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3.1.1《直线的倾斜角与斜率》课件(新人教A版必修2)



3.1.1《直线的倾斜 角与斜率》
1 2014-10-20 1

问题引入
在平面直角坐标系中,点用坐标表示,直线如何 表示呢?

y

P(x,y) l

O

x
2 2

2014-10-20

问题引入
对于平面直角坐标系内的一条直线 l ,它的 位置由哪些条件确定?
y l O

x

3 2014-10-20

3

问题引入
我们知道,两点确定一条直线.一点能确定 一条直线的位置吗?已知直线 l 经过点P,直线 l 的位置能够确定吗?
y

l
O P

x

4 2014-10-20

4

问题引入
过一点P可以作无数条直线l 1, l 2 , l 3 ,… 它们都经过点P (组成一个直线束),这些直线 区别在哪里呢? y
l O

P

x

5 2014-10-20

5

问题引入
容易看出,它们的倾斜程度不同.怎样描述 直线的倾斜程度呢?
y l O

P

x

6 2014-10-20

6

直线的倾斜角
当直线 l 与x轴相交时,我们取x轴作为基准, x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直 线 l 的倾斜角(angle of inclination) .
当直线l与x轴平行或重合时, ? 0 规定它的倾斜角为 . y l

直线的倾斜角 ? 的取值范围为:

O

x

0 ? ? ? 180?.
?

7 2014-10-20

7

直线的倾斜角
直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系? 平面直角坐标系中每一条直线都有确定的倾斜角, 倾斜程度不同的直线有不同的倾斜角, 倾斜程 度相同的直线其倾斜角相同. y l?? l 已知直线上的一个点不能 l? 确定一条直线的位置;同样已 知直线的倾斜角α.也不能确定 一条直线的位置. O x 但是,直线上的一个点和 这条直线的倾斜角可以唯一确 定一条直线.
8 2014-10-20 8

确定直线的要素
确定平面直角坐标系中一条直线位置的几 何要素是: 直线上的一个定点以及它的倾斜角, 二者 缺一不可.
y

l
O P x

9 2014-10-20

9

问题引入
日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量?

升高量 坡度(比)? 前进量

升 高 量 前进量
10 10 2014-10-20

问题引入
例如,“进2升3”与“进2升2”比较,前者更

3 2 陡一些,因为坡度(比)? . 2 2

升 高

升高量 坡度(比)? 前进量

?
2014-10-20

前进
11 11

直线的斜率
如果使用“倾斜角”这个概念,那么这里的“坡 度(比)”实际就是“倾斜角α的正切”.

一条直线的倾斜角 ? 的正切值叫做这 条直线的斜率(slope).
通常用小写字母k表示,即

k ? tan?

(? ? 90 )
?

倾斜角是90? 的直线有斜率吗? 倾斜角是90? 的直线的斜率不存在.
12 12 2014-10-20

直线的斜率
如:倾斜角 ? ? 45? 时,直线的斜率 k ? tan 45? ? 1.
? tan( 180 ? ? ) ? ? tan ? . 当 ? 为锐角时,
? 如:倾斜角为 ? ? 135 时,由

k ? tan 135? ? ? tan 45? ? ?1 即这条直线的斜率为 ? 1.

倾斜角α不是90°的直线都有斜率,并且倾 斜角不同,直线的斜率也不同.因此,可以用斜 率表示直线的倾斜程度.
13 13 2014-10-20

两点的斜率公式

已知直线上两点的坐标,如何计算直线的斜率? 给定两点P1 ( x1 ,y1), P2 ( x2 ,y2), 并且 x1 ≠x2,如何计算直线P1 P2的斜率k.

14 14 2014-10-20

3、探究:由两点确定的直线的斜率
倾斜角是锐角时
y
y2
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为锐角时,

k ? tan ?

y1

?
P 1 ( x1 , y1 )

Q( x2 , y1 )

能不能构造 ? ?? P 一个直角三 2 PQ 1 且x 角形去求? ?x ,y ? y
1 2 1

2

QP2 y2 ? y1 k ? tan? ? tan?P2 P ? 1Q ? P x2 ? x1 1Q
2014-10-20

o

?

x1

x2

x

在Rt?P2 P 1Q中

?0
15

倾斜角是钝角时
y
y2 y1
P2 ( x2 , y2 )

如图,当α为钝角是, ? ? 180 ? ? , 且x1 ? x2 , y1 ? y2 tan? ? tan( 180? ? ? )

?
Q( x2 , y1 )

P 1 ( x1 , y1 )

o

x2

x1

?

x

y2 ? y1 y2 ? y1 ? k ? tan? ? ? ? x1 ? x2 x2 ? x1
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? ? tan? 在Rt?P2QP 中 1 P2Q y2 ? y1 ? tan? ? x1 ? x2 P 1Q

?0

16

思考?
1、当
y
P2 ( x2 , y2 )

p1 p 2 的位置对调时, k
P 1 ( x1 , y1 )

值又如何呢?
P 1 ( x1 , y1 )

?

y

Q( x2 , y1 )

? o

?

(3)

x

o

Q( x2 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

?

(4)

x

请同学们课后推导!
2014-10-20 17

思考?
? 2、当直线平行于x轴,或与 x 轴重合时, ? ?0 上述公式还适用吗?为什么?

y
P 1 ( x1 , y1 )

P2 ( x2 , y2 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

k ?0

x1 o

x2

x

答:成立,因为 分子为0,分母不 为0,k =0
18

2014-10-20

思考?
? ? 轴重合时, 3、当直线平行于 y 轴,或与 y ? ? 90 , tan90 (不存在) 上述公式还适用吗?为什么?

k不存在

y

y2

P2 ( x2 , y2 )
P 1 ( x1 , y1 )

y2 ? y1 k? x2 ? x1

y1

o
2014-10-20

x

答:不成立, 因为分母为0。
19

典型例题
例1 如图 ,已知 A( 3,2), B( ?4,1), C (0,?1) ,求 直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角 是锐角还是钝角.

解:直线AB的斜率 1? 2 1 k AB ? ? ; ?4?3 7 直线BC的斜率 ?1?1 ? 2 1 k BC ? ? ?? ; 0 ? ( ?4 ) 4 2 ?1? 2 ? 3 ? ? 1; 直线CA的斜率 kCA ? 0?3 ?3 由 k AB ? 0 及 kCA ? 0 知,直线AB 与CA的倾斜角均 为锐角;由 kBC ? 0 知,直线BC的倾斜角为钝角.
20 20 2014-10-20

三、小结:
? ? 0 ? ? ? 180 1、直线的倾斜角定义及其范围:

2、直线的斜率定义: k ? tan a 3、斜率k与倾斜角 ? 之间的关系:

(a ? 90 )
?

y2 ? y1 y1 ? y2 4、斜率公式: k ? (或k ? ) x2 ? x1 x1 ? x2
2014-10-20

?a ? 0? ? k ? tan0? ? 0 ? ? ? ?0 ? a ? 90 ? k ? tan a ? 0 ? ? a ? 90 ? tan a(不存在) ? k不存在 ? ?90? ? a ? 180? ? k ? tana ? 0 ?

21 21

作业:
3 1、直线l的斜率为k,若 ? 3 ? k ? , 则直线l的倾斜角 3 的取值范围?

2 已知 A(1, 2), B( ?4,1), C (0,?1),求直线AB, BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是 钝角. ? 2? 3、已知直线的倾斜角 ?,且 ? ? ? , 求直线的 6 3 斜率k的取值范围?

4、m为何值时,经过两点A(-m,6), B(1,3m)的直线斜率是12?
22 22 2014-10-20



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