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2014-2015学年江苏省宿迁市泗阳中学高一(下)期末数学试卷 Word版含解析



2014-2015 学年江苏省宿迁市泗阳中学高一(下)期末数学试卷
一、填空题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,计 70 分.不写解答过程,将答案写在答题纸 的指定位置上. 1.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 a:b:c 的值为 . 2.在等比数列{an}中,a1<0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则 a3+a5= 3.给出以

下四个判断: ①线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 不一定在平面 α 内; ②两平面有一个公共点,则它们一定有无数个公共点; ③三条平行直线共面; ④有三个公共点的两平面重合. 其中不正确的判断的个数为 . 4.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 a=1, 的面积是 . ,∠C=30°,则△ABC .

5.已知数列﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列,﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列,则 的值为 .

6.如图,平面四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的四条边上,若直线 EF 与 GH 相交,则它们的交点 M 必在直线 上.

7.已知三角形 ABC 中,有:a tanB=b tanA,则三角形 ABC 的形状是 8.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n +2n+5,则 a3+a4+a5+a6= 9.下列四个命题: ①若 a∥α,b?α 则 a∥b, ②若 a∥α,b∥α 则 a∥b ③若 a∥b,b?α 则 a∥α, ④若 a∥α,a∥b 则 b∥α 或 b?α 其中为真命题的序号有
2

2

2





. (填上所有真命题的序号)

10.若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列,c=2a,则 cosB 的值为 . 11.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5?a2n﹣5=2 (n≥3) ,则当 n≥3 时, log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n﹣1= . 12.等腰三角形 ABC 的周长为 值 . ,则△ABC 腰 AB 上的中线 CD 的长的最小
2n

[选做题](本题包括两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按第 1 题评分。) 13.若不等式 是 .
* 2

>|a﹣2|+1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围

14.对于数列{an},定义数列{△an}满足:△an=an+1﹣an, (n∈N ) ,定义数列{△ an}满足: 2 * 2 △ an=△an+1﹣△an, (n∈N ) , 若数列{△ an}中各项均为 1, 且 a21=a2012=0, 则 a1= .

二、 解答题: 本大题共 5 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请将答案写在答题纸的指定区域内. 1012 春?宿迁校级期末)若 AB 的中点 M 到平面 α 的距离为 4cm,点 A 到平面 α 的距离为 6cm,则点 B 到平面 α 的距离为 cm. 16.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. a=2csinA.

17. 已知等差数列{an}的公差 d<0, a1=3, 前 n 项和为 Sn, {bn}为等比数列, b1=1, 且 b2S2=64, b3S3=960. (1)求 an 与 bn; (2)求 Sn 的最大值. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边 形.求证:MN∥平面 PAD.

19.如图一个三角形的绿地 ABC,AB 边长 8 米,由 C 点看 AB 的张角为 45°,在 AC 边上 一点 D 处看 AB 得张角为 60°,且 AD=2DC,试求这块绿地的面积.

[选做题](本题包括两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按第 1 题评分。) 20. 设计一幅宣传画, 要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 λ (λ<1) ,画面的上、 下各留 8cm 空白,左、右各留 5cm 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸 张面积最小?如果要求 λ∈ ,那么 λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?
2

2012?江苏一模)如图,在六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1∥CC1,A1B=A1D,AB=AD. 求证: (1)AA1⊥BD; (2)BB1∥DD1.

22.已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1,其中 n≥2,n∈N . (1)求证:数列{an}为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn= (3)设 cn=4 +(﹣1) 都有 cn+1>cn 成立.
n n﹣1 an

*

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn 的取值范围; λ?2 (λ 为非零整数,n∈N ) ,试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N ,
* *

2014-2015 学年江苏省宿迁市泗阳中学高一(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,计 70 分.不写解答过程,将答案写在答题纸 的指定位置上. 1.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则 a:b:c 的值为 3:2:4 . 考点:正弦定理. 专题:解三角形. 分析:根据正弦定理 答案. 解答: 解:由正弦定理 可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c 又∵sinA:sinB:sinC=3:2:4, ∴a:b:c=3:2:4, 故答案为:3:2:4 点评:本题考查的知识点是正弦定理,正弦定理的推论 sinA:sinB:sinC=a:b:c(边角互 化)在解三角形时常用,请熟练掌握 2.在等比数列{an}中,a1<0,a2a4+2a3a5+a4a6=36,则 a3+a5= ﹣6. . 考点:等比数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析:根据等比数列的性质进行配方即可. 解答: 解:在等比数列{an}中,a2a4+2a3a5+a4a6=36, 2 2 ∴(a3) +2a3a5+(a5) =36, 2 即(a3+a5) =36, ∵a1<0, 2 4 ∴a3=a1q <0,a5=a1q <0, 即 a3+a5<0, 则 a3+a5=﹣6, 故答案为:﹣6 点评:本题主要考查等比数列通项公式的应用, 利用等比数列的性质将条件进行转化是解决 本题的关键.注意 a3+a5<0. 3.给出以下四个判断: ①线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 不一定在平面 α 内; ②两平面有一个公共点,则它们一定有无数个公共点; ③三条平行直线共面; ④有三个公共点的两平面重合. ,易得 sinA:sinB:sinC=a:b:c,根据已知可得

其中不正确的判断的个数为

3. .

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析:线段 AB 在平面 α 内,直线 AB 也在 α 内;两平面有一个公共点,则一定有无数个公 共点,这些点在两个平面的交线上;三条平行直线不一定共面;有三个公共点的两平面重合 或交于一点. 解答: 解:线段 AB 在平面 α 内,直线 AB 也在 α 内,故①不正确; 两平面有一个公共点,则一定有无数个公共点,这些点在两个平面的交线上,故②正确; 三条平行直线不一定共面,故③不正确; 有三个公共点的两平面重合或交于一条直线,故④不正确, 综上可知有 3 个命题不正确. 故答案为:3 点评:本题考查平面的基本性质及推论,本题解题的关键是不要漏掉条件中可能出现的情 况,本题是一个基础题. 4.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 a=1, 的面积是 . ,∠C=30°,则△ABC

考点:三角形的面积公式. 专题:计算题. 分析:根据题意可知在△ABC 中,a=1,b= 即可解得答案. 解答: 解:∵在△ABC 中,a=1,b= ∴三角形的面积 S= absin∠C= ×1× 故答案为 . ,C=30°,则根据三角形的面积 S= absin∠C

,C=30°, ×sin30= ,

点评:本题主要考查三角形面积公式 S= absinα(α 为 a 和 b 两边的夹角)的知识点,解答 本题的关键是熟练掌握该面积公式,本题难度一般.

5.已知数列﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列,﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列,则 的值为 .

考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:计算题. 2 分析:利用等差数列的通项公式求出公差;利用等比数列的性质求出 b2 ,利用等比数列中 奇数项的符号相同,求出 b2.

解答: 解:∵﹣1,a1,a2,﹣4 成等差数列 ∴等差数列的公差为 ∵﹣1,b1,b2,b3,﹣4 成等比数列 2 ∴b2 =﹣1×(﹣4)=4 ∴b2=﹣2 ∴

故答案为 点评:在解决等比数列的问题时,注意奇数项的符号相同;偶数项的符号相同. 6.如图,平面四边形 EFGH 的四个顶点分别在空间四边形 ABCD 的四条边上,若直线 EF 与 GH 相交,则它们的交点 M 必在直线 AC 上.

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:证明题;推理和证明. 分析:利用线面位置关系即可知道分别在两个相交平面的两相交直线的交点必在两平面的 交线上. 解答: 解:如图所示. ∵EF?平面 ABC,GH?平面 ACD,平面 ABC∩平面 ACD=AC, ∴EF∩GH=M 必在直线 AC 上. 故答案为:AC. 点评:正确理解线面位置关系、平面的基本性质是解题的关键. 7. 已知三角形 ABC 中, 有: a tanB=b tanA, 则三角形 ABC 的形状是 等腰或直角三角形 . 考点:三角形的形状判断. 专题:计算题. 2 2 分析:三角形 ABC 中,利用正弦定理将 a tanB=b tanA 化为 =0,再利用二倍角的正弦即可得到 sin2A=sin2B,从而得到: A=B 或 A+B= ,问题即可解决.
2 2 2 2

解答: 解:∵三角形 ABC 中,a tanB=b tanA, ∴由正弦定理 得: =0,

∵sinA?sinB>0, ∴ ,即 =0,

∴sin2A=sin2B,又 A、B 为三角形中的角, ∴2A=2B 或 2A=π﹣2B, ∴A=B 或 A+B= .

故答案为:等腰三角形或直角三角形. 点评:本题考查三角形的形状判断,着重考查正弦定理的应用及二倍角的正弦及诱导公式, 属于中档题. 8.若数列{an}的前 n 项和 Sn=n +2n+5,则 a3+a4+a5+a6= 40 . 考点:数列的函数特性. 专题:计算题. 分析:把 n=6 和 n=2,代入已知的前 n 项和公式,分别求出 S6 和 S2,利用 S6﹣S2,即可求 出 a3+a4+a5+a6 的值. 2 解答: 解:令 n=6,求得:S6=6 +2×6+5=53, 2 令 n=2,求得:S2=2 +2×2+5=13, 则 a3+a4+a5+a6=S6﹣S2=40. 故答案为:40. 点评:本题主要考查了由“和”求“项”的问题,在数列的通项公式的求解中,如递推公式中含 有和 sn 的形式常选择公式 ,n≥2,属于对基本知识的考查,试题较容易.
2

9.下列四个命题: ①若 a∥α,b?α 则 a∥b, ②若 a∥α,b∥α 则 a∥b ③若 a∥b,b?α 则 a∥α, ④若 a∥α,a∥b 则 b∥α 或 b?α 其中为真命题的序号有 ④ . (填上所有真命题的序号) 考点:四种命题. 专题:简易逻辑;立体几何. 分析:根据几何符号语言对应的空间图形, 利用空间中的平行关系, 对题目中的命题进行判 断即可. 解答: 解:对于①,当 a∥α,b?α 时,a∥b 或 a、b 异面,∴①错误; 对于②,当 a∥α,b∥α 时,a∥b 或 a、b 相交或 a、b 异面,∴②错误; 对于③,当 a∥b,b?α 时,a∥α 或 a?α,∴③错误; 对于④,当 a∥α,a∥b 时,b∥α 或 b?α,∴④正确; 综上,以上为真命题的序号是④. 故答案为:④.

点评:本题考查了空间中的平行关系的判断与应用问题,是基础题目. 10.若△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列,c=2a,则 cosB 的值为 .

考点:余弦定理. 专题:计算题. 分析:由 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列且 c=2a 可得,b= 可求 解答: 解:∵a,b,c,且 a,b,c 成等比数列且 c=2a 2 2 b =ac=2a , b= ,c=2a =

,c=2a,结合余弦定理

故答案为: 点评:本题主要考查了等比中项的定义的应用, 余弦定理在解三角形中的应用, 属于基础试 题 11.已知等比数列{an}满足 an>0,n=1,2,…,且 a5?a2n﹣5=2 (n≥3) ,则当 n≥3 时, 2 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n﹣1= n . 考点:等比数列的性质;对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:先根据等比数列的性质化简已知的等式,由 an>0,开方即可求出 an 的值,然后把所 求的式子先利用对数的运算性质化简,再把项数之和为 2n 的两项结合,利用等比数列的性 质化简,进而把求出的 an 的值代入后,再利用对数的运算法则计算即可求出值. 2 2n 解答: 解:由 a5?a2n﹣5=an =2 ,且 an>0, n 解得 an=2 , 则 log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a2n﹣1 = = =n . 2 故答案为:n 点评:此题考查了等比数列的性质, 以及对数的运算法则. 熟练运用等比数列的性质与对数 的运算法则是解本题的关键. 12.等腰三角形 ABC 的周长为 ,则△ABC 腰 AB 上的中线 CD 的长的最小值 1 .
2 2n

考点:基本不等式. 专题:计算题. 分析:先设 AB=AC=x,利用周长表示出 BC=3 ﹣2x.再由三角形的中线长计算公式,表 示出 CD 关于 x 的解析式,最后利用二次函数的性质求出它的最小值,从而得出满足条件的 CD 的长的最小值即可. 解答: 解:设 AB=AC=x,则:BC+2x=3 ,∴BC=3 ﹣2x. 由三角形的中线长计算公式,有: CD= = ∴当 3x=4 此时,y=4, ∴此时,CD= = × =1. ,即 x= , 时,y=(3x﹣4 ) +4 有最小值,即 CD 有最小值.
2

=

即:满足条件的 CD 的长的最小值为 1. 故答案为:1. 点评:本小题主要考查二次函数性质的应用,考查运算求解能力,考查函数思想、化归与转 化思想.属于基础题. [选做题](本题包括两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按第 1 题评分。) 13.若不等式 3) . 考点:绝对值不等式的解法;基本不等式在最值问题中的应用. 专题:计算题;压轴题. 分析:由题意求出 围即可. 解答: 解: ∵x 与 同号, ∴ (当且仅当 x=±1 时取“=”) . 的最小值,只要|a﹣2|+1 小于最小值,即可满足题意,求出 a 的范 >|a﹣2|+1 对于一切非零实数 x 均成立,则实数 a 的取值范围是 (1,

∴2>|a﹣2|+1.∴|a﹣2|<1,解得 1<a<3. 故答案为: (1,3) 点评:本题考查绝对值不等式的解法, 恒成立问题一般通过函数的最值解决, 注意端点问题 的处理.是高考常考题. 14.对于数列{an},定义数列{△an}满足:△an=an+1﹣an, (n∈N ) ,定义数列{△ an}满足: 2 * 2 △ an=△an+1﹣△an, (n∈N ) , 若数列{△ an}中各项均为 1, 且 a21=a2012=0, 则 a1= 20110. . 考点:数列递推式. 专题:等差数列与等比数列;点列、递归数列与数学归纳法.
* 2

分析:通过分析易知数列{△an}是首项为△a1、 公差为 1 的等差数列, 进而△an=△a1+ (n﹣1) , 利用叠加法可知 an=a1+ △ak=a1+(n﹣1)△a1+ ,利用 a21=a2012=0

可知 21、2012 是方程 an=0 的两个根即 an= (n﹣21) (n﹣2012) ,令 n=1 计算即得结论. 解答: 解:∵数列{△ an}中各项均为 1, ∴△an+1﹣△an=1, ∴数列{△an}是首项为△a1、公差为 1 的等差数列, ∴△an=△a1+(n﹣1) , * 又∵△an=an+1﹣an, (n∈N ) , ∴an﹣an﹣1=△an﹣1, an﹣1﹣an﹣2=△an﹣2, … a2﹣a1=△a1, 累加得:an=a1+ =a1+(n﹣1)△a1+ △ak ,
2

这说明 an 是关于 n 的二次函数,且二次项系数为 , ∵a21=a2012=0, ∴21、2012 是方程 an=0 的两个根, ∴an= (n﹣21) (n﹣2012) , ∴a1= (1﹣21)?(1﹣2012)=20110,

故答案为:20110. 点评:本题考查学生阅读能力和知识方法的理解迁移能力, 等差数列的定义, 注意解题方法 的积累,属于中档题. 二、 解答题: 本大题共 5 小题, 计 90 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤, 请将答案写在答题纸的指定区域内. 1012 春?宿迁校级期末)若 AB 的中点 M 到平面 α 的距离为 4cm,点 A 到平面 α 的距离为 6cm,则点 B 到平面 α 的距离为 2 或 14 cm. 考点:点、线、面间的距离计算. 专题:计算题;转化思想. 分析:按 AB 在平面的同侧还是异侧讨论,若 A,B 在平面 α 的同侧,则 AB 的中点 M 到 平面 α 的距离恰为点 A 到平面 α 的距离和点 B 到平面 α 的距离之和的一半,若若 A,B 在 平面 α 的两侧,又有两种情况,一种是中点与 A 在同一侧,一种是中点与 B 在同一侧,利 用比例关系计算即可. 解答: 解: (1)若 A,B 在平面 α 的同侧,

过 A,B 及 AB 中点 C 分别向平面 α 作垂线,垂足分别为 A1,B1,C1 则 AA1∥CC1∥BB1,且|CC1|= ,∴|BB1|=2

(2)若 A,B 在平面 α 的两侧,且中点 C 与 B 在同一侧时, 过 A,B 及 AB 中点 C 分别向平面 α 作垂线,垂足分别为 A1,B1,C1 则 AA1∥CC1∥BB1,∴|BB1|=|AA1|+2|CC1|=6+8=14 (3)若 A,B 在平面 α 的两侧,且中点 C 与 A 在同一侧时 过 A,B 及 AB 中点 C 分别向平面 α 作垂线,垂足分别 A1,B1,C1AA1∥CC1∥BB1,∴|AA1|=|BB1|+2|CC1|, 不成立, ∴点 B 到平面 α 的距离为 2 或 14cm 故答案为 2 或 14

点评:本题主要考查了直线与平面位置关系的判断, 以考查了学生的分类讨论思想, 以及空 间想象力. 16.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别为角 A、B、C 所对的边,且 (Ⅰ)确定角 C 的大小; (Ⅱ)若 c= ,且△ABC 的面积为 ,求 a+b 的值. a=2csinA.

考点:正弦定理;余弦定理. 专题:解三角形.

分析: (I)由

a=2csinA.利用正弦定理可得

sinA,sinC=

,由于 A

为锐角,即可得出. (2)由 c= 可得:c = 解答: 解: (I)∵ ∴由正弦定理可得 又 sinA≠0, ∴sinC= , . ,且△ABC 的面积为 ,化为 ab=6, = =(a+b) ﹣3ab,
2 2



,且△ABC 的面积为 化简即可得出. a=2csinA. sinA,

,可得

=

,ab,由余弦定理

∵A 为锐角,∴ (2)∵c= ∴ = ,



由余弦定理可得:

∴a+b=5. 点评:本题考查了正弦定理与余弦定理、 三角形的面积计算公式, 考查了推理能力与计算能 力,属于中档题. 17. 已知等差数列{an}的公差 d<0, a1=3, 前 n 项和为 Sn, {bn}为等比数列, b1=1, 且 b2S2=64, b3S3=960. (1)求 an 与 bn; (2)求 Sn 的最大值. 考点:等差数列与等比数列的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)设等比数列{bn}的公比为 q,运用等差数列的通项公式和求和公式,以及等 比数列的通项公式,列方程,解得公比和公差,即可得到所求通项; (2)由等差数列的求和公式,运用配方,结合二次函数的最值求法,可得最大值. 解答: 解、 (1)设等比数列{bn}的公比为 q, 则 an=3+(n﹣1)d, ,Sn=3n+ n(n﹣1)d,

依题意有



解得

, (舍去) 或



故 (2) =﹣ ∴当 , , .





点评:本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用, 考查方程的思想, 考查运算 能力,属于中档题. 18.如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,M,N 分别是 AB,PC 的中点,若 ABCD 是平行四边 形.求证:MN∥平面 PAD.

考点:直线与平面平行的判定. 专题:证明题. 分析: 欲证 MN∥平面 PAD, 根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 MN 与平面 PAD 内一直线平行,取 PD 的中点 E,连接 AE,EN ,根据平行四边形可知 MN∥AE,而 MN?平面 PAD,AE?平面 PAD,满足定理所需条件. 解答: 证明:取 PD 的中点 E,连接 AE,EN 因为 EN∥AM,EN=AM 所以 AMNE 为平行四边形,则 MN∥AE 而 MN?平面 PAD,AE?平面 PAD ∴MN∥平面 PAD. 点评:本题主要考查了直线与平面平行的判定,判断或证明线面平行的常用方法有:①利 用线面平行的定义(无公共点) ;②利用线面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α) ; ③利用面面平行的性质定理(α∥β,a?α?a∥β) ;④利用面面平行的性质(α∥β,a?α, a?,a∥α??a∥β) . 19.如图一个三角形的绿地 ABC,AB 边长 8 米,由 C 点看 AB 的张角为 45°,在 AC 边上 一点 D 处看 AB 得张角为 60°,且 AD=2DC,试求这块绿地的面积.

考点:解三角形的实际应用. 专题:计算题;解三角形. 分析:设 DC=x,在△BDC 中,由正弦定理得 BD,BC,在△ABC 中,由余弦定理,求出 DC,再求△ABC 的面积. 解答: 解:设 DC=x,在△BDC 中,由正弦定理得: BD= BC= 在△ABC 中,由余弦定理得: 8= 故x =
2 2

=(

+1)x…(2 分) …(4 分)

… …(8 分)

于是,△ABC 的面积 S= ═ …= (平方米)…(11 分) ═

答:这块绿地的面积为 平方米…(12 分) 点评:此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的关 键. [选做题](本题包括两小题,请选定其中一题作答。若多做,则按第 1 题评分。) 20. 设计一幅宣传画, 要求画面面积为 4840cm ,画面的宽与高的比为 λ (λ<1) ,画面的上、 下各留 8cm 空白,左、右各留 5cm 空白.怎样确定画面的高与宽尺寸,能使宣传画所用纸 张面积最小?如果要求 λ∈ ,那么 λ 为何值时,能使宣传画所用纸张面积最小?
2

考点:基本不等式在最值问题中的应用. 专题:应用题;压轴题. 分析:设画面高为 xcm,宽为 λxcm,则依题意可求得宣传画面积的表达式,设纸张面积为 S,根据题意得 S=(x+16) (λx+10)把前面求得 x 代入,整理后,根据均值不等式求得 S 的最小值,进而求得此时的宽和高.如果 λ∈[ ],根据求函数单调性的方法,设 ]内单调递增,进而

,求得 S(λ1)﹣S(λ2)<0,判断出函数在[ 可知 λ= 时,S(λ)取得最小值. 解答: 解:设画面高为 xcm,宽为 λxcm, 2 则 λx =4840 设纸张面积为 S,则有 2 S=(x+16) (λx+10)=λx +(16λ+10)x+160,

将 x= S=5000+44 当8

代入上式得

时,

S 取得最小值, 此时高:x= 宽:λx= 如果 λ∈[ 可设 则由 S 的表达式得 S(λ1)﹣S(λ2) =44 ], , cm cm,

=

由于 因此 S(λ1)﹣S(λ2)<0, 所以 S(λ)在区间[ 从而,对于 λ∈[ ], ]内单调递增.

当 λ= 时,S(λ)取得最小值 答:画面高为 88cm、宽为 55cm?时, 所用纸张面积最小; 如果要求 λ∈[ ],当 λ= 时,

所用纸张面积最小. 点评:本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用. 在用均值不等式的时候要特别注意 要验证一下等号是否能取到. 2012?江苏一模)如图,在六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,AA1∥CC1,A1B=A1D,AB=AD. 求证: (1)AA1⊥BD;

(2)BB1∥DD1.

考点:空间中直线与直线之间的位置关系. 专题:证明题;空间位置关系与距离. 分析: (1)取 BD 中点 E,连接 AE、A1E,根据等腰三角形底边的中线也是底边上的高, 得 AE⊥BD 且 A1E⊥BD,因此 BD⊥平面 A1AE,结合线面垂直的性质,得 AA1⊥BD; (2)根据 AA1∥CC1,结合线面平行判定定理,可证出 CC1∥平面 AA1B1B.再用线面平行 的性质定理,得 BB1∥CC1,同理可得 DD1∥CC1,根据平行线的传递性,可得 BB1∥DD1. 解答: 解: (1)取 BD 中点 E,连接 AE、A1E ∵△ABD 中,AB=AD,E 为 BD 中点 ∴AE⊥BD,同理可得 A1E⊥BD, ∵AE、A1E?平面 A1AE,AE∩A1E=E ∴BD⊥平面 A1AE, ∵AA1?平面 A1AE,∴AA1⊥BD; (2)∵AA1∥CC1,AA1?平面 AA1B1B,CC1?平面 AA1B1B, ∴CC1∥平面 AA1B1B ∵CC1?平面 CC1B1B,平面 CC1B1B∩平面 AA1B1B=BB1 ∴BB1∥CC1,同理可得 DD1∥CC1, ∴BB1∥DD1.

点评:本题给出特殊六面体,求证线线垂直和线线平行,着重考查了直线与平面平行、垂直 的判定与性质等知识,属于基础题,解题时要注意规范书写,不要遗漏必要的过程. 22.已知数列{an}中,a1=2,a2=3,其前 n 项和 Sn 满足 Sn+1+Sn﹣1=2Sn+1,其中 n≥2,n∈N . (1)求证:数列{an}为等差数列,并求其通项公式; (2)设 bn= (3)设 cn=4 +(﹣1) 都有 cn+1>cn 成立.
n n﹣1 an *

,Tn 为数列{bn}的前 n 项和,求 Tn 的取值范围; λ?2 (λ 为非零整数,n∈N ) ,试确定 λ 的值,使得对任意 n∈N ,
* *

考点:数列与不等式的综合. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)通过变形为(Sn+1﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣1)=1(n≥2,n∈N )可知数列{an}是以 a1=2 为首项、公差为 1 的等差数列,进而可得结论; (2)通过 an=n+1,裂项可知 bn= ( ﹣ (3)通过 an=n+1 化简可知(﹣1) 可.
n﹣1 *

) ,并项相加即得结论;
n﹣1

λ<2

恒成立,分 n 为奇数、偶数两种情况讨论即
*

解答: (1)证明:依题意, (Sn+1﹣Sn)﹣(Sn﹣Sn﹣1)=1(n≥2,n∈N ) , * 即 an+1﹣an=1(n≥2,n∈N ) ,且 a2﹣a1=1, ∴数列{an}是以 a1=2 为首项、公差为 1 的等差数列, ∴数列{an}的通项公式 an=n+1; (2)解:∵an=n+1, ∴bn= ∴Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ = (1+ ﹣ = ﹣ 易知 T(n)= ﹣ 且 T(n)= ,T(1)= , ﹣ ) , 随着 n 的增大而增大, = ( ﹣ ﹣ + ﹣ ) , )

∴ ≤T(n)< ; (3)解:∵an=n+1, ∴ ∵cn+1>cn 恒成立, ∴ ∴3?4 ﹣3λ?(﹣1) 2 >0 恒成立, n﹣1 n﹣1 ∴(﹣1) λ<2 恒成立, n﹣1 (ⅰ)当 n 为奇数时,即 λ<2 恒成立, ﹣ n 1 当且仅当 n=1 时,2 有最小值为 1, ∴λ<1; (ⅱ)当 n 为偶数时,即 λ>﹣2 恒成立, n﹣1 当且仅当 n=2 时,﹣2 有最大值﹣2,∴λ>﹣2. 即﹣2<λ<1,又 λ 为非零整数, ∴λ=﹣1; * 综上所述,存在 λ=﹣1,使得对任意 n∈N ,都有 bn+1>bn.
n﹣1 n n﹣1 n+1



恒成立,

点评:本题考查数列的通项及前 n 项和,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中 档题.



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