2 上, 2 2 且半径长为 2. 设圆的方程为 (x﹣2)+ (y﹣b) =4. 将点 ( 1, 0) 代入方程即可解得 . 从 而得到圆 C 的方程. 解答: 解:∵圆 C 经过(1,0) , (3,0)两点, ∴圆心在直线 x=2 上. 可设圆心 C(2,b) . 又∵圆 C 与 y 轴相切, ∴半径 r=2.

∴圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣b) =4. ∵圆 C 经过点(1,0) , ∴(1﹣2) +b =4. 2 ∴b =3. ∴ . ∴圆 C 的方程为 . 故选:D. 点评: 本题考查圆的标准方程,直线与圆相切的性质等知识,属于中档题. 7. (5 分)如图,设抛物线 y=﹣x +1 的顶点为 A,与 x 轴正半轴的交点为 B,设抛物线与两 坐标轴正半轴围成的区域为 M,随机往 M 内投一点 P,则点 P 落在△ AOB 内的概率是()
2 2 2

2

2

A.

B.

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用;几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 求出直线与坐标轴围成三角形的面积,及抛物线与坐标轴围成的面积,再将它们代 入几何概型计算公式计算出概率. 解答: 解:由题意可知抛物线 y=﹣x +1 的顶点为 A(0,1) ,与 x 轴正半轴的交点为 B(1, 0) , ∴△AOB 的面积为: = .
2

抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为 M, 面积为:S= = = .

随机往 M 内投一点 P,则点 P 落在△ AOB 内的概率满足几何概型;

∴随机往 M 内投一点 P,则点 P 落在△ AOB 内的概率是: = .

故选:C. 点评: 本题考查几何概型在求解概率中的应用,几何概型的概率估算公式中的“几何度量”, 可以为线段长度、 面积、 体积等, 而且这个“几何度量”只与“大小”有关, 而与形状和位置无关. 解

决的步骤均为:求出满足条件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件 对应的“几何度量”N,最后根据 P= 求解.

8. (5 分)函数 f(x)的部分图象如图所示,则 f(x)的解析式可以是()

A.f(x)=x+sinx C. f(x)=xcosx

B. D.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 计算题. 分析: 通过函数的图象的奇偶性、定义域、验证函数的表达式,排除部分选项,利用图象 过( ,0) ,排除选项,得到结果. ,0)显

解答: 解:依题意函数是奇函数,排除 D,函数图象过原点,排除 B,图象过(

然 A 不正确,C 正确; 故选 C 点评: 本题是基础题,考查函数的图象特征,函数的性质,考查学生的视图能力,常考题 型.

9. (5 分)已知 F1、F2 是双曲线 存在一点 P 与点 F2 关于直线 y= A. B.

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若双曲线左支上

对称,则该双曲线的离心率为() C. D.2

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出过焦点 F2 且垂直渐近线的直线方程,联立渐近线方程,解方程组可得对称中心 2 2 2 的点的坐标,代入方程结合 a +b =c ,解出 e 即得. 解答: 解:过焦点 F2 且垂直渐近线的直线方程为:y﹣0=﹣ (x﹣c) ,

联立渐近线方程 y= 解之可得 x= ,y=

与 y﹣0=﹣ (x﹣c) ,

故对称中心的点坐标为(



) ,由中点坐标公式可得对称点的坐标为(
2 2 2

﹣c,

) ,

将其代入双曲线的方程可得
2 2

,结合 a +b =c , .

化简可得 c =5a ,故可得 e= =

故选:B. 点评: 本题考查双曲线的简单性质,涉及离心率的求解和对称问题,属中档题. 10. (5 分)函数 f(x)= + 的性质:

①f(x)的图象是中心对称图形; ②f(x)的图象是轴对称图形; ③函数 f(x)的值域为[ ,+∞) ; ④方程 f(f(x) )=1+ 有两个解,上述关于函数的性质说法正确的是() A.①③ B.③④ C.②③ D.②④ 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用;推理和证明. 分析: ①因为函数不是奇函数,所以错误.②利用函数对称性的定义进行判断.③利用两 点之间线段最短证明.④利用函数的值域进行判断. 解答: 解:①因为 f(﹣x)= 图象关于原点不对称,所以错误. ②因为 f(3﹣x) = + = + ,所以 f(x)的 + ≠﹣f(x) ,所以函数不是奇函数,所以

图象关于 x= 对称,所以②正确. ③由题意值 f(x)≥f( ) ,而 f( )= + = ,所以 f(x)≥ ,即函数 f(x)

的值域为[ ,+∞) ,正确. ④设 f(x)=t,则方程 f[f(x)]=1+ ,等价为 f(t)=1+ ,即 t=0,或 t=3. 因为函数 f(x)≥ ,所以当 t=0 或 t=3 时,不成立,所以方程无解,所以④错误. 故正确的说法为:②③ 故选:C 点评: 本题综合考查了函数的性质,综合性较强,运算量较大,考查学生的分析能力. 二.填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. )

11. (5 分)若|x+1|+|x﹣3|>k 对任意的 x∈R 恒成立,则实数 k 的取值范围为(﹣∞,4) . 考点: 函数恒成立问题. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: |x+1|+|x﹣3|>k 对任意的 x∈R 恒成立,等价于(|x+1|+|x﹣3|)min>k,利用不等式的 性质即可求得最小值. 解答: 解:|x+1|+|x﹣3|>k 对任意的 x∈R 恒成立,等价于(|x+1|+|x﹣3|)min>k, ∵|x+1|+|x﹣3|≥|(x+1)﹣(x﹣3)|=4, ∴k<4,即实数 k 的取值范围是(﹣∞,4) , 故答案为: (﹣∞,4) . 点评: 该题考查函数恒成立问题、绝对值不等式的性质,考查转化思想,属基础题.

12. (5 分)执行如图所示的程序框图,则输出结果 S 的值为﹣ .

考点: 程序框图. 专题: 计算题;算法和程序框图. 分析: 算法的功能是求 S=cos +cos +…+cos 的值,根据条件确定最后一次循环的 n

值,再利用余弦函数的周期性计算输出 S 的值. 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=cos ∵跳出循环的 n 值为 2015, ∴输出 S=cos ∵cos =cos ∴S=cos +cos +cos +cos +…+cos +cos +cos , +cos ﹣cos ﹣cos +cos ﹣cos +cos =0, +cos +…+cos 的值,

+cosπ=﹣ .

故答案为:﹣ . 点评: 本题考查了循环结构的程序框图,关键框图的流程判断算法的功能是关键.

13. (5 分)若 x,y 满足

,且 z=y﹣x 的最小值为﹣4,则 k 的值为



考点: 基本不等式. 专题: 不等式. 分析: 由 z=y﹣x 便得到 y=x+z,该式可表示在 y 轴上的截距为 z 且平行于 y=x 的直线,这 样根据已知条件即可画出原不等式表示的平面区域,从而确定出直线 kx﹣y+2=0 的方程,从 而求出 k. 解答: 解:z=y﹣x 表示在 y 轴上截距为 z 且平行于 y=x 的直线; z 取最小值﹣4 时,得到直线 y=x﹣4; 画出直线 x+y﹣2=0 和 y=x﹣4 如下图:

由题意知,直线 z=y﹣x 经过原不等式所表示的平面区域的最右端(4,0)点; 从而可知原不等式表示的平面区域如上图阴影部分所示; ∴直线 kx﹣y+2=0 表示在 x 轴上的截距为 4,在 y 轴上的截距为 2 的直线; ∴y=0 时,x= ∴ . . =4;

故答案为:

点评: 考查不等式表示一个平面区域,并根据不等式可找出它表示的平面区域,知道 z=y ﹣x 可以看成在 y 轴上截距为 z 且平行于直线 y=x 的直线系.

14. (5 分)在直角三角形 ABC 中,∠C=

,AB=2,AC=1,若

=

,则

?

= .

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据结合图形得出 化得出 ? =( )? = = = + , =0, 求解即可. ,AB=2,AC=1, = ,即∠ABC=30° =2× ×COS30°,转

解答: 解:∵直角三角形 ABC 中,∠C= ∴根据勾股定理得出 BC= ∵若 ∴ ∴ = ? =( = , = , )? = =0, + ,sin∠ABC═

=2× =

×COS30°=3 ×3=

故答案为: 点评: 本题考查了平面向量的几何运算,数量积,结合结合图形分解向量,属于中档题, 关键是转化为容易计算的向量. 15. (5 分)已知抛物线 C:y =8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l 上一点,Q 是直线 PF 与 C 的 一个交点,若 =4 ,则|QO|=3.
2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 抛物线 C:y =8x 的焦点为 F(2,0) ,设 P(﹣2,t) ,Q(x,y) .利用 得(﹣4,t)=4(x﹣2,y) ,解得(x,y) ,代入 y =8x 可得 式即可得出. 2 解答: 解:抛物线 C:y =8x 的焦点为 F(2,0) , 设 P(﹣2,t) ,Q(x,y) . ∵ =4 ,
2

2

=4

,可

,再利用两点之间的距离公

∴(﹣4,t)=4(x﹣2,y) , ∴
2

,代入 y =8x 可得

2



∴t =128. =3. 故答案为:3. 点评: 本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量的坐标运算、两点之间的距离公式, 考查了计算能力,属于基础题. 三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 16. (12 分)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边为 a、b、c,且满足 cos2A﹣ cos2B= (1)求角 B 的值; (2)若 且 b≤a,求 的取值范围.

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: (1)由条件利用三角恒等变换化简可得 2﹣2sin A﹣2cos B= ﹣2sin A,求得 cos B 的值,可得 cosB 的值,从而求得 B 的值. (2)由 b= ≤a,可得 B=60°.再由正弦定理可得. 解答: 解: (1)在△ ABC 中, ∵cos2A﹣cos2B=
2 2 2 2 2 2 2 2

=2(
2

cosA+ sinA) (

cosA﹣ sinA)

=2( cos A﹣ sin A)= cos A﹣ sin A= ﹣2sin A. 又因为 cos2A﹣cos2B=1﹣2sin A﹣(2cos B﹣1)=2﹣2sin A﹣2cos B, ∴2﹣2sin A﹣2cos B= ﹣2sin A,∴cos B= ,∴cosB=± ,
2 2 2 2 2 2 2 2

∴B=



. ≤a,∴B= = = , = =2,得 a=2sinA,c=2sinC,

(2)∵b= 由正弦

故 a﹣ c=2sinA﹣sinC=2sinA﹣sin( 因为 b≤a,所以 所以 a﹣ c= ≤A< sin(A﹣ , )∈[ ≤A﹣ ,

﹣A)= sinA﹣ < ) . ,

cosA=

sin(A﹣

) ,

点评: 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,三角恒等变换,属于中档题. 17. (12 分)某品牌电视机代理销售商根据近年销售和利润情况得出某种型号电视机的利润情 况有如下规律:每台电视机的最终销售利润与其无故障使用时间 T(单位:年)有关.若 T≤1, 则每台销售利润为 0 元;若 1<T≤3,则每台销售利润为 100 元;若 T>3,则每台销售利润为 200 元.设每台该种电视机的无故障使用时间 T≤1,1<T≤3,T>3 这三种情况发生的概率分 2 别为 P1,P2,P3,又知 P1,P2 是方程 10x ﹣6x+a=0 的两个根,且 P2=P3. (Ⅰ)求 P1,P2,P3 的值; (Ⅱ)记 ξ 表示销售两台这种电视机的销售利润总和,写出 ξ 的所有结果,并求 ξ 的分布列; (Ⅲ)求销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值. 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 p1+p2= ,P1+P2+P3=1,且 P2=P3,由此能求出 P1,P2,P3 的值. (Ⅱ) ξ 的取值有 0, 100, 200, 300, 400, 分别求 P (ξ=0) , P (ξ=100) , P(ξ=200) , P(ξ=300) , P(ξ=400) ,由此能求出 ξ 的分布列. (Ⅲ)由(Ⅱ)能求出销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值 Eξ. 解答: 解: (Ⅰ)∵p1,p2 是方程 10x ﹣6x+a=0 的两个根,∴p1+p2= , 又∵P1+P2+P3=1,且 P2=P3, ∴ = , .
2

(Ⅱ)记一台该种电视机的无故障使用时间 T≤1,1<T≤3,T>3 分别为事件 A1,A2,A3, ξ 的取值有 0,100,200,300,400, P(ξ=0)=P(A1A1)= = , = ,

P(ξ=100)=P(A1A2∪A2A1)= P(ξ=200)=P(A2A2+A3A1+A1A3)

=

=

, = , ,

P(ξ=300)=P(A1A3+A3A1)= P(ξ=400)=P(A3A3)= ∴ξ 的分布列为: ξ 0 P (Ⅲ)由(Ⅱ)知: Eξ= =

100

200

300

400

=240.

∴销售两台这种型号电视机的销售利润总和的期望值 240. 点评: 本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,是中档题, 在历年 2015 届高考中都是必考题型之一. 18. (12 分)如图,在底面是正方形的四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥面 ABCD,BD 交 AC 于点 E,F 是 PC 中点,G 为 AC 上一点. (1)求证:BD⊥FG; (2)当二面角 B﹣PC﹣D 的大小为 时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值.

考点: 二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 综合题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)要证:BD⊥FG,只需证明 BD⊥平面 PAC,即可; (2)建立空间直角坐标系,分别求出平面 PBC 的一个法向量和平面 PDC 的一个法向量,进 而根据二面角 B﹣PC﹣D 的大小为 , 可得变量 a 值, 进而根据∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD

所成的角,可得 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值. 解答: (1)证明:∵PA⊥面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形,其对角线 BD,AC 交于点 E, ∴PA⊥BD,AC⊥BD, ∴BD⊥平面 PAC, ∵FG?平面 PAC,

∴BD⊥FG; (2)解:以 A 为原点,AB、AD、PA 所在的直线分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系 A ﹣xyz 如图所示, 设正方形 ABCD 的边长为 1,PA=a,则 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,D(0, 1,0) ,P(0,0,a) (a>0) , 设平面 PBC 的一个法向量为 =(x,y,z) , ∵ ∴ =(1,1,﹣a) , =(0,1,0) ,

取 z=1,得 =(a,0,1) , 同理可得平面 PDC 的一个法向量 =(0,a,1) , 设 u,v 所成的角为 θ,则|cosθ|=|cos ∴ = , |= ,

∴a=1, ∵PA⊥面 ABCD, ∴∠PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角, ∴tan∠PCA= = .

点评: 本题考查了空间几何体中的线面关系,直线与平面所成的角,其中建立空间坐标系, 将直线与平面的关系,及二面角问题转化为向量问题是解答的关键. 19. (12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn=an+n ﹣1,数列{bn}满足 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan, 且 b1=3. (Ⅰ)求 an,bn; (Ⅱ)设 Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn,并求满足 Tn<7 时 n 的最大值. 考点: 数列与不等式的综合. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: (Ⅰ)在已知数列递推式中取 n=n﹣1 得另一递推式,两式作差后整理得到 an﹣1=2n n ﹣1,则数列{an}的通项公式可求,把 an 代入 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan,整理后求得数列{bn} 的通项公式; (Ⅱ)由错位相减法求得数列{bn}的前 n 项和 Tn,然后利用作差法说明{Tn}为递增数列,通 过求解 T3,T4 的值得答案. 解答: 解: (Ⅰ)由 ,得 (n≥2) ,
2 n

两式相减得,an=an﹣an﹣1+2n﹣1, ∴an﹣1=2n﹣1,则 an=2n+1. n 由 3 ?bn+1=(n+1)an+1﹣nan, n ∴3 ?bn+1=(n+1) (2n+3)﹣n(2n+1)=4n+3. ∴ .

∴当 n≥2 时, 由 b1=3 适合上式, ∴ ;



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,





①.

②.

①﹣②得,

=







∵ ∴Tn<Tn+1,即{Tn}为递增数列. 又 ,





∴Tn<7 时,n 的最大值 3. 点评: 本题是数列与不等式的综合题,考查了数列递推式,训练了利用数列的前 n 项和求 通项公式,考查了错位相减法求数列的和,求解(Ⅱ)的关键是说明数列{Tn}为递增数列,是 中高档题.

20. (13 分)已知椭圆

+

=1(a>b>0)经过点 M(

, 1) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)已知点 P( ,0) ,若 A,B 为已知椭圆上两动点,且满足 ? =﹣2,试问直线 AB

是否恒过定点,若恒过定点,请给出证明,并求出该定点的坐标;若不过,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)由已知条件推导出 , ,又 a =b +c ,由此能求出椭圆方程.
2 2 2

(Ⅱ)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y=kx+m,代入
2 2 2

,消去 y 整

理,得(2k +1)x +4kmx+2m ﹣8=0,由根的判别式和韦达定理结合已知条件求出直线 AB 的 方程为 y=k(x﹣ 直线方程为 x= ) ,从而得到直线 AB 经过定点( ,也有 ,0) .当直线 AB 与 x 轴垂直时, ,0) .

=﹣2.由此证明直线 AB 一定过定点(

解答: 解: (Ⅰ)∵椭圆 ∵椭圆经过点 M(
2 2 2

+

=1(a>b>0)离心率为 ,②

,∴

,①

,1) ,∴

又 a =b +c ,③ 2 2 2 ∴由①②③联立方程组解得 a =8,b =c =4, ∴椭圆方程为 .

(Ⅱ)①当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 方程为 y=kx+m, 代入 ,消去 y 整理,得(2k +1)x +4kmx+2m ﹣8=0,
2 2 2 2 2

由△ >0,得 8k +4﹣m >0, (*) 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 , ,

∵点 P( ∴ = = =

,0) ,A,B 为已知椭圆上两动点,且满足

?

=﹣2,

=﹣2,

∴ 整理,得( 解得 m=﹣

+ ) =0, ,满足(*) ) ,
2

+8+m =0,

2

∴直线 AB 的方程为 y=k(x﹣ ∴直线 AB 经过定点( ,0) .

②当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线方程为 x= 此时 A( , ) ,B( ,﹣ ,0) .

, =﹣2,

) ,也有

综上,直线 AB 一定过定点(

点评: 本题考查椭圆方程的求法,考查直线是否过定点的判断与证明,综合性强,难度大, 解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用. 21. (14 分)已知函数 , ,其中 m∈R.

(1)若 0<m≤2,试判断函数 f (x)=f1(x)+f2(x) (x∈[2,+∞) )的单调性,并证明你的 结论; (2)设函数 若对任意大于等于 2 的实数 x1,总存在唯一的小于

2 的实数 x2,使得 g(x1)=g(x2)成立,试确定实数 m 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)先求导数 fˊ(x) ,在函数给定的区间内判定 fˊ(x)的符号,即可判定单调性; (2)对 m 进行分类讨论,然后研究个 g(x)的单调性,再由“总存在唯一的小于 2 的实数 x2, 使得 g(x1)=g(x2)成立”分别可求出 g(x1) 、g(x2)的值域,使 g(x1)的值域为 g(x2) 的值域的子集,建立不等关系,解之即可. 解答: 解: (1)f(x)为单调减函数. (1 分) 证明:由 0<m≤2,x≥2,可得 f(x)=f1(x)+f2(x) = = .



=

(4 分) ,

且 0<m≤2,x≥2,所以 f'(x)<0.从而函数 f(x)为单调减函数. (5 分) (亦可先分别用定义法或导数法论证函数 f1(x)和 f2(x)在[2,+∞)上单调递减,再得函 数 f(x)为单调减函数. )

(2)①若 m≤0,由 x1≥2,



x2<2, 所以 g(x1)=g(x2)不成立. (7 分) ②若 m>0,由 x>2 时,





所以 g(x)在[2,+∞)单调递减.从而 g(x1)∈(0,f1(2)],即 分) (a)若 m≥2,由于 x<2 时, 所以 g(x)在(﹣∞,2)上单调递增,从而 g(x2)∈(0,f2(2) ) ,即 . 要使 g(x1)=g(x2)成立,只需 由于函数 所以 2≤m<4. (12 分) ,即 在[2,+∞)的单调递增,且 h(4)=0,

. (9



成立即可.

(b) 若 0<m<2, 由于 x<2 时, 所以 g(x)在(﹣∞,m]上单调递增,在[m,2)上单调递减. 从而 g(x2)∈(0,f2(m)],即 g(x2)∈(0,1].

要使 g(x1)=g(x2)成立,只需

成立,即

成立即可.

由 0<m<2,得 故当 0<m<2 时,

. 恒成立. (15 分)

综上所述,m 为区间(0,4)上任意实数. (16 分) 点评: 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性,以及函数单调性的应用,属于中档题.



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