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江苏省梁丰高级中学2016~2017学年高一期中考试数学试卷及答案



2016~2017 学年第一学期期中考试 高一年级数学
命题: 审核: 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.函数 y ?
1 的定义域是 lg ? x ? 2 ?

试卷
校对:

.

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | y ? 1 ? x ,集合 B ? ?x | 0 ? x ? 2? ,则 ? ? U A? U B 等于
? 1 ? 3.计算 ? ? ? 27 ?
? 1 3

?

?

.

? ?? ? 1? ? 2log 3 1 ? lg 2 ? lg5 =
0

.

? ?log 2 x, ? x ? 0 ? 4.已知函数 f ? x ? ? ? x 则 ? ?3 , ? x ? 0 ?

? f ?f ?

? 1 ?? ? ? ? 的值是 ? 4 ??

.

5.若函数 f ? x ? ? ax2 ? x ? 1 在区间 ??2, ??? 上为单调增函数,则实数 a 的取值范围是
? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? a ? x ? 1, x ? 1 ?0 6.已知 f ? x ? ? ? x 满足对任意 x1 ? x2 都有 x1 ? x2 ? ?a , x ? 1

.

成立,那么 a 的取值范围是

. .

7.函数 f ? x ? ? x ? 2x 的零点所在区间为 ? n, n ? 1? , n ? Z 则 n ?
?ax ? b ? x ? 0 ? ? 8.函数 f ? x ? ? ? 的图象如图所示,则 a ? b ? c ? ? 1? ?log c ? x ? ? ? x ? 0 ? ? 9? ?

.

(第 8 题)

9.下列函数:① f ? x ? ? 3 x , ② f ? x ? ? x3 , ③ f ? x ? ? ln 区间 ? 0,? ? ? 上单调递减函数为
2

4 1 , ④ f ? x ? ? x 3 , ⑤ f ? x ? ? ? x 2 ? 1 中,既是偶函数,又是在 x

.(写出符合要求的所有函数的序号). . .

, 2? 时,不等式 ? x ?1? ? loga x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 10.已知当 x ? ?1

11.已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 4? ,且 f ? a2 ? ? f ? a ? ? 0 ,则 a 的取值范围是 12.已知函数 f ? x ? ? loga x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 ),当 x ? ? 0,1? 时,恒有 f ? x ? ? 0 成立,
? 3 ? 则函数 g ? x ? ? loga ? ? x2 ? ax ? 的单调递减区间是 2 ? ?

.

13.对实数 a 和 b,定义运算“ ? ”: a ? b ? ?

?a, a ? b ? 1, 设函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? x ? x2 , x ? R , b , a ? b ? 1. ?

?

? ?

?

若函数 y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是

.
1

14. 设 m 、 n ? R , 定 义 在 区 间 ? m, n? 上 的 函 数 f ? x? ? l o g ? x? 的 值 域 是 ?0, 2? , 若 关 于 t 的 方 程 2? 4
?1? ? ? ? m ? 1 ? 0 ? t ? R ? 有实数解,则 m ? n 的取值范围是 ?2?
|t |



二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分. 15.(本小题满分 14 分)已知集合 A ? x | y ? x 2 ? 5 x ? 14 ,集合 B ? ? y | y ? log 1 ? ?x 2 ? 6 x ?1?? ,
? ?
2

?

?

? ?

? ? ? ?

集合 C ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1? . (1)求 A I B ; (2)若 A U C ? A ,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ? (1)求常数 a 的值;

1 ? a 是奇函数. 2 ?1
x

(2)判断 f ? x ? 的单调性,并用定义证明; (3)求函数 f ? x ? 的值域.

17.(本题满分 15 分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施 的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点.△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗(阴影部分均不通 风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方)表示成关于 x 的函 数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.
A E (第 17 题) B D M N C G

?1? 18.(本题共 15 分)已知定义域为 ? 0, ?? ? 的函数 f ? x ? 满足:① x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ;② f ? ? ? 1 ; ?2?

③对任意的正实数 x, y ,都有 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? .
?1? (1)求证: f ? ? ? ? f ? x ? ; ? x?

(2)求证: f ? x ? 在定义域内为减函数; (3)求满足不等式 f ? log0.5 m ? 3? ? f ? 2log0.5 m ?1? ? ?2 的 m 集合.

2

19.(本题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ? x ? 的定义域和值域;
a (2)设 F ? x ? ? ? ? f 2 ? x ? ? 2? ? ? f ? x ? ( a 为实数),求 F ? x ? 在 a ? 0 时的最大值 g ? a ? ; 2 ?

(3)对(2)中 g ? a ? ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g ? a ? 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? ? ?1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围.

20.(本小题满分 16 分)设函数 f ? x ? ? a x ?

2 (其中常数 a ? 0 ,且 a ? 1 ). ax

(1)当 a ? 10 时,解关于 x 的方程 f ? x ? ? m (其中常数 m ? 2 2 ); (2)若函数 f ? x ? 在 ? ??, 2? 上的最小值是一个与 a 无关的常数,求实数 a 的取值范围.

3

016~2017 学年第一学期期中考试高一年级数学
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.函数 y ?
1 的定义域是 lg ? x ? 2 ?

.

? 2,3? ? ? 3, ?? ?
. (0,??) .

2.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | y ? 1 ? x ,集合 B ? ?x | 0 ? x ? 2? ,则 ? ? U A? ? B 等于
? 1 ? 3.计算 ? ? ? 27 ?
? 1 3

?

?

? ?? ? 1? ? 2log 3 1 ? lg 2 ? lg5 =
0

.

3

? ?log 2 x, ? x ? 0 ? 4.已知函数 f ? x ? ? ? x 则 ? ?3 , ? x ? 0 ?

? ? 1 ?? f ? f ? ? ? 的值是 ? ? 4 ??

.

1 9
.0 ? a ?

5.若函数 f ? x ? ? ax2 ? x ? 1 在区间 ??2, ??? 上为单调增函数,则实数 a 的取值范围是

1 4
.

?? 2 ? a ? x ? 1, x ? 1 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? 0 成立,那么 a 的取值范围是 6.已知 f ? x ? ? ? x 满足对任意 x1 ? x2 都有 x1 ? x2 ? ?a , x ? 1

?3 ? ,2 ? ? ?2 ?
7.函数 f ? x ? ? x ? 2x 的零点所在区间为 ? n, n ? 1? , n ? Z 则 n ?
?ax ? b ? x ? 0 ? ? 8.函数 f ? x ? ? ? 的图象如图所示,则 a ? b ? c ? ? 1? ?log c ? x ? ? ? x ? 0 ? ? 9? ?

. ?1

.

13 3

9.下列函数:① f ? x ? ? 3 x , ② f ? x ? ? x3 , ③ f ? x ? ? ln 区间 ? 0,? ? ? 上单调递减函数为
2

4 1 , ④ f ? x ? ? x 3 , ⑤ f ? x ? ? ? x 2 ? 1 中,既是偶函数,又是在 x

.(写出符合要求的所有函数的序号).

③⑤
, 2? . . ?1

, 2? 时,不等式 ? x ?1? ? loga x 恒成立,则实数 a 的取值范围为 10.已知当 x ? ?1

11.已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 4? ,且 f ? a2 ? ? f ? a ? ? 0 ,则 a 的取值范围是

.

? ?1,0? 【解析 1】当 a ? 0 时,则 a4 ? 4a2 ? a2 ? 4a ? 0 ,此时无解;
2 4 2 2 当 a ? 0 时,则 a ? 4a ? a ? 4a ? 0 ,即 a ? a ? 1? a ? a ? 4 ? 0 ,解得,故 ?1 ? a ? 0 .

?

?

【解析 2】由题意可知,函数 f ? x ? 为奇函数,且在 ? ??, ?? ? 上单调递增,
2 2 从而由 f a ? ? f ? a ? ? f ? ?a ? 得 a ? ?a ,解得 ?1 ? a ? 0 .

? ?

12.已知函数 f ? x ? ? loga x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 ),当 x ? ? 0,1? 时,恒有 f ? x ? ? 0 成立,

4

? 3 ? 则函数 g ? x ? ? loga ? ? x2 ? ax ? 的单调递减区间是 ? 2 ?

.

3 2 解析:当 x∈(0,1)时,|x+1|>1,但 loga|x+1|<0,故由对数函数的图象知,0<a<1.由- x2+ax>0,解得 0<x< a, 2 3 3 2 a? 3 2 ? ? 2 ? ? 即函数 g(x)=loga? ?-2x +ax?的定义域为?0,3a?.因为二次函数 t=-2x +ax 的单调递增区间为?-∞,3?, a? 结合函数 g(x)的定义域知,函数 g(x)的单调递减区间为? ?0,3?. 13. 对 实 数 a 和 b, 定 义 运 算 “ ? ”: a ? b ? ?
?a, a ? b ? 1, 设 函 数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? x ? x 2 , x ? R , 若 函 数 b , a ? b ? 1. ?

?

? ?

?

y ? f ? x ? ? c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是

.

? 2 ?x2-2,x2-2-(x-x )≤1, f(x)=? = ? 2 3 2 ?x-x2,x2-2-(x-x )>1 ?x-x ,x<-1,或x>2,
2

3 x2-2,-1≤x≤ ,

则 f(x)的图象如图:∵y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点,
?3 ? ∴y=f(x)与 y=-c 的图象恰有两个公共点,由图象知 ? ,1? U? 2, ??? ?4 ?

14. 设 m 、 n ? R , 定 义 在 区 间 ? m, n? 上 的 函 数 f ? x? ? l o g ? x? 的 值 域 是 ?0, 2? , 若 关 于 t 的 方 程 2? 4
?1? ? ? ? m ? 1 ? 0 ? t ? R ? 有实数解,则 m ? n 的取值范围是 ?2?
|t |

. [1 , 2)

15.(本小题满分 14 分)已知集合 A ? x | y ? x 2 ? 5 x ? 14 ,集合 B ? ? y | y ? log 1 ? ?x 2 ? 6 x ?1?? ,
? ?
2

?

?

? ?

? ? ? ?

集合 C ? ?x | m ? 1 ? x ? 2m ? 1? .

(1)求 A I B ;

(2)若 A U C ? A ,求实数 m 的取值范围.

15.解:(1)∵ A ? (??, ?2] U[7, ??) , B ? ??3, ??? ,…∴ A I B ? ??3, ?2? U?7, ??? .…………6 分 (2) ∵ A U C ? A ∴ C ? A .………………8 分 ① C ? ? , 2m ? 1 ? m ? 1 ,∴ m ? 2 .……………………………………9 分 ② C ? ? ,则 ? ∴m ? 6 16.(本小题 14 分)已知函数 f ? x ? ? (1)求常数 a 的值; (2)判断 f ? x ? 的单调性,并用定义证明; (3)求函数 f ? x ? 的值域.

? m?2 ? m?2 或? .……………………………12 分 ?2m ? 1 ? ?2 ?m ? 1 ? 7
综上, m ? 2 或 m ? 6 …………………14 分
1 ? a 是奇函数。 2 ?1
x

5

1? ?1 ? ? (3) ? ??, ? ? U ? , ?? ? 2? ? 2 ? ?

17.(本题满分 16 分)某仓库为了保持库内的湿度和温度,四周墙上均装有如图所示的自动通风设施.该设施 的下部 ABCD 是矩形,其中 AB=2 米, BC=1 米;上部 CDG 是等边三角形,固定点 E 为 AB 的中点 .△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗 ( 阴影部分均不通 风),MN 是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 AB 平行的伸缩横杆. (1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x 米,试将△EMN 的面积 S(平方)表示成关于 x 的函数; (2)求△EMN 的面积 S(平方米)的最大值.
A E (第 18 题) G B D C M N G

(1)①如图 1 所示,当 MN 在矩形区域滑动,即 0<x≤1 时,
1 △EMN 的面积 S= ? 2 ? x = x ; 2

②如图 2 所示,当 MN 在三角形区域滑动,即 1<x< 1 ? 3 时, 如图,连接 EG,交 CD 于点 F,交 MN 于点 H, ∵ E 为 AB 中点,∴ F 为 CD 中点,GF⊥CD,且 FG= 3 . 又∵ MN∥CD,∴ △MNG∽△DCG.∴ MN ? GH ,即 MN ? 2[ 3 ? 1 ? x] . DC GF 3 故△EMN 的面积 S= 1 ? 2[ 3 ? 1 ? x] ? x = ? 3 x 2 ? (1 ? 3 ) x ; 3 3 2 3

D M A E

C N B

图1

6

综合可得:

? x, ? 0<x ≤1? ? S ?? 3 2 ? 3? ? x ? 1 ? 1? 3 ? ? x. 1<x< ? 3 ? 3 ? ? ? ?

?

?
M D

G

(2)①当 MN 在矩形区域滑动时, S ? x ,所以有 0 ? S ? 1 ; ②当 MN 在三角形区域滑动时,S= ?

3 2 3 x ? (1 ? )x . 3 3

H F

N C

1 3 ? 1? 3 3 (平方米). 因而,当 x ? (米)时,S 得到最大值,最大值 S= 2 2


A

E

B

图2

1 3 1 3 平方米. ? ? 1 ,∴ S 有最大值,最大值为 ? 2 3 2 3

?1? 18.(本题共 15 分) 已知定义域为 ? 0, ?? ? 的函数 f ? x ? 满足:① x ? 1 时, f ? x ? ? 0 ;② f ? ? ? 1 ;③对任意的正实 ?2?

数 x, y ,都有 f ? xy ? ? f ? x ? ? f ? y ? .
?1? (1)求证: f ? ? ? ? f ? x ? ; ? x?

(2)求证: f ? x ? 在定义域内为减函数;

(3)求满足不等式 f ? log0.5 m ? 3? ? f ? 2log0.5 m ?1? ? ?2 的 m 集合. 解:(1)令 x ? 1, y ?

1 1 f (1 ? ) ? f (1) ? f ( ) , 得 f (1) ? 0 2 2 1 1 1 1 令 y ? , f ( x ? ) ? f ( x) ? f ( ) ? f (1) ? 0 ,得 f ( ) ? ? f ( x ) x x x x

1 , 2

??4 分

(2)设 x1 ? x2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f (

x 1 )= f( 1) x2 x2

? x1 ? x2 ?

x1 ?1 x2

?f(

x1 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 x2
??9 分 ??10 分

? f ( x1 ) ? f ( x) 2
1 2 1 2 1 4

? f ( x) 在 ?0,??? 上为减函数。
1 4

(3)? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? 2 , ? f (4) ? ? f ( ) ? ?2
f (log0.5 m ? 3) ? f (2log 0.5 m ? 1) ? ?2 , f (log0.5 m ? 3) ? f (2log0.5 m ?1) ? f ? 4 ?

f ?(log0.5 m ? 3)(2log0.5 m ? 1)? ? f ? 4? ,

? f ( x) 定义域上是减函数 (log0.5 m ? 3)(2log0.5 m ? 1) ? 4
?log 0.5 m ? ?3 ? 1 ? ?log 0.5 m ? 2 ? ? ?(log 0.5 m ? 3)(2 log 0.5 m ? 1) ? 4

?12 分

7

1 ? log0.5 m ? 1 , 2

?14 分
? 2? ? 1 ? ?m ? m ? ? 2 2 ? ? ? ?

不等式的解集

???15 分

19.(本题满分 16 分)已知函数 f ? x ? ? 1 ? x ? 1 ? x . (1)求函数 f ? x ? 的定义域和值域;
a (2)设 F ? x ? ? ? ? f 2 ? x ? ? 2? ? ? ? f ? x ? ( a 为实数),求 F ? x ? 在 a ? 0 时的最大值 g ? a ? ; 2

(3)对(2)中 g ? a ? ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g ? a ? 对 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? ? ?1,1? 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] …………2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] …………4 分

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2 1 2 1 2 ∴ F ( x) ? m(t ) ? a ( t ? 1 )+t= at ? t ? a, t ? [ 2, 2] …………6 分 2 2 1 2 由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ? at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值. 2 1 1 2 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at ? t ? a 的对称轴 a 2
(2)因为 F ( x) ? 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段, ①若 t ? ?

1 2 ? (0, 2] ,即 a ? ? 则 g (a) ? m( 2) ? 2 …………7 分 a 2 1 1 1 2 1 ? ( 2, 2] ,即 ? …………8 分 ? a ? ? 则 g ( a ) ? m( ? ) ? ? a ? a a 2a 2 2 1 1 ? (2, ??) ,即 ? ? a ? 0 则 g (a) ? m(2) ? a ? 2 a 2
…………9 分

②若 t ? ? ③若 t ? ?

? a ? 2, ? 1 2 1 ? g ( a ) ? ?a?? , 综上有 ??a ? , ? 2a 2 2 ? ? 2 ? 2, a?? 2
(3)易得 gmin (a) ? 2 ,

a??

1 2

…………10 分

…………11 分
8

由 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立,即要使 ?m2 ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2 恒成立,…

? m2 ? 2tm ? 0 ,令 h ?t ? ? ?2mt ? m2 ,对所有的 t ???1,1? , h ?t ? ? 0 成立,
只需 ?

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 , …………14 分 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0

求出 m 的取值范围是 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . …………16 分 20.(本小题满分 16 分)设函数 f ? x ? ? a x ?
2 (其中常数 a ? 0 ,且 a ? 1 ). ax

(1)当 a ? 10 时,解关于 x 的方程 f ? x ? ? m (其中常数 m ? 2 2 ); (2)若函数 f ? x ? 在 ? ??, 2? 上的最小值是一个与 a 无关的常数,求实数 a 的取值范围.
2 ? x 10 ? x , x ≥ 0, ? ? 10 20.解 (Ⅰ)f(x)= ? ? 3 , x ? 0. ? ?10 x

① 当 x<0 时,f(x)=

3 >3.因为 m>2 2.则当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 无解; 10 x
…………………… 1 分

3 3 当 m>3,由 10x=m,得 x=lgm. ② 当 x≥0 时,10x≥1.由 f(x)=m 得 10x+
2

2 =m,∴(10x)2-m10x+2=0. 10 x
x

m± m2-8 因为 m>2 2,判别式 ? =m -8>0,解得 10 = . …………………… 3 分 2
2 m+ m2-8 m+ m2-8 x m+ m -8 因为 m>2 2,所以 > 2 > 1. 所以由 10 = , 解得 x = lg . 2 2 2



m- m2-8 =1,得 m=3. 2

…………………… 4 分

m- m2-8 4 4 所以当 m>3 时, = < =1, 2 2 m+ m -8 3+ 32-8 m- m2-8 m- m2-8 4 4 当 2 2<m≤3 时, = > = 1, 解得 x = lg .………………… 5 分 2 2 m+ m2-8 3+ 32-8 m+ m2-8 3 综上,当 m>3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg m和 x=lg ; 2 当 2 2<m≤3 时,方程 f(x)=m 有两解 x=lg m± m2-8 .…………………… 6 分 2

3 2 (2) (Ⅰ)若 0<a<1,当 x<0 时,0<f(x)=ax<3;当 0≤x≤2 时,f(x)=ax+ax.…………… 7 分 2 令 t=ax,则 t∈[a2,1],g(t)=t+ t 在[a2,1]上单调递减,所以当 t=1,即 x=0 时 f(x)取得最小值为 3.

9

当 t = a2 时 ,f(x) 取 得 最 大 值 为 a 2 ? 值.…………………………… 9 分

2 2 . 此 时 f(x) 在 ( - ∞,2] 上 的 值 域 是 (0, a 2 ? 2 ], 没 有 最 小 a2 a

3 2 (Ⅱ)若 a>1,当 x<0 时,f(x)=ax>3;当 0≤x≤2 时 f(x)=ax+ax. 2 令 t=ax,g(t)=t+ t ,则 t∈[1,a2]. 2 2 ① 若 a2≤ 2 ,g(t)=t+ t 在[1,a2]上单调递减,所以当 t=a2 即 x=2 时 f(x)取最小值 a2+ a2,最小值与 a 有 关;…………………………… 11 分 2 ② a2≥ 2 ,g(t)=t+ t 在[1, 2]上单调递减,在[ 2,a2]上单调递增,…………………………… 13 分 所以当 t= 2即 x=loga 2时 f(x)取最小值 2 2,最小值与 a 无关.…………………………… 15 分 综上所述,当 a≥ 4 2 时,f(x)在(-∞,2]上的最小值与 a 无关.…………………………… 16 分

10



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