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湖北省黄石市四校联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷 (Word版



湖北省黄石市四校联考 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一.选择题(本大题共 12 个小题,每题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. (5 分)等差数列{an}中,a3=7,a7=﹣5,则公差 d=() A.3 B.﹣3 C. 2 2. (5 分)在△ ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等() A.3

0° B.60° C.120°或 60°
2

D.﹣2

D.30°或 150°

3. (5 分)在等比数列{an} 中,a1 和 a10 是方程 2x +5x+1=0 的两个根,则 a4?a7=() A.﹣ B. C. D.

4. (5 分)已知向量 =(1,1) , 与 的夹角为 A.(﹣1,0) ﹣1) B.(0,﹣1)

,且 ? =﹣1,则向量 =() D. (﹣1,

C.(﹣1,0)或(0,﹣1)

5. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,a=4 A.B=45°或 135° C. B=45°

,b=4 ,则 B 等于() B. B=135° D.以上答案都不对

6. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2) ,则函数 y=f(1+cosx)的最小正周期是 () A.4π B . 2π C. π D.

7. (5 分)如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分 别是 β,α(α<β) ,则 A 点离地面的高度 AB 等于()

A. C.

B. D.

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8. (5 分)设函数 f(x)=cosx﹣sinx,把 f(x)的图象向右平移 m 个单位后,图象恰好为 函数 y=sinx+cosx 的图象,则 m 的值可以是() A. B. C. π D.

9. (5 分)下列命题中,不正确的是() A.若 a,b,c 成等差数列,则 ma+n,mb+n,mc+n 也成等差数列 B. 若 a,b,c 等比数列,则 ka ,kb ,kc (k 为不等于 0 的常数)也成等比数列 a b c C. 若常数 m>0,a,b,c 成等差数列,则 m ,m ,m 成等比数列 a b c D.若常数 m>0 且 m≠1,a,b,c 成等比数列,则 logm ,logm ,logm 成等差数列 10. (5 分)在△ ABC 中,AB= 围是() A. ,BC=2,∠A= ,| ﹣t |≥| |,则实数 t 的取值范
2 2 2

C. (﹣∞,0]∪∪

2. (5 分)在△ ABC 中,若 b=2asinB,则 A 等() A.30° B.60° C.120°或 60°

D.30°或 150°

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理化简已知的等式,根据 B 为三角形的内角,得到 sinB 不为 0,在等 式两边同时除以 sinB,得到 sinA 的值,然后再由 A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函 数值即可得到 A 的度数. 解答: 解:根据正弦定理 化简 b=2asinB 得:sinB=2sinAsinB, ∵sinB≠0,在等式两边同时除以 sinB 得 sinA= , 又 A 为三角形的内角, 则 A=30°或 150°. 故选:D. 点评: 此题考查了正弦定理, 以及特殊角的三角函数值, 熟练掌握正弦定理是解本题的关 键,同时在求值时注意三角形内角的范围. 3. (5 分)在等比数列{an} 中,a1 和 a10 是方程 2x +5x+1=0 的两个根,则 a4?a7=() A.﹣ B. C. D.
2



考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题. 2 分析: 由 a1 和 a10 为方程 2x +5x+1=0 的两根,根据韦达定理即可求出 a1 和 a10 的积,而 根据等比数列的性质得到 a1?a10=a4?a7.

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解答: 解:由韦达定理知,a1?a10 = ,由等比数列性质,a4?a7=a1?a10= . 故选 D 点评: 本题是等比数列性质的简单直接应用. 属于基础题. 利用有关性质能大大减少运算 量.

4. (5 分)已知向量 =(1,1) , 与 的夹角为 A.(﹣1,0) ﹣1) B.(0,﹣1)

,且 ? =﹣1,则向量 =() D. (﹣1,

C.(﹣1,0)或(0,﹣1)

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 设 =(x,y) ,由于向量 =(1,1) , 与 的夹角为 ,且 ? =﹣1,可得

=

=

,x+y=﹣1.联立解出即可.

解答: 解:设 =(x,y) , ∵向量 =(1,1) , 与 的夹角为 ,且 ? =﹣1, ,x+y=﹣1.



=

=

化为

,解得





∴ =(﹣1,0)或(0,﹣1) . 故选:C. 点评: 本题考查了向量数量积运算性质、向量夹角公式,考查了推理能力与计算能力,属 于中档题. 5. (5 分)在△ ABC 中,A=60°,a=4 A.B=45°或 135° C. B=45° ,b=4 ,则 B 等于() B. B=135° D.以上答案都不对

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 A 的度数求出 sinA 的值,再由 a 与 b 的值,利用正弦定理求出 sinB 的值,由 b 小于 a,得到 B 小于 A,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数. 解答: 解:∵A=60°,a=4 ,b=4 ,

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∴由正弦定理

=

得:sinB=

=

=



∵b<a,∴B<A, 则 B=45°. 故选 C 点评: 此题考查了正弦定理,三角形的边角关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正 弦定理是解本题的关键. 6. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2) ,则函数 y=f(1+cosx)的最小正周期是 () A.4π B . 2π C. π D.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域;函数的周期性. 专题: 计算题. 分析: 根据幂函数的定义求出幂函数的解析式, 然后根据二倍角公式进行化简变形, 求出 函数的周期,从而得到正确的选项. 解答: 解:∵幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2) , ∴f(x)= ∴y=f(1+cosx)= = = |cos |

则函数 y=f(1+cosx)的最小正周期是 2π 故选 B. 点评: 本题主要考查了幂函数的定义, 以及二倍角公式的应用, 同时考查了三角化简和函 数的周期性,属于基础题. 7. (5 分)如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测得 A 点仰角分 别是 β,α(α<β) ,则 A 点离地面的高度 AB 等于()

A. C.

B. D.

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题. 分析: 设 AB=x,在直角三角形 ABC 中表示出 BC,进而求得 BD,同时在 Rt△ ABD 中, 可用 x 和 α 表示出 BD,二者相等求得 x,即 AB.
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解答: 解:设 AB=x,则在 Rt△ ABC 中,CB= ∴BD=a+ ∵在 Rt△ ABD 中,BD= ∴a+ = ,求得 x=

故选 A 点评: 本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生分析问题和解决问题的能力. 8. (5 分)设函数 f(x)=cosx﹣sinx,把 f(x)的图象向右平移 m 个单位后,图象恰好为 函数 y=sinx+cosx 的图象,则 m 的值可以是() A. B. C. π D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: f(x)的图象向右平移 m 个单位后,的到的函数为 y= y=sinx+cosx= +m﹣x=x+ sin(x+ +2kπ,或 ) ,由题意可得 sin( +m﹣x)= sin( +m﹣x) ,函数 ) ,故有

sin(x+

+m﹣x=2kπ+π﹣(x+ (

) ,k∈z.结合所给的选项,得出结论. sinx)= sin( ﹣x)=﹣ sin

解答: 解:函数 f(x)=cosx﹣sinx= (x﹣ ) , (sinx +

cosx﹣

函数 y=sinx+cosx=

cosx)=

sin(x+

) , sin= sin( +m﹣x) ,

把 f(x)的图象向右平移 m 个单位后,的到的函数为 y=﹣ 由题意可得 故有 sin( +m﹣x)= +2kπ,或 sin(x+ ) ,

+m﹣x=x+

+m﹣x=2kπ+π﹣(x+

) ,k∈z.

结合所给的选项,只有 D 才满足条件, 故选 D. 点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+?)的图象变换,求得 +m﹣x=2kπ+π﹣(x+ ) ,k∈z,是解题的关键,属于中档题. +m﹣x=x+ +2kπ,或

9. (5 分)下列命题中,不正确的是()
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A.若 a,b,c 成等差数列,则 ma+n,mb+n,mc+n 也成等差数列 B. 若 a,b,c 等比数列,则 ka ,kb ,kc (k 为不等于 0 的常数)也成等比数列 a b c C. 若常数 m>0,a,b,c 成等差数列,则 m ,m ,m 成等比数列 a b c D.若常数 m>0 且 m≠1,a,b,c 成等比数列,则 logm ,logm ,logm 成等差数列 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用等差数列和等比数列的定义和性质分别判断. 解答: 解: A. 因为 a, b, c 成等差数列, 则 a+c=2b, 则 ma+n+mc+n=m (a+c) m+2n=2bm+2n=2 (b+n) ,所以 ma+n,mb+n,mc+n 也成等差数列,所以 A 正确. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 B.若 a,b,c 等比数列,则 ac=b ,则 ka ?kc (=k a c =(kb ) ,所以 ka ,kb ,kc (k 为不等于 0 的常数)也成等比数列,所以 B 正确. C.若 a,b,c 成等差数列,则 a+c=2b.则 m m =m =m =(m ) ,所以 m ,m ,m 成 等比数列,所以 C 正确. 2 2 D.若 a,b,c 等比数列,则 ac=b ,当 a=b=c=﹣1 时,满足 ac=b ,但此时 logma,logmb, logmc 无意义,所以 D 错误. 故选 D. 点评: 本题主要考查等差数列和等比数列的定义以及应用, 要求熟练掌握等差数列和等比 数列的运算性质. 10. (5 分)在△ ABC 中,AB= 围是() A. ∴C= , , , ,B= .
a c a+c 2b b 2 a b c 2 2 2

,BC=2,∠A=

,|

﹣t

|≥|

|,则实数 t 的取值范

C. (﹣∞,0]∪∪∪

即 A+B= ∵A﹣B= ∴A=

点评: 本题主要考查解三角形的应用, 根据余弦定理以及两角和差的正切公式进行化简是 解决本题的关键. 18. (12 分)在△ ABC 中,已知 a ﹣a=2(b+c) ,a+2b=2c﹣3,且 sinC:sinA=4: a、b、c 的大小. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由正弦定理可得 sinC:sinA=c:a=4: ,设 c=4k,a= ﹣16k+3=0.从而解得 k 的值,即可求得 a、b、c 的大小. 解答: 解:∵sinC:sinA=c:a=4: , ∴可设 c=4k,a= k.
2

,求

k.由已知可得 13k

2

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又 a ﹣a﹣2c=2b,2c﹣a﹣3=2b,故 a ﹣a﹣2c=2c﹣a﹣3. 2 2 ∴13k ﹣ k﹣8k=8k﹣ k﹣3,即 13k ﹣16k+3=0.…(6 分) ∴k= ∵当 k= 或 k=1. 时,b<0,故舍去,

2

2

∴k=1, ∴a= ,…(8 分) ∴b= ,c=4.…(12 分)

注:此评分标准仅供参考,估计考生会直接解方程组,建议先解出任一边给(6 分) . 点评: 本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基本知识的考查. 19. (12 分)在△ ABC 中,A=120°,b=1,S△ ABC= (1)求 a、c 的大小; (2)求 sin(B+ )的值.

考点: 数列的求和;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用 S△ ABC= 可得 a =b +c ﹣2bccosA. (2)由正弦定理可得: 利用 = ,可得 sinB,由于 B 为锐角,可得 cosB= +cosBsin = 即可得出. = ,解得 c=4. ,
2 2 2

=

=

,解得 c.利用余弦定理

解答: 解: (1)∵S△ ABC=
2 2 2 2 2

∴a =b +c ﹣2bccosA=1 +4 ﹣2×1×4×cos120°=21. ∴a= . (2)由正弦定理可得: ,

∴sinB=

=

, = +cosBsin , = = .

∵B 为锐角,∴cosB= ∴ =

点评: 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形、 三角形面积计算公式、 同角三角函数基本 关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 20. (12 分)设等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n ,在数列{bn}中,b1=1,bn+1=3bn(n∈N )
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2 *

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; n (2)设 Cn=anbn,求证数列{cn}前 n 项和为 Tn=(2n﹣2)3 +2. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n ,可得 a1=S1=2,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1, * 即可得出 an,由数列{bn}中,b1=1,bn+1=3bn(n∈N ) ,利用等比数列的通项公式即可得出. n﹣1 (2)Cn=anbn=(4n﹣2)?3 ,利用“错位相减法”、等比数列的前 n 项和公式即可得出. 2 解答: (1)解:∵等差数列{an}的前 n 项和 Sn=2n , ∴a1=S1=2, 2 2 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n ﹣2(n﹣1) =4n﹣2, 当 n=1 时上式成立,∴an=4n﹣2. * ∵数列{bn}中,b1=1,bn+1=3bn(n∈N ) , ∴数列{bn}是等比数列,首项为 1,公比为 3, n﹣1 ∴bn=3 . n﹣1 (2)证明:Cn=anbn=(4n﹣2)?3 , 2 n﹣1 ∴数列{cn}前 n 项和为 Tn=2+6×3+10×3 +…+(4n﹣2)?3 , 2 n﹣1 n 3Tn=2×3+6×3 +…+(4n﹣6)?3 +(4n﹣2)×3 , ∴﹣2Tn=2+4×3+4×3 +…+4×3
n 2 n﹣1 2

﹣(4n﹣2)×3 =

n

﹣2﹣(4n﹣2)×3 =(4﹣4n)

n

×3 ﹣4, n ∴Tn=(2n﹣2)×3 +2. 点评: 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式、递 推式的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 21. (12 分)学数学,其实是要使人聪明,使人的思维更加缜密,在美国广为流传的一道数 学题目是:老板给你两个加工资的方案.一是每年年末加一千元;二是每半年结束时加 300 元.请选择一种.一般不擅长数学的人很容易选择前者,因为一年加一千元总比两个半年共 加 600 元要多.其实,由于工资累计的,时间稍长,往往第二种方案更有利.例如在第二年 的年末,依第一种方案可以加得 1000+2000=3000 元,而第二种方案在第一年加得 300+600=900 元,第二年加得 900+1200=2100 元,总数也是 900+2100=3000 元.但到了第 三年,第一种方案可以得到 1000+2000+3000=6000 元,第二种方案可以得到 300+600+900+1200+1500+1800=6300 元, 比第一方案多了 300 元. 第四年, 第五年会更多. 因 此,你若会在公司干三年以上,则应选择第二种方案. 根据以上材料,解答以下问题: (1)如果在该公司干 10 年,问选择第二方案比选择第一方案多加薪多少元? (2)如果第二方案中得每半年加 300 元改成每半年加 a 元,问 a 取何值时,选择第二方案 总是比选择第一方案多加薪? 考点: 函数模型的选择与应用. 专题: 应用题. 分析: (1)第一方案、第二方案的加薪额都是递增的等差数列,到第 10 年末,第一方案 加薪总额为:1000+2000+3000+…+10000;第二方案加薪总额为:
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300+300×2+300×3+…+300×20;在该公司干满 10 年,作差比较可知,第二方案比第一方案多 加薪多少; (2)第 n 年(n∈N )选择第二方案总比选择第一方案加薪多,即等差数列的前 n 项和: 2na+ =250 a>1000n+
* *

×1000;整理,得 a

,右边

,对于 n∈N 时恒成立,存在最大值,从而得出 a 的取值范围.

解答: 解: (1)由题意,第一方案每年的加薪额,第二方案每半年的加薪额都构成等差数 列 第 10 年末,第一方案加薪总额为:1000+2000+3000+…+10000=55000 元, 第二方案加薪总额为:300+300×2+300×3+…+300×20=63000 元, 所以在该公司干 10 年,选择第二方案比选择第一方案多加薪:63000﹣55000=8000 元; (2)由题意,第 n 年(n∈N )选择第二方案总比选择第一方案加薪多, 则由等差数列的前 n 项和公式:2na+ 化简得 a 又当 n=1 时, 当 a> =250 取最大值 ,此时 250 a>1000n+ ,对于 n∈N 时恒成立, 取得最大值 ;所以,
* *

×1000

时选择第二方案总是比选择第一方案多加薪.

点评: 本题考查了数列与函数, 以及不等式的综合应用, 也考查了灵活应用知识解决实际 问题的能力. (n∈N ) .
*

22. (12 分)已知数列{an}满足 a1=1, (1)设 ,求证:{bn﹣3}成等比数列;

(2)求数列{an}的通项公式 an. 考点: 数列递推式;等比关系的确定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)通过已知的关系式,推出 bn+1 与 bn 的关系,然后证明{bn﹣3}成等比数列; (2)利用(1)求出 bn,的表达式,然后转化为数列{an}的通项公式 an. 解答: 解: (1)由 代入 ,得 , ,

得 ∴2bn+1=bn+3.…(5 分) ∴2(bn+1﹣3)=bn﹣3,又



,则 b1﹣3=2≠0.…(7 分)
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∴{bn﹣3}是以 2 为首项, 为公比的等比数列.…(8 分) (2)由(1)得 ,∴ ,…(10 分)



.…(13 分)

点评: 本题是中档题,考查数列特征的判断,考查逻辑推理能力,计算能力.

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