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吉林省长春外国语学校2015-2016学年高二数学上学期期中试题 理



长春外国语学校 2015-2016 学年度高二上学期期中考试 理科数学 学科试卷
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1. 本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷和答题卡,共 5 页。满分 150 分,考试用时 110 分钟。考 试结束后,请将答题卡卷交回,试题卷自己保存。 2.答题前,请您务必将自己的班级、姓名、学号、考号用0.5毫米黑色签字笔填写在答 题卡上。 3.作答

非选择题必须用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作 答一律无效。 4.保持答题卷清洁、完整,严禁使用涂改液和修正带。 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分) 一、选择题(本题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知椭圆的方程为 A. ?0,?5?, ?0,5? C. ? 2 6, 0 , 2 6, 0

x2 y2 ? ? 1 ,则该椭圆的焦点坐标为( 49 25
B. ?0,?7? , ?0,7?



?

? ?

?

D. 0,?2 6

?

? , ?0,2 6 ?
D. 5,9,16 )

2.某企业有职工 150 人,其中高级职称 15 人,中级职称 45 人,一般职员 90 人,现抽取 30 人 进行分层抽样,则各职称人数分别为( A. 5,10,15 B. 3,9,18 )

C. 3,10,17

3.与向量 a ? (1, ?3, 2) 平行的一个向量的坐标是( A. (- C. (

?

1 3 , ,-1) 2 2

B. (-1,-3,2) D. ( 2 ,-3,-2 2 ) )条件

1 ,1,1) 3

2 4.设命题 p : x ? 2 x ? 3 ? 0 q : ?5 ? x ? 1 则命题 p 成立是命题 q 成立的(

A. 充分不必要 4.

B. 必要不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要 )

5.已知向量 a ? (0,2,1), b ? (?1,1,?2) ,则 a 与 b 的夹角为( A.90° B.45° C.0° D.180°

? x ? y ? 5 ≥ 0, ? 6.已知 x,y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ? x ≤ 3. ?
A. 5 B. ?38 C. 10 D. 38



-1-

7.为保证树苗的质量,林业管理部门在每年 3 月 12 日植树节前都对树苗进行检测,现从甲、 乙两种树苗中各抽测了 10 株树苗的高度(单位长度:cm) ,其茎叶图如下图所示,则下列描 述正确的是( )

A.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐 B.甲种树苗的平均高度大于乙种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐 C.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D.乙种树苗的平均高度大于甲种树苗的平均高度,甲种树苗比乙种树苗长得整齐 甲 9 9 5 3 1 0 1 2 3 7 1 2 3 4 (第 7 题) 乙 0 4 0 6 7 0 4 6 6 7

8.下边程序执行后输出的结果是(



A.19

B.28

C.10

D.37

9.从五件正品,一件次品中随机取出两件,则取出的两件产品中恰好是一件正品,一件次品 的概率是( ) A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

2 3
-2-

10.椭圆 x ? my ? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为(
2 2



A.

1 4

B.

1 2

C.2

D.4

11.在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 AB ? 2BB1 ,则 AB1 与 BC1 所成的角的大小( A.90° 12.若点 P 在椭圆 B.60°
2



C.105°

D.75°

x ? y 2 ? 1 上, F1 、 F 2 分别是椭圆的两焦点,且 ?F1 PF2 ? 90? , 2
)

则 ?F1 PF2 的面积是(

A. 2

B. 1

C.

3 2

D.

1 2

Ⅱ卷 非选择题(共 90 分) 二、填空题(本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分)

?x ? R, x ?x ? R, x ? 2 ; ?x ? Z , x ? 3 ; 13.对于语句 (1) (2) (3)
2

2

2

? 2x ? 3 ? 0

(4)

?x ? R, x ? x ? 5 ? 0 ;其中正确的命题序号是
2

; (全部填上)

14.到两个定点 0, ?8 ,(0, 8)的距离之和等于 24 的点的轨迹方程为___________;

?

?

15.椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右顶点到它的左焦点的距离为 144 80


2 2

16.向平面区域 ( x, y) x ? 1, y ? 1 内随机投入一点,则该点落在区域 {( x, y ) | x ? y ≤ 1} 内 的概率等于 .

?

?

三、解答题(本题共 6 题,共 70 分,解答就写出文字说明) 17.(本题满分 10 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ? 标准方程. 18.(本题满分 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学 成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观 察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全这个频率 分布直方图;

3 ,短轴长为 6 ,求椭圆的 2

90 的 (2)求在这 60 名学生中分数在 60,
人数.

?

?

-3第 18 题 图

19.(本题满分 12 分)在棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 和 BB1 的中点. (1)求证:四边形 AEC1 F 为平行四边形; (2)求直线 AA1 与平面 AEC1 F 所成角的正弦值.
D A1 E F C B D1 C1

B1

20.(本题满分 12 分) 某种产品的广告费用支出 x(千元)

A

与销售额 y(10

?? 万元)之间有如下对应数据: (参考公式: b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a

2 i

(1)在下面直角坐标中画出散点图; (2)根据上表数据,用最小二乘法求出销售额 y 关于费用支出 x 的线性回归方程; (参考值: 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6 ? 5 ? 8 ? 7 ? 138 , 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 ? 145)
2 2 2 2 2

(3)当广告费用支出 1 万元时,预测一下该商品的销售额为多少万元?

x

2 3

4 4

5 6

6 5

8 7

y

21.( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 A B C? A 1 B 1 C 1中 ,

C1 A1

B1

1 , A C ? B C? A1A, D 是 棱 AA1 的 中 点 , D C 1 ? B D 2
AC ? BC .
(1)证明: DC1 ? BC ; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

D C A B

-4-

22.(本题满分 12 分)已知椭圆的一个顶点为 A1 (0,? 2 ) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 3
(1)求椭圆的标准方程; (2)过点 M (1,1) 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,且 M 点为线段 AB 的中点,求直线 AB 的 方程及 AB 的值.

长春外国语学校 2015-2016 学年度高二上学期期中考试 理科数学 学科试卷答案 一、选择题(本题共 12 题,每小题 5 分,共 60 分) 1 C 2 B 3 A 4 A 5 A 6 D 7 D 8 B 9 C 10 A 11 A 12 B

二、填空题(本题共 4 题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (2)(3) ; 14.

y2 x2 ? ?1 144 80



15.

20



16.

? 4



四、解答题(本题共 6 题,共 70 分,解答就写出文字说明) 17.(本题满分 10 分)已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的 3
-5-

方程。答案:

x2 y2 ? ?1 或 36 9

x2 y2 ? ?1 9 36

18.(本题满分 12 分)某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学 成绩(均为整数)分成六段 ?40,50? , ?50,60? … ?90,100? 后得到如下部分频率分布直方图.观 察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在 ?70,80? 内的频率,并补全 这个频率分布直方图; (2)求在这 60 名学生中分数在 60, 90 的 人数.答: (1)0.3 (2) 60 ? 0.7 ? 42
D1 C1

?

?

19.(本题满分 12 分)19.(本题满分 12 分)在棱长为 a 的正方体 (1) ABCD ? A1B1C1D1 中, E 、 F 分别为 DD1 和 BB1 的中点. 求证:四边形 AEC1 F 为平行四边形; (2)求直线 AA1 与平面 AEC1 F 所成角的正弦值.
A1 E F C B

第 18 题图
B1

6 答案:(2) 3
A

D

20.(本题满分 12 分)某种产品的广告费用支出 x (千元)与销

?? 售额 y (10 万元)之间有如右侧对应数据: (参考公式: b

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx 2

?x
i ?1

?x ) ? ? y ?b ,a

2 i

(1)在右面直角坐标中画出散点图; (2)根据上表数据,用最小二乘法求出销售额 y 关于费用支出 x 的线性回归方程; (参考值: 2 ? 3 ? 4 ? 4 ? 5 ? 6 ? 6 ? 5 ? 8 ? 7 ? 138 , 2 ? 4 ? 5 ? 6 ? 8 ? 145)
2 2 2 2 2

(3)当广告费用支出 1 万元时,预测一下该商品的销售额为多少万元?

x

2 3

y

-6-

(2)

x ? y ?5 由公式: ? ? 138? 5 ? 5 ? 5 ? 0.65 b 145? 5 ? 5 ? 5 ? ? 5 ? 5 ? 0.65 ? 1.75 a ? ? 0.65x ? 1.75 y

由单位换算可知, x ? 10, 代入( 2)中
(3) 有:y ? 0.65?10 ? 1.75 ? 8.25(10万元)

单位换算,得 82.(万元) 5
21.( 本 题 满 分 12 分 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 A B C? A 1 B 1 C 1中 ,
C1 A1 B1

1 , A C ? B C? A1A, D 是 棱 AA1 的 中 点 , D C 1 ? B D 2
AC ? BC .
(1)证明: DC1 ? BC ; (2)求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

D C A B

-7-

22.(本题满分 12 分)已知椭圆的一个顶点为 A1 (0,? 2 ) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离 3
(1)求椭圆的标准方程; (2)过点 M (1,1) 的直线与椭圆交于 A 、 B 两点,且 M 点为线段 AB 的中点,求直线 AB 的 方程及 AB 的值. 答案: (1)依题意可设椭圆方程为

x2 y ? ? 1 ,则右焦点 F( a2 ? 2,0 )由题设 a2 2

2

a2 ? 2 ? 2 2 2

?3

解得 a ? 4
2

x2 y 故所求椭圆的方程为 ? ?1. 4 2

2

(2)点差法或联立方程组法 AB:x + 2y -3 = 0 | AB | =

30 3

-8-



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