9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题



2015 年福建省普通高中毕业班质量检查


钟. 注意事项:







2015.04

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题).本试卷共 5 页.满分 150 分.考试时间 120 分

1.答题前,考生先将自

己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超 出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1,x2, …,xn 的标准差 s= 锥体体积公式 V=

1 ?( x1 ? x )2 ? ( x2 ? x )2 ? … ? ( xn ? x )2 ? ? n?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

其中 S 为底面面积,h 为高 球的表面积、体积公式

S ? 4?R2 , V ?
其中 R 为球的半径

4 3 ?R 3

第Ⅰ 卷(选择题

共 60 分)

一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设 x, y ? R ,且 1 ? xi ? y ? 3i ,则 x ? yi 等于 A.2 B.4 C. 10 D.10

x>0? y=log3x y=3x

2.执行如图所示的程序框图,若输入的 x 的值为 3,则输出的 y 的值为
第 1 页 共 15 页

A.1 3.不等式

B.3

C.9

D.27

x ?1 ? 0 的解集为 x?2 A. [1, 2] B. (??,1] [2, ??)
C. [1, 2) D. (??,1]

(2, ??)

4.“ a ? 2 ”是“ ?1, a? ? ?1,2,3? ”的 A.充分而不必要条件 件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条

? x ? 2, ? 5.已知 x, y 满足 ? y ? 1, 则 z ? x ? y 的最大值为 ? x ? 2 y ? 2 ? 0, ?
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下面命题正确的是 A.若 a ∥ b , b ∥ ? ,则 a ∥ ? C.若 a ∥ b , b ? ? ,则 a ? ? B.若 a ∥ b , b ? ? ,则 a ∥ ? D.若 ? ? ? , a ? ? ,则 a ? ?

7.在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 sin 2 A ? sin 2 B ? 3sin B sin C ,

c ? 2 3b ,则角 A 等于
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150

8.若过点 (? 5,0) 的直线 l 与曲线 y ? 1 ? x 2 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围为 A. ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

B. ? ?

? 1 ? ,0 ? 2 ? ?

C. ?0, 6 ?

?

?

D. ?0, ? 2

? 1? ? ?

9.函数 y ? cos(sin x) 的图象大致是

y O
A

x O
B

y

x O
C

y

x O

y

x

D

第 2 页 共 15 页

10.在等边 ?ABC 中, AB ? 6 ,且 D,E 是边 BC 的两个三等分点,则 AD AE 等于 A. 18 B. 26 C. 27 D. 28

11 .已知 F 1 为双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1的左焦点,直线 l 过原点且与双曲线 C 相交于 P, Q 两点.若 14 11

PF1 QF1 ? 0 ,则△ PF1Q 的周长等于
A. 2 11 ? 10 B. 2 14 ? 10 C.22 D.24

12. 已知 f ? x ? 是定义在 R 上的函数, 且满足 f (? x) ? f ( x) , f ? x ? 2? ? f ? 2 ? x ? . 若曲线 y ? f ? x ? 在 x ? ?1 处的切线方程为 x ? y ? 3 ? 0 ,则曲线 y ? f ? x ? 在 x ? 5 处的切线方程为 A. x ? y ? 3 ? 0 B. x ? y ? 7 ? 0 C . x ? y ?3 ? 0 D. x ? y ? 7 ? 0

第Ⅱ 卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在答题卡相应位置. 13.已知 cos ? ?

3 (0 ? ? ? ?) ,则 sin 2? ? __________. 5
? x 3 ? 1, x ? 0,
2 ? x ? 2, x ? 0,

14.已知函数 f ( x ) ? ?

若 f ( x) ? 1 ,则 x ? __________.

15.如图,函数 y ? cos x ? x 的图象经过矩形 ABCD 的顶点

C , D .若在矩形 ABCD 内随机取一点,则此点取自阴影
部分的概率等于__________. 16.An ? n ? N? 系列的纸张规格如图,其特色在于: ①A0,A1,A2,?,An 所有规格的纸张的长宽比都相同; ② A0 对裁后可以得到两张 A1,A1 对裁后可以得到两张 A2,?,An-1 对裁后可以得到两张 An. 现有每平方厘米重量为 b 克的 A0,A1,A2,?,An 纸各一张,若 A4 纸的宽度为 a 厘米,则这 ( n ? 1 ) 张纸的重量之和 Sn ?1 等于__________. (单位:克)

第 3 页 共 15 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0 , 0 ? ? ? ? ) 的最小正周期为 (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图象是由函数 y ? f ( x) 的图象上所有的点向左平行移动 得到,且 g ( x) 在区间 (0, m) 内是单调函数,求实数 m 的最大值.

? ,图象过点 P(0,1) . 2 ? 个单位长度而 6

18. (本小题满分 12 分) 2015 年我国将加快阶梯水价推行,原则是“保基本、建机制、促节约” ,其中“保基本”是指保 证至少 80%的居民用户用水价格不变.为响应国家政策,制定合理的阶梯用水价格,某城市采 用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取 5 户和 20 户居民的年人均用水量进行调研,抽取 的数据的茎叶图如下(单位:吨) : (Ⅰ)在郊区的这 5 户居民中随机抽取 2 户,求其年人均用 水量都不超过 30 吨的概率; (Ⅱ)设该城市郊区和城区的居民户数比为 1 : 5 ,现将年人均 用水量不超过 30 吨的用户定义为第一阶梯用户,并保证这一 梯次的居民用户用水价格保持不变. 试根据样本估计总体的思 想,分析此方案是否符合国家“保基本”政策.

19.(本小题满分 12 分) 某几何体的三视图及直观图如图所示,其中侧视图为等边三角形. (Ⅰ)若 P 为线段 AA1 上的点,求四棱锥 P ? BB1C1C 的体积; ( Ⅱ )已知 D 为线段 BB1 的中点,试在几何体的侧面内找一条线段,使得该线段垂直于平面
第 4 页 共 15 页

ADC1 ,且它在该几何体的侧视图上的投影恰为线段 A?C ? ,并给予证明.

A

A1

2

A'

C B1
直观图

C1
C'
正视图

B'
侧视图

B

2

俯视图

20.(本小题满分 12 分) 已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点坐标为 (1, 0) , 离心率等于 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
第 5 页 共 15 页

1 . 2

(Ⅱ)证明斜率为1的所有直线与椭圆 C 相交得到的弦的中点共线; (Ⅲ)图中的曲线为某椭圆 E 的一部分,试作出椭圆 E 的中心,并写出作图步骤.

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S n ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? 5n ? tan ,试问:是否存在非零整数 t ,使得数列 ?bn ? 为递增数列?若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

4 ? an ? 1? . 5

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? e ? x ? m(m ? R) .
x

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)判断 f ( x ) 的零点个数,说明理由; (Ⅲ)若 f ( x ) 有两个零点 x1 , x2 ,证明: x1 ? x2 ? 0 .

第 6 页 共 15 页

2015 年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准 说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生 的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如 果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1.C 7.A 2.A 8.D 3.D 9.B 4.A 10.B 5.C 11.C 6.C 12.D

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13.

24 ; 25

14. 0 ;

15.

1 ; 2

16. 32 2a b ?1 ? ( ) 2
2

? ?

1

n ?1

? . ? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力, 考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)因为 f ( x) 的最小正周期是 所以 f ( x) ? sin(4 x ? ? ) . 又因为 f ( x) 的图象过点 P(0,1) ,所以 ? ? 2k ? ? 因为 0 ? ? ? ? ,所以 ? ?

? 2? ,所以 T ? ,得 ? ? 4 . ………………….2 分 2 ? ? (k ? Z) , 2

? . 2

………………………………….5 分 …………………………………….6 分

所以 f ( x) ? sin(4 x ? ) ,即 f ( x) ? cos 4 x .

? 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? cos 4 x ,由题设可得 g ( x) ? cos(4 x ?

2? ). 3

………………………….…..8 分 因为 x ? (0, m) ,所以 4 x ?

2? 2? 2? ?( , ? 4m) ,……………….…10 分 3 3 3

第 7 页 共 15 页

要使函数 g ( x) 在区间 (0, m) 内是单调函数,

2 ? ? ? 4m ? ? ,所以 m ? . 3 12 ? 因此实数 m 的最大值为 . 12
只有 解法二: (Ⅰ)同解法一.

……………….…..12 分

?? ) .……………….8 分 3 ?? ?? k ? ? k? ( k ? Z) , 令 ?? ? 2k ? ? 4 x ? ? 2k ? (k ? Z) ,则 ? ? ?x?? ? 3 12 2 6 2 ? ? 因此函数 g ( x) 在 [ , ] 上单调递增, …………………………….9 分 12 3 ?? ? k? ? k? ( k ? Z) , 令 2k ? ? 4 x ? ? ? ? 2k ? (k ? Z) ,则 ? ? ?x? ? 3 6 2 12 2 ? ? 因此函数 g ( x) 在 [? , ] 上单调递减, ………………………….10 分 6 12
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? cos 4 x ,由题设可得 g ( x) ? cos(4 x ? 要使函数 g ( x) 在区间 (0, m) 内是单调函数, 只有 (0, m) ? [? ,

? ? ? ] ,因此实数 m 的最大值为 . 6 12 12

…………………………….12 分

18.本小题主要考查古典概型、茎叶图等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应 用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)从 5 户郊区居民用户中随机抽取 2 户,其年人均用水量构成的所有基本事件是: (19,25) , (19,28) , (19,32) , (19,34) , (25,28) , (25,32) , (25,34) , (28,32) , (28,34) , (32,34) 共 个. 10 …………………………….3 分

其中年人均用水量都不超过 30 吨的基本事件是:(19,25) , (19,28) , (25,28)共 3 个. ………………………… ….6 分 设 “从 5 户郊区居民用户中随机抽取 2 户, 其年人均用水量都不超过 30 吨” 的事件为 A , 则 所 求 的 概 率 为

P ( A) ?

3 . 10

………………………….8 分

(Ⅱ)设该城市郊区的居民用户数为 a ,则其城区的居民用户数为 3a .依题意,该城市年人均 用水量不超过 30 吨的居民用户的百分率为:
第 8 页 共 15 页

3 17 ? a ? ? 5a 97 5 20 ? ? 80% . 6a 120
故此方案符合国家“保基本”政策. ………………………….12 分

19.本小题主要考查几何体的体积、三视图和直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关 系等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、 化归与转化思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)取线段 BC 的中点 E ,连接 AE ,则 AE ? BC . 又∵ BB1 ? 平面ABC , AE ? 平面ABC , ∴ BB1 ? AE . 又∵ BB1 ? BC ? B

F E

BB1 ? 平面BB1C1C ,

BC ? 平面BB1C1C ,
∴ AE ? 平面BB1C1C , 又点 P 在为线段 AA1 上的点,且 AA1 ∥平面 BB1C1C , ∴ AE 是四棱锥 P ? BB1C1C 的高, 又 AE ? 3, S正方形BB1C1C ? 2 ? 2 ? 4 , ∴ V四棱锥 P ? BB1C1C ? ………………………….2 分 ………………………….4 分 ………………………….1 分

1 1 4 S 正方形 BB1C1C ? AE ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 .………………….6 分 3 3 3
………………………….7

(Ⅱ) 所求的线段是 A1C . 分

首先, ∵ CC1 ? 平面A ∴ A1C 在该几何体的侧视图上的投影恰好为线段 A?C ? . ………8 1B 1C1 , 分 下面证明 AC ? 平面ADC1 . 1

DF , DC , DA1 , 连接 A1C ,交 AC1 于点 F ,则点 F 为线段 AC 1 的中点,连接
在平面 BB1C1C 中, BC ? 2 , BD ? 1 ,∴ CD ? 同理, DA 1 ? 5,
第 9 页 共 15 页

BC 2 ? BD2 ? 5 ,

∴ CD ? DA1 ,∴ DF ? A1C , 又? 在正方形 ACC1 A1 中, A1C ? AC1 ,

………………………….10 分 ………………………….11 分

DF

AC1 ? F , DF ? 平面ADC1 , AC1 ? 平面ADC1 ,
………………………….12 分

∴ AC ? 平面ADC1 . 1

20.本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证 能力、运算求解能力,考查数形结合思想、特殊与一般思想等.满分 12 分. 解法一: (Ⅰ)依题意,得 c ? 1,

c 1 ? ,所以 a ? 2, b ? 22 ?1 ? 3 , a 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

……………………….4 分

( Ⅱ ) 设 直 线 l1 : y ? x ? b1 , l2 : y ? x ? b2 , 分 别 交 椭 圆 于 A1 x A1 , y A1 , B1 xB 1, yB

?

? ?

1

?及

A2 xA2 , y A2 , B2 xB2 , yB2 ,弦 A1B1 和 A2 B2 的中点分别为 Q1 ? x1, y1 ? 和 Q2 ? x2 , y2 ? .

?

? ?

?

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 7 x2 ? 8b1x ? 4b12 ?12 ? 0 , 3 ? y ? x?b , ? 1
令 ? ? ? 8b1 ? ? 4 ? 7 ? 4b1 ? 12 ? 0 ,即 ? 7 ? b1 ? 7 .
2 2

?

?

又 x A1 ? xB1 ? ?

xA ? xB1 8b1 3b 4b , 所以 x1 ? 1 ? ? 1 , y1 ? x1 ? b1 ? 1 . 7 7 2 7
………………………….6 分

即 Q1 ? ?

? 4b1 3b1 ? , ?. ? 7 7 ? ? 4b2 3b2 ? , ?. ? 7 7 ?
3 x. 4

同理可得 Q2 ? ?

………………………….7分

所以直线 Q1Q2 所在的直线方程为 y ? ?

………………………….8分

设 l : y ? x ? b3 是斜率为1且不同于 l1 , l2 的任一条直线,它与椭圆 C 相交于 A3 , B3 ,弦 A3 B3 的中点为 Q3 ( x3 , y3 ), 同理可得 Q3 ? ?

3b3 3 ? 4b ? ? 4b3 3b3 ? , ? ? ? ? ? 3 ? ,故点 Q3 在直线 ? , 由于 7 4 ? 7 ? ? 7 7 ?

第 10 页 共 15 页

y??

3 x 上. 4
………………………….9分
B1 A1 D1 C1 C D

所以斜率为1的直线与椭圆 C 相交得到的所有弦的中点共线. (Ⅲ)①任作椭圆的两条组平行弦 A1 A2 ∥ B1B2 , C1C2 ∥ D1 D2 , 其中 A1 A2 与 C1C2 不平行. ②分别作平行弦 A1 A2 , B1B2 的中点 A, B 及平行弦 C1C2 , D1D2 的 中点 C , D .

C2 B

D2 A A2 B2

O

③连接 AB ,CD ,直线 AB ,CD 相交于点 O ,点 O 即为椭圆 E 的中心.……………….12 分 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ) 设直线 l1 : 它交椭圆于 A? xA , yA ? , B ? xB , yB ? , y ? x ? b1 为斜率是 1 的任一条直线, 弦 AB 的中点 Q ? x0 , y0 ? .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 由? 4 得 7 x2 ? 8b1x ? 4b12 ?12 ? 0 , 3 ? y ? x?b , ? 1
令 ? ? ? 8b1 ? ? 4 ? 7 ? 4b1 ? 12 ? 0 ,即 ? 7 ? b1 ? 7 .
2 2

?

?

x A ? xB ? ?

4b1 6b , y A ? yB ? x A ? b1 ? xB ? b1 ? 1 . 7 7

4b ? x0 ? ? 1 , ? ? 7 所以 ? ? y ? 3b1 , 0 ? 7 ?
所以 y0 ? ?

…………………………6 分

3 x0 . 4

……………….7 分

即椭圆 C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线 y ? ?

3 x 上, 4
……………….9 分

故斜率为 1 的直线与椭圆 C 相交得到的所有弦的中点共线. 解法三: (Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)设直线 l1 : y ? x ? b1 为斜率是 1 的任一条直线,它交椭圆于 A? xA , yA ? , B ? xB , yB ? ,
第 11 页 共 15 页

弦 AB 的中点 Q ? x0 , y0 ? .
2 ( x ? x )( x ? x ) ( y ? yB )( y A ? yB ) xA y2 x2 y 2 ?0, ? A ? 1 , B ? B ? 1 ,所以 A B A B ? A 4 3 4 3 4 3



又 xA ? xB ? 2x0 , yA ? yB ? 2 y0 , 所以 y0 ? ?

y A ? yB ?1, xA ? xB
……………….7 分

3 x0 . 4 3 x 上, 4

即椭圆 C 的斜率为1的任一条弦的中点都在直线 y ? ?

故斜率为 1 的直线与椭圆 C 相交得到的所有弦的中点共线. (Ⅲ)同解法一. 注:本题解法一、解法二中,如果没有考虑 ? ? 0 ,不扣分.

……………….9 分

21.本小题主要考查数列的通项公式及前 n 项和公式、等比数列、数列的单调性等基础知识,考 查运算求解能力,考查函数与方程思想、分类与整合思想、特殊与一般思想等.满分 12 分. 解法一:(Ⅰ)因为 S n ?

4 ? an ? 1? , 5 4 所以当 n ? 1 时, a1 ? ? a1 ? 1? ,解得 a1 ? ?4 ; ……………….1 分 5 4 4 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? ? an ? 1? ? ? an ?1 ? 1? ,即 an ? ?4an?1 ,……….3 分 5 5

由 a1 ? ?4 , an ? ?4an?1 ? n ? 2? 知 an ? 0 ,所以 ?an ? 是以 a1 ? ?4, q ? ?4 的等比数列. ……………………………….4 分 所以 an ? ? ?4 ? .
n

……………….5 分
?

(Ⅱ)假设存在非零整数 t ,使得数列 ?bn ? 为递增数列,即对于 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .
n 由(Ⅰ)知 an ? ? ?4 ? ,又 bn ? 5n ? tan ,所以 bn ? 5 ? t ? ?4 ? , n n

………………6 分

所以只要对任意 n ? N ,恒有 5

?

n ?1

? t ? ?4 ?

n ?1

? 5n ? t ? ?4 ? ,即只要对任意 n ? N? ,恒有
n

5? ? ?1? t ? ? ? ? ? ?4?
n

n ?1

.……..①

………………7 分

第 12 页 共 15 页

?5? 当 n 为奇数时,①等价于 t ? ? ? ?4? ?5? 又 n 为奇数时, ? ? ?4?
n ?1

n ?1

恒成立.

的最小值为 1 ,所以 t ? 1 .
n ?1

………………8 分

?5? 当 n 为偶数时,①等价于 t ? ? ? ? ?4?
又 n 为偶数时, ? ? 综上, ?

恒成立.

?5? ? ?4?

n ?1

的最大值为 ?

5 5 ,所以 t ? ? .………………10 分 4 4
………………11 分

5 ? t ? 1. 4

又 t 为非零整数, 故存在非零整数 t ? ?1 使得数列 ?bn ? 为递增数列. 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ? ? ?4 ? ,又 bn ? 5n ? tan .
n n 所以 bn ? 5 ? t ? ?4 ? , n

………………12 分

所以 b1 ? 5 ? 4t , b2 ? 25 ? 16t , b3 ? 125 ? 64t .…………………………6 分 若数列 ?bn ? 为递增数列,则 b1 ? b2 ? b3 , 所以 ?

? 5 ? 4t ? 25 ? 16t , 5 解得 ? ? t ? 1 , 4 ?25 ? 16t ? 125 ? 64t ,

要使数列 ?bn ? 为递增数列,且 t 为非零整数,则只有 t ? ?1 . …………………7 分
? 以下证明,当 t ? ?1 时,数列 ?bn ? 是递增数列,即证明对于 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .
n ?1 n ?1 n n 因为 bn ?1 ? bn ? 5 ? (?4) ? ? ?5 ? (?4) ? ?

? 4 ? 5n ? 5 ? (?4)n
n ? ? 4? ? ? 5 ?4 ? 5 ? ? ? ? ? . ? 5? ? ? ? ? n

…………………………9 分

第 13 页 共 15 页

? 4? ? 4? 当 n 为奇数时, 4 ? 5 ? ? ? ? ? 4 ? 5 ? ? ? ? 0 ,……………………10 分 ? 5? ?5? ? 4? ?4? 当 n 为偶数时, 4 ? 5 ? ? ? ? ? 4 ? 5 ? ? ? ? 0 ,……………………11 分 ? 5? ?5?
因此对任意 n ? N ,都有 bn?1 ? bn .
?

n

n

n

n

…………………………12 分

22.本小题主要考查函数的零点、函数的最值、导数及其应用、基本不等式等基础知识,考查 推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分 类与整合思想、数形结合思想等.满分 14 分.
x 解: (Ⅰ)因为 f ? ? x ? ? e ?1,

………………1 分

所以,当 x ? ? ??,0? , f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? 0, ??? , f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 (??, 0) ,单调递增区间为 (0, ??) ,……………2 分 故当 x ? 0 时, f ? x ? 取得最小值为 f ? 0? ? 1 ? m . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? 的最小值为 f ? 0? ? 1 ? m . (1)当 1 ? m ? 0 ,即 m ? 1 时, f ( x ) 没有零点.………………5 分 (2)当 1 ? m ? 0 ,即 m ? 1 时, f ( x ) 有一个零点.………………6 分 (3)当 1 ? m ? 0 ,即 m ? 1 时, 构造函数 g ( x) ? e ? 2 x( x ? 1) ,则 g ?( x) ? e ? 2 ,当 x ? (1, ??) 时, g ?( x) ? 0 ,
x x

………………4 分

所以 g ( x) 在 [1, ??) 上单调递增,所以 g ( x) ? g (1) ? e ? 2 ? 0 , 因为 m ? 1 ,所以 g (m) ? e ? 2m ? 0 ,
m m 又 f (m) ? e ? 2m(m ? 1) ,故 f (m) ? 0 .

………………8 分

又 f ? ?m? ? e

?m

? 0 ,………………9 分

所以必存在唯一的 x1 ? ? ?m,0? ,唯一的 x2 ? ? 0, m? ,使得 x1 , x2 为 f ? x ? 的两个零 点,
第 14 页 共 15 页

故当 m ? 1 时, f ? x ? 有两个零点.………………10 分 (Ⅲ)若 x1 , x2 为 f ? x ? 的两个零点,设 x1 ? x2 ,则由(Ⅱ)知 x1 ? 0, x2 ? 0 . 因为 f ? x1 ? ? f ? ?x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? ?x2 ?

? ? e x2 ? x2 ? m ? ? ? e ? x2 ? x2 ? m ? ? ex2 ? e? x2 ? 2x2 .………………11 分
令 ? ? x ? ? ex ? e? x ? 2x ? x ? 0? ,则 ?? ? x ? ? ex ? e? x ? 2 ? 2 ex ? e? x ? 2 ? 0 , ………………12 分 所以 ? ? x ? 在 [0, ??) 上单调递增,因此, ? ? x ? ? ? ? 0? ? 0 . 又 x1 ? 0 ? x2 ,所以 ? ? x2 ? ? 0 ,即 e 2 ? e
x ? x2

? 2x2 ? 0 ,

故 f ? x1 ? ? f ? ?x2 ? ,………………13 分 又 x1 ? 0, ? x2 ? 0 ,且由(Ⅰ)知 f ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减, 所以 x1 ? ? x2 ,所以 x1 ? x2 ? 0 .………………14 分 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org

第 15 页 共 15 页



更多相关文章:
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题 Word版含答案
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题 Word版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 年福建省普通高中毕业班质量检查 文 120 分钟. 注意事...
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题2015...
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查_数学(文)试题
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查_数学(文)试题_数学_高中教育_教育专区。福建省 2015 年普通高中毕业班 4 月质量检查 数学(文)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择...
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(理)试题 扫描版含答案
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学()试题 扫描版含答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学()试题 扫描版...
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(理)试题
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学()试题_数学_高中教育_教育专区。福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学()试题2015...
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(理)试题
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学()试题_数学_高中教育_教育专区。2015 年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、...
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学(理)试题 Word版含答案(精校版)
福建省2015年普通高中毕业班4月质量检查数学()试题 Word版含答案(精校版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科) ...
福建省普通高中毕业班2015届高三4月质量检查数学(理)试题(word版)
福建省普通高中毕业班2015届高三4月质量检查数学()试题(word版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015 年福建省普通高中毕业班质量检查 理科数学本试卷分第 I...
福建省2016届高三普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题
福建省2016届高三普通高中毕业班4月质量检查数学(文)试题_高考_高中教育_教育专区。2016 年福建省普通高中毕业班质量检查文科数学注意事项: 1.本试题分为第Ⅰ卷(...
更多相关标签:
福建省增值税普通发票    福建省普通教育研究室    福建省公务员考试试题    福建省普通发票查询    福建省事业单位试题    福建省高中排名    2016年福建省高中会考    福建省一级达标高中    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图