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2013届高考理科数学总复习(第1轮)广西专版课件:11.1离散型随机变量的分布列



第十一章


概率与统计


考点

●随机变量、离散型与连续型 随机变量的含义 ●离散型随机变量的分布列、 二项分布、分布列的基本性质高考

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高 考 猜 想

1. 求离散型随机变量的分布列.
2. 分布列性质的应用.

>
一个变量 1. 如果随机试验的结果可以用—————— 变量 来表示,那么这样的______叫做随机变量; 希腊字母ξ、η 随机变量常用______________等表示.

2. 对于随机变量可能取的值,如果可以 按___________一一列出,这样的随机变量叫 一定次序 做离散型随机变量;随机变量可以取某一区 间内的________,这样的随机变量叫做连续 一切值 型随机变量.

3. 设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1, 2,…)的概率P(ξ=xi)=Pi,则称表
ξ
1

x P

x2 P2
3

x
3

… …

x
i

… …

P
1

P

P
i

为___________________________, 随机变量ξ的概率分布列 ξ的分布列 简称—————————————.

4. 离散型随机变量的两个性质: (1) ______________________; Pi≥0,i=1,2,… (2) ______________________. P +P +…+P +…=1
1 2 i

5.离散型随机变量在某一范围内 取值的概率等于它取这个范围内各个 值的概率______. 之和

6. 若随机变量的可能取值为0,1, 2,…,n,且ξ取值的概率
P (? ? k ) ? C n ? p ? q
k k

,其中k=0,1,2,…, n,q=1-p,其概率分布列为:
ξ
0 0

n?k

0
n

1

… k
Cn · · p q

… n
n?k

C nPp · C 1 · 1 · n ? 1 · q p q n

…k k

…p q Cn · ·
n n

0

二项分布 则称这样的随机变量ξ服从 k k n? C p q ________.记为__________,并记k b(k;n,p) ξ~B(n,p) n =_______.

1.抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ,那么 ξ=4表示的随机试验结果是( D)
A. 一颗是3点,一颗是1点 B. 两颗都是2点 C. 两颗都是4点 D. 一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点 解:对A、B中表示的随机试验的结果,随机 变量均取值4,而D是ξ=4代表的所有试验结果.

2.下列表中能成为随机变量ξ的分 布列的是( ) C A. ξ - 0 1 B. ξ 1 2 3
1
P ξ C. .3 1 0 .4 0 0 .4 0 1 P .4 D. ξ P .3 0 .7 1 0 .4 0 0.1 2 0 .4 3 0

P 0 0 0 解:A、D不满足分布列的基本性质 .3 .4 .3

(2),B不满足分布列的基本性质(1),故选C.

3.设随机变量ξ~B(2,p),η~B(4,p),若 65 5 P(ξ≥1)= ,则P(η≥1)=————.
解:P(ξ≥1)=1-P(ξ<1)=
1 3
9

1 ? C 2 p ? ?1 ? p ? ?
0 2

81 0

5 9



所以p= ,所以P(η≥1)=1-P(η=0)=
1 ? C( ) ) ? 1 ? ( ? . 4 3 3 81 81
0 0 4

1

2

16

65

题型1

求随机变量的分布列

1. 在10件产品中有2件次品,连续抽3次,每 次抽1件,求: (1)不放回抽样时,抽到次品数ξ的分布列; (2)放回抽样时,抽到次品数η的分布列. 分析:随机变量ξ可以取0,1,2,η可以取0, 1,2,3,放回抽样和不放回抽样对随机变量的 取值和相应的概率都产生了变化,要具体问题具 体分析.

解:(1) ? 0 ) ? C 8 C 1 0 ? P (?
3 3

7 15


C 8C 2 C 10
3 1 2

P ( ? ? 1) ?

C 2C 8 C 10
3

1

2

?

7 15

, ( ? ? 1) ? P

?

7 15



所以ξ的分布列为 ξ 0
7 15

1
7 15 1 15

2

P
k

(2) P (? ? k ) ? C 8 ? 0 .8
k

3?k

? 0 .2 ( k ? 0,,, ), 12 3

所以η的分布列为
η 0
C 8P0 .8 ·
0 3 1

1
2 2

2
2 3

3
C 8 · .2 0
3

C 8 ? 0 .8 ? 0 .2 C 8 ? 0 .8 ? 0 .2

点评:求随机变量的分布列的方 法是:先根据题意,结合分类方法列 出随机变量的各种情况所对应的值, 然后分别求得各值对应的概率,最后 用表格的形式列出.

一批零件有 9 个合格品, 个不合格品, 3 安装机器时,从中任取一个,若取出不合 格品不再放回去,设在取得合格品以前已 取出的不合格品数为随机变量 ξ,求 ξ 的分 布列.

解: 设随机变量 ξ 表示在取得合格品以 前已取出的不合格品数,则 ξ=0,1,2,3, 9 3 可得 P(ξ=0)=12=4, 3 9 9 P(ξ=1)=12×11=44, 3 2 9 9 P(ξ=2)=12×11×10=220, 9 9 9 1 P(ξ=3)=1-12-44-220=220, 故 ξ 的分布列为: ξ P 0 1 2 3 3 9 9 1 4 44 220 220

题型2 求随机变量的概率
2. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概 1 3 率为 ,出现反面的概率为 ,以ξ表示首 4 4 次出现正面所需要的试验次数,求ξ取偶数的 概率. 解:依据题意,ξ的可能取值为1,2,… ξ=k表示掷k次硬币,前k-1次都出现反面, 第k次出现正面.由于每次出现正、反面都是 相互独立的,

所以P(ξ=k)=(

1 4

)k-1· (k=1,2,…).
4

3

所以当ξ取偶数时的概率为: P(ξ=2)+P(ξ=4)+…+P(ξ=2n)+…
3 1 ?1? ?1? ? [ ? ? ? ?? ? ? ? 4 4 ?4? ?4?
3 2 n ?1

1 ? 4 1? 1 16 ? 1 5 .

? ? ]?

3 4

点评:若随机变量的概率与随机变量满 足一定的函数关系式,如随机变量满足几何 分布或二项式分布时,可直接利用关系式求 得指定随机变量的概率.

(1)掷一颗正方体骰子,以ξ表示出现的点 数,分别求P(ξ>4)和P(2≤ξ<5)的值; (2)已知随机变量ξ~B(5, ),求P(ξ=3)的 值.
3 1

解:(1)ξ的可能取值为1,2,3,4,5,6, 且出现每一点的概率均为 . 1
6

所以P(ξ>4)=P(ξ=5)+P(ξ=6)=
P(2≤ξ<5)=P(ξ=2)+P(ξ=3)+P(ξ=4)
? 1 6 ?3? 1 2 .

1 6

?

1

6

? ,

1 3

(2)P(ξ=3)=

1? 1 4 40 ?1? ? C 5 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? 10 ? ? ? . 3? 27 9 243 ?3? ?
3

3

2

题型3

求相关随机变量的分布列

3. 已知随机变量ξ的概率分布为
ξ
P
1 2

1
1 2
2

2



?
1 2
n

n




求随机变量η=sin( ? 解:
? 因为sin(
2 2

)的分布列.

?

-1 (n=4k-1) )= (n=2k) (k=1,2,3,…), 0 1 (n=4k-3)

所以η的可能取值为-1,0,1,且
1 P (? ? ? 1) ? 1 2
3

?

1 2
7

?

1 2
11

?? ? 1

8 1? 1 16 ? 1 3

?

2 15



P (? ? 0 ) ?

1 2
2

?

1 2
4

?

1 2
6

?? ? 1

4 1? 1 4



P (? ? 1) ?

1 2

?

1 2
5

?

1 2
9

?? ?

2 1? 1 16

?

8 15



所以η的分布列为
η
P
2 15

-1
1 3

0
8 15

1

点评:若随机变量ξ,η满足一 定关系式:η=f(ξ),则可由ξ的取值情况得 出η的取值情况,即可以把ξ的取值看成定 义域,则η为值域,即可根据ξ的分布列, 得出η的分布列.

已知随机变量ξ的分布列为
ξ
21 P
12

13
12

4 12

0
1 12

1
2 12

2
1 12
2

3

?1 ? 分别求出随机变量 ? , ? 2 ? ?

1

的分布列.
1

2

?1 ? 解:由于 2 ? ,所以对于不同的ξ, 1 η1有对应的取值 ξ,所以η1的分布列为
2

η 11

3 12

1 2

4 12

0

1 2 1

1
2 12

3 2 1

P

12

12

12

由于η2=ξ2,所以对于ξ的不同取值 - 2,2及-1,1,η2分别取相同的值4与1.
P (? 2 ? 0 ) ? P ( ? ? 0 ) ? 4 ; 3 12 1 12 1 12 . ? ? 1 12 2 12 ? ? 4 12 3 12 ; ; 12

P (? 2 ? 1) ? P ( ? ? ? 1) ? P (? 2 ? 4 ) ? P ( ? ? ? 2 ) ? P (? 2 ? 9 ) ? P ( ? ? 3 ) ?

故η2的分布列 为 η
2

0
4 4 12 12

1
3 12

4
1 12

9

P

题型4 分布列性质的应用 4. 已知随机变量ξ的概率分布为
P (? ? k ) ? c k ?1 则实数c的值为. ( k ? 0, 2 3 ), 1,,

解:由 得

c 0?1

?

c 1?1

?

c 2?1

?

c 3?1

? 1,

1 1 1? ? c ? 1 ? ? ? ? ? 1, 2 3 4? ?

所以
c ?

12 25

.

点评:离散型随机变量的分布列都具有 下面两个性质:

(1)pi≥0,i=1,2…;
(2)p1+p2+…=1.对于离散型随机变量在某 一范围内取值的概率等于它取这个范围内各 个值的概率之和, 即P(ξ≥xk)=P(ξ=xk)+P(ξ=xk+1)+….

设随机变量ξ等可能取值1,2,3,4,…, n,如果P(ξ<4)=0.3,

则n的值为 10
1

.
1

解:由条件知P(ξ=i)= n (i=1,2,…,n),

所以P(ξ<4)= ×3=0.3,得n=10.
n

1. 一个随机试验应具备下列三个条件: ①试验可以在相同情形下重复进行;②试验 的所有可能结果明确可知,且不止一个;③ 每次试验总是恰好出现这些结果中的一个, 但在一次试验之前不能肯定这次试验会出现 哪种结果.

2. 随机变量的取值与随机试验的结果是 对应的,有些随机试验的结果不具有数量性 质(如抛掷硬币),但可以通过适当设定加以数 量化(如正面朝上为1,反面朝上为0).

3. 若ξ为随机变量,f(x)为连续函数或单 调函数,则f(ξ)也是随机变量.
4. 若一次随机试验可看做只有两种结果A 和 A ,则在n次独立重复试验中A发生的次数ξ 服从二项分布.

5. 求离散型随机变量的分布列可分三个 步骤进行:①写出随机变量ξ的所有可能取值 xi(i=1,2,3,…);②求出ξ的各个取值对应的 概率P(ξ=xi);③列成表格.

6. 求离散型随机变量在某一范围内 取值的概率,应转化为求取这个范围内 各个值的概率之和. 7. 求概率分布中的参数值,一般利 用P1+P2+…+Pi+…=1建立一个关于参数 的方程就可求解.



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